新北师大版数学必修5同步课件：§4-4.2 简单线性规划

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第三章 不等式
6．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 7．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最 大值或最小值问题．
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第三章 不等式
判断题. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)线性目标函数的最优解一定是唯一的．( × ) (2) 线 性 目 标 函 数 取 得 最 值 的 点 一 定 在 可 行 域 的 顶 点 或 边 界 上．( √ ) (3)线性规划问题一定存在最优解．( × ) (4)目标函数 z＝ax＋by(b≠0)中，z 的几何意义是直线 ax＋by －z＝0 在 y 轴上的截距．( × )
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第三章 不等式
下面给出的四个点中，满足约束条件xx＋－yy－＋11≤≥00，的可行
解是( )
A．(0，2)
B．(－2，0)
C．(0，－2)
D．(2，0)
答案：C
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第三章 不等式
在约束条件xx－ ＋yy－ ≤11≤ ，0，下，目标函数 z＝10x＋y 的最优 x≥0
答案： 2 10
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第三章 不等式
对目标函数 z＝Ax＋By＋C(A，B 不全为 0)的理解 当 B≠0 时，由 z＝Ax＋By＋C 得 y＝－ABx＋z－BC.这样，二元 一次函数就可以视为斜率为－BA，在 y 轴上截距为z－BC，且随 z 变化的一组平行线．于是，把求 z 的最大值和最小值的问题转 化为直线与可行域有公共点时，直线在 y 轴上的截距的最大值 和最小值的问题． (1)当 B＞0 时，z 的值随着直线在 y 轴上的截距的增大而增大． (2)当 B＜0 时，z 的值随着直线在 y 轴上的截距的增大而减小．
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第三章 不等式
如果两个变量(或其代数式)具有约束范围，且所求的目标式中 含有这两个变量，可以考虑使用线性规划的方法求解，即把数 的问题转化为形的问题来解决．实质上，整个线性规划问题的 解决都是数形结合思想方法的体现．
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第三章 不等式
1．目标函数 z＝－3x＋5y，将其看成直线方程时，z 的意义是 () A．该直线在 y 轴上的截距 B．该直线在 y 轴上的截距的 5 倍 C．该直线在 x 轴上的截距 D．该直线在 x 轴上的截距的 5 倍 解析：选 B.将目标函数 z＝－3x＋5y 变形得 y＝35x＋5z，所以 z 的意义是该直线在 y 轴上的截距的 5 倍，故选 B.
大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为( )
A.12或 1
B．2 或
1 2
C．2 或 1
D．2 或－1
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第三章 不等式
解析：(1)选 B.画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所 示．
因为目标函数 z＝ax＋y 的最大值为 4，即目标函数对应直线与 可行域有公共点时，在 y 轴上的截距的最大值为 4，作出过点 D(0，4)的直线，由图可知，目标函数在点 B(2，0)处取得最大 值，故有 2a＋0＝4，解得 a＝2.
部分)，目标函数的几何意义是可行域内的点与
点 C(1，1)间的距离．
由图易知点 C 到可行域内的点(0，0)和(2，0)的距离最大，都
为
2，而点
C
到直线
x＋2y－2＝0
的距离最小，为
5 5.
故 zmax＝ 2，zmin＝ 55.
答案：(1)A
(2)
2，
5 5
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第三章 不等式
已知目标函数的最值求参数 已知变量 x，y 满足约束条件0－≤2x≤＋xy－≤y≤4，2.若目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)仅在点(3，1)处取得最大值，求实数 a 的取 值范围．
在可行域内平移直线 2x－3y＝0， 当直线经过 x－y＝2 与 x＋y＝4 的交点 A(3，1)时，目标函数有 最小值，zmin＝2×3－3×1＝3； 当直线经过 x＋y＝－1 与 x－y＝3 的交点 B(1，－2)时， 目标函数有最大值，zmax＝2×1＋3×2＝8. 所以 z∈[3，8]． 【答案】 [3，8]
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第三章 不等式
【解】 由约束条件画出可行域，如图所示，点 C 的坐标为(3， 1)．因为目标函数仅在点 C(3，1)处取得最大值，所以－a<kCD， 即－a<－1，所以 a>1.
所以实数 a 的取值范围是(1，＋∞)．
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第三章 不等式
含参数的线性目标函数问题的求解策略 (1)约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分情况作出 可行域，结合条件求出不同情况下的参数值． (2)目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的， 如果斜率一定，则对直线作平移变换；如果斜率可变，则要利 用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置，从而 求出参数的值．
则 z ＝ （x－1）2＋（y－1）2 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 是 ________．
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第三章 不等式
解析：(1)画出可行域，如图中阴影部分，x＋y 1表示可行域内点 (x，y)与点(－1，0)连线的斜率，结合图形易求得12≤x＋y 1≤32.
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第三章 不等式
(2)不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影
A．[－3，0]
B．[－3，2]
C．[0，2]
D．[0，3]
x＋2y≤1， (2)设 x，y 满足约束条件2x＋y≥－1，则 z＝3x－2y 的最小值
x－y≤0，
为________．
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第三章 不等式
解析：(1)不等式组3xx≥＋02，y－6≤0，表示的平面区域如图中阴 y≥0
部分所示，由可行域知，当直线 y＝32x－2z过点 A 时，在 y 轴上 的截距最大，此时 z 最小，由x2＋ x＋2yy＝ ＝1－，1，解得xy＝＝1－. 1，所 以 zmin＝－5.
答案：(1)B (2)－5
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第三章 不等式
求非线性目标函数的最值
设
x，y
满足条件xx－ ＋yy＋ ≥50≥ ，0，求 x≤3，
解是( )
A．(0，1)，(1，0)
B．(0，1)，(0，－1)
C．(0，－1)，(0，0)
D．(0，－1)，(1，0)
答案：D
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第三章 不等式
如图，点(x，y)在四边形 ABCD 的内部和边界上运动，那么 z＝2x－y 的最小值为________．
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第三章 不等式
解析：法一：目标函数 z＝2x－y 可变形为 y＝2x－z，所以当直 线 y＝2x－z 在 y 轴上的截距最大时，z 的值最小．移动直线 2x －y＝0，当直线移动到经过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， 即 z 的值最小，为 2×1－1＝1. 法二：将点 A，B，C，D 的坐标分别代入目标函数，求出相应 的 z 值，比较大小，得在 A 点处取得最小值 1. 答案：1
时，z 取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15，选择 A.
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第三章 不等式
法二：易求可行域顶点 A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分 别代入目标函数，求出对应的 z 的值依次为 1，－15，9，故最 小值为－15. (2)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线 y ＝－x，当直线经过点 A(3，0)时，z＝x＋y 取得最大值，此时 zmax＝3＋0＝3.故选 D.
思想方法
数形结合思想在线性规划中的应用
已知－1≤x＋y≤4 且 2≤x－y≤3，则 z＝2x－3y 的取值 范围是________(答案用区间表示)．
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第三章 不等式
【解析】 作出不等式组－2≤1≤x－x＋y≤y≤3 4表示的可行域， 如图中阴影部分所示．
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第三章 不等式
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第三章 不等式
求线性目标函数的最值
(1)设 x，y 满足约束条件22xx＋ －33yy－ ＋33≤ ≥00， ，则 z＝2x＋y y＋3≥0，
的最小值是( )
A．－15
B．－9
C．1
D．9
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第三章 不等式
x＋3y≤3， (2)设 x，y 满足约束条件x－y≥1， 则 z＝x＋y 的最大值为
影部分所示，作出直线 l0：y＝x，平移直线 l0，当直线 z＝x－y 过点 A(2，0)时，z 取得最大值 2，当直线 z＝x－y 过点 B(0， 3)时，z 取得最小值－3，所以 z＝x－y 的取值范围是[－3，2]， 故选 B.
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第三章 不等式
(2)画出不等式组x2＋ x＋2yy≤ ≥1－，1，所表示的平面区域如图中阴影 x－y≤0
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第三章 不等式
3.(1)已知 x，y 满足约束条件xx－ ＋yy≥ ≤02， ，若 z y≥0.
＝ax＋y 的最大值为 4，则 a＝( )
A．3
B．2
C．－2
D．－3
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第三章 不等式
(2)已知 x，y 满足约束条件xx＋－y2－y－2≤2≤0，0，若 z＝y－ax 取得最 2x－y＋2≥0.
(2)顶点代入法 ①依约束条件画出可行域； ②解方程组得出可行域各顶点的坐标； ③分别计算出各顶点处目标函数 z＝ax＋by 的值，经比较后得 出 z 的最大(小)值.
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第三章 不等式
1.(1)设 x，y 满足约束条件3xx≥＋02y－6≤0， y≥0
则 z＝x－y 的取值范围是( )
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第三章 不等式
非线性目标函数的最值的求解策略 (1)z＝(x－a)2＋(y－b)2 型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a， b)距离的平方．特别地，z＝x2＋y2 型的目标函数表示可行域内 的点到原点的距离的平方． (2)z＝xy－－ba型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜 率． (3)z＝|Ax＋By＋C|可转化为点(x，y)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距 离的 A2＋B2倍．