参数方程的概念及与普通方程的转化转化 选修4-4

令y 0, 得t 10.10s.
o
x
代入x 100t , 得 x 1010m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资， 可以使其准确落在指定位置.
思考题：
1： 动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度 分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹 参数方程。
（ ）
1 1 1 2 ( , ); C、( , ); D、（1，0） A、（2，7）；B、 2 2 3 3
作业、将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3 cos (1) y 3 sin
x sin (2) y cos2
(3)
x=t+1/t
y=t2+1/t2
分析 一般思路是：化参数方程为普通方程 求出范围、判断。 解 x2= (cos sin ) 2 =1+sin=2y， 2 2
普通方程是x2=2y，为抛物线。 ，又0<<2， x | cos sin | 2 sin( )
2 2 2 4
0<x 2 ，故应选（B） 说明： 这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法 是最好的方法。
• 引入变数x, y 中的一个与参数t的关系，例 如x=f(t),把它代入普通方程，求出另一个变 数与参数的关系y=f(t),那么
• { x=f(t) • y=f(t) • 就是曲线的参数方程
（2）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x - y+2= 0，可以化为参数方程
x t, （t为参数） y 2t 2.
救援点
探究
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y 500
分析:物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成： （1）沿Ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿Oy反方向作自由落体运动.
步骤：（1）消参； （2）求定义域；
解答：（1）(x -2) 2+ y 2=9 （2）y =1- 2x 2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（x≥2或x≤-2）
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t y 2 12t
所以，点M的轨迹参数方程为
x 1 5t y 2 12t
2：一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行. 在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空 气阻力,重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高 度约是多少？（精确到1m）
y
x 2 y, x [ 2 , 2 ]. 这是抛物线的一部分。
2
o
2
例4、求参数方程
x | cos sin |, 2 2 (0 2 ) y 1 (1 sin ) 2
表示（
）
（A）双曲线的一支, 这支过点（1,1/2）： （B）抛物线的一部分, 这部分过（1,1/2）： （C）双曲线的一支, 这支过点（–1, 1/2) （D）抛物线的一部分, 这部分过（–1,1/2)
新知初探
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标 x, y都是某个变数 t 的函数 x f (t ), （1） y g (t ). 且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 则方程(1) 就叫做这条曲线的参 数方程, 联系变数 x ,y 的变数 t 叫做参变数, 简称参数.
x= t 1 (1) (t为参数) y 1 2 t
解： (1)因为x t 11
x= sin cos (2) ( 为参数). y 1 sin 2
所以普通方程是y 2 x （ 3 x 1) 这是以（1， 1）为端点的一条射线（包括端点）
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x t an , y cot .
（为参数）
典型例题
x 1 2t , (t为参数,a R ) 例2:已知曲线C的参数方程是 2 y at .
点M(5,4)在该 曲线上. （2）求曲线C的普通方程. 解: (1)由题意可知:
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系；
（2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
思考
x cos 3, 由参数方程 ( 为参数)直接判断点M 的轨迹的 y sin 曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程，则比较简单。
1 曲线参数方程的意义
2 参数方程和普通方程的互化
探究
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？
投放点 友情提示： 即求飞行员在离救援点的水平 距离多远时，开始投放物资？
？
x= sin cos (2) ( 为参数). y 1 sin 2
(2)因为：x sin cos 所以x 2, 2 2 sin(

4
)
. 所以普通方程是x 2 y , x 2, 2
2 所以与参数方程等价的 普通方程为
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数 x, y 的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也 可以没有明显意义； 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样; 3.在实际问题中要确定参数的取值范围;
x 3t , (t为参数) 例1: 已知曲线C的参数方程是 2 y 2t 1.
由参数方程得： cos x 3 2 2 2 2 ,sin cos ( x 3) y 1 sin y 所以点M 的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
知识创建
2.参数方程和普通方程的互化：
1 参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程
x t , ②参数方程 （t为参数） y 2 t 4. 通过代入消元法消去参数t ,
O
x
探究
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？ 解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x， y 垂直高度为y，所以 x 100t , 2 500 （ g=9.8m/s ) 1 2 y 500 gt . 2
பைடு நூலகம்固练习:
x 1 t2 ,(t为参数） 与x轴的交点坐标是( 1、曲线 y 4t 3
)
25 25 ( , 0); C、(1, 3); D、( , 0); A、（1，4）；B、 16 16 2、方程 x sin ,( 为参数）所表示的曲线上一点的坐标是 y cos
可得普通方程：y=2x - 4
（x≥0）
2.三角法：利用三角恒等式消去参数； 3.整体消元法：根据参数方程本身结构特征,从整体上消去；
化参数方程为普通方程为F(x,y)=0： 在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性， 必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得 x、y的取值范围
将普通方程化为参数方程的方法：
（1）求常数a;
1+2t=5 at2=4 x=1+2t y=t2
解得:
a=1 t=2
∴ a=1
x 1 由第一个方程得: t 2
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:
x 1 2 ) , 代入第二个方程得: y ( 2
( x 1) 4 y为所求.
2
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各 表示什么曲线？