第八讲牛顿迭代法
牛顿迭代法mathematica
牛顿迭代法mathematica牛顿迭代法是一种用于求解方程近似解的方法，它是由英国科学家艾萨克·牛顿在17世纪发现并提出的。
这种方法通过不断迭代逼近的方式，逐渐逼近方程的根。
牛顿迭代法的基本思想是：从一个初始值开始，通过使用切线来逼近方程的根。
具体而言，假设我们要求解方程f(x) = 0，首先选择一个初始值x0，然后通过计算f(x0)的值得到曲线上的一点P(x0, f(x0))。
接下来，我们通过计算曲线在点P处的切线与x轴的交点Q，将Q作为新的近似解x1。
重复这个过程，不断迭代计算得到更加精确的近似解，直到满足精度要求为止。
牛顿迭代法的具体计算步骤如下：1. 选择一个初始值x0；2. 计算f(x0)的值，得到曲线上的一点P(x0, f(x0))；3. 计算曲线在点P处的切线与x轴的交点Q，得到新的近似解x1；4. 重复步骤2和3，直到满足精度要求。
牛顿迭代法的收敛性与初始值的选择有关。
通常情况下，选择一个离方程根较近的初始值可以加快收敛速度。
然而，如果初始值选择不当，也可能导致迭代过程发散。
牛顿迭代法在实际应用中具有广泛的用途。
例如，在数值计算中，牛顿迭代法可以用于求解非线性方程、优化问题和插值问题。
在物理学和工程学中，牛顿迭代法可以用于求解微分方程的数值解、估计系统参数等。
牛顿迭代法的优点之一是它的收敛速度很快。
在某些情况下，它可以在很少的迭代次数内得到非常精确的解。
然而，牛顿迭代法也存在一些缺点。
首先，它对初始值的选择非常敏感，选择不当可能导致迭代过程发散。
其次，牛顿迭代法只能求解方程的根，而不能确定方程的其他性质。
使用Mathematica软件可以方便地实现牛顿迭代法。
Mathematica 提供了一系列函数和工具，可以帮助我们进行数值计算和函数绘制。
通过使用Mathematica，我们可以快速地编写并执行牛顿迭代法的代码，从而求解方程的近似解。
牛顿迭代法是一种用于求解方程近似解的方法。
牛顿迭代法原理
牛顿迭代法原理牛顿迭代法是一种数值计算方法，用于寻找方程的根。
它是由英国科学家牛顿提出的，因此得名。
牛顿迭代法的原理非常简单，但却在实际应用中具有广泛的意义和价值。
首先，让我们来了解一下牛顿迭代法的基本原理。
假设我们要求解一个方程f(x)=0的根，我们可以先随机选择一个初始值x0，然后利用切线的斜率来不断逼近方程的根。
具体来说，我们可以利用方程f(x)的导数f'(x)来得到切线的斜率，然后通过迭代的方式不断更新x的取值，直到满足精度要求为止。
具体的迭代公式如下： \[x_{n+1} = x_n \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]其中，\(x_n\)表示第n次迭代的值，\(x_{n+1}\)表示第n+1次迭代的值，f(x)表示方程，f'(x)表示方程的导数。
牛顿迭代法的原理就是利用切线不断逼近方程的根，通过迭代更新x的取值，最终找到方程的根。
这种方法的优点在于收敛速度快，但也存在一些局限性，比如对初始值的选择比较敏感，可能会导致迭代过程发散。
接下来，让我们通过一个具体的例子来说明牛顿迭代法的原理。
假设我们要求解方程\(x^2-2=0\)的根，我们可以先对方程进行求导，得到导数为2x。
然后，我们随机选择一个初始值x0=1，带入迭代公式进行计算，直到满足精度要求为止。
具体的迭代过程如下：\[x_1 = x_0 \frac{x_0^2-2}{2x_0} = 1 \frac{1^2-2}{21} = 1.5\]\[x_2 = x_1 \frac{x_1^2-2}{2x_1} = 1.5 \frac{1.5^2-2}{21.5} = 1.4167\]\[x_3 = x_2 \frac{x_2^2-2}{2x_2} = 1.4167\frac{1.4167^2-2}{21.4167} = 1.4142\]通过不断迭代，我们可以得到方程\(x^2-2=0\)的根为 1.4142。
牛顿迭代法(Newton‘s Method)
牛顿迭代法（Newton’s Method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson Method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
与一阶方法相比，二阶方法使用二阶导数改进了优化，其中最广泛使用的二阶方法是牛顿法。
考虑无约束最优化问题：其中 \theta^{\ast} 为目标函数的极小点，假设 f\left( \theta \right) 具有二阶连续偏导数，若第 k 次迭代值为 \theta^{k} ，则可将f\left( \theta \right)在\theta^{k}近进行二阶泰勒展开：这里，g_{k}=x^{\left( \theta^{k} \right)}=∇f\left( \theta^{k} \right)是f\left( \theta \right) 的梯度向量在点 \theta^{k}的值， H\left( \theta^{k} \right) 是 f\left( \theta \right) 的Hessian矩阵：在点 \theta^{\left( k \right)}的值。
函数 f\left( \theta \right) 有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当H\left( \theta\right) 是正定矩阵时，函数 f\left( \theta \right) 的极值为极小值。
牛顿法利用极小点的必要条件：这就是牛顿迭代法。
迭代过程可参考下图：在深度学习中，目标函数的表面通常非凸（有很多特征），如鞍点。
因此使用牛顿法是有问题的。
如果Hessian矩阵的特征值并不都是正的，例如，靠近鞍点处，牛顿法实际上会导致更新朝错误的方向移动。
这种情况可以通过正则化Hessian矩阵来避免。
常用的正则化策略包括在Hessian矩阵对角线上增加常数α 。
正则化更新变为：这个正则化策略用于牛顿法的近似，例如Levenberg-Marquardt算，只要Hessian矩阵的负特征值仍然相对接近零，效果就会很好。
牛顿迭代法原理
牛顿迭代法原理牛顿迭代法是一种用来求解方程近似解的方法，它是由伟大的数学家牛顿提出的。
牛顿迭代法的原理非常简单，但却非常有效，被广泛应用于科学计算、工程技术和金融领域。
本文将详细介绍牛顿迭代法的原理及其应用。
首先，我们来看一下牛顿迭代法的基本思想。
对于一个函数f(x)，我们希望找到它的根，即找到使得f(x)=0的x值。
假设我们已经有一个近似解x0，我们希望通过一些计算，得到一个更接近真实根的近似解x1。
那么，牛顿迭代法的思想就是利用函数f(x)在点x0处的切线来逼近真实根的过程。
具体来说，我们可以通过切线与x轴的交点来得到新的近似解x1，然后以x1为起点，再次利用函数f(x)在x1处的切线来得到更接近真实根的近似解x2，如此循环下去，直到满足我们的精度要求为止。
接下来，我们来具体推导一下牛顿迭代法的数学原理。
假设我们要求解方程f(x)=0，我们已经有一个近似解x0，那么我们可以利用函数f(x)在点x0处的切线来得到新的近似解x1。
根据切线的定义，我们可以得到切线方程为：f'(x0)(x-x0) + f(x0) = 0。
其中f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。
由于我们希望找到使得f(x)=0的x 值，因此我们可以将上述方程改写为：x = x0 f(x0)/f'(x0)。
这就是牛顿迭代法的迭代公式。
通过不断地使用这个迭代公式，我们可以逐步逼近真实根，直到满足我们的精度要求为止。
牛顿迭代法的收敛性是其最重要的性质之一。
在一定的条件下，牛顿迭代法可以保证收敛到方程的根。
具体来说，如果我们选择一个足够接近真实根的初始值x0，并且函数f(x)在x0附近具有连续的一阶导数，那么牛顿迭代法就可以保证收敛到方程的根。
这使得牛顿迭代法成为了一种非常有效的求解方程近似解的方法。
除了求解方程的近似解外，牛顿迭代法还被广泛应用于优化问题和数值微分方程的求解中。
在优化问题中，我们可以利用牛顿迭代法来求解函数的极值点，从而得到最优解。
牛顿迭代法及其应用
牛顿迭代法及其应用牛顿迭代法是求解非线性方程的一种常用方法，其基本思想是利用泰勒公式，将原方程式化为近似的一次方程，不断迭代，直到获得满足要求的精度值为止。
在数学、物理、化学等领域，牛顿迭代法被广泛应用。
1. 原理与步骤给定一个函数 f(x)，我们希望求出它的一个根，即使得 f(x) = 0 的 x 的值。
考虑到非线性函数的复杂性，我们采用牛顿迭代法来解决。
假设已经猜测出一个近似值 x0，通过泰勒公式将 f(x) 在 x0 处展开：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0)为了简化计算，我们令上式等于0，即：f(x0) + f'(x0)(x - x0) = 0将 x 化简可得：x = x0 - f(x0) / f'(x0)将上式作为下一次迭代的初始值，即可不断迭代求解，直到满足要求的精度值。
2. 牛顿迭代法的应用2.1 偏微分方程偏微分方程是现代科学和工程所涉及的许多领域的基础，而牛顿迭代法可用于求解非线性偏微分方程。
由于牛顿迭代法依赖于初始值的选择，因此需要根据实际问题来选择初始值，从而得到精确的解。
2.2 统计学在统计学中，牛顿迭代法被广泛应用于最大似然估计。
最大似然估计是在给定数据集的前提下，寻找一种参数估计方法，使得似然函数（即给定数据集下模型参数的条件下，该数据集出现的概率）最大。
通过牛顿迭代法，可以快速求解似然函数的最大值，从而获得最优的参数估计结果。
2.3 非线性优化在优化问题中，如果目标函数为非线性函数，则无法通过简单的线性规划来解决，需要借助于牛顿迭代法。
通过迭代求解逼近目标函数的零点，可以实现非线性规划问题的求解。
3. 注意事项在使用牛顿迭代法时，需要注意以下几点：3.1 初始值的选择初始值的选择会直接影响到迭代的次数和迭代结果的精度。
一般来说，我们选择敏感度较高的点作为初始值，例如驻点或函数导数为零的点。
3.2 解存在性和唯一性使用牛顿迭代法求解方程时，需要保证解的存在性和唯一性。
牛顿迭代法的基本原理知识点
牛顿迭代法的基本原理知识点牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值计算方法，通过不断逼近方程的根，以获得方程的解。
它基于牛顿法则和泰勒级数展开，被广泛应用于科学和工程领域。
本文将介绍牛顿迭代法的基本原理和相关知识点。
一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法的基本原理可以总结为以下几个步骤：1. 假设要求解的方程为 f(x) = 0，给定一个初始近似解 x0。
2. 利用泰勒级数展开，将方程 f(x) = 0 在 x0 处进行二阶近似，得到近似方程：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0) + 1/2 f''(x0)(x - x0)^23. 忽略近似方程中的高阶无穷小，并令f(x) ≈ 0，得到近似解 x1：0 ≈ f(x0) + f'(x0)(x1 - x0) + 1/2 f''(x0)(x1 - x0)^2求解上述方程，得到近似解 x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。
4. 通过反复迭代的方式，不断更新近似解，直到满足精度要求或收敛于方程的解。
二、牛顿迭代法的收敛性与收敛速度牛顿迭代法的收敛性与收敛速度与初始近似解 x0 的选择和方程本身的性质有关。
1. 收敛性：对于某些方程，牛顿迭代法可能无法收敛或者收敛到错误的解。
当方程的导数为零或者初始近似解离根太远时，迭代可能会发散。
因此，在应用牛顿迭代法时，需要对方程和初始近似解进行合理的选择和判断。
2. 收敛速度：牛顿迭代法的收敛速度通常较快，二阶收敛的特点使其在数值计算中得到广泛应用。
在满足收敛条件的情况下，经过每一次迭代，近似解的有效数字将至少加倍，迭代次数的增加会大幅提高精度。
三、牛顿迭代法的优点与局限性1. 优点：1) 收敛速度快：牛顿迭代法的二阶收敛特性决定了它在求解方程时的高效性和快速性。
2) 广泛适用：牛顿迭代法可以用于求解非线性方程、方程组和最优化问题等，具有广泛的应用领域。
代数方程的牛顿迭代法
7-18-19-代数方程的牛顿迭代法牛顿迭代法（Newton's method）是一种用于数值求解代数方程的迭代方法，通常用于找到方程的根。
它的基本思想是通过不断逼近方程的根，直到满足某个精度要求。
下面是使用牛顿迭代法求解代数方程的一般步骤：
假设要求解方程 f(x) = 0。
1. 选择一个初始猜测值 x₀，通常选择接近根的值。
2. 计算 f(x₀) 和 f'(x₀)，其中 f'(x₀) 是 f(x) 的导数。
3. 计算下一个近似根的值：x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀)。
4. 重复步骤 2 和 3，直到满足停止条件，如达到指定精度或经过一定数量的迭代。
数学表示为： xᵢ₊₁ = xᵢ - f(xᵢ) / f'(xᵢ)
这个迭代过程将不断逼近方程的根，直到满足精度要求。
下面是一个示例，假设要解方程f(x) = x² - 4 = 0，其中我们知道根是 x = 2。
我们使用牛顿迭代法来逼近这个根：
1. 初始猜测值 x₀ = 3。
2. 计算 f(x₀) = 3² - 4 = 5 和 f'(x₀) = 2 * 3 = 6。
3. 计算下一个近似根：x₁ = 3 - 5 / 6 = 2.1667。
4. 重复步骤 2 和 3，直到达到所需的精度或迭代次数。
不断迭代，最终我们会得到x ≈ 2，它是方程的根。
请注意，牛顿迭代法的有效性和收敛性取决于初始猜测值的选择，以及方程 f(x) 和它的导数 f'(x) 的性质。
有时可能需要多次尝试不同的初始猜测值来确保收敛到正确的根。
牛顿迭代法的定义和基本思想
牛顿迭代法的定义和基本思想牛顿迭代法是一种求解非线性方程的有效方法。
与一般的数值方法不同，牛顿迭代法是一种局部迭代法，其基本思想是通过对函数的一阶导数和二阶导数进行逐步逼近，求解方程的近似解。
在数学、物理、工程等领域中有着广泛应用。
本文将从牛顿迭代法的定义、基本思想和优缺点三方面进行介绍。
一、定义牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫逊迭代法，是一种通过逼近函数在某点的切线来求解方程近似解的迭代方法。
其迭代格式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$是原方程，$f'(x)$是$f(x)$的一阶导数，$x_n$是第$n$次迭代得到的近似解，$x_{n+1}$是下一次迭代得到的近似解。
二、基本思想牛顿迭代法的基本思想是通过函数在某点的切线来逼近函数的根。
具体地，利用当前点的切线与$x$轴的交点作为下一个点的近似解，逐步逼近函数的根。
在每一次迭代中，我们都需要计算函数在当前点的一阶导数和二阶导数，来得到切线方程和切线与$x$轴的交点。
牛顿迭代法的基本思想可以通过几何直观来理解。
假设我们要求一个函数$f(x)$在$x_0$的根，我们先假设一个近似解$x_1$，然后求出$f(x_1)$和$f'(x_1)$，接着我们计算出函数$f(x)$在$x_1$处的切线，将切线与$x$轴的交点作为下一个近似解$x_2$。
这样，我们就可以得到函数在$x_2$处的一阶近似，继续重复上述过程，逐步逼近函数的根。
三、优缺点牛顿迭代法作为一种高效的求解非线性方程的方法，有着其优缺点。
优点：首先，牛顿迭代法的收敛速度很快，在很少的迭代次数下就能得到精确的解。
其次，牛顿迭代法可以通过改变初值来得到不同的解，因此可以同时求解多个解。
最后，牛顿迭代法还可以求解函数的极值问题。
缺点：虽然牛顿迭代法收敛速度很快，但其收敛性不如其他数值方法稳定。
特别是当函数的导数在某些点发生剧烈变化时，容易出现迭代失败的情况。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
取x0=2， x1=4经计算可得 x x3 3.146193221.
弦截法的计算框图
开始
输入x 0 , x1 ,
x 2 x1
f ( x1 ) ( x1 x0 ) f ( x1 ) f ( x0 )
| x 2 x1 | F x 0 x1 x1 x 2
1 x
例 用牛顿迭代法计算 3 .
答案:
令 x 3 , 则x2-3=0, 求 3 等价于求方程 f ( x) x 2 3 0 的正实根. 因为 f´(x)=2x , 由牛顿迭代公式得
2 xk 3 1 3 xk 1 xk ( xk ) 2 xk 2 xk
k 0,1,2,
二、弦截法(割线法)
研究目的：在牛顿法基础上，构造既有 较高的收敛速度，又不须导数的迭代公式.
f ( x k ) f ( x k 1 ) 代替导数 f ( xk ) 思想： 用差商 x k x k 1
弦截迭代公式
f ( xk ) xk 1 xk ( xk xk 1 ), f ( xk ) f ( xk 1 ) k 1, 2,计算方法Leabharlann 第8讲 牛顿迭代法与弦截法
本讲主要问题
一、牛顿迭代法 二、弦截法
一、牛顿迭代法(切线法)
1. 牛顿法的基本思想
把非线性方程线性化，用线性方程的解逐步逼 y 近非线性方程的解。 y f x 过曲线上的点pk(xk , f(xk))作切线， 取切线与轴的交点为 xk+1. pk x k , f ( x k ) 切线方程 y=f(xk)+f(xk)(x – xk) x* 点(xk+1, 0)满足该方程, 即 0= f(xk)+f(xk)(xk+1 – xk) 由此得 f(xk)(xk+1 – xk) = – f(xk) 若 f(xk )≠0, 则得
一、牛顿迭代法(切线法)
3. 牛顿迭代法的计算步骤
(1)给出x0 , ε；
f ( x0 ) x1 x0 (2)计算 f ( x0 )
(3)若 x1 x0 , 则转(4)；否则 x0 x1 ，转(2);
(4)输出x1 , 结束.
例 用牛顿迭代法求方程 xex-1=0 在x=0.5
Newton迭代公式
0 xk 1 xk
x
xk 1
f ( xk ) xk , k 0,1, 2, f ( xk )
一、牛顿迭代法(切线法)
2. 牛顿迭代法的收敛性 ——局部收敛
定理 如果在有根区间[a,b]上 f´(x)≠0，f″(x)连续且不变
号, 在 [a, b]上取初始近似根 x0 , 使得 f ( x0 ) f ( x) 0 则牛顿迭代法收敛.
T
出出 x 2 输
结束
取初值 x0=1.5, 迭代5次可得 3≈1.732050808
问题 如何用牛顿法计算任意正数的算术平方根？ 是否还能用牛顿法计算一个正数的立方根？ 练习 用牛顿迭代法计算 115 . 答案: 10.723805
牛顿迭代法的优缺点: 优点: 公式简单, 使用方便, 易于编程, 收敛速
度快,易于求解非线性方程根的有效方法. 缺点: 计算量大, 每次迭代都要计算函数值与导数值.
弦截法的特点: 计算 xk+1 时要用到前两步的信息xk, xk-1, 即这种迭代法为 两步法. 使用这种方法必须提供两个初始值x0, x1.
几何意义
例 用弦截迭代法求上一节的方程 xex-1=0 在x=0.5附近的根。
答案: 方程化为 x-e –x=0, 令 f ( x) x e x
弦截迭代公式为 xk 1 k 0 1 2 3
xk e xk xk ( xk xk 1 ) xk xk 1 ( xk xk 1 ) (e e )
xk 0.5 0.6 0.567 54 0.567 15
x* x3 0.567
练习 用弦截法求方程 x-lnx=2 在[2,4]内的一个根. 答案:
x x3 0.567
练习 用牛顿迭代法求方程 x-lnx=2 在[2,4]内的一个根.
答案:
f ( x ) x ln x 2
f ( x ) 1
相应的牛顿迭代公式为 xk 1 xk
取x0=3，经计算可得 x x3 3.146193221.
xk ln xk 2 xk (1 ln xk ) 1 xk 1 1 xk
附近的根(取5位小数计算), 精度要求为ε=10–3. 答案: f ( x) xe x 1
f ( x) e x xe x
相应的牛顿迭代公式为 x k e xk 1 x k e xk xk 1 xk xk xk xk 1 xk e xk e 取x0=0.5，经计算可得