2020年九年级数学中考专题：几何探究型问题----面积最值问题(包含答案)

几何探究型问题(针对第25题)
题型二面积最值问题
模型1定弦定角面积最值
【问题背景】
如图1，AB为⊙O上不过圆心O的弦，P为⊙O上任意一点(点A，B除外)，△PAB的面积是否存在最大值？如果存在，请找出满足条件的点P；如果不存在，请说明理由．
【模型分析】如图2，作线段AB的中垂线分别交⊙O于点P1，P2，此时当点P在优弧AB 上时，△P1AB的面积最大；同理当点P在劣弧AB上时，△P2AB的面积最大．
模型2定角定高面积最值
【问题背景】在△ABC中，∠ACB＝θ，点C到直线AB的距离是h，∠ACB的两边分别与直线AB交于A，B，则△ABC的面积存在最小值．
【模型分析】如图，作△ABC的外接圆⊙O，作CF⊥AB于点F，作OE⊥AB于点E，连接OC，OA，则∠ACB＝∠AOE＝θ，OC＋OE≥CF，
∴OA＋OE≥CF，AE＝OA·sinθ，OE＝OA·cosθ，
∴OA＋OA·cosθ≥h，
∴OA≥
h
1＋cosθ，∴AB＝2AE＝2OA·sinθ≥
2h sinθ
1＋cosθ，
∴AB有最小值，∴△ABC的面积有最小值，最小面积为h2sinθ
1＋cosθ
.
例题
(2019·陕西)问题提出
(1)如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形．
【解答】
如答图1，平行四边形ACBD1，ABCD2，ABD3C即为所求．(答
案不唯一，画出一个即可)
问题探究
(2)如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10.若要在该矩形中作出一
个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A
的距离；
【解答】
如答图2.
∵AB＝4，BC＝10，∴取BC的中点O，则OB＞AB．
∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O与AD相交于P1，P2两点，连接BP1，P1C，P1O.∵∠BPC＝90°，
∴当点P在P1或P2位置时，△BPC的面积最大，
过点P1作P1E⊥BC，垂足为E，则OE＝3，
∴AP1＝BE＝OB－OE＝5－3＝2，由对称性，得AP2＝8.
则满足条件的点P到点A的距离为2或8.
问题解决
(3)如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE.根据实际情况，要求顶点B是定点，点B
到塔A的距离为50 m，∠CBE＝120°.那么，是否可以建一个满
足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足
要求的□BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．(塔A的占
地面积忽略不计)
【解答】
可以．如答图3，连接BD．
∵A为□BCDE的对称中心，BA＝50 m，∠CBE＝120°，
∴BD＝100 m，∠BED＝60°.
作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，
取弧BED的中点E′，连接E′B，E′D，
则E′B＝E′D，且∠BE′D＝60°，∴△BE′D为等边三角形．
连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A＝AC′，连接BC′，DC′.
∵E′A⊥BD，∴四边形BC′DE′为菱形，且∠C′BE′＝120°.
作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO＋OA＝E′O＋OA＝E′A，
∴S△BDE＝1
2BD·EF≤
1
2BD·E′A＝S△E′BD，
∴S□BCDE≤S菱形BC′DE′＝2S△E′BD＝1002·sin60°＝5 0003(m2)．
答：符合要求的□BCDE的最大面积为5 000 3 m2.
作业
1.(2019·高新一中三模)在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°.
(1)如图1，已知∠D＝30°，则∠A＋∠C的大小为__270°__.
(2)已知AD＝3，CD＝4，在(1)的条件下，利用图1，连接BD，并求出BD的长度．
(3)如图2，已知∠ADC＝75°，BD＝6，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧符合如图2所示的四边形，为了尽可能节约，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．
解：(1)270°.
【解法提示】∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠B＝60°，∠D＝30°，
∴∠A＋∠C＝270°.
(2)如答图1，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得△BAQ，则∠CBD＝∠ABQ，∠C＝∠BAQ，CD＝AQ＝4，BD＝BQ.
∵∠CBD＋∠ABD＝∠ABC＝60°，
∴∠ABQ＋∠ABD＝60°，即∠DBQ＝60°，
∴△BDQ是等边三角形，∴BD＝DQ.
∵∠C＋∠BAD＝270°，
∴∠BAQ＋∠BAD＝270°，∴∠DAQ＝90°，
∴BD＝DQ＝AD2＋AQ2＝32＋42＝5.
答图1
(3)能．
如答图2，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得△BAH，连接DH.
答图2
由(2)知△BDH是等边三角形，
∴S四边形ABCD＝S△BAH＋S△ABD＝S△DBH－S△ADH，
∴当△ADH的面积最大时，四边形ABCD的面积最小．
∵∠ABC＝60°，∠ADC＝75°，
∴∠BAD＋∠BCD＝∠BAD＋∠BAH＝360°－75°－60°＝225°，
∴∠DAH＝135°.
∵DH＝DB＝6，
∴点A在定圆⊙O上运动，当O，A，B三点共线时，△ADH的面积最大，连接OB，交DH于点K，交⊙O于点A′，则OB⊥DH，HK＝KD＝3.
∵A′H＝A′D，∴∠A′HD＝∠A′DH＝22.5°.
在HK上取一点F，使得FH＝F A′，则△A′KF是等腰直角三角形，
设A′K＝FK＝x，则FH＝A′F＝2x，
∴3＝x ＋2x ，∴x ＝32－3，
∴△ADH 的面积最大值为12
×6×(32－3)＝92－9， ∴四边形ABCD 的面积的最小值为
34×62－(92－9)＝93－92＋9. 2.(2019·新建路中学模拟)
问题探究
(1)如图1，已知等边三角形ABC ，边长为4，则△ABC 的外接圆的半径为3
(2)如图2，在矩形ABCD 中，AB ＝4，对角线BD 与边BC 的夹角为30°，点E 在边BC
上，且BE ＝14
BC ，点P 是对角线BD 上的一个动点，连接PE ，PC ，求△PEC 周长的最小值．
问题解决
(3)为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演．其中一个镭射灯距城墙30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图3，若将两根光线(AB ，AC )和光线与城墙的两交点连接的线段(BC )看作一个三角形，记为△ABC ，那么该三角形的面积有没有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由．
解：(1)433
. 【解法提示】如答图1，作等边三角形ABC 的外接圆⊙O ，作直径AD ，连接BD ． ∵等边三角形ABC 内接于⊙O ，AD 为⊙O 的直径，
∴∠C ＝60°＝∠D ，∠ABD ＝90°，
∴sin D ＝AB AD ＝32，∴AD ＝2AB 3＝4×23＝833，
∴⊙O 的半径是433
. (2)如答图2，作点E 关于BD 的对称点E ′，连接E ′C 交BD 于点P ，连接PE ，则PE ′＝PE ，此时△PEC 的周长最小，即为PC ＋PE ＋EC ＝PC ＋PE ′＋EC ＝CE ′＋EC 的长．连接BE ′，过点E ′作E ′H ⊥BC 于点H .
∵∠DBC ＝30°，AB ＝CD ＝4，∴BC ＝4 3.
又∵BE ＝14
BC ，∴BE ＝3，EC ＝3 3. ∵点E 关于BD 的对称点是E ′，
∴∠E ′BH ＝60°，BE ′＝BE ＝3，
∴BH ＝32，E ′H ＝32，∴HC ＝72
3， ∴E ′C ＝E ′H 2＋HC 2＝
(32)2＋(723)2＝39， ∴△PEC 周长的最小值为PC ＋PE ＋EC ＝CE ′＋EC ＝39＋3 3.
答图
(3)有．
如答图3，作△ABC 的外接圆⊙O ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，连接OA ，OB ．
设⊙O 的半径长为2x .
∵∠BAC ＝60°，∴∠BOE ＝60°，∴BE ＝3x ，
∴BC ＝23x .
∵OA ＋OE ≥AH ，即2x ＋x ≥30，∴x ≥10，
∴BC ≥203，
∴当BC ＝203时，△ABC 的面积最小，最小值为12BC ·AH ＝12
×203×30＝3003(平方米)．。