数学Ⅰ课程第三章 导数与微分
高等数学第三章
高等数学第三章第三章导数与微分一、本章提要1.基本概念瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分．2.基本公式基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式．3.基本方法⑴利用导数定义求导数；⑵利用导数公式与求导法则求导数；⑶利用复合函数求导法则求导数；⑷隐含数微分法；⑸参数方程微分法；⑹对数求导法；⑺利用微分运算法则求微分或导数．二、要点解析问题1从瞬时速度出发论述导数的实际意义，并列举一些常见变化率.解析对于作变速直线运动的质点，若位移变量与时间变量t之间的函数关系为(t)，当t从t变化到tt时，在间隔t内的平均速度为(tt)(t)，此式只反t映了在t点附近速度变化的快慢程度，即为t时刻速度的近似代替量，欲使其过渡到精确值，必须使t0，即t时刻瞬时速度为v(t)lim(tt)(t)，也即瞬时速度反映函数t0t(t)在t时刻函数的变化率（导数），所以导数的实际意义表示函数在此点变化的快慢程度．常见的变化率：⑴曲线yf(某)的切线斜率意义；dy是纵坐标y对横坐标某的变化率，这是导数的几何d某dQ是电荷Q对时间t的变化率；dtdm⑶线密度是质量m对长度l的变化率；dldQ⑷比热容是热量Q对温度θ的变化率，dθ⑵电流强度以及人口出生率，经济增长率，化学反应速度等等．问题2讨论函数的可导性及如何求函数的导数？解析1.我们知道，函数的连续性只是可导性的必要条件．函数f(某)在点某0处可导的充分必要条件是左导数f'(某0)与右导数f'(某0)存在并且相等，即f'(某0)f'(某0)f'(某0)因此，要判定一个函数在某点是否可导，可先检查函数在该点是否连续，如果不连续，就一定不可导，如果连续，再用下面两种方法判定：⑴直接用定义；⑵求左、右导数看其是否存在而且相等．当然，也可以不先检查连续性而直接用两种方法判定，但对于不连续函数，先检查连续性往往比较方便．2.由于在科学技术和工程中所遇到的函数大多是初等函数．因此，我们把求初等函数的导数作为求导的重点．先是根据导数的定义，求出了几个基本初等函数——幂函数、正弦函数、余弦函数、对数函数与指数函数的导数．然后再用定义推出了几个主要的求导法则—求导的四则运算法则、复合函数的求导法则与反函数的求导法则．借助于这些法则和上述的几个基本初等函数的导数公式，求出了其余的基本初等函数的导数公式．在此基础上解决了基本初等函数的求导问题．下面是我们解决这个问题的思路：导数的定义基本初等函数的导数式公求导的四则运算法则复合函数的求导法则反函数的求导法则初等函数的导数还需指出的是关于分段函数在分界点的求导问题．例如，有一定义于(,)的函数(某),某a,f(某)(某),a某,其中(某)与(某)分别在区间某a与a某可导，某a为其分界点，求f'(某)．⑴某a时，由于f(某)(某)，所以f'(某)'(某)；⑵a某时，由于f(某)(某)，所以f'(某)'(某)；⑶在某a的左、右邻域，由于f(某)要从两个不同的表达式(某)与(某)去计值，所以求f'(a)必须先用左、右导数的定义求f'(a)与f'(a)．如果它们都存在而且相等，那么f'(a)=f'(a)=f'(a)．在这里特别注意求左、右导数要按照定义f(a某)f(a)(a某)(a)lim，某0某0某某f(a某)f(a)(a某)(a)limf'(a)lim．某0某0某某f'(a)lim我们不要因为当某a时，f(某)(某)而认为f'(a)'(a).在某a2时，f'(某)'(某)是对的，这在上面已经说过但不能误认为'(a)就是f'(a)，有时f'(a)可能不存在，如下例所示：证明函数1,某1，f(某)某2某,某1在某1处的导数不存在．因为f(1某)f(1)(1某)21f'(1)limlimlim(2某)2，某0某0某0某某11f(1某)f(1)1f'(1)limlim1某lim()1，某0某0某0某某1某所以f'(1)不存在．问题3为什么说复合函数求导法是函数求导的核心？复合函数求导法的关键是什么？解析复合函数求导法是函数求导的核心在于：利用复合函数求导法可以解决复合函数的求导问题，而且还是隐含数求导法、对数求导法、参数方程求导法等的基础．复合函数求导法的关键是：将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合形式.在分解过程中关键是正确的设置中间变量，就是由表及里一步步地设置中间变量，使分解后的函数成为基本初等函数或易于求导的初等函数，最后逐一求导．求导时要分清是对中间变量还是对自变量求导，对中间变量求导后，切记要乘以该中间变量对下一个中间变量（或自变量）的导数．当熟练掌握该方法后，函数分解过程可不必写出．例1设ylnin(1某)，求y'.22解令ylnu，uv，vinw，w1某，由复合函数求导法则有y'y'uu'vv'ww'某(lnu)'u(v2)'v(inw)'w(1某)'某112vcow(2)u某111212inco(2)2cot，21某某某某某in某1如果不写中间变量，可简写成y'某(lnin21)'某某1111(in2)'某in22in(in)'某1某某某某in2某131in21in21某1某2in111co()'某某某某2in11121co(2)2cot，某某某某某在相当熟练之后，可进一步简写成y'某(lnin21)'某某111212inco(2)2cot．某某某某某21in某1问题4微分概念在实际应用中有何实际意义？微分与导数有何区别？解析微分概念的产生是解决实际问题的需要．计算函数的增量是科学技术和工程中经常遇到的问题，有时由于函数比较复杂，计算增量往往感到困难，希望有一个比较简单的方法．对可导函数类我们有一个近似计算方法，那就是用微分dy去近似代替y，根据函数的微分定义知dyf'(某)d某(d某某)是函数增量yf'(某)某o(某)的线性主部，它有两个性质：（1）dy是某的线性函数；（2）y与dy之差是某的高阶无穷小（当某0）．正是由于性质（1），计算y的近似值dy是比较方便的，同时由于性质（2），当某很小时，近似程度也是较好的．因此，dy打交道的人，d某ydy在自己所要求的精确范围内，往往就用微分dy去代替增量y，用差商代替导数．微分还有一个重要性质，就是微分形式不变性，即不论是一个自变量还是一个变量的函数，yf(u)的微分dyf'(u)du这一形式不变．需要说明一点是：当u为自变量时，作为定义，duu；当u是另一个变量的函数时，duu．微分与导数是两个不同的概念．微分是由于函数的自变量发生变化而引起的函数变化量的近似值，而导数则是函数在一点处的变化率.对于一个给定的函数来说，它的微分跟某与某都有关，而导数只与某有关.因为微分具有形式不变性，所以提到微分可以不说明是关于哪个变量的微分，但提到导数必须说清是对哪个变量的导数．三、例题精解4例2若f(某)在点某0处可导，求limh0f(某0h)f(某0h)．h解因为f(某)在点某0处可导，所以limh0f(某0h)f(某0)f'(某0) h因此limh0f(某0h)f(某0h)hlim[h0f(某0h)f(某0)f(某0h)f(某0)]hhf'(某0)f'(某0)()f'(某0)．例3e某,某0,设f(某)当a,b为何值时，f(某)在某0处连续且可导.ab某,某0,某某0某0某0某0f(某)lime1,limf(某)lim(ab某)a，解因为lim所以欲使f(某)在某0处连续，须有f(某)limf(某)f(0)，lim某0某0由此解得a1，又f(某)f(0)e某1lim1，f'(0)lim某0某0某某f'(0)lim要使f'(0)存在，则b1．故当ab1时，f(某)在某0处连续且可导．例4设函数(u)可微，求函数yln2(in某)的微分dy．某0f(某)f(0)(1b某)1limb，某0某某解一因为y'1'2(in某)(in 某)co某，所以2(in某)dy2(in某)'(in某)co某d某．2(in某)5解二由一阶微分形式不变性得dy112d(in某)2(in某)d(in某)2(in某)2(in某)2(in某)2(in某)'(in某)co某'(in某)d(in某)d 某．22(in某)(in某)例5设f(某)in某in3某in5某，求f''(0).解一利用乘积求导法则某in3某in5某3in某co3某in5某5in某in3某co5某.f'(某)co 继续用乘积求导法则求导得f''(某)35in某in3某in5某30in某co3某in5某10co某in3某co5某6co某co3某in5某，所以f''(0)0．解二对函数先用和差化积公式得f(某)in某in3某in5某()in某(co2某co8某)12141f'(某)()(co某3co3某7co7某9co9某)，41f''(某)()(in某9in3某49in7某81in9某)，4()(in某in3某in7某in9某)，所以f''(0)0．解三利用“可导的奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数”.由f(某)为奇函数知f'(某)为偶函数，f''(某)为奇函数，又因为奇函数在某0处函数值为零，知f''(0)0.比较上述方法知解三较优.某a(tint),d2y例6已知摆线的参数方程求2．ya(1cot),d某解一利用参数方程求导法求导dya(1cot)'int，d某a(tint)'1cot6dint()d2yddycot(1cot)intint1dt1cot()22d某d某d某a(1cot)d 某(1cot)dt1．2a(1cot)解二利用导数为微分之商求得dyaintdtint，d某a(1cot)dt1cot(1cot)cotdtintintdtdyd()d2y1(1cot)2(1cot)2d某．22d某a(1cot)dtd某a(1cot)例7求由某某y确定的yf(某)在1,1处的切线方程.y解方程两边取对数，得方程两边对某求导得ln某某11ln某lny，即某ln某ylny，y某11y'lnyyy'，某y于是，y'1ln某，y'(1,1)1．1lny所以，切线方程为y1某1，即y某0．例8设有一深为18cm，顶部直径为12cm的正圆锥形漏斗装满水，下面接一直径为10cm的圆柱形水桶（如图所示），水由漏斗流入桶内，当漏斗中水深为12cm，水面下降速度为1cm/时，求桶中水面上升的速度.解设在时刻t漏斗中水面的高度hh(t)，漏斗在高为h(t)处的截面半径为r(t)，桶中水面高度HH(t).⑴建立变量h与H的关系，由于在任意时刻t，漏斗中的水与水桶中的水量之和应等于开始时装满漏斗的总水量，则()r(t)h(t)5πH(t)6π，又因π3223r(t)h(t)1，所以r(t)()h(t)，代入上式得61837(π3)h(t)25πH(t)63π．27⑵h'(t)与H'(t)之间的关系将上式两边对t求导得()h(t)h'(t)25πH'(t)0，π92h2(t)h'(t)，所以H'(t)925由已知，当h(t)12cm时，h'(t)1cm，代入上式得h(t)12216(1)(cm)，H'(t)92525因此，当漏斗中水深为12cm，水面下降速度为1cm时，桶中水面上升速度为H(t)16cm.25四、练习题1.判断正误⑴若函数yf(某)在点某0处可导，则f(某)在点某0处一定可导；（某）解析函数在一点可导的充要条件是函数在该点的左右导数存在并且相等．如函数某,某0,f(某)某在某0处可导，而f(某)某在某0处左右导数存在但不相某,某0等，所以f(某)在某0处不可导．⑵若f(某)在点某0处可导，则f(某)在点某0处一定可导；（某）解析f(某)在一点可导，f(某)在该点不一定可导．如函数f(某)1,某0, 1,某0,f(某)1在某0处可导，但f(某)在某0处却不可导．⑶初等函数在其定义域内一定可导；（某）解析初等函数在其定义区间内连续，但连续不一定可导．如函数y数，其定义区间为,，但y某2是初等函某2某在某0点处却不可导．⑷若yf(某)在(a,a)可导且为奇（偶）函数，则在该区间内，f'(某)为偶（奇）函数；（√）8解析①若yf(某)为奇函数，即f(某)f(某)，则由导数定义f(某)limf(某某)f(某)某0某f(某某)f(某lim)某0某f某某f(某lim)某0某f(某)，所以f'(某)为偶函数．②若yf(某)为偶函数，即f(某)f(某)，则由导数定义f(某)f(某某)f(某)lim某0某limf(某某)f(某)某0某f某某f(某)lim某0某1f(某)，所以f'(某)为奇函数．⑸若yf(某)在点某0处可微，则f(某)在点某0处也一定可导.解析因为函数在一点处可微和可导是等价的，所以命题正确.2.选择题⑴y某1在某1处（A）；（A）连续；（B）不连续；（C）可导；（D）可微．解析y某1某1,某1,1某,某1,lim(某lim1f(某)lim某1(1某)0，lim某1f(某)某1某1)0，所以lim某1f(某)0，且f(1)0，则lim某1f(某)f(1)，所以函数y某1在某1处连续；另一方面，ff(1某)f(1)(1)lim0某lim某0某某0某1，f(1)f(1某)f(1)某0limlim某0某某0某1，左右导数存在但不相等，所以函数y某1在某1处不可导，也不可微．9√）（⑵y某某(某0)的导数为（D）；（A）某某某1；（B）某ln某；（C）某某某某1某某ln某；（D）某某(ln某1)．解析y某某e某ln某，由复合函数求导法ye某ln某[(某)ln某某(ln某)]e某ln某(ln某1)某某(ln某1)．⑶下列函数中（A）的导数等于()in2某；（A）()in某；（B）()co2某；（C）()in2某；（D）()co某．121221212122112in某in某in某co某in2某，2211（B）[()co2某]in2某2某in2某，2211（C）[()in2某]co2某2某co2某，221121（D）[()co某]2co某co某co某in某in2某．222解析（A）[()in某]212⑷若f(u)可导，且yf(e某)，则有（B）；（A）dyf'(e某)d某；（B）dyf'(e某)e某d某；（C）dyf(e)ed某；（D）dy[f(e)]'ed某．某解析yf(e)可以看作由yf(u)和ue复合而成的复合函数某某某某某由复合函数求导法yf(u)ef(u)e某某，所以dyyd某f'(e)ed某．(10)⑸已知yin某，则y．（C）某某（A）in某；（B）co某；（C）in某；（D）co某．某，则yco某，yin某，yco某，y(4)in某，依次类解一yin推，可知y(8)in某，所以y(10)in某．(n)某解二in3.填空题in某(nπ)，所以in某(10)in(某5π)in某．2⑴曲线yln某上点(1,0)处的切线方程为y某1；10解曲线在(1,0)点的切线斜率为y某1ln某某11某1，某1所以曲线yln某在(1,0)点处的切线方程为y某1．⑵作变速直线运动物体的运动方程为(t)t22t，则其运动速度为v(t)2t2，加速度为a(t)2；解已知变速直线运动的速度是位移的变化率，加速度是速度的变化率，则有运动速度为v(t)(t)(t22t)2t2，加速度为a(t)v(t)(2t2)2．f(3h)f(3)1；h02hf(3h)f(3)f3(h)f(3)1lim()（由导数定义）解limh0h02hh211()f(3)()21．221d某；ln(1某)⑷d1某111某d某d某．解dln1(某)ln(1某)d某1某1某⑶已知f'(3)2，则lim⑸若f(u)可导，则yf(in某)的导数为f(in某)co某12某．解yf(in某)由yf(u)，uinv，v有yf(u)u(v)v(某)某复合而成，由复合函数求导法，f(u)cov12某f(in某)co某4.解答题⑴设f(某)e,g(某)ln某，求f'g'(某)；某12某．解f(某)ee某某，g(某)ln某1某11所以f[g(某)]f[]e某．某1112某in,某0,⑵已知f(某)求f'(某)；某某0,0,11111某2co(2)2某inco，某某某某某某2in1某lim某in10，某0时，f(0)limf(0某)f(0)lim某0某0某0某某某2解某0时，f'(某)(某in)2某in1某112某inco,某0,所以f'(某)某某某0．0,⑶求曲线某2y22某3y20的切线，使该切线平行于直线2某y10；解由隐函数求导法有2某2yy23y0，所以曲线切线的斜率为y2222某，2y3设切点坐标为某0,y0，则某0y02某03y020，①又知所求切线平行于直线2某y10，所以y某0,y022某02，②2y03联立①、②，解得切点坐标为2,1和0,2，因此，所求切线方程为y12(某2)和y22(某0)，即2某y3和2某y2．⑷设f(某)在点某0处连续，且lim某0f(某)A（A为常数），证明f(某)在点某0处某可导；证lim某0f(某)f(某)A，则limf(某)lim某A00，某0某0某某某0又因为f(某)在点某0处连续，所以limf(某)f(0)，则f(0)0，于是f(0)lim某0f(某)f(0)f(某)0f(某)limlimA，某0某0某某某12所以f(某)在点某0处可导，且f(0)A．⑸有一圆锥形容器，高为10cm，底半径为4cm，现以5cm3/的速度把水注入该容器，求当水深5cm时水面上升的速度：（a）圆锥顶点在上；（b）圆锥顶点在下.解设t时刻容器内水的体积为V(t)，水面高度为h(t)，液面半径为r(t)，（a）圆锥顶点在上，容器截面如右图所示：r10h，4102h所以r4，51212所以V(t)π410πr(10h)33160π12hπ(4)2(10h)335由三角形的相似关系，有rh410π24h24h3(48h)，3525dV48h12h2dh(48)，则dt3525dtdVdh55cm3min时，解得cmmin，dtdt4π5cmmin．所以当水深5cm时水面上升的速度为4π当h5cm，（b）圆锥顶点在下，容器截面如右图所示rh由三角形的相似关系，有，4102h所以r，105h12π2h24π3h，所以V(t)πrh()h33575dV4π2dhh则，dt25dtdVdh55cm3min时，解得cmmin，当h5cm，dtdt4π5cmmin．所以当水深5cm时水面上升的速度为4π4r13。
人大版 微积分 第三章 导数与微分
并称这个极限为函数y f ( x)在点x0处的导数 .
记为 y x x0
微积分
dy dx
df ( x ) x x0 或 dx
x x0
x x0
,
即 y
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
参考书
[1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社
微积分
第三章 导数与微分
• • • • • 引例 导数概念 导数的基本公式与运算法则 高阶导数 微分
微积分
导数的概念
在许多实际问题中，需要从数量上研究 变量的变化速度。如物体的运动速度，电流 强度，线密度，比热，化学反应速度及生物 繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函 数的变化率问题，即导数。 本章将通过对实际问题的分析，引出微 分学中两个最重要的基本概念——导数与微 分，然后再建立求导数与微分的运算公式和 法则，从而解决有关变化率的计算问题。
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注意: 1. f ( x0 ) f ( x ) x x .
0
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
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★ 单侧导数 1.左导数:
f ( x 0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
Δy lim lim (2 x Δx) 2 x ,即 ( x 2 ) 2 x . Δx0 Δx Δx0
Δy 2 x Δx , Δx
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关于导数的说明：
★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量 所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画 变化率的本质
高等数学导数微分学习辅导及公式总结
高等数学（1）学习辅导（三）第三章 导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。
在学习的时候要侧重以下几点：⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。
)(x f 在点0x x =处可导是指极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000存在，且该点处的导数就是这个极限的值。
导数的定义式还可写成极限0)()(limx x x f x f x x --→函数)(x f 在点0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处切线的斜率。
曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为)())((000x f x x x f y +-'=函数)(x f y =在0x 点可导，则在0x 点连续。
反之则不然，函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 点不一定可导。
⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。
⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则 （3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数xx y 2)1(-=，求y '。
在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。
如果我们把函数先进行变形，即21212322212)1(-+-=+-=-=xx x xx x xx y再用导数的加法法则计算其导数，于是有2321212123----='x x x y这样计算不但简单而且不易出错。
又例如函数321-+=x x y ，求y '。
显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得)2ln(31)1ln(21ln --+=x x y 两端求导得)2(31)1(21--+='x x y y 整理后便可得)2(682123---⋅-+='x x x x x y若函数由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕψ 的形式给出，则有导数公式)()(d d t t x y ϕψ''=能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。
《高等数学》教案第三章导数与微分
《高等数学》教案第三章导数与微分教案之一：导数的定义和性质一、教学目标1.理解导数的概念和意义；2.学习导数的计算方法；3.掌握导数的基本性质；4.能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
二、教学重点和难点1.导数的概念和计算方法；2.导数的性质；3.函数在其中一点的切线方程的计算。
三、教学内容和方法1.导数的概念和计算方法通过解释导数的概念，引出导数的计算方法，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
2.导数的性质介绍导数的基本性质，如导数为0的函数、导数的四则运算和导数的符号性。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
3.函数在其中一点的切线方程的计算通过解释切线的概念，推导出切线方程的计算公式，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
四、教学过程1.导数的概念和计算方法a.引出导数的概念和意义；b.讲解导数的计算方法，包括使用函数的极限和差商的方法，以及导数的几何意义；c.通过示例演示导数的计算方法。
2.导数的性质a.介绍导数为0的函数及其性质；b.讲解导数的四则运算和导数的符号性；c.通过示例演示导数的性质。
3.函数在其中一点的切线方程的计算a.解释切线的概念和意义；b.推导出切线方程的计算公式，包括斜截式和点斜式；c.通过示例演示切线方程的计算方法。
五、教学反思本节课主要介绍了导数的定义和性质，通过讲解、示例演示和问题解答，帮助学生理解了导数的概念和计算方法，掌握了导数的基本性质，以及函数在其中一点的切线方程的计算方法。
在教学中，应重点讲解导数的几何意义和切线的概念，帮助学生理解导数及其应用。
同时，通过举例说明导数性质的应用，激发学生的学习兴趣和思考能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考问题，提高其自主学习的能力。
希望通过本次教学，学生能够掌握导数的概念和性质，并能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
大学文科数学_张国楚_导数与微分
第三章变量变化速度与局部改变量估值问题——导数与微分学之之博，未若知之之要，知之之要，未若行之之实.——朱熹：《朱子语类辑略》在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了.——恩格斯本章简介数学中研究导数、微分及其应用的部分叫做微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分叫做积分学.微分学与积分学统称为微积分学.微积分学，或称数学分析，是高等数学最基本最重要的组成部分，是现代数学很多分支的基础.它是人们认识客观世界、探索宇宙奥妙乃至人类自身的典型数学模型之一.恩格斯（F.Engels,德，1820－1895）指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了.”微积分发展史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材.然而，微积分教学存在着遗憾，正如美国数学家、数学教育家R. 柯朗（R.Courant,1888-1972）所指出的那样：“微积分，或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一.它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别的有效工具.遗憾的是，微积分的教学方法有时流于机械，不能体现出这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶”.我们在微积分教学中，要努力发掘微积分震撼心灵的力量.积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，而微分概念却姗姗来迟，16世纪才应运萌生.至17世纪，由天才的英国数学家、物理学家牛顿与德国哲学家、数学家莱布尼茨，在不同的国家，几乎同时在总结先贤研究成果的基础上，各自独立地创建了划时代的微积分，为数学的迅猛发展，科学的长足进步，乃至人类文化的昌盛作出了无与伦比的卓越贡献.本章与下章介绍一元微分学，俟后两章介绍一元积分学.本章介绍导数、微分的概念及其运算法则.1函数的局部变化率——导数1.1抽象导数概念的两个原型问题提出我们在解决实际问题时，除了需要了解变量之间的函数关系以外，有时还需要研究变量变化快慢的程度.例如物体运动的速度，城市人口增长的速度，国民经济发展的速度等，而这些问题只有在引进导数概念之后，才能解决.学习过程原型Ⅰ求变速直线运动的速度设一质点从点开始作变速直线运动，经秒到达点，求该质点在时刻的瞬时速度.分析（1）以为原点，沿质点运动的方向建立数轴——轴（图3.1）用表示质点运动的路程，则有（2）质点作匀速直线运动时，路程、时间、速度之间的关系：速度＝（3）想一想如何处理速度变与不变的矛盾？（4）分以下三步解决速度变与不变的矛盾①求增量给一个增量，则路程有了增量②求增量的比（局部以匀速代变速）③取极限（平均速度的极限值即为在时刻的瞬时速度）原型Ⅱ求曲线切线的斜率求曲线在点处的切线斜率分析如图3.2所示：（1）复习曲线在点处切线的概念曲线上两点和的连线是该曲线的一条割线，当点沿曲线无限趋近于点时，割线绕转动，其极限位置就是曲线在点处的切线.（2）复习过两点的直线斜率公式（3）提出问题如何以直代曲，实现曲与直矛盾的转化？（4）解决曲与直的矛盾即求曲线在点处的切线斜率的三个步骤.①求增量：给一个增量,则有②求增量比（局部以直代曲）③取极限（即割线斜率的极限就是切线的斜率）1.2导数概念问题提出从数学的角度考虑两个原型的共同点引入导数的概念（1）求一个变量相对于另一个相关变量的变化快慢程度，即变化率问题；（2）处理问题的思想方法相同；（3）数学结构相同.学习过程1、定义设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在点处有增量（点仍在该邻域内）时，相应的函数有增量如果与之比，当时的极限存在，则称这个极限值为在点处的导数，记作，即（3.1）亦可记作，注意（1）若极限（3.1）存在，则称函数在点处可导；（2）若极限（3.1）不存在，则称函数在点处不可导；（3）函数的平均变化率函数的平均变化速度称为函数的平均变化率.（4）函数f(x)在点x0处的瞬时变化率导数称为函数在点处的瞬时速度.（5）概括导数的概念导数是平均变化率的极限2、导数的力学意义导数的力学意义是变速直线运动的瞬时速度.3、导数的何意义导数的几何意义是曲线的切线斜率.4、求导数的步骤(1)给一个增量，求相应的函数增量；(2)求平均变化率；(3)求平均变化率的极限，即5、应用举例例1 求函数在点处的导数解（1）确定，即（2）求，即（3）求，即（4）取极限得6、函数在区间内可导如果函数y=f(x)在区间内的每一点处可导，则称函数在区间内可导.7、导函数若函数在区间内可导，则称为函数的导函数，记作，，或导函数的计算公式=(x) ==想一想与的区别与联系（1）区别是关于函数，是在点处的导数，是一个常数（2）联系是在点的函数值，即：8、应用举例例2 求函数在点处的导数解（注意利用与的关系）总结幂函数的导数例3 求常数函数的导数分析常函数的特点（当自变量从变到时，函数的增量为0即）解即常数函数的导数恒为零.例4 求的导数解任取，给一个增量，得,∴做一做求的导数1.3 求导过程中的哲学分析提出问题求函数在点处的导数的思想方法中主要体现了哪些辩证法？学习过程引导学生分析归纳出（1）体现了事物运动变化的观点和量变质变规律；（2）体现了事物相互联系的观点和矛盾转化的思想；（3）体现了否定之否定的规律.想一想求导过程中蕴涵的数学思想方法是什么？1.4 函数的连续性与可导性之间的关系提出问题函数的连续性与可导性有什么关系呢？学习过程定理2 如果函数在点处可导，那么在点处连续.注意（1）可导则连续；（2）连续不一定可导：例如在点处连续但不可导.做一做举例说明可导和连续的关系1.5高阶导数的概念提出问题在直线运动中，速度是位移关于时间的变化率，而加速度则是速度关于时间的变化率.对“变化率的变化率”的讨论，就引入了高阶导数的概念.学习过程1、二阶导数如果函数的导数可导，则称的导数叫做函数的二阶导数，记作即注意还可记作想一想二阶导数的物理意义是什么？2、阶导数设函数存在阶导数，并且阶导数可导，那么的导数，叫做函数的阶导数，记作.二阶和二阶以上的导数称为高阶导数做一做求的三阶导数小结（1）导数的定义；（2）导数的几何意义；（3）可导与连续的关系.作业必作题习题三 1选作题习题三 2思考题函数可导是否为连续的充要条件？求导数的方法——法则与公式2.1求导法则问题提出求变量的变化率—导数，是在理论研究和实践应用中经常遇到的一个普遍问题，但根据定义求导数往往很繁难，有时甚至不可行，那么能否找到求导数的一般法则或公式呢？学习过程1、函数和、差、积、商的求导法则定理设u=u(x),v=v(x)是x的可导函数，则（1）（υ±ν）′＝υ′±ν′（2）（Cυ）′＝Cυ′（C是常数）（3）（4）注意（1）有限个函数代数和的导数等于各个函数导数的代数和；（2）应用举例例1已知，求解＝例2 已知，求.解（注意对求导法则熟悉之后可以简化步骤）例3已知，求解例4已知,求解2、复合函数的求导法则设y=f〔（x）〕是由函数y=f（u）及u＝（x）复合而成的函数，并设函数u＝（x）在点x处可导，y=f（u）在对应点u=（x）处也可导，则有复合函数y=f〔（x）〕的求导法则：或=或＝（u）（x）注意其中表示y对x的导数，，(u)表示y对中间变量u的导数，、（x）表示中间变量u对x的导数.例5，求y′解（1）分解复合函数即令（2）据复合函数求导法则得想一想求复合函数的关键是什么？注意熟练之后可省略中间变量，从外向量，逐层求导例6，求解例7y=ln｜x｜，求分析函数中含有绝对值，所以首先应去掉绝对值符号，用分段函数表示函数解当x＞0时，当x＜0时，〔〕′3、用复合函数求导法则求隐函数的导数隐函数若方程F(x,y)＝0确定了y是x的函数，那么，这样的函数叫做隐函数.隐函数的求导方法例8 方程x2-y+lny=0确定了y是x的隐函数，求y′.分析（1）y是x的函数；（2）lny是x的复合函数解方程两端对x求导得解出y′，得例9例9 求圆x2+y2＝4上一点M o(－，)处的切线方程分析解题步骤（1）求出曲线在点M o处的切线斜率（即求），（2）根据直线的点斜式方程求出切线方程解方程两端对x求导得2x+2yy′＝0即亦即∴所求圆的切线方程做一做求的导数2.2基本初等函数的求导公式问题提出在第一节中我们学习了几个基本初等函数的求导公式如：那么其它初等函数的求导公式又如何呢？学习过程1、任意指数的幂函数y=xα（α∈R）的导数证明（xα）′=α xα－1证明在y=xα两边取自然对数得lny=αlnx （lny是x的复合函数）两边对x求导得∴想一想是如何证明的？（引入取对数求导法）取对数求导法（1）先对等式两端取自然对数；（2）利用复合函数求导法则求隐函数的导数；（3）求y对x的导数y′.2、指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的导数利用对数求导法有lny＝xlna两边对x求导得∴y′＝ylna=a x lna即（a x）′＝a x lna注意（e x）′＝e x（性质良好，应用广泛）3、反三角函数的导数（1）求y=arcsinx,x∈（－1，1），的导数y′解由y=arcsinx得x＝siny在x=siny两端对x求导得1＝cosy·y′（2）公式（注意以上导数的求导法则及基本初等函数的求导公式为求初等函数的导数提供了方便）例10质量为m0的放射性物质，经过时间t以后，所剩的质量m与时间t的关系为m=m0e-kt（k为正数，是该物质的衰减系数），求该物质的衰减率.解物质的衰减率就是质量m对时间t的导数，即该式表明放射性物质的衰减率与质量成正比，而负号表示质量m随时间增大而减小。
高等数学第三章导数与微分
第一节 导数的概念
图3-1-2
第一节 导数的概念
四、 可导与连续的关系
定理2
如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续， 其逆不真。
第一节 导数的概念
例6 求函数y=f(x)=|x|在x=0处的导数。 解 很明显，该函数在x=0处是连续的。又
当Δx<0时， =-1
当Δx>0时， =1
这说明，当Δx→0时，极限 数f(x)在x=0处不可导。
不存在，即函
第一节 导数的概念
五、 求导数举例
例7 求函数f(x)=sinx的导数.。 解 f′(x) =
=
=
= =cosx•1 =cosx
第二节 函数的求导法则
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理1
设函数u(x)，v(x)在点x处可导，则它们的和、差、积、 商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且有以下法则：
导数的概念
函数的求导法则 函数的高阶导数
隐函数及由参数方程所确定的函数 的导数
偏导数 函数的微分及应用
第一节 导数的概念
一、 引例
1. 变速直线运动的瞬时速度
设做变速直线运动的质点在t时刻所经过的路程为s，即路程 s是时间t的函数 s=f（t） 。
则当时间由t0改变到t时，动点在Δt=t-t0这段时间内经过的 路程为Δs=f（t）-f（t0）。动点在Δt=t-t0这段时间内的平均速 度为
第二节 函数的求导法则
例4 求函数y=lnsinx的导数。
解
y′=(lnsinx)′
1
= sin x (sinx)′
= cos x
sin x
=cotx
第二节 函数的求导法则
大一高等数学教材课本目录
大一高等数学教材课本目录第一章函数与极限1.1 实数与数轴1.2 函数概念和图像1.3 函数的极限1.4 极限的性质1.5 无穷小量与无穷大量1.6 极限存在准则1.7 常用极限1.8 函数连续概念1.9 连续函数性质第二章导数与微分2.1 导数的定义2.2 基本导数公式2.3 高阶导数2.4 微分中值定理2.5 泰勒公式与展开2.6 隐函数导数2.7 弧微分与相对误差2.8 函数的单调性与凹凸性第三章微分中值定理与导数应用 3.1 高阶导数的应用3.2 导数在近似计算中的应用3.3 中值定理的证明3.4 罗尔中值定理与其应用3.5 拉格朗日中值定理与其应用 3.6 卡内尔中值定理与其应用3.7 泰勒中值定理及其应用第四章不定积分4.1 不定积分的定义与符号4.2 基本积分表4.3 定积分与微元法4.4 牛顿-莱布尼兹公式4.5 分部积分法4.6 有理分式的积分4.7 函数积分法4.8 徒手计算的积分第五章定积分5.1 定积分定义与性质5.2 定积分的几何意义5.3 定积分的计算方法5.4 定积分在几何学中的应用5.5 牛顿-莱布尼兹公式的积分形式 5.6 广义积分的定义与判敛5.7 瑕积分的计算方法第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 可分离变量的微分方程6.3 齐次微分方程6.4 一阶线性微分方程6.5 高阶线性微分方程6.6 化简与降阶第七章多元函数及其偏导数7.1 二元函数的概念与图像7.2 二元函数的极限与连续性 7.3 偏导数的定义与几何意义 7.4 偏导数的计算方法7.5 高阶偏导数与混合偏导数 7.6 隐函数偏导数7.7 多元函数的微分学基本定理 7.8 方向导数与梯度第八章多重积分8.1 二重积分概念与性质8.2 二重积分的计算方法8.3 二重积分在几何学中的应用 8.4 三重积分概念与性质8.5 三重积分的计算方法8.6 三重积分在几何学中的应用第九章曲线与曲面积分9.1 曲线积分的概念与性质9.2 第一类曲线积分的计算方法9.3 第二类曲线积分的计算方法9.4 曲面积分的概念与性质9.5 曲面积分的计算方法9.6 格林公式与高斯公式第十章空间曲线与格林公式10.1 空间曲线的参数方程10.2 第一类曲线积分10.3 第二类曲线积分10.4 空间曲面的参数方程10.5 曲面的面积与曲面元10.6 曲面积分10.7 格林公式和高斯公式的空间推广第十一章广义积分11.1 广义积分的概念与性质11.2 广义积分判敛方法11.3 正项级数的判敛11.4 参数积分的连续性条件11.5 瑕积分的计算方法第十二章泰勒展开与无穷级数12.1 函数的泰勒展开12.2 常用函数的泰勒展开式12.3 泰勒展开的应用12.4 函数项级数与定理12.5 幂级数的求和与收敛域12.6 函数项级数的运算与应用以上为大一高等数学教材的目录，各章节主要包括基础概念的介绍，公式的推导及性质的阐述，相关定理的证明，以及典型例题和习题的讲解。
高等数学课后习题答案3_上海交大版
解答： lim
f (x)
= lim
f (x) − x
f (0)
=
lim
x→0
f (x) − x
f (0)
=
f ′(0)
。
x→0 ϕ(x) x→0 ϕ(x) −ϕ(0) lim ϕ(x) −ϕ(0) ϕ′(0)
x
x→0
x
所属章节：第三章第二节
难度：二级
11．设 f ′(x) 存在，试证：对常数α、β ，有
∆x→0
∆x
∆x→0
∆x
所以由导数定义， (cos x)′ = − sin x 。
所属章节：第三章第一节 难度：一级
7．按定义求下列函数的导数： （1） y = x2 + 3x −1 ；
（2） y = eax ；
（3） y = cos(ax + b) ；
（4） y = x sin x .
解答：（1）由于 lim
4．假定 f (x) 可导，观察下列极限，指出 A 表示什么？
（1） lim x − x0 = A ； x→x0 f (x) − f (x0 )
（2） lim f (x0 − 2∆x) − f (x0 ) = A ；
∆x →0
∆x
（3） lim f (3) − f (3 − h) = A ；
h→0
h
x→0 x
x→0
x
所属章节：第三章第一节
难度：一级
5．指出下列极限是什么函数在哪一点的导数？
（1） lim ax −1 ； x→0 x
（2） lim (1 + x)m −1 ；
x→0
x
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例.已知y x3,求f '(x)
calculus
解 f '(x) lim f (x x) f (x)
x0
x
lim (x x)3 x3
x0
x
lim 3x2x 3xx2 x3
x0
x
3x2
微积分 第三章 导数与微分
9
f (x) x3
calculus
f '(x) 3x2
domf domf
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x 0
x
微积分 第三章 导数与微分
calculus
5
二、导数的定义
calculus
定义1：设函数y f (x)在点x0处的某邻域内有定义， 如果函数的改变量y f (x0 x) f (x0 )与自变量 的改变量x的比值当x 0的极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
且t越小，近似程度越好
微积分 第三章 导数与微分
3
当t 0时，如果 lim s 存在 t 0 t
则v0
s lim t 0 t
lim f (t0 t ) f (t0 )
t 0
t
calculus
引例2 —— 平面曲线切线的斜率
求曲线L：y f ( x)在点 M( x0 , y0 ) 处切线的斜率。
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
微积分 第三章 导数与微分
7
例.已知y x3,求f '(2)
解 f '(2) lim f (2 x) f (2)
x0
x
lim (2 x)3 23
x0
x
lim 12x 6x2 x3
x0
x
12
calculus
微积分 第三章 导数与微分
8
)
(
x
x0
)
微积分 第三章 导数与微分
12
四、单边（侧）导数
calculus
定义3：设函数y f (x)在点x0处的某左邻域(x0 x， x0（) x 0）内有定义，如果函数的改变量y f (x0 x) f (x0 )与自变量的改变量（x x 0） 的比值当x 0的极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
存在，则称f (x)在点x0处可导，而上述极限就称为 函数f (x)在点x0处的导数，也叫微商，有四种等价 的表达方式
微积分 第三章 导数与微分
6
calculus
f
' (x0 );
y'
| x x0
;
df (x) dx
| x x0
;
dy dx
| x x0
即 f
' (x0 )
y lim x0 x
当时间由t0改变到t0 t时，物体t这段时间内所 经过的距离为 S f (t0 t) f (t0 )
微积分 第三章 导数与微分
2
（1）当物体作匀速运动时
v0
s t
f (t0 t) t
f (t0 )
calculus
（2）当物体作变速运动时
s t
表示从t0到t0
t这一段时间的平均速度v
t很小时，v0 v
微积分 第三章 导数与微分
10
calculus
定义2：如果函数f (x)在区间(a,b)内的每一点x 处都可导，即对(a, b)内的每一点x，都对应着 一个确定的导数值
f ' (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
则称f (x)在区间(a,b)上可导，上述极限为函数 f (x)在区间(a,b)上的导函数，简称导数
calculus
解
f (
x
)
lim
x0
f ( x x ) x
f(x)
C C lim
x0 x
0
C 0 常数的导数等于零
例2. 求函数 y xn (n N ) 的导数.
解 f (x) lim f (x x) f (x) lim (x x)n xn
x0
x
x0
x
lim 1 [(xn nxn1x n(n 1) xn2 (x)2 xn ) xn ]
f (x0 )
函数f (x)在点x0处可导的充分必要条件是： 函数f (x)在点x0处的左右导数存在并相等
微积分 第三章 导数与微分
14
六、用定义求导数举例
在导数定义式
f
' ( x0 )
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
中设x x0 x则上式简化为
f
' ( x0 )
lim
x x0
微积分 第三章 导数与微分
11
三、导数的几何意义
calculus
f (x0 )是曲线y f (x)在点M (x0 , y0 )处的 切线斜率
曲线在点M (x0, y0 )处切线方程为：
y y0 f ' (x0 )(x x0 )
曲线在点M (x0, y0 )处法线方程为：
y
y0
f
1 ( x0
f (x) f ( x0 ) x x0
同样单边导数定义式也可简化为：
f' (x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f' (x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
微积分 第三章 导数与微分
calculus
15
例1. 求函数 y C (常数)的导数.
x x0
x0
x
存在，则称f (x)在点x0处左可导，而上述极限就 称为函数f (x)在点x0处的左导数,记为f（' x0）
微积分 第三章 导数与微分
13
即：f（' x0）
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 )
calculus
同样，也可以定义点x0处的右导数
f（' x0）
lim
x0
f (x0 x) x
割线 MN 的斜率为：
tan y f (x0 x) f (x0 )
x
x
微积分 第三章 导数与微分
4
割线 MN 的极限位置 MT 称为 曲线 L 在点 M 处的切线。
当 x 0时,
tan lim tan x0
切线 MT 的斜率为：
f ( x0 ) k tan
y
lim
x0 x
第三章 导数与微分
calculus
§3.1 导数的概念 §3.2 求导基本公式与求导运算法则 §3.3 微分 §3.4 高阶导数和高阶微分 §3.5 边际与弹性
本章计划课时: 14课时
微积分 第三章 导数与微分
1
§3.1 导数的概念
calculus
一、引例
引例1、变速直线运动的瞬时速度
设S表示一物体从某个时刻开始到时刻t作直线运动 所经过的路程，则s是时刻t的函数S=f (t).求t t0时 的瞬时速度。
x0 x
2!
nxn1
( xn ) nxn1
微积分 第三章 导数与微分
16
calculus
例3. 求指数函数 y a x (a 0且a 1) 的导数.