第六章简单的超静定问题
第6章简单的超静定问题
材料力学 任课教师：金晓勤
21
φ
代入变形几何条件得：
φ1 φ2
T1l T1l Tl GI P1 GI P 2 GI P 2
I P1T 32 T1 T2 I P1 I P 2 D 4 d 4 D 4 d 4 1 1 2 2 32 32 1004 904 2 1.165kNm 4 4 4 4 100 90 90 80
代入数据，得
FW 0.717 F Fst 0.283F
根据角钢许用应力，确定F
F
st
0.283F st Ast
F 698kN
根据木柱许用应力，确定F
0.717 F W W AW
许可载荷
F 1046kN
250 250
F 698kN
材料力学
将平衡方程与补充方程联立，求解，可得：
RA RB P RAl1 RB l2 E A E A 0 2 2 1 1
P RA E2 A2l1 1 E1 A1l2
P RB E1 A1l2 1 E2 A2l1
材料力学 任课教师：金晓勤
9
例题 木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许 用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。 F 解： 平衡方程: F FW Fst 变形协调关系: l st l w （1）
b
⑶物理方程
FN 1l1 FN 1l l1 E1 A1 E1 A1 cos FN 2l2 FN 2l l2 E2 A2 E2 A2
材料力学第六章简单的超静定问题
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
例2
图所示结构，刚性横梁AB由斜杆CD吊在水 平位置上，斜杆CD的抗拉刚度为EA，B点 处受荷载F作用，试求B点的位移δB。
§6-1 超静定问题
静定结构：
约束反力 可由静力平 衡方程全部 求得
超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高 约束反力不能全 部由平衡方程求得 超静定次数： 约束反力多于 独立平衡方程的数
独立平衡方程数： 平面任意力系： 3个平衡方程 平面共点力系：
2个平衡方程
平面平行力系：2个平衡方程 共线力系：1个平衡方程
3
B
联立①②③，解得：
D
1 C 2 30 30 3
A
y
A
3FN1 2FN 2 3FN 3
FN1 FN 3 2F
F
FN 1 FN 2 FN 3
y
A
x
FN 3 2FN1 2FN 2
2 FN1 2 F 25.4kN 3 1 127MPa（拉）
FN 1 FN 2 FN 3
y
A
列出平衡方程： FN 1 cos 30 0 FN 2 FN 3 cos 30 0 Fx 0
Fy 0
FN1 sin 30 0 FN 3 sin 30 0 F
FN1 FN 3 2F
x 即：
3FN1 2FN 2 3FN 3
1 2
EA
2000
EA N1 =
6000
7第六章简单的超静定问题
E3 A3
FN 1
FN 2
2COS
F E3 A3
EACOS
2
解超静定问题的步骤
（1）列 静力平衡方程 确定超静定次数； （2）根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的
个数与超静定次数相等； （3）将 物理方程 （胡克定律）代入变形几何方程得补充方程； （4）联立补充方程与静力平衡方程求解。
第六章
简单的超静定问题
• 超静定问题及其解法 • 拉压超静定问题 • 扭转超静定问题 • 简单超静定梁
§6—1 超静定问题及其解法
1，静定问题 约束反力或杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这种情 况称作静定问题。
2，超静定问题
只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超 静定问题。
F
A
C
2
3
1
A
B
C
P 40
80
FN1
FN2
80
FN3
P
几何方程
2 l2 l1 l3
物理方程
l1
F N1l1 EA
l 2
F N2l2 EA
l3
F N3l3 EA
2
3
1
A
B
C
l1
P l2
l3
4080807575补充方程
2 F N 2 l2 F N1l1 F N 3 l3 EA EA EA
2
3
1
A
B
2
A
F
B
D
C
3 1
2
A
FN1
FN3
FN2
αα
A
F
F
解：列静力平衡方程
F N1 F N2
第六章简单的超静定问题
第六章简单的超静定问题知识要点1．超静定问题的概念（1）静定问题结构或结构的约束反力或内力均能通过静力学平衡方程求解的问题。
（2）超静定问题结构或构件的约束反力或内力不能仅凭静力学平衡方程全部求解的问题。
（3）超静定次数未知力(约束反力或内力)数超过独立的静力平衡方程书的数目。
（4）多余约束力超静定问题中，多余维持静力平衡所必需的约束（支座或杆件）。
（5）多余未知力与多余（支座或杆件）相应的支座反力或内力。
（6）基本静定系在求解静定结构时，解除多余约束，并代之以多余未知力，从而得到一个作用有荷载和多余未知力的静定结构，称之为原超静定结构的基本体静定系。
2．静不定问题的解题步骤（1） 静力平衡条件——利用静力学平衡条件，列出平衡方程。
（2） 变形相容条件——根据结构或杆间变形后应保持连续的变形相容条件，作出位移图，由位移图的几何关系列出变形间的关系方程。
（3） 物理关系——应用胡克定律列出力与变形间的关系方程。
（4） 将物理关系代入变形相容条件，得补充方程 。
补充方程和静力平衡方程，二者方程数之和正好等于未知数的个数，联立平衡方程和补充方程，求解全部未知数。
习题详解6-1 试作题6-1图（a ）所示等直杆的轴力图。
解 解除题6-1图（a ）所示等直杆的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-1图（b ）所示。
由静力学平衡条件,03,0=-+=∑F F F FB A Y和变形协调条件0=∆+∆+∆DB CD AC 并将()EAa F EA a F F EA a F B DB A CD A AC -=∆-=∆=∆,22,代入式②，可得 联立式①，③，解得45,47F F F F B A == 轴力如图6-1图（c ）所示6-2 题6-2图（a ）所示支架承受荷载F=10 kN,1,2,3各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为232221200,150,100mm A mm A mm A ===。
试求各杆的轴力。
简单的超静力问题
简单的超静定问题
20
例题 6-2
2. 取1杆和2杆为AB杆的多余约束，FN1和FN2 为多余未知力。得基本静定系如图c。
F
3
AC
B
(c)
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
21
例题 6-2
3. 由变形图（图d）可得变形相容条件为
E
(d) C Dl1 FN1
Δl1 2Δl3 Δl2 2Δl1
F
A
F
FN3
2E F 1A 1F cNo 2 3 l 1sF N E l1 3 3c A 3o s
于是可求出多余未知力FN3 。
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
例2
y
q
A
C
BxA
l/2
l/2
l
8
B
超静定梁
q
A
l/2
FC
l
基本静定系统
B 补充方程为 5ql4 FCl3 0 38E4 I 48EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
1
第 6 章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
2
§6-1 超静定问题及其解法
Ⅰ. 关于超静定问题的概述
(b)
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
mm×30 mm的矩形，钢的弹性
模量E=210 GPa，铜的弹性模
量E3=100 GPa。
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
29
例题 6-3
解：1. 装配后有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3，如 图d所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，
简单的超静定问题 超静定问题及其解法
( wB ) FBy
C C F F
8FBy a 3 3EI
(b) (b)
B B
所以
3 14 Fa 3 8FBy a 0 3EI 3EI
MA
MA MA
A A
B B (c) (c) B B B (d) (d) FBy FBy
FA y
A A A
C C
7 FBy F 4
4）由整体平衡条件求其他约束反力
第六章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法
§6-2 拉压超静定问题
§6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
§6-1 超静定问题及其解法
超静定问题与超静定结构：未知力个数多于独立 的平衡方程数。 超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之差。 变形几何相容方程：有多余约束的存在，杆件（或 结构）的变形受到多于静定结构的附加限制。根据 变形的几何相容条件，建立附加的方程。
7-6
目录
采用超静定结构
MA MA FA y FA y
A A 2a 2a (a) (a) A A
B B a a
F F
C C
例 求梁的支反力，梁的抗弯 刚度为EI。 解：
1）判定超静定次数
(b) (b)
B B F F FBy FBy B B B
C C
2）解除多余约束，建立相当系统 3）进行变形比较，列出变形协调 条件
FN1 FN 2 33.3kN
FN 2 2 33.3MPa A2
FN 1 1 66.7MPa A1
例：设温度变化为t，1、2杆的膨胀系数为1， 3杆
的膨胀系数为3，由温差引起的变形为l= •t •l,
求各杆温度应力。
第六章简单超静定问题
yc = 0
去掉多余约束而成为形式上 去掉多余约束而成为形式上 基本静定基。 的静定结构 — 基本静定基。
q A
l 2
q
C
l 2
B
AA
L/2
C
Rc
B
L/2
静力、几何、物理条件) 解超静定的步骤 —— (静力、几何、物理条件) 用多余约束反力代替多余约束（ 静定基，原则：便于计算） 1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算） 2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程 3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力 分析—— ω
A
l 2
1)研究对象，AB梁 研究对象 B 解：1)研究对象，AB梁， 受力分析： 受力分析：R A , RB , RC , ql
∑ Y = 0, R A + RB + RC − ql = 0
∑ M A = 0, RB l + 0.5RC l − 0.5ql 2 = 0
q A
RC
B
２)选用静定基，去Ｃ支座 选用静定基， 静定基 ３)变形协调方程
C 2 δ
1
3 α
α
A
由温度引起杆变形而产生的应力（ 1）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。 温度应力 由温度引起杆变形而产生的应力 热应力）。 温度引起的变形量 —
∆L = α∆tL
1、静定问题无温度应力。 静定问题无温度应力。 超静定问题存在温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。
F
B 1
D 3 α α A 2
C
超静定结构的特征：内力按照刚度分配
∆l3
∆l2
A2
∆l1
A3
第六章简单的超静定问题
例1 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和 木材的许用应力分别为[]1=160M Fa和[]2=12MFa，弹性模
量分别为E1=200GFa 和 E2 =10GFa；求许可载荷P。 P 解：平衡方程: y Y 4F F P 0
N1
N2
4FN1
FN2
几何方程
2 FN1 FN3
X F
Y F
FN2
N1
N1
sin FN 2 sin 0
A P
cos FN 2 cos FN 3 P 0
A P
B 3
D
1
A
2
C 几何方程——变形协调方程： L1 L3 cos
物理方程——弹性定律：
L1 FN 1 L1 E1 A1 L3 FN 3 L3 E3 A3
(a)
Tb Ta
(b)
解: 1. 铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩 ── 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程
Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。
2. 位移相容条件为
Ba Bb
Tb Ta
(b)
3. 利用物理关系得补充方程为
Ga I pa Tal Tbl ，即 Ta Tb Ga I pa Gb I pb Gb I pb
P1 A11 / 0.07 308.6 160/ 0.07 705.4kN
FN 2 0.72P A2 2
P2 A2 2 / 0.72 2502 12 / 0.72 1042kN
求结构的许可载荷： 方法2:
1 L1 / E1 0.8mm 2 L 2 / E2 1.2mm
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第六章简单的超静定问题知识要点1．超静定问题的概念（1）静定问题结构或结构的约束反力或内力均能通过静力学平衡方程求解的问题。
（2）超静定问题结构或构件的约束反力或内力不能仅凭静力学平衡方程全部求解的问题。
（3）超静定次数未知力(约束反力或内力)数超过独立的静力平衡方程书的数目。
（4）多余约束力超静定问题中，多余维持静力平衡所必需的约束（支座或杆件）。
（5）多余未知力与多余（支座或杆件）相应的支座反力或内力。
（6）基本静定系在求解静定结构时，解除多余约束，并代之以多余未知力，从而得到一个作用有荷载和多余未知力的静定结构，称之为原超静定结构的基本体静定系。
2．静不定问题的解题步骤（1） 静力平衡条件——利用静力学平衡条件，列出平衡方程。
（2） 变形相容条件——根据结构或杆间变形后应保持连续的变形相容条件，作出位移图，由位移图的几何关系列出变形间的关系方程。
（3） 物理关系——应用胡克定律列出力与变形间的关系方程。
（4） 将物理关系代入变形相容条件，得补充方程 。
补充方程和静力平衡方程，二者方程数之和正好等于未知数的个数，联立平衡方程和补充方程，求解全部未知数。
习题详解6-1 试作题6-1图（a ）所示等直杆的轴力图。
解 解除题6-1图（a ）所示等直杆的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-1图（b ）所示。
由静力学平衡条件,03,0=-+=∑F F F FB A Y和变形协调条件0=∆+∆+∆DB CD AC 并将()EAa F EA a F F EA a F B DB A CD A AC -=∆-=∆=∆,22,代入式②，可得 联立式①，③，解得45,47F F F F B A == 轴力如图6-1图（c ）所示6-2 题6-2图（a ）所示支架承受荷载F=10 kN,1,2,3各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为232221200,150,100mm A mm A mm A ===。
试求各杆的轴力。
解 这是一个超静定问题，铰链A 的受力图，如题6-2图（c ）所示。
利用静力学平衡条件列平衡方程0301230cos 330cos ,0N N N x F F F F =+=∑F F F F N N y =+=∑030130sin 30sin ,0 变形的几何关系如题6-2图（b ）所示,变形协调条件为03020130sin 30tan 230sin l l l ∆+∆=∆ 应用胡克定律，三杆的变形为1l ∆=33332222111,,EA l F l EA l F l EA l F N N N =∆=∆ 代入③，得补充方程033302222011130sin 30tan 230sin EA l F EA l F l EA l F N N N +=∆= 联立式①，②，④，解得各杆的轴力分别为kN F kN F kN F N N N 55.11,68.2,45.8321===6-3 一刚性板有四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如 题6-3图（a ）所示。
如果荷载F 作用在A 点，试求这四根支柱各受力多少。
解 这是一个超静定问题，对题6-3图（b ）所示刚性板的受力图列静力学平衡方程F F F F F N N N N =+++432142342122322N N N N N N F F e a F e F F e a F =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 由6-3图（b ）所示变形几何关系，并注意到42l l ∆=∆，得1l ∆+232l l ∆=∆应用胡克定律，得四根柱的变形1l ∆=EA lF l EA lF l EA lF l EA lF N N N N 4433221,,,=∆=∆=∆代入④，得补充方程2312N N N F F F =+联立式①，②，③，⑤，解得各柱的内力分别为4,241,4,2414321F F F a e F F F F a e F N N N N =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 6-4 刚性杆AB 的左端铰支，两根长度相等，横截面面积相同的钢杆CD 和EF 使该刚性杆处于水平位置，如题6-4图（a ）所示。
如已知F=50kN,两根钢杆的横截面面积A=10002mm ，试求两杆的轴力和应力。
解 这是一个超静定问题，解除题6-4图（a ）所示结构 D ，F 处的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-4图（b ）。
其静力学平衡方程为aF a F a F MN N A 32,021=+=∑ 变形协调条件为1l ∆=22l ∆应用胡克定律，可得两杆的变形1l ∆=EA lF l EA lF N N 221,=∆代入式②，得补充方程21N N F F =联立式①，③，解得两杆的内力分别为kN F kN F N N 60,3021==两杆的应力分别为Pa A F Pa A F N N 6322631110100010601010001030--⨯⨯==⨯⨯==σσ6-5题6-5图（a ）所示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆B D 和CE 支承。
已知钢杆B D 和CE 的横截面面积2122400200mm A mm A ==和，钢的许用应力[]σ=170MPa ，试求该钢杆的强度。
解 这是一个超静定问题，解除梁AB 在C ，B 处的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-5图（b ）所示。
其静力学平衡条件为2213302131,0⨯⨯=⨯+⨯=∑N N A F F M变形协调条件为3121=∆∆l l 应用胡克定律，得,111EA l F l N =∆ l EA F l N 8.1222⨯=∆ 代入式②，得补充方程212.1N N F F =联立式①，③，解得各杆的内力分别为N F N 5.381=，N F N 322=各杆的应力分别为[][]MPa MPa Pa A F MPa MPa Pa A F N N 1701601020010321709610400105.3863226311==⨯⨯====⨯⨯==--σσσσ故钢杆安全6-6 试求题6-6图（a ）所示结构的许可荷载[]F 。
已知杆AD,CE,BF 的横截面面积均为A ，杆材料的许用应力为[]σ，梁AB 可视为刚体。
解 这是一个超静定问题，受力图如题6-6图（b ）所示。
其静力学平衡条件为,0=∑y F F F F F N N N =++321 变形协调条件为1l ∆=2l ∆=3l ∆应用胡克定律，可得各杆的伸长,111EA l F l N =∆ EA l F l EA l F l N N 333222,=∆=∆ 代入式③，得补充方程3212N N N F F F ==联立式①，②，④，解得各杆的内力分别为5,52,52321F F F F F F N N N === 由杆1或杆2的强度条件[]σσσ≤==AF N 121 得[][]A F σ5.21≤由杆3的强度条件[]σσ≤=A F N 33 得[][]A F σ5.23≤比较[]1F 和[]3F ，所以结构的许可荷载为[][]A F σ5.2≤6-7 横截面为250mm ⨯250mm 的短木柱，用四根40mm ⨯40 mm ⨯5mm 的等边角钢加固，并承受压力F ，如题6-7图（a ）所示。
已知角钢的许用应力[]s σ=160MPa ，弹性模量GPa E W 10=。
试求短木柱的许可荷载[]F 。
解 查文献1中型钢表，可得40 mm ⨯40 mm ⨯5mm 的等边角钢的截面面积2791.3cm A S =。
受力图如题6-7图（b ）所示。
这是一次超静定问题。
其静力学平衡条件为,0=∑y F F F F Nw Ns =+木柱与角钢的变形协调条件为w s l l ∆=∆由胡克定律确定角钢和木柱的变形ww w Nw w s s s Ns s A E l F l A E l F l =∆=∆,1 代入式②，得294925.010*******.31020041⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯-Nw Ns F F联立式①，③，解得角钢和木柱承受的轴力F F F F Nw Ns 673.0,372.0==由角钢的强度条件MPa F A F s Ns s 16010791.34327.044≤⨯⨯==-σ 得[]kN F 742≤由木柱的强度条件MPa F A F w Nw w 1225.0673.02≤==σ 得 []kN F 1114≤比较以上所得的两种许可荷载，选用[]kN F 742=6-8 水平刚性横梁AB 上部由杆1和杆2悬挂，下部由角支座C 支撑，如题6-8图（a ）所示。
由于制造误差，杆1的长度少量了mm 5.1=δ。
已知两杆的材料和横截面面积均相等，且A A A GPa E E E =====2121,200。
试求装配后两杆的应力。
解 这是个装配应力问题。
受力如题6-8图（b ）所示其静力学平衡条件为,0=∑c M 145sin 2021⨯=⨯N N F F装配后的变形几何关系如题6-8图（c ）所示，其变形协条件为245cos 021=∆∆-l l δ应用胡克定律确定杆1和杆2的变形 ,111EA l F l N =∆EAlF l N 222=∆ 代入式②，得补充方程2114N N F F l EA =-δ联立式①，③，并注意到122l l =可得各杆的内力分别为 ()()12822,128121+=+=l EA F l EA F N N δδ所以各杆的应力分别为()()()()MPaPa l E A F MPaPa l E A F N N 9.451285.1105.11020022128222.161285.1105.1102001283912239111=+⨯⨯⨯⨯⨯=+===+⨯⨯⨯⨯=+==--δσδσ6-9 题6-9图（a ）所示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离mm 1=δ。
已知上，下两段杆的横截面面积分别为6002mm 和3002mm ，材料的弹性模量GPa E 210=。
试作题6-9图（a ）所示荷载作用下杆的轴力图。
解 这是一个超静定问题，受力图如题6-9图（b ）所示。
其静力学平衡条件为,0=∑yF4060+=+B A F F变形协调条件为δ=∆+∆+∆CB DC AD l l l 应用胡克定律，确定各杆段的变形(),,60,2111EA l F l EA l F l EA l F l CB B CB DC A DC AD A AD -=∆-=∆=∆ 并代入式②，得补充方程 2704.26.3=-B A F F 解得联立式①，③，kN F kN F B A 15,85== 作轴力图，如题6-9图（c ）所示 6-10两端固定的阶梯状杆如题6-10图（a ）所示。