微积分1-3

n
三、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质:
唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.
作业
习题1-4 (31页)
1(1) .; 2. 3(5). 4.
补充作业
证明: 若 lim x2n lim x2n1 a, 则 lim xn a.
例如
2,4,8,,2 n ,; 1 1 1 1 , , ,, n ,; 2 4 8 2
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
{2 } 1 { n} 2
{(1)
n1
n
}
注：数列对应着数轴上一个点列.可看作一动 点在数轴上依次取x1 , x2 , , xn , .
x3
第四节 数列的极限
一、数列极限的概念 二、收敛数列的性质 三、数列的子列及其极限
一、数列极限的概念
1、数列
定 义 : 由 函 数 xn f ( n), n Z 生 成 的 一 列 实 数
x1 , x 2 , , x n ,
就叫数列. 简记为数列 { xn }. x n —通项.
a ) 内,
当n N时, 所有的点 xn都落在 (a ,
只有有限个 (至多只有N个) 落在其外. 注意： (1)数列极限的定义通常是用来进行推理 和证明极限,而不用来求极限。 (2)并非所有的数列都有极限, {( 1)n 1 } 此时称数列发散. 1,1,1,, ( 1)n1 ,
xn1 , xn2 , xnk , ( n1 n2 nk )
所构成的新数列 { x nk } 叫做数列 { xn }的 子数列. 注 这里 x nk是原数列中的第 nk 项, 在子数列中是 第k项,
k nk
定理4 (子列定理) 若 lim xn a,
n
则对{ xn }的任意子列{ xnk }, 都有
n | xn 0 || q || q | ,
只要
n ln q ln ,
ln 取N [ ], 则当n N时, ln q
n
n
ln n , ln q
有 q 0 , lim q 0. n
k
lim xnk a .
推论１： 若数列存在一个发散的子列, 或有两个子列 收敛于不同的极限值, 则原数列发散． 还可证明:
若 lim x2n lim x2n1 a, 则 lim xn a.
n n n
推论２:
n
lim xn a

n
lim x2n lim x2n1 a.

1

0, N ( [ ]), 只要 n N , 就有 xn 1 .
定义
设 { xn } 为 一 数 列 ， 如 果 常 数 a ，
0 (不论它多么小),总 N N ,使得当
n N 时，不等式 x n a 都成立,那么就称
a 是 { xn }的极限,或称 { xn }收敛于 a ,记为
lim x n a ,
n
或 x n a ( n ).
注意：1)不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近 ( ;
( 2) N与任意给定的正数 有关.
练习 证明 lim q n 0, 其中 0 q 1.
1 n 例 证明数列 xn cos ( n 1、、） 以 0为 23 n 2 极限.
1 n 证 0, 要使 xn 0 cos 0 . n 2 1 n 1 n 1 由于 cos 0 cos n 2 n 2 n 1 1 1 只要 , 或n , 取N [ ], 则当n N时, 为了简化解不等式的运算,常 n 常把 xn a 作适当地放大. 1 n 1 n 0 cos 0 . 即 lim cos 有 n n 2 n 2
因当 n时，xn 无休止地反复取1, 1 两个数,
不可能同时位于长度为1的开区间内.
故发散.
定义 对 { xn }, 若存在 M > 0, 对一切xn，
皆有 | xn | M 成立, 则称{ xn }有界; 否则,
则称{ xn }无界: M 0, xn , 使得 xn M . n e.g. 数 列 x n 有界; n1
x1
x 2 x4
xn
几何意义 平面上一串分离的点. xn
o
·2 ·· ·3 4 1
n
2、数列极限的引例
(1) 割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
R
, 62n1 , 6, 12,
A1 , A2 , , An ,
S
(2) 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭”
则N 0, 当n N时, 有 xn 0.
1 且 思考题 若{ xn }满足 : xn 0， lim xn a， xn n n 能否得出a 0 ? 不能 则a 0 .
三、数列的子列及其极限
定义 在数列 xn 中依次任意抽出无穷多项
并保持这些项在原数列中的先后次序
n n n
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找 N, 但不必求最小的N.
( 3) lim x n a
n
0, 正整数N ,当n N时, 有 x n a . 几何解释: 0, 正整数N ,
a
x2 x1 x N 1
a
a
x N 2 x3 x N x
几何意义
数列 xn n
无界.
数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在 闭区间[ M , M ]上.
定理2
有界性 若{ xn }收敛, 则{ xn }必有界 . 有界. 发散.
注意 (1) 数列收敛 (2)无界数列
n
xn e n
定理3 保号性 若 lim xn a , 且 a 0,
二、收敛数列的性质
定理1 (唯一性) 若{ xn }收敛, 则其极限唯一 . 例
证明数列 xn ( 1)n 1 ( n1,2, )是发散的.
证 (反证法) 假若该数列收敛, 则其极限唯一.
设 lim xn a , 则对 1 , N , 使得当n N时, n 2 1 有 x n a 成立, 2 1 1 即当n N时, x n (a , a ), 区间长度为1. 2 2
( 1)n1 1 4 3 6 如数列 {1 } 即 2, , , , 2 3 4 5 n 当n无限增大时, xn 无限接近于1.
“无限接近” 意味着什么? 如何用数学语言刻划它.
n
| xn 1 |
1 n
1 ( 1)n1 | x n 1 | { xn } {1 } n n 1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 就有 xn 1 , 100 100 n 100 1 1 , 给定 , 只要 n 1000时, 就有 xn 1 1000 1000 1 1 给定 , 只要 n 10000 , 有 x n 1 , 时 10000 10000
1 第一天截下的杖长为x1 ; 2 1 第二天截下的杖长为x2 2 ; 2


1 第n天截下的杖长为xn n ; 2


0
3、数列极限的定义
给定数列 xn }, { 若当 n 无限增大时, x n 无限接近常数a,
则称a为 { xn }的极限, 记作
lim xn a, 或 x n a ( n ).