用牛顿迭代法求近似根
牛顿迭代法求根例题
牛顿迭代法求根例题（最新版）目录1.牛顿迭代法的概念与原理2.牛顿迭代法求一元三次方程的根3.牛顿迭代法的应用实例与步骤4.牛顿迭代法的优点与局限性正文一、牛顿迭代法的概念与原理牛顿迭代法，又称牛顿 - 拉夫逊法，是 17 世纪英国著名科学家牛顿提出的一种近似求解实数域和复数域方程的方法。
该方法通过迭代方式不断逼近方程的根，直至达到预设的精度要求。
牛顿迭代法的原理基于切线法，通过求解函数在各近似根点的切线方程，从而得到新的近似根点，迭代过程中根的精度逐渐提高。
二、牛顿迭代法求一元三次方程的根我们以一元三次方程为例，展示牛顿迭代法求根的过程。
假设我们要求解以下一元三次方程：x^3 - 3x^2 - 10x + 5 = 0首先，任意取一个接近实根的值 x0 作为第一近似根，例如我们可以取 x0 = 1。
然后，根据 x0 求出函数 f(x) 的值 f(x0)，即：f(x0) = x0^3 - 3x0^2 - 10x0 + 5 = -11接下来，我们需要求出函数 f(x) 在点 (x0, f(x0)) 处的切线方程。
切线方程的斜率等于函数在该点处的导数值，即：k = f"(x0) = 3x0^2 - 6x0 - 10切线方程为：y - f(x0) = k(x - x0)将点 (x0, f(x0)) 代入切线方程，得到：y + 11 = k(x - 1)我们需要找到切线与 x 轴的交点，即解方程 y = 0，得到第二近似根 x1：0 + 11 = k(x1 - 1)x1 = 6然后，我们再由 x1 求出函数 f(x) 的值 f(x1)，即：f(x1) = x1^3 - 3x1^2 - 10x1 + 5 = -9接下来，我们同样需要求出函数 f(x) 在点 (x1, f(x1)) 处的切线方程，斜率 k 为：k = f"(x1) = 3x1^2 - 6x1 - 10切线方程为：y - f(x1) = k(x - x1)将点 (x1, f(x1)) 代入切线方程，得到：y + 9 = k(x - 6)我们需要找到切线与 x 轴的交点，即解方程 y = 0，得到第三近似根 x2：0 + 9 = k(x2 - 6)x2 = 7通过迭代，我们得到方程的根为 x ≈ 7。
python牛顿法求方程的根
python牛顿法求方程的根牛顿法（Newton's Method）是一种在数学和计算机科学中常用的求解方程根的迭代方法，它最初由英国数学家牛顿发现，故得名牛顿法。
它是一种迭代式的方法，可以用来求解某函数的根。
牛顿法的思想是：假设现在有一个近似根x0，则可以求出函数f(x)在x0处的切线方程，由于切线方程与x轴的交点即为函数f(x)的根，故可以由切线方程求得本次迭代的根x0，重复上述过程，直到满足某个精度要求或者达到最大迭代次数，则x1即为函数f(x)的根。
在Python语言中，牛顿法的实现非常简单，只需要实现一个函数即可。
假设函数f(x)为：f(x) = x^3 - 9x + 3首先，需要实现一个计算函数f(x)的导数的函数：deff_prime(x): return 3*x**2 - 9接着，实现牛顿法的核心函数，即求解函数f(x)的根：def newton(f, f_prime, x0, max_iter=1000, eps=1e-8): xn = x0 for n in range(0, max_iter): fxn = f(xn) if abs(fxn) < eps: print('Found solution after',n,'iterations.') return xn Dfxn = f_prime(xn) if Dfxn == 0: print('Zero derivative. No solution found.') return None xn = xn - fxn/Dfxn print('Exceeded maximum iterations. No solution found.') return None最后，可以测试一下：x0 = 3 # 假设初值x0=3 root = newton(f, f_prime, x0) print('Root is:', root)输出结果为：Found solution after 4 iterations. Root is:1.从上面可以看出，牛顿法在Python中的实现非常简单，并且可以得到比较准确的结果。
求方程近似根的方法
函数方程的近似根一．实验课题用二分法和牛顿迭代法（包括弦截法）编程求方程sinx-x*x/2=0的实根，要求误差不超过0。
0001。
输出迭代次数，初始值和根的近似值。
二．解决方法(a).二分法求方程的根，首先应该知道根的大概位置或大致范围，就是要确定一个区间（a,b），使f(x)=0在这个区间内只有一个根，区间(a,b)称为有根区间。
有根区间(a,b)内的任何一个值都可以作为方程根的初始近似值。
确定有根区间的方法，主要根据连续函数的一个性质：设f(x)在[a,b]上连续，f(a)*f(b)<0，则方程杂（a,b）内至少有一个根。
用二分法求实根x的思路，就是反复将含有x的区间一分为二，通过判断函数杂各个小区间端点处的符号，逐步对折缩小有根区间，直到区间缩小到容许误差范围之内，然后取最终小区间的中点作为实根x的近似值。
(b).牛顿法牛顿法是求解方程的一种重要的迭代法，其实质是将原方程线性化后获得一个迭代函数的方法。
记[a,b]为方程f(x)=0的根的存在区间，取区间[a,b]内的一点，对f(x)用微分中值定理，近似的有f(x)=f(x(0))+f’(x(0))*(x-x(0))令f(x(0)+f’(x(0))*(x-x(0))=0，显然这是一个线性方程。
解此方程，并设f’(x)不等于零，得到f(x)=0的近似根x(0)-f(x(0))/f’(x(0))记为x(1)，即x(1)为方程的一个近似根x(1)=x(0)-f(x(0))/f’(x(0))为改善根近似程度，反复实施这一过程，得到牛顿迭代公式x(k+1)=x(k)-f(x(k))/f’(x(k))这相当于选择迭代函数F(x)=x-f(x)/f’(x)为避免复杂函数计算导f’(x)的困难，常用差分形式f(x(k))-f(x(k-1))/(x(k)-x(k-1)) 代替导数f’(x(k))，这样迭代公式的形式成为x(k+1)=x(k)-(x(k)-x(k-1))*f(x(k))/(f(x(k))-f(x(k-1))) 三．编程a)画图程序plot(x,zeros(size(x)))>> hold off>> grid>> x=0:0.001:2;>> plot(x,fun1(x),'r')>> hold on>> plot(x,zeros(size(x)))>> hold off>> gridfunction y1=fun1(x)y1=sin(x)-x.^2.*0.5;b)二分法程序function c=dicho(a,b)n=50;detra=0.0001;k=0;c=(a+b)*0.5;while abs(a-b)>detraif fun1(c)==0,break,endif fun1(a)*fun1(c)<0,b=c;else a=c;endk=k+1;if k>n,k,error('fail')else c=(a+b)*0.5;endend['Iterative time =',int2str(k)]c)牛顿法程序function [y,k]=newton(x0,n)y(1)=x0;detra=0.0001;k=1;t=x0-(sin(x0)-x0.^2*0.5)/(cos(x0)-x0);while abs(t-x0)>detrax0=t;k=k+1;y(k)=t;t=x0-(sin(x0)-x0.^2./2)./(cos(x0)-x0);if (k-1)>n error('n is full'), endendk=k-1;四．结果与结论1．二分法程序>> c=dicho(1,2)ans =Iterative time =14c =1.40442．牛顿法程序>> [y,k]=newton(1,50)y =1.0000 1.7428 1.4641 1.4070 1.4044k =4由此可见二分法案求根比较慢，牛顿法较快。
牛顿迭代法求方程在1.5附近的根
牛顿迭代法是一种近似求解方程根的方法，它通过不断迭代逼近解的过程来求解方程在某一点附近的根。
在本文中，我将共享关于牛顿迭代法求解方程在1.5附近的根的全面评估和深度探讨。
通过逐步分析牛顿迭代法的原理和具体应用，希望能够帮助您更深入地理解这一方法的优势和局限性。
一、牛顿迭代法的原理牛顿迭代法的基本原理是利用函数的导数来不断逼近方程的根。
具体来说，对于方程f(x)=0，从一个初始值x0开始，通过不断迭代x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}来逼近方程的根，直到满足所需精度要求为止。
这一迭代过程可以通过图形直观理解：在函数图像上，从初始点开始，沿着切线逐步逼近根的过程。
二、牛顿迭代法的应用牛顿迭代法在实际问题中有着广泛的应用，尤其是在科学计算和工程领域。
通过牛顿迭代法可以求解非线性方程、优化问题和曲线拟合等，在实际工程中有着重要的价值。
在求解方程根的问题中，牛顿迭代法通常能够以较快的速度逼近准确解，尤其是在靠近初始点附近的情况下，具有更佳的收敛速度。
三、牛顿迭代法的局限性然而，牛顿迭代法并不是没有局限性的。
在某些情况下，由于函数导数的特殊性或初始点选择不当，牛顿迭代法可能出现迭代不收敛或者收敛速度较慢的情况，这时需要对迭代方法进行调整或选择其他方法来求解方程的根。
在实际应用中，需要综合考虑问题的特点和要求，选择合适的数值方法来求解方程根。
四、牛顿迭代法求解方程在1.5附近的根接下来，我们将以求解方程f(x)=x^3-4x^2+1在x=1.5附近的根为例，来演示牛顿迭代法的具体应用过程。
我们需要确定方程f(x)=x^3-4x^2+1的导数f'(x)=3x^2-8x。
选择一个合适的初始点x0=1.5，代入牛顿迭代公式x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}中，进行迭代计算直到满足精度要求。
通过反复迭代计算，最终得到方程在1.5附近的根为x=2.532。
牛顿迭代法求根号115
牛顿迭代法求根号115
牛顿迭代法是一种数值计算方法，可以用来求解方程的根。
其中，根据牛顿迭代法的公式，可以通过不断迭代来逼近方程的根。
在这里，我们以求解根号115为例来介绍牛顿迭代法的应用。
根号115的解为10.7238左右。
具体操作如下：
1. 首先，我们需要选择一个初始值x0作为迭代的起点。
通常情况下，我们可以选择方程根的估计值作为初始值。
在这里，我们选取
x0=10。
2. 接下来，根据牛顿迭代法的公式，可以得到迭代公式如下：xn+1=(xn+(115/xn))/2。
3. 将x0=10代入迭代公式中，可以得到x1=5.75。
4. 将x1=
5.75代入迭代公式中，可以得到x2=3.5543。
5. 继续用x2代入迭代公式中，直至满足精度要求。
经过多次迭代，可以得到根号115的解为10.7238左右，与实际解非常接近。
需要注意的是，牛顿迭代法的收敛性和精度与初始值的选择有关。
如果选择的初始值不合适，可能会导致迭代无法收敛或收敛速度过慢。
因此，在应用牛顿迭代法时，需要根据具体情况选择合适的初始值，以保证迭代的有效性和精度。
- 1 -。
求根号近似值的方法
求根号近似值的方法求根号近似值的方法根号作为数学中常见的符号之一，常常出现在各种公式和问题中。
然而，由于根号是一种无理数，因此为了计算和处理方便往往需要对其进行近似。
本文将从几个方面介绍一些求根号近似值的方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过不断逼近而求出根号近似值的方法。
其基本思想是，在函数的某个初始点处，通过计算函数在该点的导数和函数值，确定该点处的切线，该切线与x轴的交点即为一个更接近根号的点。
然后再在该点处重复上述过程，直到达到一定的精度为止。
具体而言，设$f(x)=x^2-a$，则对于根号$a$，有$f(\sqrt{a})=0$。
根据导数的定义，可得$f'(x)=2x$。
因此，在第$i$次迭代中，将当前点的切线方程与x轴求交，能得到一个新的迭代点$x_{i+1}$：$$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}=x_i-\frac{x_i^2-a}{2x_i}=\frac{x_i}{2}+\frac{a}{2x_i}$$重复上述过程，直到满足精度要求为止。
二、二分法二分法是一种简单且有效的求根号近似值的方法。
其基本思想是，根据实数的有理数近似性，将根号所在的区间不断缩小，直到满足精度要求为止。
具体而言，设$a>0$，则$x=\sqrt{a}$满足不等式$0<x<max\{1,a\}$。
可以将该区间等分，设左右端点为$l_0=0$，$r_0=max\{1,a\}$，则取出中点$c_0=\frac{l_0+r_0}{2}$。
若$f(c_0)^2<a$，则根号在区间$[c_0,r_0]$中，否则根号在区间$[l_0,c_0]$中。
取出新的区间左右端点$l_1$和$r_1$，重复以上步骤，直到满足精度要求为止。
三、泰勒展开法泰勒展开法是一种将根号表达为一个无穷级数的方法，通过截断该级数求出一个近似值。
根据泰勒公式，对于函数$f(x)=\sqrt{x}$在点$x_0$处展开得：$$\sqrt{x}=\sqrt{x_0}+\frac{1}{2\sqrt{x_0}}(x-x_0)-\frac{1}{8x_0\sqrt{x_0}}(x-x_0)^2+\frac{1}{16x_0\sqrt{x_0}^3}(x-x_0)^3-...$$显然，只需要取到一定的项数就可以得到一个逼近根号的值。
牛顿迭代法求根例题
牛顿迭代法求根例题摘要：一、牛顿迭代法的概念与原理二、牛顿迭代法求根例题的解题步骤1.确定方程2.初始化近似根3.计算函数值4.确定迭代公式5.重复迭代6.收敛条件三、牛顿迭代法求根例题的解答与分析1.例题一2.例题二3.例题三四、总结与展望正文：一、牛顿迭代法的概念与原理牛顿迭代法，又称牛顿-拉夫逊法，是17世纪牛顿提出的一种近似求解实数域和复数域方程的方法。
它采用以下方法求根：先任意取一个接近实根的值x0作为第一近似根，然后由x0求出f（x0），使f（x）的切线通过（x0，f （x0））点，x轴与x1相交，作为第二近似根，再由x1求出f（x1），然后使f（x）的切线穿过（x1，f（x1））点，在x2处与x轴相交，作为新的近似根，如此重复迭代，直到满足收敛条件为止。
二、牛顿迭代法求根例题的解题步骤下面我们通过三个例题来讲解牛顿迭代法求根的步骤。
例题一：求方程f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 = 0的根。
1.确定方程：方程为f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 = 0。
2.初始化近似根：取x0 = 2作为第一近似根。
3.计算函数值：计算f(2) = 2^3 - 6*2^2 + 9*2 - 2 = 0。
4.确定迭代公式：根据牛顿迭代法，有x1 = x0 - f(x0)/f"(x0)，其中f"(x)表示f(x)的导数。
5.重复迭代：计算x1 = 2 - 0/3 = 2，x2 = 2 - 0/6 = 2，此时已经满足收敛条件。
6.收敛条件：牛顿迭代法的收敛条件是迭代公式前后两项的比值小于某个预先设定的阈值。
例题二：求方程f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 = 0的根。
1.确定方程：方程为f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 = 0。
2.初始化近似根：取x0 = 1作为第一近似根。
3.计算函数值：计算f(1) = 1^3 - 3*1^2 + 2 = 0。
牛顿迭代法求方程的根实例浅析
牛顿迭代法求方程的根实例浅析近些年来，科学技术和计算机的快速发展有力地推动着非线性问题的发展。
有些经典的方法经过严格的实践检验后，显露出若干缺陷。
例如，收敛阶高，但计算效率低下，或者收敛阶低，可计算效率高等，尤其是在大规模计算中，计算效率显得至关重要，为此人们通常根据具体的问题选择相应的迭代算法，以尽量提高计算效率。
在实践中，有许多问题往往归结为求一元非线性方程的实根、求函数的定积分、求线性方程组的解等。
而即使对于求一元方程实根这类问题，也只有在少数简单的情况下，才可以用传统的方法得到根的数学表达式。
多数情况下是得不到一般数学方法所需的函数表达式，或难以找到原函数。
线性方程组的求解更是让人望而生畏，往往因为计算机工作量太大而无法实施。
对这些问题，都可以利用数值方法来求解，在计算机中实现的数值方法也称为数值算法。
牛顿迭代法是数值分析中一个重要的计算方法和。
1.算法理论牛顿迭代法也称为牛顿切线法，是解非线性方程的一种方法。
牛顿迭代法是取x0之后，在这个基础上，找到比x0更接近的方程的根，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似根。
方法使用函数f（x）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f（x）= 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f（x）= 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
1.1 牛顿迭代法原理。
设已知方程f（x）=0的近似根x0，则在x0附近f（x）可用一阶泰勒多项式p（x）=f（x0）+f“（x0）（x-x0）近似代替。
因此，方程f（x）=0可近似地表示为p（x）=0。
用x1表示p（x）=0的根，它与f（x）=0的根差异不大。
设，由于满足解得重复这一过程，得到迭代这就是著名的牛顿迭代公式，它相应的不动点方程为1.2 牛顿迭代法的几何解析。
在x0处作曲线的切线，切线方程为。
令y=0，可得切线与x轴的交点坐标这就是牛顿法的迭代公式。
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第四题
题目：用Newton 法求方程在 74
28140x x -+= （0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代6次或误差小于0.00001）.
解：此题是用牛顿迭代法求解近似根的问题
1. Newton 迭代法的算法公式及应用条件：
设函数在有限区间[a,b]上二阶导数存在，且满足条件
ⅰ. ()()0f a f b <;
ⅱ. ()''f
x 在区间[a,b]上不变号； ⅲ. ()'0f x ≠;
ⅳ. ()()'f c f c b a
≤-，其中c 是a,b 中使()()''min(,)f a f b 达到的一个. 则对任意初始近似值0[,]x a b ∈，由Newton 迭代过程
()()()
1'k k k k k f x x x x f x +=Φ=-，k=0，1，2… 所生成的迭代序列{ k x }平方收敛于方程()0f x =在区间[a,b]上的唯一解а. 对本题：
)9.1()9.1(0
)8(4233642)(0
)16(71127)(0
)9.1(,0)1.0(,1428)(3225333647>⋅''<-=-=''<-=-='<>+-=f f x x x x x f x x x x x f f f x x x f 故以1.9为起点 ⎪⎩
⎪⎨⎧='-=+9.1)()(01x x f x f x x k k k k
2. 程序编写
#include<stdio.h>
#include<math.h>
void main()
{
double x0,x=1.9；
do
{
x0=x；
x=x0-(x0*x0*x0*x0*x0*x0*x0-28*x0*x0*x0*x0+14)/(7*x0*x0*x0*x0*x0*x0-28*4*x0*x0 *x0);
} while(fabs(x-x0)>1e-5)；
printf("x=%f",x)；
}
3.打印结果
4.讨论分析
A．要用误差范围来控制循环的次数，保证循环的次数和质量。
B．编写程序过程中要注意标点符号的使用，正确运用适当的标点符号。
C．Newton迭代法是局部收敛的，在使用时应先确定初始值。