No31 内积空间正规矩阵.ppt215页PPT
第三章 内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵
复矩阵(向量)的4个一元运算()∀A=(a ij )∈C m ×n ,复矩阵(向量)的一元运算的性质11221122k A k A k A k A +=+ ;TT T A k A k A k A k 22112211)(+=+方阵A=(a ij )∈C n ×n 的迹定义为其所有对角元之和:行列式的性质方阵乘积的行列式公式重要特殊矩阵A=(a ij )∈C n ×n 称为对角矩阵,如果∀i ≠j,a ij =0;A称为上(下)三角矩阵,如果∀i>(<)j,a =0.特征值,特征向量λ∈C称为A=(aij)∈C n×n的一个特征值,如果存在0≠x∈C n,使得Ax=λx.此时,x称为A的特征向量.特征值、特征向量续三角矩阵A的所有对角元组成A的谱:σ(A)={a,…,a}.线性相关与线性无关定义1.1.3 (p.5): F上线性空间V中的向量组{α,…,α}是线性相关的充要条件是:在数域F线性映射与线性变换关于线性映射与线性变换的定义,请看教本第24页§3.1: 欧式空间,酉空间§3.2: 标准正交基,Schmidt方法第三章内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵§3.1: 欧式空间,酉空间从解析几何知二平面向量内积的概念定义3.1.1：设V是实数域R 上的n维线性空间,对V 中的任意两个向量α,β,按照某一确定法则对应着欧式空间的概念例3.1.1：∀α=(a 1,…,a n )T ,β=(b 1,…,b n )T ∈R n ,定义标准内积:(α,β)=a b +…+a b ,欧氏空间例1例3.1.2：∀α=(a 1,a 2)T ,β=(b 1,b 2)T ∈R 2,定义内积(R 2×R 2到R的映射):欧氏空间例2在R 2中至少可定义两个不同的内积.今后讨论R n 时都用例3.1.1中定义的内积.关于例1和例2的注例3.1.3:R m ×n ={(a ij )|a ij ∈R,i=1,…m,j=1,…,n}中任取A,B,定义内积:(A,B)=tr(A T B)=ΣΣa b .欧氏空间例3定义3.1.1：设V是复数域C 上的n维线性空间,对V 中的任意两个向量α,β,按照某一确定法则对应着酉空间的概念欧氏空间是酉空间的特例.关于欧式空间和酉空间的注酉空间例1例3.1.6：∀α=(a 1,…,a n )T ,β=(b 1,…,b n )T ∈C n ,酉空间例2例3.1.7：C m ×n ={(a ij )|a ij ∈C,i=1,…,m,j=1,…,n}§3.2: 标准正交基,Schmidt 方法欧氏空间中的C-S不等式推出:-1 ≤(α,β)/‖α‖‖β‖≤1正交的概念(,)1αβαβ≤§3.3: 酉变换,正交变换§3.6: 正规矩阵,Schur引理§3.8: Hermite矩阵,Hermite二次齐式§3.9: 正定二次齐式,正定Hermite矩阵证:设A∈H n×n,A(i1,…,ik)为A的第i1,…,ik行,列组成的k阶主子矩阵,易见:A(i,…,i)∈H n×n.(半)正定矩阵的任何主子矩阵仍为(半)正定证:因为(半)正定矩阵A的任何主子式都是(0或)正的定理:A ∈H n ×n 为正定⇔A的n个顺序主子式全为正:用主子式刻画(半)正定矩阵命题:A ∈H n ×n 为负定⇔-A为正定定理3.9.1:对任意A ∈H n ×n ,下列各条相互等价:定理3.9.3:对任意A ∈H n ×n ,下列各条相互等价:(1) A半正定:∀x ∈C n ,x *Ax ≥0半正定矩阵的基本定理命题:A ∈H n ×n 为半正定⇔∀ε>0,A+εE 为正定半正定矩阵是正定矩阵序列的极限命题:对任意A ∈H n ×n ,下列两条相互等价:半正定矩阵是正定矩阵序列的极限(续)(1) A ∈C n ×n 为(半)正定(半)正定矩阵的补充结果定理(3.9.4):每个(半)正定Hermite矩阵A都有唯下证唯一性.如果还有正定矩阵M=Wdiag(µ,…,µ)W *,使∀i,j,(√λi v ij )=(√λj v ij ) 每个(半)正定矩阵有唯一(半)正定平方根续再证与A可交换的矩阵X(XA=AX)必与B可交换.若XUdiag(λ,…,λ)U *=Udiag(λ,…,λ)U *X 每个(半)正定矩阵有唯一(半)正定平方根续试证:A,B ∈H n ×n 且A为正定⇒AB的特征值全为实数.应用举例例3.9.1:若A,B为同阶正定Hermite矩阵,应用举例命题:A,B ∈H n ×n 且B正定,则det(λB-A)=0的根全为实数.证明: B正定⇒有可逆矩阵P使P *BP=E;定理3.10.1:若A,B ∈H n ×n 且B为正定,则有T ∈C n n ×n 使二矩阵经复相合变换同时对角化易见: µ1,…,µn 是det(λE-T 1*AT 1)=0的根.二矩阵经复相合变换同时对角化定理3.10.4:若A,B ∈H n ×n 且B为正定,则有行列式等二矩阵经复相合变换同时对角化续定义3.11.1:由Hermite矩阵A定义的从C n –{0}到R 的下列函数:R(x)=x *Ax/x *x 称为矩阵A的Rayleigh商.§3.11: Rayleigh商(1)R(x)为x的齐次函数:∀0≠k ∈R ,R(kx)=R(x)(3)min x ≠0R(x)=λ1=min{λ1, …,λn };max R(x)=λ=max{λ, …,λ}.注:由(1)和(3)推出min x ≠0R(x)=min ‖x‖=1x *Ax,Rayleigh 商性质的注设M ∈H n ×n ,用λmin ,λmax 分别记M的最小,大特征值,则λ=min x *Ax,λ=max x *Ax.一个推论。
内积空间、正规矩阵5-7节
在谱定理的深化方面，可以研究更一般的矩阵类的谱定理，如非正规矩阵、算子矩 阵等，以及其在量子力学、量子计算等领域的应用。
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特征值问题的求解方法
常见的求解方法包括幂法、反幂法、QR算法等。这些方法各有优缺点，适用于不同类型的问题 。
幂法与反幂法求解特征值问题
幂法
幂法与反幂法的优缺点
通过迭代计算矩阵的幂来逼近最大特 征值和对应的特征向量。适用于求解 主特征值和特征向量。
幂法收敛速度快，但可能受到初始向 量的影响；反幂法收敛速度较慢，但 精度较高。
06 课程总结与展望
课程重点内容回顾
内积空间的基本概念与性质
包括内积的定义、性质，以及由内积导出的范数和距离等 概念。
正规矩阵的定义与性质
介绍了正规矩阵的定义，以及其与自共轭矩阵、酉矩阵等的关系，探讨了 正规矩阵的性质，如可对角化、特征值的模长等于矩阵的范数等。
谱定理
详细阐述了谱定理的内容，包括复正规矩阵的谱分解、实对称矩阵的 特征值分解等，以及其在矩阵分析和量子力学等领域的应用。
PageRank算法的应用
PageRank算法广泛应用于搜索引擎中，用于对网页进行 排名和推荐。此外，它还可以应用于社交网络、推荐系统 等领域。
03
PageRank算法与特征值问题的关系
PageRank算法可以转化为求解转移矩阵的特征值和特征 向量问题。通过计算转移矩阵的主特征值和对应的特征向 量，可以得到网页的PageRank值排名。
课程学习成果展示
掌握了内积空间的基本概念和性 质，能够熟练运用内积、范数和 距离等概念进行向量和矩阵的分
矩阵第二章 内积空间
第二章 内积空间目的：在线性空间中引入向量的长度、向量之间夹角等度量概念，深化对线性空间、线性变换等的研究。
§1 内积空间的概念定义2－1 设V 是实数域R 上的线性空间。
如果对于V 中任意两个向量βα,，都有一个实数（记为()βα,）与它们对应，并且满足下列条件(1)-(4)，则实数()βα,称为向量βα,的内积。
(1) ()()αββα,,=； （2）),(),(βαβαk k =，（R k ∈） （3）),(),(),(γβγαγβα+=+，（V ∈γ） （4）()0,≥αα，当且仅当θα=时，等号成立。
此时线性空间V 称为实内积空间，简称为内积空间。
例2－1 对于nR 中的任二向量()n x x x X ,,,21 =，()n y y y Y ,,,21 =，定义内积()∑==ni i i y x Y X 1,，n R 成为一个内积空间。
内积空间n R 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称为欧氏空间。
由于n 维实内积空间都与nR 同构，所以也称有限维的实内积空间为欧氏空间。
例2－2 如果对于nn RB A ⨯∈∀,，定义内积为()∑==nj i ij ij b a B A 1,,，则n n R ⨯成为一个内积空间。
例2－3 ],[b a R 定义dx x g x f x g x f ba⎰=)()())(),((，则可以验证))(),((x g x f 满足内积的条件，从而],[b a R 构成内积空间。
内积()βα,具有下列基本性质(1) ()()βαβα,,k k =，（R k ∈）；(2) ()()()γαβαγβα,,,+=+；(3) ()()0,,==βθθα。
定理2－1（Cauchy-Schwarz 不等式）设V 是内积空间，则V ∈∀βα,，有()()()ββααβα,,,2≤，并且当且仅当βα,线性相关时等号成立。
定义2－2 设α是内积空间V 的任一向量，则非负实数()αα,称为向量α的长度，记为α。
矩阵分析第三章
例 1：在Rn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T, 定义
(α , β ) = α β = β α = ∑i =1 ai bi
T T n
则(α, β)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。 如果定义
(α , β ) = α T Aβ = β T Aα , 其中A ∈ R n×n > 0 容易验证: 以上定义的(α, β)也是Rn上的一个内积，从而在
则C[a,b]成为欧氏空间。
定义：设 定义 ：设V是C上的n维线性空间，若∀α, β∈V, 都有一个按照 都有一个按照 某一确定法则对应的被称为内积 某一确定法则对应的被称为内积的复数，记为 内积的复数，记为(α, β)，并满 足下列四条性质: (1) (α, β) = ( β , α ) , ∀α, β∈V (2) (kα, β) = k(α, β), ∀α, β∈V, ∀k∈C (3) (α+β, ν) = (α, ν) + (β, ν), ∀α, β, ν∈V (4) (α, α) ≥ 0, 当且仅当α = 0时, (α, α) = 0, ∀α∈V 则称V是n维复欧氏空间、简称为 复欧氏空间、简称为酉空间 、简称为酉空间。 酉空间。 • 定义了内积的复线性空间，称为酉空间 例 4: 在Cn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T , 定义
(α , β ) 取k= ,则 (β , β )
⇒
(α , β )( β , α ) | (α , β ) |2 2 0 ≤ (α , α ) − = α − (β , β ) || β ||2 |(α, β)| ≤ ||α|| ⋅ ||β||
第三章内积空间正规矩阵Hermite矩阵分解精品PPT课件
单位向量
1
向量的单位化
例3.1.1 ~例3.1.7
第2节 标准正交基、Schmidt 正交化方法
定义2.1: 设V是酉（欧氏）空间，对 , V 若, (, )＝0
那么称向量 , 正交，记为
在解析几何中，垂直是一个非常重要的概念。当两个向量垂直时，他们的内 积为零。在内积空间中引入了相似的概念，当两个向量的内积为零时，称这 它们为正交向量。进一步拓展，可以得到正交向量组的概念。
k j ( j , j )＝0
k
＝0,
j
即k j＝0,(j 1, 2,
, n)
正交向量组线性无关 那么线性无关向量组是否正交呢？ 否
线性无关组的正交化：
(1,2, ,r )线性无关
(1) : 1＝1
(2)
:
2＝ 2
(2 , (1,
1 ) 1 )
1
(3)
:
3＝
3
( 3 , (1,
1 ) 1 )
(4) (, ) 0, 当且仅当 0时(, )＝0
那么称V是n维欧几里得空间，简称欧氏空间。
欧氏空间的性质
(1) (, k ) k(, )
(2) (, ) (, ) (, )
(3) (
s i 1
kii
,
)
s i 1
ki
(
i
,
)
(4) (,
s i 1
ki
i
)
s i 1
ki
非负性 齐次性
(3)
三角不等式
(4) ( , ) 柯西许瓦兹三角不等式
欧氏空间，酉空间这两类空间之所以被提出，是为了将 度量概念引入线性空间中，所以需要关注度量的基本性 质。
矩阵理论课件 第二章 内积空间
是T正交变换 Tx T。y x y
即：保持距离不变的线性变换是正交变换。
③设 T是内积空间 的V 一个变换，证明：如果 保T持
向量的内积不变，即对 x, y V ,(Tx,Ty，) 则( x, y)
T一定是线性变换，故是正交变换。
注： 任何一个正交组都是线性无关的。 定义2 （正交基） 在n维欧氏空间中，由正交组构成的基，称之为正交基。 如果正交基中每个基向量的长度均为1，则称该组正交基 为标准（或规范）正交基，通常记为
0 i j e1, e2 , , en; (ei , e j ) 1 i j
定理1 （正交基的构造）
( x ty, x ty) 0 t R ( y, y)t 2 2( x, y)t ( x, x) 0
4( x, y)2 4( x, x)( y, y) 0 ( x, y)2 ( x, x)( y, y)
Rn 上Cauchy-Schwarz不等式的分量形式：
1
1
n
xi yi
T 是正交变换 x, y V ,(Tx,Ty) ( x, y)
1 i j (Tei ,Te j ) (ei , e j ) 0 i j (3) (1)
x, y V , x x1e1 x2e2 xnen y y1e1 y2e2 ynen
Tx x1Te1 x2Te2 xnTen Ty y1Te1 y2Te2 ynTen
设V1 L(P ),V2 L(P ) 是两个内积空间，如果
V1 和 V2 之间存在一个一一对应关系 ，使得对任意的 x, y V1, R 满足
⒈ (x y) (x) ( y)
⒉ ( x) (x) ⒊ ( ( x), ( y)) ( x, y)
第三章 内积空间,正规矩阵与H-矩阵
(1)
A (A )
H T H H H H H H H
(2 ) ( A B ) A B (3) ( kA ) k A
H
(4 ) ( A B ) B A
(5) (6) (7 ) (8 )
(A ) (A )
k H H
k
(A ) A
H
H
A A (A )
nn
H 1
( A 1 ) H
酉空间。
内积空间的基本性质：
欧氏空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , ) ( 2 ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 3) (4) ( k i i , )
i 1 t
k (
i i 1 t i i 1
t
i
n n
(, ) ( x , y ) x ( , ) i i i i iy j i j
i 1 j 1 ij , 1
令
g (, ) ,i , j 1 , 2 ,, n i j i j
g 11 g 21 G g n1
例1 设 C
n
是
n 维复向量空间，任取
( a , a ,,) a , ( b , b ,, b ) ( , ) : ( ) a b a b a b ( , )
1 2 n 1 2 n
规定
T
1 12 2
n n
容易验证 是 C n 上的一个内积，从 n 而C 成为一个酉空间。 例2 设 C [ a , b ] 表示闭区间 [ a , b ] 上的所有 连续复值函数组成的线性空间，定义
, )
内积与标准正交基.ppt
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
[ei ,e j ] 0, [ei ,e j ] 1,
i j且i, j 1,2,3,4. i j且i, j 1,2,3,4.
n
T 2
n
T n
i
T j
ij
1, 当 i
0,
当i
j; j
i, j 1,2,,n
定义5 若 P 为正交阵，则线性变换y Px 称为正
交变换．
性质 正交变换保持向量的长度不变．
证明 设y Px为正交变换,
则有 y yT y xT PT Px xT x x .
例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
,ar , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2
[br1 ,ar ] [br1 ,br1 ]
br
1
那么b1 ,,br两两正交,且b1 ,,br与a1 ,ar等价.
（2）单位化，取
e1
b1 b1
,
e2
b2 b2
,
,er
br br
,
那么 e1 ,e2 ,,er为V的一个规范正交基 .
2 1
22 1 1
2 1
P
2 1
2
0
2 1 2