复变函数与积分变换第一章习题解答
复变函数与积分变换第一章习题解答
。
n
2) R(
3) 事实上
罕 P(z) =X+iY=X- i Y; 可 ＝ 霄芦 （因)
P(z)
立 +a,, P( 司=a。了"+a1 产+···+a,
4
l 3. 如果 z =e;r, 试证明
1 (1) z" +— = 2cosnt ; n z
II
·+anz n = 页 =a +a1 z+a产 +··
习题 一 解答
1. 求下列复数的实部与虚部 、 共辄复数 、 模与辐角 。
(l)
解 所以
(1)
3+2i
1
(2)
-:--—
1
3+2i
1
3�2i
言， 叫卢｝飞， 2 =�(言) +(-卢『 = =卢
(3+2i), ImL : 2J
=-
1 =—(32i) (3+2iX3-2i) 13
3-2i
1
1- 1
3i
(2)
(1+i)6;
J�(2e一气 �32e一l坛"
( 3) 划 ；
1 一3
l I 、 i
=32[cos(-子 ）+isin(-子）]=-16"3-16i
(2)
(I+i)'= [ �(i+i )J
＝（高冗/4)6 = 8e31ri12 = -8i。 .J3
2
） 4 （
(3)
卢= (ei1t+2k于= eirr (2k+l)/6,k = 0,1,2,3,4,5 。
复变函数与积分变换习题答案
第一章 复数与复变函数1.1计算下列各式: (1) (1)(32);i i +--解: (1)(32)(1)322 3.i i i i i +--=+-+=-+ (2);(1)(2)ii i --解:2(13)3.(1)(2)2213101010i i i i i ii i i i i i +-====+----+-(3)1(1);1z z x iy z -=+≠-+ 解: 2222222211(1)(1)12.11(1)(1)(1)z x iy x iy x iy x y yi z x iy x y x y x y-+--++-+-===++++++++++ 1.3 将圆周方程22()0(0)a x y bx cy d a ++++=≠写成复数形式(即可z 与z 表示,其中z x iy =+).解: 把22,,22z z z z x y x y z z i+-==+=⋅代入圆周方程得: ()()0,222()()20,0.b caz z z z z z d iaz z b ic z b ic z d Az z Bz Bz C ⋅+++-+=⋅+-+++=⋅+++=故其中2,,2.A a B b ic C d ==+= 1.5 将下列各复数写成三角形式.(1) sin cos ;i αα+ 解: sin cos 1,i αα+= 故sin cos cos()sin().22i i ππαααα+=-+- (2) sincos.66i ππ--解: 2arg(sincos )arctan(cot ),666263i ππππππππ--=-=--=-s i n c o s 66i ππ--=2222cos()sin()cos()sin.3333i i ππππ-+-=- 1.7 指出满足下列各式的点z 的轨迹是什么曲线?(1) 1;z i +=解: 以(0,1)-为圆心,1为半径的圆周.(2) 0,zz az az b +++=其中a 为复数,为b 实常数;解: 由题设可知 2()()||0,z a z a b a +++-=即22||||,z a a b +=- 若2||,a b =则z 的轨迹为一点;a -若2||,a b >则z 的轨迹为圆,圆心在a -,若2||,a b <无意义.第二章 解析函数1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因0()()lim z f z z f z z∆→+∆-∆0()Re()Re lim z z z z z z zz∆→+∆+∆-=∆ 0Re Re Re limz z z z z z z z∆→∆+∆+∆∆=∆0Re lim(Re Re )z zz z z z∆→∆=+∆+∆ 000Re lim(Re )lim(Re ),z x y z xz zz z z x i y ∆→∆→∆→∆∆=+=+∆∆+∆ 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0.3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数.(1)(,).az bc d cz d++至少有一不为零 解: 当0c ≠时，()az b f z cz d +=+除d z c =-外在复平面上处处解析, dz c=-为奇点,222()()()()()()()()().()()az bf z cz daz b cz d cz d az b cz d a cz d c az b ad cb cz d cz d +''=+''++-++=++-+-==++当0c =时，显然有0d ≠，故()az b f z d +=在复平面上处处解析，且()af z d'=. 5.设()f z 在区域D 内解析,试证: 222222()|()|4|()|.f z f z x y ∂∂'+=∂∂证: 设 222(),|()|,f z u i v f z u v =+=+ 222(),|()|()().u uu u f z i f z x y x y∂∂∂∂''=-=+∂∂∂∂ 而2222222222222222222222222()|()|()()2()()()(),f z u v u v x y x y u u v v u u v v u v uv xx x x y y y y∂∂∂∂+=+++∂∂∂∂⎡⎤∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++++⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦又()f z 解析,则实部u 及虚部v 均为调和函数.故222222220,0.u u v vu v x yx y∂∂∂∂=+==+=∂∂∂∂则22222222()|()|4(()())4|()|.u uf z f z x y x y∂∂∂∂'+=+=∂∂∂∂ 7.设sin ,px v e y =求p 的值使v 为调和函数,并求出解析函数().f z u iv =+ 解: 要使(,)v x y 为调和函数,则有0.xx yy v v v ∆=+=即2sin sin 0,px px p e y e y -=所以1p =±时,v 为调和函数,要使()f z 解析,则有,.x y y x u v u v ==-1(,)cos cos (),1sin ()sin .px pxx pxpx y u x y u dx e ydx e y y pu e y y pe y pφφ===+'=-+=-⎰⎰所以11()()sin ,()()cos .px px y p e y y p e y C p pφφ'=-=-+即(,)cos ,px u x y pe y C =+故(cos sin ),1,()(cos sin ),1.x z xze y i y C e C pf z e y i y C e C p -⎧++=+=⎪⎨--+=-+=-⎪⎩9．求下列各式的值。
复变函数与积分变换习题解答
练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i ii i 524321----； 解：i iii 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12 解：i i +12 )4sin4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i2332++- 解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周32z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。
复变函数与积分变换习题解答
= 幕级数区—n!C+!..l.._zn
+
I
的收敛半径为R
=1/lim II 玉oo
a
___.斗 !!
a,,
=l114im00
c,, /(n + 1) c11十I /(n+2)
=1/lpl;
幕级数I:nc11z11一）的收敛半径为R
= 1/lim
a
一
all /l�CI)
lim nc" =1/I p I ;
(1+ —1 )”
=lim 00 II千
n n+ 1
= 0;
扣厂 (3) R=1//l1-i-m)00
II
lim1/ 11 11---'>00
+
i
I
=
1/忒
；
恩妇 (4) R=ll�
=l;
:I 匠)I 三叶三 曰勹 CS) R=l/
酝 =II
ch
=II
=I;
皿聂l (6) R=ll�
=l11�im00I ln in I= oo ;
。 I
I�
(n + l)c11+L
故以上三个幕级数有相同的收敛半径。
2 忙 9 设级数f n=O c"收敛，而 11=0 I发散，证明f 11=0 c11z11的收敛半径力l。
3
证明
由级数Len收敛，知幕级数LC11 Z11 在z= l处收敛，由Abel定理知I:c11z11
11=0
11 =0
11=0
习题四解答
1. 下列数列{a }是否收敛？如果收敛， 求出它们的极限：
"
芒， 气）， 二， I) a,,=
复变函数习题第一章答案
∂x
∂y
∂y
∂x
在复平面处处连续,且处处满足 C − R 方程.故 f (z) 在复平面上处处
可导,处处解析.
（3) 因 f (z) = xy 2 + ix 2 y ,即 u = xy 2 , v = x 2 y ,
而 ∂u = y 2 , ∂v = x 2 , ∂u = 2xy , ∂v = 2xy 在复平面处处连续，
z−2
(x − 2) + iy
则 (x − 3)2 + y 2 ≥ (x − 2)2 + y 2 ,
化简得 x ≤ 5 , 2
点 z 的轨迹表示 x ≤ 5 的半平面. 2
6. 函数ω = 1 把下列 z 平面上的曲线映射成ω 平面上怎样的曲线？ z
5
（1） x 2 + y 2 = 4 ；
（2） y = x ；
（3）
f
(z)
=
1
；
z2 −1
（4） f (z) = az + b （ c ， d 至少有一个不为零）． cz + d
解 （1） 因为 f ′(z) = 3z 2 + 2i ,所以 f (z) 在复平面内处处解析.
（2）因为 f (z) = x3 − 3xy 2 + (3x 2 y − y 3 )i ，即
= −2 + 2i ，
6
π
ω3
=
z
3 3
=
23
i
e
2
= 8i .
（2）因为辐角张大三倍，所以像为 0 < arg z < π .
8. 下列函数在何处可导？在何处解析？
（1） f (z) = x 2 − iy ； （2） f (z) = e− y (cos x + i sin x) ；
复变函数参考答案(1-8章)
复变函数与积分变换同步练习参考答案中北大学复变函数教研室编印1复变函数同步练习第一章参考答案三、作业题1、(1)设23412i z i +⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，则z = 5 ，辐角主值为4arctan()3π−。
(2)设55(1)1(1)1i z i −−=++，则其实部为125−，虚部为3225−。
提示：本题注意到2(1)2i i −=−，2(1)2i i +=。
则52225222(1)1[(1)](1)1(2)(1)1132(1)1[(1)](1)1(2)(1)12525i i i i i z i i i i i i −−−−−−−−====−−+++++++ 。
(3)一复数对应的向量按逆时针方向旋转23π时对应的复数为1i +，则原复数为1122−+−+。
提示：本题相当于解23111(1)()(1)2222i z ei i i i π−−+−=+=−−+=+。
(4)设1z =2z i =−，则12z z 的指数式i122e π，12zz 的三角式为 155[cos sin 21212i ππ+。
(5)2122lim1z zz z z z →+−−=−32。
提示：211122(2)(1)23limlim lim 1(1)(1)12z z z zz z z z z z z z z z →→→+−−+−+===−−++。
(6)设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π−=，那么z=1−+。
提示：（利用复数的几何意义）向量2z −与向量2z +夹角为5632πππ−=，在复平面上，代表复数2z −、z 、2z +的点在平行于x 轴的直线上（由于此三点的虚轴没有发生变2化）。
连接0，2z +，2z −的三角形为Rt Δ。
因此推出向量2z =，2arg 3z π=，即1z =−+。
本题也可以利用代数法来做。
2、把复数πααα≤≤+−=0,sin cos 1i z 化为三角表示式与指数表示式，并求z 的辐角主值。
复变函数和积分变换习题解答
练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i ii i 524321----； 解：i ii i 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12解：i i+12 )4sin 4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i2332++- 解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z=1的一个正三角形的项点。
证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周,11==z z 又因321z z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
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忭 lzl"+Jal :s; 1 +Jal,
I 所求 。 故 l+ I a 为
(1) i;
I z"+al=[•'
宇『+lale
且当z = e "时，
，亚
iarga
iarg n I=1+lal =1(1+ l al }
有
8. 将下列复数化成三角表示式和指数表示式 ( ) 1 -co叩+isin<p(O勺�n); 4 ( 2) -l = cos兀十 1S1Il兀 =e
=
5x+3y-4 = 34 { -3x+ 5y -18 = 34
或{ 5x+3y
7 。
I 3. 证明虚单位 i 有这样的性质： -i=i" = 1 4. 证明
1) I z 1
2
=
z歹
6) Re(z) =—（弓+z), Im(z) =—(z-歹） 2 2 i
1
1
2
值才成立？
5. 又寸f壬1可z' z勹 z 1 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对 z 那些
2
证明： 可设 z =x+iy, 然后代入逐项验证。
解： 设Z =x+iy I 则要使 z =I z 1 成立有
2 2
解： 由千忙+a
6. 当巨,�l时， 和z" +al的最大值， 其中n为正整数， a 为复数 。
x 2 - y2 + 2 iyY =x 2 + y2, 即 x 2 - y2 =x 2+ y2 'xy = 0 。 由此可得z为实数 。
'
l)
z=z1 +A ; 2) z =z, (cos a+i sin a)= z/
。
则主）＝巨 I eiArgz . e一12 = lzl)
iA屯z- -
2) ,
可知复数的模不变 ，
辐角减少巴 。
2
11. 证明： Z I 1 +Z21 + IZ1 -z2
2
「= 2(1Z11 2 + I 22 广） ，
。
解
“ 1 me一int =ein c +eme· =2sinnt (I) z + — =e +e
;
. . 1 (2) z - — = 21smnt n z
II
(2)
14. 求下列各式的值
Cl)
=einl -e-inl =einl 一了=2isinnt z" -上 “ z
。
（丘汇
(l)
解
汇J�[
气；）
(2)
(1+i)6;
J�(2e一气 �32e一l坛"
( 3) 划 ；
1 一3
l I 、 i
=32[cos(-子 ）+isin(-子）]=-16"3-16i
(2)
(I+i)'= [ �(i+i )J
＝（高冗/4)6 = 8e31ri12 = -8i。 .J3
2
） 4 （
(3)
卢= (ei1t+2k于= eirr (2k+l)/6,k = 0,1,2,3,4,5 。
所以，z占＋团z2 = -1, 又
忆 -z汒= (z1 -z2 )(团 － 马） =Z1 Z1 +硒 － （平＋硒）
=2-(迂＋豆）=3
故
的一 个正三角形。 20. 如果复数 Z1, Z2 , 23满足等式
忆-22l= fi, 同理忆－习＝忆-z3 l=fi, 知心1Z2Z3 是内接千单位圆lzl= 1
=
arg(3: )+lk 冗 2i
13
'
3 3 3
3
，
`勹=
(3)
u-卢
t , 2i
)�¾+i¾'f
叶卢｝＝；， 叶产}=-% 了卜倡尸（号厂卓，
芒
(3+4iX2- si)
= -arcmn¾ =
arg(t一 主+2 k兀 -
所以
=
-7-26i
(3+4iX2-siX-2i)
��坛，k = O,土I,士2,
l 1 _._ 1斗 千位Z 2Z3的重心
19. 设Z1 ,Z2 ,Z 3 三点适合条件： z 1 +z2 +z3 =0 ,
— l2 1I=l22I=lzJI=l。i正明Z 1 , Z2, Z3是内接干单位圆回=l的 个正三角形的顶
点
证 因为
由干因＝因＝同=1, 知心1 22Z3的三个顶点均在单位圆上。 l=lzJ =z兄 =[ (zl + z2 )I-(z1 + z2 )] =Z1 Z1 + Z2 Z2 + Z3 Z2 + Z1 Z2 =2+z1 马+z凸
习题 一 解答
1. 求下列复数的实部与虚部 、 共辄复数 、 模与辐角 。
(l)
解 所以
(1)
3+2i
1
(2)
-:--—
1
3+2i
1
3�2i
言， 叫卢｝飞， 2 =�(言) +(-卢『 = =卢
(3+2i), ImL : 2J
=-
1 =—(32i) (3+2iX3-2i) 13
3-2i
1
1- 1
3i
2
1 (3) z =- 亿 +z2 +z3 )。 3
(2) z =年 +( 1-儿片（其中A为实数）； 令zk = x,. +i yk,k = 1,2,3 , 则
。
6
处。 处。
-2 (2) Z = X2 五(x2 -x1 )+ i 从 - 1,(Y 2 Yi )] , 知点位于Z 1 与Zz连线上定比仁 12 11 比-21 1 (3) z= -(x1 +x ,.. , Z 1 +Y2 +yJ, 由几何知识知占 ·2 +x3 )+-(.r 3
C 1) z = （） -8 3 = 2e 3
i
.!.
巴
(
l+2k)
,
k=0,1,2 。 左 =1-知， 故其
一般形式为
(2)原方程的特征方程苏+8 = 0 有根 A,= l+l3i, y == C1 e 2 - x +ex (c2 cosf3x+C3 sin
一 。 - z,互－歹' －－－ '-' z z z
l+i五 - 2, l-il3 。
Ai= - 2 '
17. 在平面上任意选一点z, 然后在复平面上画出下列各点的位置：
丘）
I I
I
y
一Z
18 . 已知 两点 Z1 与 Z2 (或已知三点 Z1 ,Z2 ,Z3 ) 问下列各点位于何处？ Cl) z =- 亿 +z2 )
1 2
:tl
2
/ >
½
x
解
+ X2 + i Yi Y2 , 知点 z位于 Z1 与 z2 连线的中点 + (1) z = Xi
． （
2 I 汀 i
·
6 品
0
I
。
2 1 I ” 7
i
丘
4 I “ 5 1
丘
5
解 由题意即 (h e
句4
古文n =4k,k =0,土 1, 土2,- ..
Y =
(he一1
冗
顷 /4' 14y•, ei'玩 14 = e一 i,
. n sm-冗 = 0'
解
根 16. (1) 求方程 z3 +8 = 0的所有 (2) 求微分方程 y"'+8y = 0的一般 解。 即 原方程有如下三个 解：
— . . —.. '—
。
n
2) R(
3) 事实上
罕 P(z) =X+iY=X- i Y; 可 ＝ 霄芦 （因)
P(z)
立 +a,, P( 司=a。了"+a1 产+···+a,
4
l 3. 如果 z =e;r, 试证明
1 (1) z" +— = 2cosnt ; n z
II
·+anz n = 页 =a +a1 z+a产 +··
2
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