第三章导数-资料
高等数学第三章导数
1 (tan y)
1 sec2
y
1 1 x2
§3 . 隐函数及参数方程所确定的函数的导数。
1. 隐函数求导法
现在讨论由方程 F(x, y) 0所确定的隐函数 y y(x)的 导数，由于 F(x, y(x)) 0，两边对 x 求导，即可解出 y(x)，举例说明。
例1. 求由方程 x2 y2 r 2 所确定的隐函数 y y(x) 的导数。
d secx secx tanxdx, d cscx cscxcot xdx
d arcsin x 1 dx, d arccos x 1 dx
(2)如果函数 y f (x) 在点 x0 处可导，那么 f (x) 在点 x0 处可微分，且 A f (x0 )
因此，当 f (x)在点x0 可微分时，其微分为：
dy xx0
f (x0 )x
任意点 x 处的微分称为函数的微分，记作 dy 或 df (x) 即 dy = f '(x) Δx
为了形式上统一，记 dx= Δx ，则 dy = f '(x)dx
y (ex x)(cot x x csc2 x) (x cot x)(ex 1) (ex x)2
例3. 设 y xnax cos x ，求 y
y nxn1ax cos x xnax (lna) cos x xnax sinx
例4.
设
y
2a
x1
1
2 a
,
x 0，(a 0, a 1) ,求 y
cosx,
x0
解：当x 0时，y 2a x1 ln a ;
当 x 0时, y sin x ;
在
x
0 处，f (0)
lim
x0
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
解
y′＝(5
3
x3)′＝ (x5 )
3
3 1
x5
3
2
x5
＝Hale Waihona Puke 3.55
55 x2
(4)y＝2sin 2xcos 2x；
解
∵y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y＝log1 x；
2
解 y′＝(log1 x )′＝ 1 1＝－xln1 2.
2
xln 2
(6)y＝3x.
解 y′＝(3x)′＝3xln 3.
f′(x)＝__xl_n_a__ 1
f′(x)＝__x_
2 题型探究
PART TWO
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y＝x14； 解 y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y＝5 x3；
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝ nxn－1 (n为自然数) f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_ln__a_
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，a≠1，x>0)
课件5：3.1 导数的概念及运算
f(t)，则 f′(t0)是物体运动在 t＝t0 时刻的___瞬__时__速__度___．
4．基本初等函数的导数公式
(1)常用函数的导数
【解析】(1)设切点为(x0，y0)， 故切线的斜率为 k＝x20＝1，解得 x0＝±1， 故切点为1，53，(－1，1)．
故所求切线方程为 y－53＝x－1 和 y－1＝x＋1， 即 3x－3y＋2＝0 和 x－y＋2＝0.
(2)∵y′＝x2，且 P(2，4)在曲线 y＝13x3＋43上， ∴在点 P(2，4)处的切线的斜率 k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点 P(2，4)处的切线方程为 y－4＝4(x－ 2)，即 4x－y－4＝0. (3)设曲线 y＝13x3＋43与过点 P(2，4)的切线相切于
1＋2x2 1＋x2.
【点评】求复合函数的导数，关键在于分析函数的 复合关系，适当确定中间变量，然后“由外及内”逐层 求导．
三、导数的几何意义及应用
例3已知曲线 y＝13x3＋43. (1)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程； (2)求曲线在点 P(2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点 P(2，4)的切线方程．
例4已知函数 f(x)＝xln2＋x，2xx＋>0a，，x<0，其中 a 是实
数．设 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两 点，且 x1<x2.
(1)指出函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)的图象在点 A，B 处的切线互相垂直， 且 x2<0，证明：x2－x1≥1； (3)若函数 f(x)的图象在点 A，B 处的切线重合，求 a 的取值范围．
高等数学 第3章
显然 x 0 时，f (x) 不存在；当 x 0 时，f (x) 0；当 x 0 时，f (x) 0 。所以 f (x) 3 x2 在 ( ，0] 上单调减少；在 [0 ， )上单调增加（如图3-1所示）。
图3-1
我们将导数为零的点，称为函数的驻点。将连续不可导点 称为函数的尖点。
比较可得 f (x) 在 x 1 和 x 3 处，取得最大值 3 9 ，在 x 0 和 x 2
处，取得最小值0。
如果连续函数 f (x) 在一个开区间（a ，b）内有惟一的一个 极值时，那么这个极大（或极小）值就是函数 f (x)在该区间 内最大（或最小）值（如图3-3，3-4所示）。
图3-3
（3）当 x x0 与 x x0 时，f (x) 的符号保持不变，那么函数f (x) 在 x0 处没有极值。
于是，若函数 f (x) 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处 可导，则可以按下列步骤来求 f (x)在该区间内的极值点和相应的 极值：
（1）写出函数的定义域； （2）求导数 f (x) ，并找出定义域内的全部驻点和尖点； （3）考察 f (x) 的符号在每个驻点或尖点的左、右邻域的情形， 以确定该点是否为极值点。为方便起见，可列表进行讨论； （4）求出各极值点的函数值，得函数 f (x) 的全部极值。
f
(
x)
1
2
x x
2
显然 x 0 时，f (0) 0 ；当 x 0 时，f (x) 0；当 x 0 时，f (x) 0 。所以 f (x) ln(1 x2 ) 在 ( ，0] 上单调减少；在 [0 ， )上单调增加。
例2 讨论函数 f (x) 3 x2 单调性。 解 f (x) 3 x2 的定义域为 ( ， )，
导数的概念及其意义 、导数的运算(高三一轮复习)
；
gfxx′＝f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ 16 cf′(x)
．
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 9—
5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝ 17 f(g(x)) ．
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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命题点2 导数的几何意义
考向1 求切线方程
例2
(1)(2022·湖南衡阳二模)函数f(x)＝xln(－2x)，则曲线y＝f(x)在x＝－
e 2
处的
切线方程为 4x－2y＋e＝0
.
(2)(2y0＝22－·新1e高x 考Ⅱ卷.)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为
(2)f1x′＝－f[′fxx]2(f(x)≠0)． (3)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次函数的图 象相切只有一个公共点． (4)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变 化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越 “陡”．
f(x)＝xα(α∈Q且α≠0) f′(x)＝ 7αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ 8 cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝ 9 －sin x
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝ 10 axln a
微积分第3章导数与微分
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三、左、右导数
定义 设函数 y = f(x) 在某U+(x0) (或 U-(x0))内有定义. 若
(或
)
存在，则称该极限值为 f 在点 x0 处的右 (左) 导数.
记作 f( x0 ) (或 f( x0 )) .
注：1. f 在x0可导 f 在 x0 的左, 右导数存在且相等.
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0 与 f(x) = |x| 在 x = 0 处连续但不可导.
0, x 0
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例5. 求下列函数的导函数：
(1) c ( 常函数 ) ;
答案：0
记结论
(2) xn , ( n∈N+ ) ; (3) sin x ,
cos x ; (4) log ax ( a > 0, a≠1, x > 0 ) .
方法一：F(x, y) = 0 显化 y = f(x) 已有方法 求 y.
√ 方法二：F(x, y) = 0 两边同时求导 [F(x, y)] 0 求 y.
例6. 已知 y x ln y 确定了函数 y = f(x)，求 y.
（答案：
y
y ln y y x
）
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第三章 导数与微分
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要牢记！
(1) (c) 0 (c为常数);
(2) ( x ) x1 (为任意实数 );
(3) (a x ) a x ln a, (ex ) ex ;
(4)
(log a
x)
1, x ln a
(ln
x)
1; x
(5) (sin x) cos x,(cos x) sin x ;
第三章 第一节 导数的概念及运算、定积分
第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算、定积分[考纲要求]1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．5．了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．6．了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义．突破点一导数的运算[基本知识]1．导数的概念称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li mΔx→0ΔyΔx＝li mΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li mΔx→0ΔyΔx＝li mΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.称函数f′(x)＝li mΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝ln x f ′(x )＝1x 基本初等函数 导函数 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a3.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f xg x ′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 答案：－x sin x2．已知f (x )＝13－8x ＋2x 2，f ′(x 0)＝4，则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x ， ∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4，解得x 0＝3. 答案：33．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22， 得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x . ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1. 答案：1[典例感悟]1．已知函数f (x )＝xe x ，则其导函数f ′(x )＝( )A.1＋xe xB.1－x e xC ．1＋xD ．1－x解析：选B 函数f (x )＝xe x ，则其导函数f ′(x )＝e x －x e x e 2x ＝1－x ex ，故选B.2．(2019·枣庄三中质检)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．1C ．－1D ．e解析：选C 由题可得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，则f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1，所以选C.3．函数f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2，则其导函数f ′(x )＝________.解析：∵f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin 4x ，∴f ′(x )＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x[方法技巧]导数运算的常见形式及其求解方法1．设f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2019·长沙长郡中学一模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析： 选C f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′，所以f ′(0)＝a 1a 2a 3…a 8＝(a 1a 8)4＝(2×4)4＝212.故选C.突破点二 导数的几何意义[基本知识]函数f (x )在点x 0处 的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (2)求曲线过点P 的切线时P 点一定是切点．( ) 答案：(1)√ (2)× 二、填空题1．已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R)，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________.解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：42．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________． 解析：∵y ′＝1x ln 2，∴切线的斜率k ＝1ln 2，∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)，∴所求三角形的面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝12log 2e.答案：12log 2e3．设函数f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为9x ＋y －1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为________．解析：由已知得g ′(1)＝－9，g (1)＝－8， 又f ′(x )＝12g ′⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ， ∴f ′(2)＝12g ′(1)＋4＝－92＋4＝－12，f (2)＝g (1)＋4＝－4，∴所求切线方程为y ＋4＝－12(x －2)，即x ＋2y ＋6＝0.答案：x ＋2y ＋6＝0[全析考法]考法一 求切线方程“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．[例1] 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. [方法技巧]求切线方程问题的2种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．考法二求切点坐标[例2](2019·柳州一模)已知函数f(x)＝e2x－1，直线l过点(0，－e)且与曲线y＝f(x)相切，则切点的横坐标为()A．1B．－1C．2 D．e－1[解析]设切点为(x0，e2x0－1)，∵f′(x)＝2e2x－1，∴2e2x0－1＝e2x0－1＋ex0，化简得2x0－1＝e2－2x0.令y＝2x－1－e2－2x，则y′＝2＋2e2－2x>0.∵x＝1时，y＝0，∴x0＝1.故选A.[答案] A[方法技巧]求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．考法三 求参数值或范围[例3] (1)已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1，1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3(2)(2019·乐山调研)已知曲线f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫3，72 B ．(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，72 D ．(0,3)[解析] (1)由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上， 所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ×12＝1，解得b ＝1， 所以f (x )＝a ln x ＋x 2， 故f ′(x )＝ax ＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2， 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直， 所以a ＋2＝－1，即a ＝－3. (2)由题得f ′(x )＝2e 2x －2e x ＋a ，则方程2e 2x －2e x ＋a ＝3有两个不同的正解， 令t ＝e x (t >0)，且g (t )＝2t 2－2t ＋a －3，则由图像可知，有g(0)>0且Δ>0，即a－3>0且4－8(a－3)>0，解得3<a<72.故选A.[答案](1)D(2)A[方法技巧]利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒](1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．[集训冲关]1.[考法一](2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y ＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x解析：选D∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.2.[考法二]曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)解析：选C f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.3.[考法三]设曲线f(x)＝－e x－x(e为自然对数的底数)上任意一点的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为()A ．[－1,2]B ．[3，＋∞)C.⎣⎡⎦⎤－23，13D.⎣⎡⎦⎤－13，23 解析：选D f ′(x )＝－e x －1，∵e x ＋1>1，∴1e x ＋1∈(0,1)．又g ′(x )＝3a －2sin x ， ∵－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]，要使曲线f (x )上任意一点的切线l 1，总存在曲线g (x )上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.故选D.4.[考法三](2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________.解析：∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ，∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－3突破点三 定积分的计算及应用[基本知识]1．定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f(x)d x.2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f(x)d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)d x 叫做被积式．3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf(x)d x ＝k ⎠⎛ab f(x)d x(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]d x ＝⎠⎛a b f 1(x)d x±⎠⎛ab f 2(x)d x ；(3)⎠⎛ab f(x)d x ＝⎠⎛ac f(x)dx ＋⎠⎛cb f(x)dx (其中a<c<b)．4．微积分基本定理如果f(x)是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x)，那么⎠⎛ab f(x)d x ＝F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，我们常常把F(b)－F(a)记为F(x)b a，即⎠⎛ab f(x)dx ＝F(x)b a＝F(b)－F(a)．5．定积分与曲边梯形面积的关系6.做变速运动的物体在时间[a ，b]上所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a ，b]上的定积分，即s ＝⎠⎛ab v (t )d t .具体步骤为：（1）找出速度函数v ＝v (t )，作出图形． （2）观察v ＝v (t )的图形是否满足v (t )≥0.（3）若v (t )≥0，则相应的时间段[a ，b ]上的路程为s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；若v (t )<0，则相应的时间段[a ，b]上的路程为s ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛ab v (t )d t ＝－⎠⎛ab v (t )d t .[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积，其值为正．( )(2)一物体在变力F (x )作用下，沿与F (x )相同方向从x ＝a 移到x ＝b 时力F (x )所做的功是⎠⎛ab F (x )d x .( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．⎠⎜⎛0π2 (－2sin x )dx ＝________.解析：由定积分的概念及微积分基本定理，得⎠⎜⎛0π2(－2sin x )d x ＝2co s x ⎪⎪⎪π20＝－2.答案：－22.⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝________. 解析：⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x dx ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x |e 1＝e 22＋1－12＝e 2＋12.答案：e 2＋123．定积分⎠⎛0416－x 2d x ＝________.解析：令y ＝16－x 2，则x 2＋y 2＝16(y ≥0)，所以点(x ，y)的轨迹为半圆，⎠⎛0416－x 2dx 表示以原点为圆心、4为半径的圆面积的14，所以⎠⎛0416－x 2dx ＝14×π×42＝4π.答案：4π4．(2019·运城中学月考)曲线f(x)＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，54π与x 轴围成的图形的面积为________．解析：对于f(x)＝sin x ，当x ∈[0，π]时，f(x)≥0，当x ∈⎝⎛⎦⎤π，54π时，f(x)<0， 则所求面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＋⎠⎛π5π4(－sin x )d x ＝－cos x |π0＋cos x ⎪⎪⎪5π4π＝2＋⎝⎛⎭⎫－22＋1＝3－22. 答案：3－225．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m.解析：s ＝∫21(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |21 ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 答案：132[全析考法]考法一利用微积分基本定理求定积分[例1] (1)(2019·广德中学期中)⎠⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1(2)(2019·河南师大附中月考)若⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝( )A ．0 B.π4－12 C.π4－14D.π2－1 (3)(2019·宜春中学一模)计算⎠⎛-43|x ＋2|d x ＝________.[解析] (1)⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e ＋1)－(1＋0)＝e.故选B.(2) ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎛0π2⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝π4－12.故选B. (3) ⎠⎛-43|x ＋2|d x ＝－⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛-23 (x ＋2)d x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x |－2－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x |3－2＝292. [答案] (1)B (2)B (3)292[方法技巧]利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数． 考法二利用定积分的几何意义求定积分[例2](2019·银川一中月考)若⎠⎛m－2－x2－2x d x＝π2，则m等于()A．－1 B．0C．1 D．2[解析]由定积分的几何意义可知，原题即为求函数y＝－x2－2x与x轴在区间[－2，m]上围成图形面积的大小，而函数y＝－x2－2x的图象是以(－1,0)为圆心，以1为半径在x轴上方的半圆，它的面积为12×π×12＝π2，即为题目所求面积，而m为函数y＝－x2－2x与x轴的另一个交点的横坐标，由图形(图略)可得m＝0.[答案] B[方法技巧]利用定积分几何意义求定积分的策略当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形形状规则，面积易求时，利用定积分的几何意义求定积分．考法三利用定积分求平面图形的面积[例3] (2019·襄阳四中期中)由曲线y ＝1－1－x 2，y ＝－x 2＋2x 所围成图形的面积为________．[解析] 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－1－x 2，y ＝－x 2＋2x 得交点为(0,0)，(1,1)，如图，∴S ＝⎠⎛01(－x 2＋2x )d x －⎠⎛01(1－1－x 2)d x ，⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2|10＝23. ⎠⎛01(1－1－x 2)d x ＝x |10－⎠⎛011－x 2d x＝1－⎠⎛011－x 2d x ，而⎠⎛011－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内的部分的面积，∴⎠⎛011－x 2d x ＝π4，∴S ＝23－1＋π4＝π4－13.[答案]π4－13[方法技巧]利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．考法四 定积分在物理中的应用[例4] (2019·武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2[解析] 由v (t )＝7－3t ＋251＋t＝0，可得t ＝4( t ＝－83舍去 )，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝[ 7t －32t 2＋25ln(1＋t ) ]| 40＝4＋25ln 5.[答案] C [方法技巧]定积分在物理中的2个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝∫ba v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝∫ba F (x )d x .[集训冲关]1.[考法一]⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝( )A ．56B ．28 C.563D ．14解析：选C ⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋14x 4－30x |42＝13×(43－23)＋14×(44－24)－30×(4－2)＝563.故选C. 2.[考法三]由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13B.310C.14D.15解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝13.故选A.3.[考法二]⎠⎛02(4－x 2＋x )d x 的值等于________．解析：⎠⎛02(4－x 2＋x )d x ＝⎠⎛024－x 2d x ＋⎠⎛02x d x ，其中⎠⎛024－x 2d x 表示半径为2的圆的面积的14，⎠⎛024－x 2d x ＝14π×22＝π，⎠⎛02x d x ＝12x 2|20＝2，因此原式等于π＋2. 答案：π＋24.[考法四]一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5x 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝5×2＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)． 答案：36[课时跟踪检测][A 级 保分题——准做快做达标]1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．(2019·南阳期末)若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则⎠⎛03f(x)d x ＝( )A ．16B ．54C ．－24D ．－18解析：选D 由已知得f ′(x)＝2x ＋2f ′(2)，令x ＝2，得f ′(2)＝4＋2f ′(2)，解得f ′(2)＝－4，所以f(x)＝x 2－8x ＋3，所以⎠⎛03f(x)dx ＝⎠⎛03(x 2－8x ＋3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 2＋3x |30＝－18.故选D .3．(2019·珠海期末)曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：选B 由题意知点(1,3)在曲线y ＝x 3－2x ＋4上．∵y ＝x 3－2x ＋4，∴y ′＝3x 2－2，根据导数的几何意义，可知曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1，∴曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为45°.故选B .4．(2019·青岛模拟)已知f 1(x)＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x)是f n (x)的导函数，即f 2(x)＝f 1′(x)，f 3(x)＝f 2′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N *，则f 2 018(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选C ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 018＝4×504＋2，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x ＋cos x ，故选C.5．(2019·山东省实验中学一模)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：选Df ′(x )＝3x 2＋2ax ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋2ax 0＝－1，x 0＋f (x 0)＝0，f (x 0)＝x 3＋ax 20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝1，f (x 0)＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，x 0＝－1，f (x 0)＝1，故选D.6．(2019·湖北黄石二中一模)若直线y ＝kx ＋2是函数f (x )＝x 3－x 2－3x －1图象的一条切线，则k ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 直线y ＝kx ＋2过(0,2)，f ′(x )＝3x 2－2x －3，设切点为(x 0，y 0)，故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2x 0－3)(x －x 0)，将(0,2)代入切线方程并结合y 0＝x 30－x 20－3x 0－1，解得x 0＝－1，y 0＝0，代入y ＝kx ＋2，解得k ＝2.7．(2019·银川一中月考)设函数f (x )＝3sin θ3x 3＋cos θ2x 2＋4x －1，θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π6，则导数f ′(－1)的取值范围是( )A ．[3,4＋3]B ．[3,6]C ．[4－3，6]D ．[4－3，4＋3]解析：选B 求导得f ′(x )＝3x 2sin θ＋x cos θ＋4，将x ＝－1代入导函数，得 f ′(－1)＝3sin θ－cos θ＋4＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋4，由θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π6，可得θ－π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，∴2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋4∈[3,6]．故选B. 8．(2019·巴蜀中学模拟)已知曲线y ＝2xx －1在点P (2,4)处的切线与直线l 平行且距离为25，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．2x ＋y ＋2＝0或2x ＋y －18＝0C ．2x －y －18＝0D ．2x －y ＋2＝0或2x －y －18＝0解析：选B y ′＝2(x －1)－2x (x －1)2＝－2(x －1)2，y ′|x ＝2＝－2(2－1)2＝－2，因此k l ＝－2，设直线l 方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，由题意得|2×2＋4－b |5＝25，解得b ＝18或b ＝－2，所以直线l 的方程为2x ＋y －18＝0或2x ＋y ＋2＝0.故选B.9．(2019·成都双流区模拟)过曲线y ＝x 2－2x ＋3上一点P 作曲线的切线，若切点P 的横坐标的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，32，则切线的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π2 B.⎣⎡⎦⎤0，π4 C ．[0，π)D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 解析：选B 因为y ′＝2x －2,1≤x ≤32，所以0≤2x －2≤1.设切线的倾斜角为α，则0≤tan α≤1.因为0≤α≤π，所以0≤α≤π4，故选B.10．(2019·广东七校联考)函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是( )解析：选A 法一：由题意，得f ′(x )＝cos x ＋x (－sin x )＝cos x －x sin x ，f ′(－x )＝f ′(x )，所以f ′(x )为偶函数．又f ′(0)＝1，所以排除C 、D ；令g (x )＝f ′(x )＝cos x －x sin x ，则g ′(x )＝－x cos x －2sin x ，易知g ′(0)＝0，且当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，g ′(x )<0，f ′(x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎦⎤－π2，0时，g ′(x )>0，f ′(x )单调递增，所以f ′(x )在x ＝0处取得极大值，排除选项B.故选A.法二：由题意，得f ′(x )＝cos x ＋x (－sin x )＝cos x －x sin x ，又f ′(0)＝1，所以排除C ，D ；当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，y ＝cos x 单调递减，对于y ＝x sin x ，y ′＝x cos x ＋sin x >0，则y ＝ x sin x 单调递增，则f ′(x )＝cos x －x sin x 在⎝⎛⎦⎤0，π2上单调递减．故选A. 11．(2019·天津耀华中学一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x <0，cos x ，0≤x ≤π2，则f (x )与x 轴围成封闭图形的面积为________．解析：S ＝⎠⎛-10(x ＋1)d x ＋⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－1＋sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝12＋1＝32.答案：3212．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为______________． 解析：因为y ′＝2x ，y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2. 答案：y ＝2x －213．(2019·石家庄二中月考)已知函数f (x )＝1x ，g (x )＝x 2.若直线l 与曲线f (x )，g (x )都相切，则直线l 的斜率为________．解析：因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，设曲线f (x )与l 切于点⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，则切线斜率k ＝－1x 21，故切线方程为y －1x 1＝－1x 21(x －x 1)，即y ＝－1x 21x ＋2x 1.与g (x )＝x 2联立，得x 2＋1x 21x －2x 1＝0.因为直线l 与曲线g (x )相切，所以⎝⎛⎭⎫1x 212－4⎝⎛⎭⎫－2x 1＝0，解得x 1＝－12，故斜率k ＝－1x 21＝－4.答案：－414．(2019·淄博六中期末)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为________．解析：设曲线上过点P (x 0，y 0)的切线平行于直线2x －y ＋3＝0，即斜率是2，则 y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，所以y 0＝0，即点P (1,0)．又点P 到直线2x －y ＋3＝0的距离为|2－0＋3|22＋(－1)2＝5，所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5. 答案： 515．(2019·孝感高中期中)已知函数f (x )＝x 3－x . (1)求曲线y ＝f (x )在点M (1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数b 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－1，∴f ′(1)＝2.故切线方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)设切点为(x 0，x 30－x 0)，则切线方程为y －(x 30－x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 又切线过点(1，b )，所以(3x 20－1)(1－x 0)＋x 30－x 0＝b ， 即2x 30－3x 20＋b ＋1＝0.由题意，上述关于x 0的方程有三个不同的实数解． 记g (x )＝2x 3－3x 2＋b ＋1，则g (x )有三个不同的零点，而g ′(x )＝6x (x －1)，令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝1，则结合图像可知g (0)g (1)<0即可，可得b ∈(－1,0)．16．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，所以⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)是定值，理由如下：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.[B 级 难度题——适情自主选做]1.(2019·山西八校联考)如图，矩形OABC 中曲线的方程分别是y ＝sin x ，y ＝cos x ．A ( π2，0 )，C (0,1)，在矩形OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.4(3－1)πB.4(2－1)πC ．4(3－1)πD ．4(2－1)π解析：选B 由题可知图中阴影部分的面积S ＝2⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋ cosx ) ⎪⎪⎪⎪π4＝2(2－1)，易知矩形OABC 的面积为π2，所以在矩形OABC 内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为4(2－1)π，故选B.2．(2019·蚌埠质检)已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫a －1e x ，曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( )A ．(－e 2，＋∞)B ．(－e 2,0) C.⎝⎛⎭⎫－1e 2，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 解析：选D ∵曲线y ＝f (x )上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，∴f ′(x )＝a ＋(x －1)e －x ＝0有两个不同的解，即a ＝(1－x )e －x 有两个不同的解．设y ＝(1－x )e －x ，则y ′＝(x －2)e －x ，∴当x <2时，y ′<0，当x >2时，y ′>0，则y ＝(1－x )e －x 在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴x ＝2时，函数y 取得极小值－e －2.又∵当x >2时总有y ＝(1－x )e －x <0且f (0)＝1>0，∴可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1e 2，0.故选D. 3．(2019·山东名校调研)已知曲线y ＝e x＋a与y ＝x 2恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围是( )A ．[2ln 2－2，＋∞)B ．(2ln 2，＋∞)C ．(－∞，2ln 2－2]D ．(－∞，2ln 2－2)解析：选D 由题意可设直线y ＝kx ＋b (k >0)为它们的公切线，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝x2可得x 2－kx －b ＝0，由Δ＝0，得k 2＋4b ＝0 ①.由y ＝e x ＋a 求导可得y ＝e x ＋a ，令e x ＋a ＝k ，可得x ＝ln k －a ，∴切点坐标为(ln k －a ，k ln k －ak ＋b )，代入y ＝e x ＋a 可得k ＝k ln k －ak ＋b ②.联立①②可得k 2＋4k ＋4ak －4k ln k ＝0，化简得4＋4a ＝4ln k －k .令g (k )＝4ln k －k ，则g ′(k )＝4k －1，令g ′(k )＝0，得k ＝4，令g ′(k )>0，得0<k <4，令g ′(k )<0，得k >4.∴g (k )在(0,4)内单调递增，在(4，＋∞)内单调递减，∴g (k )max ＝g (4)＝4ln 4－4，且k →0时，g (k )→－∞，k→＋∞时，g(k)→－∞.∵有两条公切线，∴方程4＋4a＝4ln k－k有两解，∴4＋4a<4ln 4－4，∴a<2ln 2－2.故选D.。
第三章 微分中值定理、导数的应用资料
只需证明 x f (x) f (x) x 0, 只需证明 x f (x) (x) f (x) x 0,
xf (x) (x) f (x)
只需证明
当 x 0时，则在(x,0) 内至少存在一点 ，使
F(0) F(x) F ( )
0x
ex (1 x) x F( ) x (e 1) 0 ex 1 x
综上可得：当 x 0 ，有 e x 1 x .
四、柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x) 和 F(x) 满足: （1）在[a,b] 上连续； （2）在(a,b) 内可导且 F(x) 0. 则在 (a,b) 内至少存在一点 , 使
提示： f (x) 0, f (x) 在 x 0处可导， f (x) 在 x 0处
连续， f (0) lim f (x) x0
lim x f (x) lim x lim f (x)
x0
x
x x0 x0
0.
f (0) lim f (x) f (0) lim f (x) 1.
f (x) . F (x)
【例】计算：(1) lim x x cosx x0 x sin x
提示：原式 lim 1 cosx xsin x lim sin x sin x x cosx
1 4
满足定理的结论．
推论 1：若在(a,b) 内 f (x) 0, 则在 (a,b) 内 f (x) 为一常数．
推论２：若在(a,b) 内 f (x) g(x), 则 f (x) g(x) C. （常数）．
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MP= x, MO= y,
y = tan
x
y f(x0+x)
y=f(x) Q
Q
Q
T
f(x0)
O
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P
)a)))
x0
2020/1/2
M
x x0+x
导数的概念
当x0时，动点Q将沿曲线趋向于定点P，从而割 线PQ也将随之变动而趋向于切线PT。
例1.求y=x2在点x=1处的导数
解： y= ( 1 + x )2 1 2= 2 x + ( x )2
y=2x+(x)2 =2+x x x
y
lim = lim(2+x)=2
x x0
x0
y' |x=1=2
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函数在一区间上的导数：
此时割线PQ的斜率趋向于切线PT的斜率：
设切线PT的倾斜角为α，那么当△x→0时，割线PQ
aj 的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，即
y
y=f(x)
t g = l t g i = l m y i l = f(xm 0f +i ( x x)0 + x m ) f ( x 0 Q) 。
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3.导数的概念
导数的概念
函数 y = f ( x)，如果自变量 x在 x0处有增量 x，那么
函数
y相应地有增量
y
=
f (x0
+y 就 x
叫做函数 y = f (x)在x0到x0 + x之间的平均变化率，即
y = f (x0 + x) f (x0 ) .
x
x
如果当 x 0时，y 有极限 , 我们就说函数 y = f ( x)在 x
点 x0处可导 , 并把这个极限叫做函数 y = f (x)在点 x0处
的导y 数x = x （0 = 或f变'( x 化0 ) 率= ） lx , 0 i记 y x 为m = y l x x =0 i x0 f , ( m x 0 + x x ) f( x 0 )
= lim
x 0
x
2x + (x)2
= lim
x 0
x
=2
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2. 瞬时速度
导数的概念
设物体作直线运动所经过的路程为s=s(t)。 以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为
v v = = s s = = f f ( ( t t 0 0 + + t t ) ) f f ( ( t t 0 0 ) ) 。 。 t t t t
v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值， t 越小， 近似的程度就越好。所以当t0时，极限
s lim t 0 t 就是物体在t0时刻的瞬时速度，即 v v | t | = t = t 0 t 0 = = l t l t 0 0 s t s t = l t i i 0 f ( t 0 + t t ) m m i f ( t 0 ) 。 m
切线问题
导数的概念
割线的极限位置——切线位置
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导数的概念
例如，曲线的方程为y=x2+1 那么此曲线在点P(1,2)处的切线的斜率
k = lim f ( x 0 + x ) f ( x 0 )
x 0
x
(1 + x ) 2 + 1 (1 + 1)
导数的概念
第三章 导 数
一 导数
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导数的概念
3.1 导数的概念
(1)
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1. 曲线的切线
导数的概念
求曲线y=f(x)在点P(x0, y0)处的切线的斜率。 设曲线C是函数y=f(x)的图象,在曲线C上取一点
P(x0,y0)及邻近的一点Q(x0 +x, y0+y)，过P、Q两点作割 线，并分别过P,Q两点作x轴与y轴的平行线MP，MQ，
导数的概念
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说
f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每
一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数f’(x0)，这样 就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新
函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，
记作 f '(x)或y'(需指明自变量时记 yx' )作
即 f'(x )= y '= li m y= lifm (x + x ) f(x )
x 0 x x 0
x
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f (x0)与f (x)之间的关系：
导数的概念
当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于 函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
aj x 0 x 0 x x 0 x g i = lm y i l = m f i ( x 0 + x m ) f ( x 0 ) 。 T
x 0 x x 0 x f(x0)
P
)a ) j
x
O
x0
x0+x
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f(x0)=f(x) x=x0 ． ．
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.
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导数的概念
注意: 1.f(x0)=f(x)x=x0. 2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
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导数的概念
例2 .已知 y= x,求y'
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由定义求导数（三步法）
导数的概念
步骤: ( 1 ) 求 y 增 = f ( x + x 量 ) f ( x );
(2 )算比 y= f(x 值 + x ) f(x );
x
x
(3)求极 y= 限 lim y.
x 0 x