【精选】苏科版数学八年级上册 全等三角形单元测试卷附答案

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②V7.5Q（厘米/秒）；（2）点P、Q在AB边上相遇，即经过了803秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．【解析】【分析】（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得△BPD≌△CQP；②根据V P≠V Q，使△BPD与△CQP全等，所以CQ＝BD＝10，再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度；（2）根据V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设运动x秒，即可列出方程1562202x x，解方程即可得到结果.【详解】（1）①因为t＝1（秒），所以BP＝CQ＝6（厘米）∵AB＝20，D为AB中点，∴BD＝10（厘米）又∵PC＝BC﹣BP＝16﹣6＝10（厘米）∴PC＝BD∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD与△CQP中，BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BPD ≌△CQP （SAS ），②因为V P ≠V Q ，所以BP ≠CQ ，又因为∠B ＝∠C ，要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ，故CQ ＝BD ＝10．所以点P 、Q 的运动时间84663BP t （秒）， 此时107.543Q CQ V t （厘米/秒）．（2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得1562202x x ， 解得x=803(秒) 此时P 运动了8061603（厘米） 又因为△ABC 的周长为56厘米，160＝56×2+48， 所以点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了803秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇． 【点睛】此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.2．如图1，等腰△ABC中，AC =BC ＝∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，D 为线段AO 上一动点，以CD 为一边在CD 下方作等腰△CDE ,使CD =CE 且∠DCE=45˚，连结BE .(1) 求证：△ACD ≌△BCE ；(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE 至Q , P 为BQ 上一点，连结CP 、CQ,若CP ＝CQ ＝5,求PQ 的长.(3) 连接OE ，直接写出线段OE 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422-【解析】试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45DAC∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，∴AC=BC,DC=EC,45ACB DCE∠=∠=，45ACD DCB ECB DCB∴∠+∠=∠+∠=，∴∠ACD=∠BCE；在△ACD和△BCE中，,AC BCACD BCEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ACD BCE∴≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，(2)过点C 作CH ⊥BQ 于H ，∵△ABC 是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，45DAC ∴∠=，ACD BCE ≌，45PBC DAC ∴∠=∠=，∴在Rt BHC 中,2242422CH BC =⨯=⨯=， 54PC CQ CH ===，，3PH QH ∴==，6.PQ ∴=()3OE BQ ⊥时，OE 取得最小值.最小值为：42 2.OE =-3．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF ．（1）求证：BG ＝CF ；（2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）BE +CF ＞EF ，证明详见解析【解析】【分析】（1）先利用ASA 判定△BGD ≅CFD ，从而得出BG=CF ；（2）利用全等的性质可得GD=FD ，再有DE ⊥GF ，从而得到EG=EF ，两边之和大于第三边从而得出BE+CF ＞EF ．【详解】解：（1）∵BG ∥AC ，∴∠DBG ＝∠DCF ．∵D 为BC 的中点，∴BD ＝CD又∵∠BDG ＝∠CDF ，在△BGD 与△CFD 中，∵DBG DCFBD CDBDG CDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD＝FD，BG＝CF．又∵DE⊥FG，∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．4．如图，在ABC∆中，ACB∠为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD.以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.（1）若AB AC=，90BAC∠=︒①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；②当点D在线段C的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；（2）如图3，若AB AC≠，90BAC∠≠︒，45BCA∠=︒，点D在线段BC上运动，试探究CF与BD的位置关系.【答案】（1）①CF⊥BD，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF⊥BD，证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，②先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；（2）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD．【详解】解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；②成立，理由如下：如图2：∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD；（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA=45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC=AE，∠AED=45°，∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，在△ACF和△AED中，∵AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，∴△ACF≌△AED(SAS)，∴∠ACF=∠AED=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，∴CF⊥BD．【点睛】本题考查全等三角形的动点问题，综合性较强，有一定难度，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.5．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=29CP，求PFAF的值．（提示：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）【答案】（1）∠AFE=60°；（2）见解析；（3）7 5【解析】【分析】（1）通过证明BCE CAD≌得到对应角相等，等量代换推导出60AFE∠=︒；（2）由（1）得到60AFE∠=︒，CE AD=则在Rt AHF△中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF上取一点K使得KF=AF，作辅助线证明ABK和ACF全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在BCE和CAD中，60BE CDCBE ACDBC CA=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴BCE CAD≌（SAS），∴∠BCE=∠DAC，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠AFE=60°．（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵EBC DCA≌，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，∵∠AFK =60°，AF =KF ，∴△AFK 为等边三角形，∴∠KAF =60°，∴∠KAB =∠FAC ， 在ABK 和ACF 中，AB AC KAB ACF AK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ABK ACF ≌(SAS )，BK CF =∴∠AKB =∠AFC =120°，∴∠BKE =120°﹣60°=60°，∵∠BPC =30°，∴∠PBK =30°，∴29BK CF PK CP ===， ∴79PF CP CF CP =-=， ∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-= ∴779559CP PF AF CP == . 【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.6．如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AE 是过A 点的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于E .（1）求证：BD DE CE =+.（2）若将直线AE 绕点A 旋转到图②的位置时（BD CE <），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请予以证明.【答案】（1）见解析；（2）BD=DE-CE ，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AE=AD+DE ，所以BD=DE+CE ；（2）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AD+AE=BD+CE ，所以BD=DE-CE ．【详解】解：（1）∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°∴∠ABD=∠CAE ，∵AB=AC ，在△ABD 和△CAE 中，BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴BD=AE ，AD=CE ，∵AE=AD+DE ，∴BD=DE+CE ；（2）BD 与DE 、CE 的数量关系是BD=DE-CE ，理由如下：∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE ，∴∠ABD=∠CAE ，∵AB=AC ，在△ABD 和△CAE 中，BDA AECABD CAEAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE，∴AD+AE=BD+CE，∵DE=BD+CE，∴BD=DE-CE．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定和性质，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS，HL等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．7．如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5 cm， BC=12 cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()122t-；（2）3t=；（3）存在，2v=或53v=【解析】【分析】（1）根据P点的运动速度可得BP的长，再利用BC的长减去BP的长即可得到PC的长；（2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP，列方程求解即得；（3）先分两种情况：当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ；或当BA=CQ，PB=PC 时，△ABP≌△QCP，然后分别列方程计算出t的值，进而计算出v的值．【详解】解：（1）当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时2BP tcm=∵12BC cm=∴()122PC BC BP t cm=-=-故答案为：()122t-（2）∵ABP DCP∆≅∆∴BP CP =∴2122t t =-解得3t =．（3）存在，理由如下：①当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ，∴PC=AB=5∴BP=BC-PC=12-5=7∵2BP tcm =∴2t=7解得t=3.5∴CQ=BP=7，则3.5v=7解得2v =．②当BA CQ =，PB PC =时，ABP QCP ∆≅∆∵12BC cm =∴162BP CP BC cm === ∵2BP tcm =∴26t =解得3t =∴3CQ vcm = ∵5AB CQ cm ==∴35v =解得53v =． 综上所述，当2v =或53v =时，ABP ∆与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解．8．操作发现：如图，已知△ABC 和△ADE 均为等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将这两个三角形放置在一起，使点B ，D ，E 在同一直线上，连接CE ．（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2【解析】【分析】（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）解：如图1中，设AC交BE于O．∵∠ABC＝∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABO＝∠ECO，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠BAO＝70°，即∠BEC＝70°．（3）解：如图2中，∵∠CAB ＝∠EAD ＝120°，∴∠BAD ＝∠CAE ，∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠BAD ＝∠ACE ，BD ＝EC ＝4，同理可证∠BEC ＝∠BAC ＝120°，∴∠FEC ＝60°，∵CF ⊥EF ，∴∠F ＝90°，∴∠FCE ＝30°，∴EF ＝12EC ＝2. 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．9．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在边AC 上（ “点D 不与,A C 重合），点E 是射线BC 上的一个动点（点E 不与点,B C 重合），连接DE ，以DE 为边作作等边三角形DEF ∆，连接CF .（1）如图1，当DE 的延长线与AB 的延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，过点D 作//DG AB ，DG 交BC 于点G ，求证：CF EG =；（2）如图2，当DE 反向延长线与AB 的反向延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，求证：CD CE CF =+；（3）如图3， 当DE 反向延长线与线段AB 相交，且,C F 在直线DE 的异侧时，猜想CD 、CE 、CF 之间的等量关系，并说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）CF =CD +CE ，理由见详解.【解析】【分析】(1)由ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，CDG ∆是等边三角形，易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论；(2)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论；(3)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论.【详解】（1）∵ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG ∆是等边三角形，∴DG=DC.∵DEF ∆是等边三角形，∴DE=DF ，∠EDF=60°，∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF ，即：∠GDE=∠CDF ，在∆ GDE 和∆ CDF 中，∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，∴CF EG =；（2）过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图2，∵ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG ∆是等边三角形，∴DG=DC.∵DEF ∆是等边三角形，∴DE=DF ，∠EDF=60°，∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ，在∆ GDE 和∆ CDF 中，∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，∴CF GE =，∴CD CG CE GE CE CF ==+=+（3）CF =CD +CE ，理由如下：过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图3，∵ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG ∆是等边三角形，∴DG=DC=GC.∵DEF ∆是等边三角形，∴DE=DF ，∠EDF=60°，∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ，在∆ GDE和∆ CDF中，∵DE DFGDE CDFDG DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE≅∆ CDF(SAS)，∴CF GE==GC+CE=CD+CE.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.10．已知：4590ABC A ACB∆∠=∠=，，，点D是AC延长线上一点，且22AD=+，，M是线段CD上一个动点，连接BM，延长MB到H，使得HB MB=，以点B为中心，将线段BH逆时针旋转45，得到线段BQ，连接AQ．（1）依题意补全图形；（2）求证：ABQ AMB∠=∠；（3）点N是射线AC上一点，且点N是点M关于点D的对称点，连接BN，如果QA BN=，求线段AB的长．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）22AB=【解析】【分析】（1）根据题意可以补全图形；（2）根据三角形外角的性质即可证明；（3）作QE⊥AB，根据AAS证得QEB BCM≅，根据HL证得Rt QEA Rt BCN≅，设法证得2AB CD=，设AC BC x==，则2AB x=，22CD x=，结合已知22AD=+，构建方程即可求解.【详解】（1）补全图形如下图所示：（2）解：∵∠ABH是ABM的一个外角，∴ABH BAM AMB∠=∠+∠∵ABH HBQ ABQ∠=∠+∠又∵45HBQ BAM∠=∠=︒∴ABQ AMB∠=∠（3）过Q 作QE⊥AB，垂足为E，如下图：∵⊥QE AB∴90QEB BCM∠=∠=︒，在QEB和BCM中，QEB BCMQBE BMCQB BM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QEB BCM≅(AAS)∴EB CM=，QE BC=，在Rt QEA和Rt BCN中∵QE BC =，Q A BN = ∴Rt QEA Rt BCN ≅ (HL)∴AE CN CM MD DN ==++∵点N 是点M 关于点D 的对称点，∴MD DN =∴22AE CM MD EB MD =+=+∴ ()2222AB AE EB EB MD EB MD CD =+=+=+=设AC BC x ==，则AB =，2CD x =，又∵2AD =， AD AC CD x x =+=∴2x x += 解得：2x =∴ AB =【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．熟悉全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线、构建方程是解答的关键．。