第3课时 整式

完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加
a2±2ab＋b2 上(或者减去)它们积的2倍，即(a±b)2＝_______________.
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【智慧锦囊】 常用恒等变换： 2ab ； 2ab ＝(a－b)2＋_______ (1)a2＋b2＝(a＋b)2－_______ 4ab (2)(a－b)2＝(a＋b)2－_______.
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(3)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的因 式相乘，即(ab)n＝________( an· bn n为整数)； am－n (4)同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an＝________ (a≠0，m，n都为整数)． 整式的乘法：(1)单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb ＋mc； (2)多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb. 整式的除法：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为
多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这
个多项式的次数．
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【智慧锦囊】 单独一个非零数的次数是 0.如－5 的次数是 0，字母 x 的 4xy 次数是 1 而不是 0；单项式的系数包括前面的符号如－ 的系 7 4 数为－ . 7
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类型之二
整式的运算
[2016· 邵阳]先化简，再求值：(m－n)2－m(m－2n)，其中 m＝ 3，n＝ 2.
【解析】
原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则
计算，去括号合并同类项得到最简结果，把m与n的值代入计算
即可求出值．
解： 原式＝m2－2mn＋n2－m2＋2mn＝n2， 当 n＝ 2时，原式＝2.
则 m＋n＝1＋2＝3.
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1．若－2amb4与5an＋2b2m＋n可以合并成一项，则mn的值是( D )
A．2
B．0
C．－1
D．1
2．[2016· 临夏]如果单项式2xm＋2nyn－2m＋2与x5y7是同类项，那么 1 nm的值是______ 3 ．
【解析】 根据同类项的定义 (所含字母相同，相同字母的指数
商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作
为商的一个因式． 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项
式，再把所得的商相加．
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4．常用公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两 a2－b2 个数的平方差，即(a＋b)(a－b)＝__________.
＝－3×4×(4×3＋3)；
… ∴原式＝－n(n＋1)(4n＋3)．
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1．[2016· 临沂]用大小相等的小正方形按一定规律拼成如图3－
1的图形，则第n个图形中小正方形的个数是 ( C )
图3－1 A．2n＋1
C．n2＋2n
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B．n2－1
和a3＋a3＝2a3，(am)n和an· am混淆．
4．单项式的除法关键：注意区别“系数相除”与“同底数幂相除 ”的含义，如6a5÷3a2＝(6÷3)a5－2＝2a3，一定不能把同底
数幂的指数相除．
5．使用乘法公式时，要认清公式中a，b所表示的两个数及公 式的结构特征，不要犯类似下面的错误：(a＋b)2＝a2＋b2； (a－b)2＝a2－b2.
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【点悟】
(1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分
理解其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体
和分类讨论等数学思想；(2)在应用乘法公式时，要充分理解乘
法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件．
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2．观察下列各式的计算过程：
5×5＝0×1×100＋25； 15×15＝1×2×100＋25； 25×25＝2×3×100＋25； 35×35＝3×4×100＋25； … [10(n－1)＋5]× 请猜测，第n个算式(n为正整数)应表示为__________________ [10(n－1)＋5]＝100n(n－1)＋25或5(2n－1)×5(2n－1)＝100n ______________________________________________________ (n－1)＋25 ______________ ．
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2．同类项、合并同类项 同类项：多项式中，所含字母________ 相同 ，并且相同字母的
指数也________ 相同 的项叫做同类项，所有的常数项也看做是
同类项． 合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数， 字母和字母的指数不变． 3．整式的运算 整式的加减：整式的加减可以归结为去括号和合并同类项. 幂的运算：(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 am· an＝_______( am＋n m，n都是整数)； amn m， (2)幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(am)n＝______( n都是整数)；
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【点悟】
(1)同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类
项时，系数相加字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变 指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；(2)不要把同 底数幂的乘法与整式加减混淆．
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类型之一 3 ． _____
同类项的概念
[2016· 潍坊]若3x2mym与x4－nyn－1是同类项，则m＋n＝
【解析】 ∵3x2mym 与 x4－nyn－1 是同类项，
2m＝ 4－ n， m＝ 1， ∴ 解得 m＝ n－ 1， n＝ 2，
m＋ 2n＝ 5， m＝－ 1， 也相同)，可得 解得 n－ 2m＋ 2＝ 7， n＝ 3，
1 则 n ＝3 ＝ . 3
m
－1
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【点悟】
(1)同类项必须符合两个条件：第一，所含字母相
同；第二，相同字母的指数也相同；(2)根据同类项的概念列 方程(组)是解此类题的一般方法．
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【解析】
仔细观察题目提供的三个算式，可发现结果和式子
序列号之间的关系． ∵1×22－2×32＝－1×2×7＝－1×2×(4×1＋3)； (1×22－2×32)＋(3×42－4×52)＝－2×3×11＝－2×3×(4×2 ＋3)； (1×22－2×32)＋(3×42－4×52)＋(5×62－6×72)＝－3×4×15
做单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式． 多项式：由几个单项式________ 相加 组成的代数式叫做多项式. 单项式和多项式 统称为整式． 整式：__________________ 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这 个单项式的次数． 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
2．数形结合思想
在列代数式时，常常遇到这种类型的题：题中提供一定的 图形或变换，要求通过对图形的观察探索，提取图形反映 的信息列出代数式，也用图形验证乘法或乘法公式，是中 考的热点考题．
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三、必明5
易错点
1．同类项不必考虑字母的排列顺序，如－7xy与yx是同类项． 2．只有同类项才能合并，如x2＋x3不能合并． 3．不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如a3· a3＝a6
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二、必会2 1．整体思想
方法
在进行整式运算或求代数式的值时，常把一些紧密联系的 代数式作为一个整体来处理，借助“整体思想”，可以拓宽
解题思路，收到事半功倍之效．整体思想比较典型的应用
是在乘法公式中，公式的字母a，b不仅可以表示单项式， 也可以表示多项式．
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类型之三
整式的规律型问题
[2015· 济宁]若1×22－2×32＝－1×2×7； (1×22－2×32)＋(3×42－4×52)＝－2×3×11； (1×22－2×32)＋(3×42－4×52)＋(5×62－6×72)＝－3×4 ×15； 则(1×22－2×32)＋(3×42－4×52)＋…＋[(2n－1)(2n)2－2n －n(n＋1)(4n＋3) ． (2n＋1)2]＝____________________
1．[2015· 丽水]先化简，再求值：a(a－3)＋(1－a)(1＋a)，其中 a 3 ＝ . 3 解：原式＝a2－3a＋1－a2＝1－3a， 3 当 a＝ 时，原式＝1－3a＝1－ 3. 3
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2．[2016· 菏泽]已知4x＝3y，求代数式(x－2y)2－(x－y)(x＋y)－ 2y2的值． 解：原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2 ＝－4xy＋3y2 ＝－y(4x－3y)． ∵4x＝3y， ∴原式＝0.