9.6 乘法公式的再认识—因式分解(二) 第1课时
9.6 因式分解(二)(第1课时)
1、利用分解因式计算： 2 2 (1) 1.2222 × 9 − 1.3333 × 4 1 1 1 1 ) ( 2) (1 − 2 )(1 − 2 )(1 − 2 ) L (1 − 2 2 3 4 2004 2、证明：257－512 能被120整除。 3、 － 可以被60和70之间的两个 2 1 数整除，求这两个数； 4、任意一个奇数的平方与1的差一定 是8的倍数吗？为什么？
48
如图， 例2 如图，求圆环形绿化区的面积
35m
15m
课本练一练 P 93 1、2 、
注意点： 注意点： 1.运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的多 项式看成两个数的平方差，尤其当系数是分数或小 数时，要正确化为两数的平方差。 2.公式 a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数， 也可以是单项式或多项式，要注意“整体”“换元” 思想的运用。 3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解 成的两个因式要进行去括号化简 去括号化简，若有同类项，要 去括号化简 进行合并，直至分解到不能再分解 分解到不能再分解为止。 分解到不能再分解
(a + 4a +16) ⋅ a − 4(a + 4a +16)
4 2 2 4 2
的值为（ D ） 的值为（ A. 64 B. 32
C. －64
D. 0
9.6 乘法公式的再认识
(二) 二
1、在括号内填上适当的式子，使等式成 在括号内填上适当的式子， 立. (1) (x+5)(x-5)= x2-25 ; ; ;
2) -4a² +1分解因式的结果应是 （D ） 分解因式的结果应是 A. -(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1)
七年级数学 第9章 从面积到乘法公式 9.6 乘法公式的再认识因式分解(二)学
——因式分解（二）
(第一课时)
12/6/2021
➢情景引入
1、你知道9992-1能否被1000整除吗？
2、口答：
(a+2)(a-2)
(a+b)(a-b)
(a+2b)(a-2b) (3a+2b)(3a-2b)
根据上面的算式口答：
a²-4
a²-b²
a²-4b²
12/6/2021
9a²-4b²
平方差公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2 a2-b2= (a+b)(a-b)
整式乘法 因式分解
这种分解因式的方法称为公式法。
观察平方差公式，说一说有何特点？
12/6/2021
想一想：下列多项式能用平方差公式来分解吗？
× x²+y²
一个多项式满足什么
√ x²-y²
条件可以用平方差公 式分解因式？
12/6/2021
练一练：把下列各式分解因式
（1） (x-2)²-9
（2） (x+a)²-(y-b)²
（3） -25(a+b)²+4(a-b)²
运用平方差公式因式分解的一般步骤是什 么？
12/6/2021
➢应用于生活
例3 如图，求圆环形绿地的面积。
12/6/2021
➢课堂小结
本节课你学到了什么? a2-b2=(a+b)(a-b)
-x²+y² √
-x²-y²×
12/6/2021
例1 把下列各式分解因式：
（1）36-25x² (2) 16a²-9b²
12/6/2021
练一练 （1） 36-x² （2） a²-b² （3） x²-16y² （4） x²y²-z²
苏科版七下 9.6 乘法公式的再认识-因式分解(二) 课件
1、因式分解一般步骤是什么？
①若多项式各项有公因式，则先提取公因式
②若多项式各项没有公因式，则根据多项式 特点，选用平方差公式或完全平方公式。(直 接用公式不超过两次)
③每一个多项式中的因式都是分解到不能再 分解为止
例题精讲 例2、把下列各式分解因式
提公因 式法
ab+ac+ad
a(b+c+d)
因 式 分 解
运用公 式法
单×多
整 式 乘 乘法公式 法
a2-b2 (a+b)(a-b) a2±2ab+b2 (a±b)2
概念：
把一个多项式化成几个整式 的积的形式，这种变形叫做把 这个多项式分解因式.
分解因式与整式乘法是互逆的.
分解因式的结果中不能含有还可以 继续分解的因式，一定要分解到不能 再分解为止.
解：原式= (x2+y2)2- (2xy)2 =(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) =(x+y)2(x-y)2
练习
1. 下面分解因Байду номын сангаас正确吗？
(1) x2y-y3=y(x2-y2) =y(x+y)(x-y) (2) x3y2-4x=x(x2y2-4)
=x(xy+2)(xy-2)
练习 2、分解因式:
小结
1、因式分解一般步骤是什么？
①若多项式各项有公因式，则先提取公因式
②若多项式各项没有公因式，则根据多项式 特点，选用平方差公式或完全平方公式。(直 接用公式不超过两次)
③每一个多项式中的因式都是分解到不能再 分解为止
9.6乘法公式再认识——因式分解(二)
9.6乘法公式再认识——因式分解（二）第一课时连云港市灌云县穆圩中学 杨端正教学目标：1、使学生进一步理解因式分解的意义。
2、使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征。
会运用平方差公式分解因式。
3、通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力,培养学生积极主动参与探索的意识以及观察能力。
教学重点:理解平方差公式的意义, 运用平方差公式分解因式. 教学难点: 灵活运用平方差公式分解因式.教学过程:一、自学质疑问题1：9992-1是1000的倍数吗?问题2：１、平方差公式如何表示？反过来又如何？问题3：你能把x 2-25 分解因式吗？问题4： a 2-b 2 = (a+b)(a-b)观察上面的式子，你发现其有何特征？二、交流展示a 2-b 2 = (a+b)(a-b)特征：1.左边特征是：二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反。
2.右边特征是：两个二项式的积，一个是左边两项的底数之和，另一个是这两个底数之差。
应用：可以把形式是平方差的多项式分解因式。
做一做：(1) a 2-16= a 2-( ) 2=(a+ )(a- )(2)64- b 2=( ) 2-b 2=( +b)( -b)(3)25x 2-49y 2= ( ) 2-( ) 2=( + )( - )三、互动探究议一议:下列多项式可以用平方差公式分解吗？（1）x 2－y 2 （2）x 2+y 2 （3）－x 2－y 2（4）－x 2+y 2 （5）64－a 2 （6）4x 2－9y 2四、精讲点拨例1 把下列多项式分解因式：(1) 36－25x 2 (2) 16a 2－9b 2分析：观察是否符合平方差公式的形式，应引导学生把36、25x 2、16a 2、9b 2改写成62、(5x)2、(4a)2和(3b)2形式，能否准确的改写是本题的关键。
解： 36－25x 2=62－(5x)2=(6+5x)(6－5x)16a 2－9b 2=(4a)2－(3b)2=(4a+3b)(4a －3b)说明： (1)对于多项式中的两部分不是明显的平方形式,应先变形为平方形式,再运用公式分解,以免出现16a 2－9b 2=(16a+9b)(16a －9b)的错误。
江苏省沭阳县官墩初级中学七年级数学下册《9.6乘法公式再认识——因式分解(二)(1)》教案
课型：新授
基本
环节
基本内容
组织教学
知
识Hale Waihona Puke 梳理教学目标：
1、使学生进一步理解因式分解的意义。
2、使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征。
3、会运用平方差公式分解因式。
4、通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力。
教学重点：会运用平方差公式对某些多项式进行分解因式
学生自己说出通过本节课的学习进一步理解了整式的乘法与因式分解的关系。能用自己的语言说出平方差公式的特点。能体会出公式中的字母a、b不仅可以表示数字，而且可以是单项式、多项式。
拓
展
延
伸
1、把下列各式分解因式：
(x+p)2－(x+q)2 9(a+b)2－4(a－b)2
2、5、已知x2－y2=－1 ， x+y= ，求x－y的值。
(2)64-b2=( )2-b2=( +b)( -b)
智
慧
碰
撞
一、新知探究：
1、比一比，看谁算的又快又准确：572－562962－952
二、例题分析：
例题1：把下列各式分解因式；
(1)36–25x2; (2) 16a2–9b2;(3) 9(a+b)2–4(a–b)2.
(让学生弄清平方差公式的形式和特点并会运用)
简便计算是平方差公式的重要运用
多次运用平法差公式计算如何观察总结规律要对引导学生总结归纳
情
感
升
华
一、本节课你有哪些收获？
二、自我检测：
1．填空： =；81a4-b4=
2、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
最新-七年级数学下册 96 乘法公式的再认识-因式分解学案二(无答案)苏科版 精品
2018—2018学年度第二学期导学案初一数学（9.6 乘法公式的再认识——因式分解(二)①）学习目标：1、使学生进一步理解因式分解的意义。
2、会运用平方差公式分解因式。
学习重难点：1、理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征。
2、会运用平方差公式对某些多项式进行分解因式作业布置：一、探究设置情景：情景1：⑴.小组讨论：992－1是100的整数倍吗？⑵.a2－1可以写成（a+1）(a－1)吗？⑶.a2－4可以写成乘积形式吗？你认为可以写成什么样子呢？⑷.a2－b2呢？情景2：比一比，看谁算的又快又准确：① 572－562② 962－952二、合作平方差公式的特征辨析：把乘法公式(a+b)(a－b)=a2－b2反过来得：a2－b2=(a+ )(a－ )我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式。
这种方法叫运用平方差公式法。
下列多项式可以用平方差公式分解吗？（1）x2－y2（2）x2+y2（3）－x2－y2（4）－x2+y2（5）64－a2（6）4x2－9y2三、展示1 、把下列多项式分解因式：(1) 36－25x2 (2) 16a2－9b2 （3） 9(a+b)2－4(a－b)22 、如图，求圆环形绿化区的面积。
四、拓展1 、 已知x 2－y 2=－1 ， x+y=21，求x －y 的值五、评价1、下列分解因式是否正确：（1）－x 2－y 2=(x+y)(x －y) （2）9－25a 2=(3+25a)(3+25b) （3）－4a 2+9b 2=(－2a+3b)(－2a －3b)2、把下列各式分解因式：（1） 36－x 2 （2） a 2－91b 2 （3） x 2－16y 2（4） x 2y 2－z 2 （5） (x+2)2－9 （6）(x+a)2－(y+b)2（7） 25(a+b)2－4(a －b)2 （8） 0.25(x+y)2－0.81(x －y)23、在边长为16.4cm 的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm 的正方形，求余下的纸片的面积。
因式分解(二)(第1课时
你能把多项式x 2 25, b 2 9a 2进行因式
分解吗？你是如何做的？
(1)x2－25 = (x+5)(x － 5)
(2) b2 － 9a2 = (b+3a)(b － 3a）
把乘法公式（a+b) (a-b) =a2-b2 反过来，就得到
a 2 b 2 (a b)(a b)
3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解 成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项，要 进行合并，直至分解到不能再分解为止。
小结： 1.具有的两式（或）两数平方差形式的多项式 可运用平方差公式分解因式。 2.公式a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以 是数，也可以是单项式或多项式，应视具体情 形灵活运用。 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然 后再 进一步分解因式。 4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式 要最简，直到不能再分解为止。
22
例 已知 ， x2 x 1 6 a12x12 a11x11 a10x10 ... a2x2 a1x a0
求 a12 a10 a8 ... a2 a0 的值。
延伸与拓展：
1. 若a=101,b=99,求a2-b2的值. 2. 若x=-3,求20x2-60x的值. 3. 1993-199能被200整除吗?还能
4 (3)1.222 9 1.332 4
例2.把下列各式因解式： 分解
1)( x + z )²- ( y + 4z.原)²式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
×[(x+y+z)- (x-y-z)]
2)4( a解+：b)²- 25(a - c)=²2 x ( 2 y + 2 z) 3)4a³1-.原4式a=解[(x：+z)+(y+z)][(=x+4zx)-((yy++z)z] )
9.6 乘法公式的再认识-因式分解(二)(1)
2. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分 下列各式由左到右的变形中， 解的有（ 解的有（ A） (x+2)(x① (x+2)(x-2) = x2 –4 =(x+2)(x② x2 - 4+3x =(x+2)(x-2)+3x =(x+2)(x③ x2- 4 =(x+2)(x-2) x(x+2)(1④ x2 - 4 = x(x+2)(1- )
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解 判断下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解? 哪些是因式分解 (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 (4).x2+4x+4=(x+2)2 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 (6).m2-4=(m+2)(m-2) (7).2πR+ 2πr= 2π(R+r)
归纳下式结构特点
索 新 知 (a+b)(a-b) = a2-b2
整式的积 多项式
探
Байду номын сангаас
利用平方差公式可以将形式是 平方差的多项式分解因式
例如： 例如：9992-1
说一说
=（999-1)(999+1） =998×1000 =998000
)(a1. a2-16=a2-( 4 )2=(a+ 4 )(a- 4 )
“乘法公式的再认识—— 乘法公式的再认识 因式分解(二 因式分解 二）”
1.计算下列各式： 1.计算下列各式： 计算下列各式 a2 -4 (1) (a+2)(a-2) =_____________. )(aa 2 - b2 (a+b)(a(2) (a+b)(a-b) =_____________. 9a2-4b2 (3) (3a+2b)(3a-2b) =___________.
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9.6 乘法公式的再认识—因式分解(二)
第1课时平方差公式
1．下列多项式中，能用公式法分解因式的是( ) A．x2－xy B．x2+xy C．x2－y2D．x2+y2
2．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( ) A．x2+4y2B．x2－2y+l C．－x2+4y2D．－x2－4y2
3．下列各式运用平方差公式分解因式正确的是( ) A．x2+y2=(x+y)(x－y) B．x2－y2=(x+y)(x－y)
C．－x 2 +y=(－x+y)(－x－y) D．－x 2－y 2 =－(x+y)(x－y)
4．－(2a+b)(2a－b)是下列哪一项分解因式的结果( ) A．4a2－b2B．4a2+b2C．－4a2－b2D．－4a2+b2
5．下列各式不能用平方差公式分解因式的是( )
A．－1
4
a2 +b2B．(x+2y) 2－(2x－y) 2C．－0．01x2－0．09y2D．2x2－
1
2
y2
6．分解因式(x－1) 2－9的结果是( ) A．(x+8)(x+1) B．(x+2)(x－4) C．(x－2)(x+4) D．(x－10)(x+8) 7．分解因式：2x2－18=_____________．
8．分解因式：5x－5x3=______________________．
9．分解因式：3x2－27=_________________________________．
10．分解因式：x2－4y=_________________________________．
11．若多项式4a2+M能用平方差公式分解因式．则单项式M=__________(写出一个即可)．12．分解因式：xy2－9x．
13．因式分解：a3－a b2．
14．分解因式：－4x2+9y2．
15．用简便方法计算。
并写出运算过程：
2
2
3
7 2.4
5
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
．
16．刘师傅在制造某汽车的配件时，要在半径为Rcm的圆形钢板上钻四个相等的半径为rcm的圆孔，当刘师傅测量出R=7．8cm，r=1．1cm时，请你帮他计算一下圆形的钢板的剩余面积(π取3．14，保留三个有效数字．)
17．有这样一道题：分解因式a6－a8．赵明是这样做的：
a6－a8=a6(1－a2)=a6(1+a)(1－a)；
孙亮是这样做的：
a6－a8=(a3) 2－(a4) 2=(a3+a4)(a3－a4)=[a3(1+a)][a3(1－a)]=a6(1+a)(1－a) 他们两个人的答案对吗?比较两种解法，你认为哪种简便些?从中你受到哪些启示?
18．利用简便方法计算：2001×1999．
19．若x=1
6
，y=
1
8
，求代数式(2x+3y) 2－(2x－3y) 2的值．
20．如图，在半径为r的圆形土地周围有一条宽为a的路，这条路的面积用S表示，通过这条道路正中的圆周长用l表示．
①写出用a，r表示S的代数式．
②找出l与S之间的关系式．。