1.1正余弦定理综合应用 习题课
人教版数学必修五(文)学案：1.1正弦定理、余弦定理习题课
1.1正弦定理、余弦定理习题课【学习目标】1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式【自主检测】1.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．2.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【典型例题】例1.在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．例2.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .【目标检测】1.在△ABC 中，已知b ＝a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8 b ＝16 A ＝30°有两解B ．b ＝18 c ＝20 B ＝60°有一解C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或324*.在△ABC中，若tan A－tan Btan A＋tan B＝c－bc，求角A【总结提升】1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用。
高中数学第一章解三角形 习题课正弦定理和余弦定理的综合应用学案含解析新人教A版必修5
习题课 正弦定理和余弦定理的综合应用类型一 利用正、余弦定理解三角形[例1] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,设a ,b ,c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3,求角A 和tan B 的值． [分析] 求角A 的关键是利用余弦定理的推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .利用正弦定理将已知条件边化角,即c b ＝sin C sin B ＝12＋3,再结合A ＋B ＋C ＝π,解三角方程可求tan B .[解] 由余弦定理,得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12,∵0°<A <180°,∴A ＝60°.在△ABC 中,C ＝180°－A －B ＝120°－B . 由已知条件和正弦定理,得 12＋3＝c b ＝sin C sin B ＝sin (120°－B )sin B＝sin120°cos B －cos120°sin B sin B ＝321tan B ＋12,解得tan B ＝12.在解三角形时,常常将正、余弦定理结合在一起使用,要注意恰当选取定理,简化运算过程,提高解题速度.同时,要注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来,挖掘题目中的隐含条件.解题时要综合、灵活地运用这两个定理,认真分析已知条件,结合三角形的有关性质(如大角对大边,大边对大角,三角形内角和定理等),并注意数形结合,防止出现漏解或增解的情况.[变式训练1] (1)在△ABC 中,∠ABC ＝π4,AB ＝2,BC ＝3,则sin ∠BAC ＝( C )A.1010B.103C.31010D.33解析：由余弦定理可得AC 2＝9＋2－2×3×2×22＝5,所以AC ＝ 5.再由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC ,所以sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝3×225＝31010.(2)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ,则cos A 的值为－14.解析：由已知及正弦定理得2b ＝3c ,因为b －c ＝14a ,所以不妨设b ＝3,c ＝2,则a ＝4,所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14.类型二 利用正、余弦定理判断三角形形状[例2] 在△ABC 中,若(a －c cos B )sin B ＝(b －c cos A )sin A ,判断△ABC 的形状． [分析][解] 解法一：∵(a －c cos B )sin B ＝(b －c cos A )sin A , ∴由正、余弦定理,得⎝⎛⎭⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝⎛⎭⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ,整理,得(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2,即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0,∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2.∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b .故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．解法二：根据正弦定理,原等式可化为 (sin A －sin C cos B )sin B ＝(sin B －sin C cos A )sin A , 即sin C cos B sin B ＝sin C cos A sin A . ∵sin C ≠0,∴sin B cos B ＝sin A cos A .∴sin2B ＝sin2A .∴2B ＝2A 或2B ＋2A ＝π,即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．依据已知条件中的边角关系判断三角形形状时,主要有如下两种方法：1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论.[变式训练2] 在△ABC 中,若sin A ＝2sin B cos C ,且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ,试判断△ABC 的形状．解：在△ABC 中,根据正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ,∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2,即a 2＝b 2＋c 2. ∴A ＝90°,∴B ＋C ＝90°.由sin A ＝2sin B cos C ,得sin90°＝2sin B cos(90°－B ), ∴sin 2B ＝12.∵B 是锐角,∴sin B ＝22,∴B ＝45°,C ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形． 类型三 三角形中的最值(或范围)问题[例3] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a ＝c ·sin A ,则a ＋bc的最大值是________．[分析] 由a ＝c ·sin A 及正弦定理的变形可求出角C ＝π2,从而由A ＋B ＝π2得sin B ＝cos A ,于是a ＋b c ＝sin A ＋sin Bsin C＝sin A ＋cos A ,所求问题转化成关于A 的三角函数求最值问题．[解析] ∵a ＝c ·sin A ,由正弦定理得sin A ＝sin C sin A . 又∵0<A <π,∴sin A ≠0,∴sin C ＝1,C ＝π2.∵A ＋B ＋C ＝π,∴B ＝π2－A ,由正弦定理得a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4,而0<A <π2, ∴π4<A ＋π4<3π4, ∴当A ＋π4＝π2,即A ＝π4时,2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4取得最大值2,即a ＋b c 的最大值是 2. [答案]2这类问题通常转化为三角函数问题,利用三角函数的最值或取值范围求解.[变式训练3] 在△ABC 中,sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ,则A 的取值范围是( C ) A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎭⎫π6，π C.⎝⎛⎦⎤0，π3 D.⎣⎡⎭⎫π3，π解析：由sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ,得a 2≤b 2＋c 2－bc ,即b 2＋c 2－a 22bc ≥12,所以cos A ≥12,因为0<A <π,所以0<A ≤π3.类型四 正、余弦定理与平面向量的综合应用[例4] 在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,cos B ＝35,a ＝7,且AB →·BC →＝－21,求角C的大小．[分析] 先根据平面向量的数量积公式结合已知条件求出边c ,再利用余弦定理求出边b ,最后根据正弦定理求角C .[解] ∵AB →·BC →＝－21,∴BA →·BC →＝21, ∴BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ＝ac cos B ＝21. 又cos B ＝35,∴sin B ＝45,ac ＝35.又a ＝7,∴c ＝5.∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝72＋52－2×7×5×35＝32,∴b ＝4 2.由正弦定理c sin C ＝bsin B ,得sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b ,∴C 一定是锐角,∴C ＝45°.利用正、余弦定理解决三角形中与平面向量有关的问题时,注意数量积定义的应用,其中特别注意向量的夹角与三角形内角之间的关系,例如AB →与AC →的夹角等于内角A ,但AB →与AC →的夹角等于内角A 的补角.[变式训练4] 已知向量a ＝(2cos 2x ,3),b ＝(1,sin2x ),函数f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )图象的对称中心；(2)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且f (C )＝3,c ＝1,ab ＝23,且a >b ,求a ,b 的值． 解：(1)f (x )＝a ·b ＝(2cos 2x ,3)·(1,sin2x ) ＝2cos 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋1＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1, f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，1(k ∈Z )． (2)∵f (C )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＋1＝3, ∴sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝1,∵C 是三角形内角,∴2C ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6, ∴2C ＋π6＝π2,即C ＝π6,∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝32,即a 2＋b 2＝7.将ab ＝23与上式联立可得：a 2＋12a 2＝7,解之得：a 2＝3或4,∴a ＝3或2,∴b ＝2或3, ∵a >b ,∴a ＝2,b ＝ 3.1．△ABC 中,若b ＝3,c ＝33,B ＝30°,则a ＝( C ) A ．3 B ．4 C ．3或6D ．4或6解析：在△ABC 中,由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ,及b ＝3,c ＝33,B ＝30°,即32＝a 2＋(33)2－2×33a ×cos30°,即a 2－9a ＋18＝0,所以a ＝6或a ＝3,经检验都满足题意．2．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7,BC ＝5,CA ＝6,则AB →·BC →的值为( D ) A ．19 B ．14 C ．－18D ．－19解析：由余弦定理,得cos B ＝AB 2＋BC 2－CA 22·AB ·BC ＝72＋52－622×7×5＝1935,所以AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝7×5×⎝⎛⎭⎫－1935＝－19. 3．在锐角△ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b .若2a sin B ＝3b ,则角A 等于π3.解析：由正弦定理得,2sin A sin B ＝3sin B ,sin A ＝32, 因为△ABC 为锐角三角形,所以A ＝π3.4．三角形ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边长分别是a ,b ,c .若(a ＋b )(sin B －sin A )＝(3a ＋c )sin C ,则角B 的大小为5π6.解析：由正弦定理得,(a ＋b )(b －a )＝(3a ＋c )c , 即b 2－a 2＝3ac ＋c 2,a 2＋c 2－b 2＝－3ac , cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32.又B ∈(0,π),所以B ＝5π6.5．如图,在四边形ABCD 中,已知AD ⊥CD ,AD ＝10,AB ＝14,∠BDA ＝60°,∠BCD ＝135°,求BD ,BC 的长．解：在△ABD 中,设BD ＝x ,则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA , 即142＝x 2＋102－2·10x ·cos60°, 整理得x 2－10x －96＝0, 解得x 1＝16或x 2＝－6(舍去), 所以BD ＝16.由正弦定理得BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD ,所以BC ＝16sin135°·sin30°＝8 2.——本课须掌握的问题由于正弦定理、余弦定理阐述了三角形的边角之间的关系,因此对于三角形中的综合问题可以运用正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的知识解决．有时题目还会涉及向量等其他章节的知识,要全面掌握才可以解题．。
第一章 正弦定理和余弦定理习题课
习题课 正弦定理和余弦定理学习目标 1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用；2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识；3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题.1.在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为( ) A.13 B.－23 C.14D.－14解析 ∵在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3， ∴a ∶b ∶c ＝3∶2∶3，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k ， 则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋4k 2－9k 212k 2＝13，故选A.答案 A2.已知△ABC 的面积S ＝a 2－(b 2＋c 2)，则cos A 等于( ) A.－4 B.1717C.±1717D.－1717解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，面积S ＝12bc sin A ＝a 2－(b 2＋c 2)，∴12bc sin A ＝－2bc cos A ，∴sin A ＝－4cos A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得cos A ＝－1717.故选D. 答案 D3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.解析 由c 2＝(a －b )2＋6，可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，由余弦定理：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，所以：a 2＋b 2－2ab ＋6＝a 2＋b 2－ab ，所以ab ＝6；所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案 3324.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析 由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b <c 可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. 答案 75°类型一 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式【例1】 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C .证明 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ， ∴2(a 2－b 2)＝2ac cos B －2bc cos A ， 即a 2－b 2＝ac cos B －bc cos A ， ∴a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c .由正弦定理得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin Bsin C ，∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C ，故等式成立.规律方法 (1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种.(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.【训练1】 在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝3b2，求证：a ＋c ＝2b . 证明 由题a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ， 即a ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3b ， ∴2ab ＋a 2＋b 2－c 2＋2bc ＋b 2＋c 2－a 2＝6b 2， 整理得ab ＋bc ＝2b 2，同除b 得a ＋c ＝2b ， 故等式成立.类型二 利用正弦、余弦定理解三角形【例2】 在△ABC 中，若c ·cos B ＝b ·cos C ，且cos A ＝23，求sin B 的值. 解 由c ·cos B ＝b ·cos C ，结合正弦定理得， sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，∵0＜B ＜π，0＜C ＜π， ∴－π＜B －C ＜π，∴B －C ＝0，B ＝C ，故b ＝c . ∵cos A ＝23，∴由余弦定理得3a 2＝2b 2， 再由余弦定理得cos B ＝66，又0°<B <180°，故sin B ＝306.规律方法 (1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.(2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用.【训练2】在锐角△ABC中，b2－a2－c2ac＝cos（A＋C）sin A cos A.(1)求角A；(2)若a＝2，求bc的取值范围.解(1)由余弦定理可得：a2＋c2－b2＝2ac cos B，⇒－2ac cos Bac＝cos（π－B）sin A cos A，∴sin 2A＝1且0°<A<90°⇒A＝45°，(2)⎩⎪⎨⎪⎧B＋C＝135°，0°＜B＜90°，0°＜C＜90°⇒45°＜C＜90°，又bsin B＝csin C＝asin A＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C，bc＝2sin(135°－C)·2sin C＝2sin(2C－45°)＋2，45°＜2C－45°＜135°⇒22＜sin(2C－45°)≤1，∴bc∈(22，2＋2].方向1 与三角恒等变换的综合【例3－1】设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则C＝()A.π3B.2π3C.3π4D.5π6解析 根据正弦定理可将3sin A ＝5sin B 化为3a ＝5b ， 所以a ＝53b ，代入b ＋c ＝2a 可得c ＝73b ，结合余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 因为0<C <π，所以C ＝2π3. 答案 B方向2 在复杂图形中的应用【例3－2】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长.解 在△ABD 中，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，设BD ＝x ， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ，∴142＝102＋x 2－2×10x cos 60°，即x 2－10x －96＝0， 解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)， ∴BD ＝16.∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2. 方向3 与向量的综合应用【例3－3】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA→在BC →方向上的投影.解 (1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝ －35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.又0＜A ＜π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a ＞b ，则A ＞B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去).故向量BA→在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.规律方法 求解正、余弦定理综合应用问题的注意点(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理. (2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角函数公式列式化简的习惯.1.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解，同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.2.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解.基础过关1.在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A.－15 B.－16 C.－17D.－18解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，c ＝3，B 为最大角，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝49＋9－642×7×3＝－17.答案 C2.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能( )A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形解析 假设能作出△ABC ，不妨设高113，111，15对应的边分别为a ＝26S ，b ＝22S ，c ＝10S ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（22S ）2＋（10S ）2－（26S ）22×22S ×10S ＝－23110<0，∴A 为钝角. 答案 D3.已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6.则AB →·BC →的值为( )A.19B.14C.－18D.－19解析 由余弦定理的推论知： cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935.所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19，故选D.答案 D4.在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，S △ABC ＝32，则csin C ＝________.解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×c ×32＝32， ∴c ＝2，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋4－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，∴b ＝3，∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2.答案 25.在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是________三角形. 解析 ∵a cos A ＝bcos B ，∴sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵A ，B ∈(0，π)，∴A －B ∈(－π，π)， ∴A －B ＝0，∴A ＝B . 同理B ＝C ，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形. 答案 等边6.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4.解 (1)在△ABC 中，根据正弦定理AB sin C ＝BCsin A ， 于是AB ＝sin Csin A ·BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，于是sin A ＝55， 由倍角公式得sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝2cos 2A －1＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.7.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积.解 (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3. (2)因为a ＝6，cos A ＝12，所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝36. 又因为b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bc sin A ， 得△ABC 的面积为12×283×32＝733.能力提升8.△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆半径为( )A.922B.924C.928D.229解析 不妨设c ＝2，b ＝3，则cos A ＝13，sin A ＝223. ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3. ∵a sin A ＝2R ，∴R ＝a sin A ＝32×223＝928. 答案 C9.已知△ABC 中，三边与面积的关系为S △ABC ＝a 2＋b 2－c 243，则cos C 的值为( )A.12B.22C.32D.0解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 243＝2ab cos C 43，∴tan C ＝33，C ∈(0，π)，∴C ＝π6，∴cos C ＝32. 答案 C10.在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________. 解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得c ＝23b ， 代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32. 又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝30°. 答案 30°11.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝12a ，2sin B＝3sin C ，则cos A 的值为________.解析 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理可得：2b ＝3c ，由b －c ＝12a 可得：a ＝c ，b＝32c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34.答案 3412.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac ，且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值. 解 (1)由cos B ＝34及0<B <π，得sin B ＝1－（34）2＝74，由b 2＝ac 及正弦定理，得sin 2 B ＝sin A sin C ，于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477.(2)由BA →·BC →＝32得ca cos B ＝32， 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.13.(选做题)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求角A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解(1)△ABC中，∵a cos C＋3a sin C－b－c＝0，利用正弦定理可得sin A cos C＋3sin A sin C＝sin B＋sin C＝sin(A＋C)＋sin C，化简可得3sin A－cos A＝1，∴sin(A－30°)＝1 2，∴A－30°＝30°，∴A＝60°.(2)若a＝2，△ABC的面积为12bc·sin A＝34bc＝3，∴bc＝4 ①.再利用余弦定理可得a2＝4＝b2＋c2－2bc·cos A＝(b＋c)2－2bc－bc＝(b＋c)2－3·4，∴b＋c＝4 ②.结合①②求得b＝c＝2.。
正余弦定理的综合应用及答案
正余弦定理的综合应用1.【河北省唐山一中2018届二练】在中，角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的值．2. 【北京市海淀区2018届高三第一学期期末】如图，在中，点在边上，且，，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系.3. 【海南省2018届二模】已知在中，，，分别为内角，，的对边，且 .（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.4.【湖北省天门等三市2018届联考】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的取值范围．5.【山东省淄博市2018届高三3月模拟】在中，角对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．6. 【福建省南平市2018届第一次质检】在中,分别为角的对边，且.（1）若，求及；（2）若在线段上，且，求的长.7.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，16】在△中，，，分别是角，，的对边，，且．（1）求角；（2）求边长的最小值．8. 【河北衡水中学2017届上学期一调，17】（本小题满分12分）在中，，，分别为角，，所对的边，且．（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的值．正余弦定理的综合应用答案1【分析】（1）先根据两角和正弦公式，三角形内角关系及诱导公式得，再根据正弦定理得，即（2）由的面积为，得，再根据余弦定理得，解得，因此结合正弦定理得2.【解析】（Ⅰ）如图所示，，故，设，则，.在中，由余弦定理,即，解得，.（Ⅱ）在中，由，得，故，在中，由正弦定理，即，故，由，得，.3. 【解析】（1）由及正弦定理得，，即，又，所以，又，所以.（2）由（1）知，又，易求得，在中，由正弦定理得，所以.所以的面积为.4【解析】（Ⅰ）由已知得，即有因为，∴．又，∴．又，∴，∴（Ⅱ）由余弦定理，有．因为，有又，于是有，即有5【解析】（1）由已知，得，由余弦定理，得，所以，又，故；（2）由（1）知，由正弦定理，得，所以或（舍去）从而，所以的面积为．6【解析】（Ⅰ）∵，，，在△ABC中，由正弦定理，∴，又，所以，则C为锐角，所以，则，所以7【解析】（I）由已知即△中，，故（Ⅱ）由（I）因此由已知故的最小值为1. 8【解析】（1），，即，则，．又在中，．则，解得，或，当时，，则，均为钝角，与矛盾，故舍去，故，则．。
人教A版高中数学必修五练习习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用
习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用课后篇巩固提升基础巩固1.在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C=3∶2∶3,则cos C 的值为( ) A.13B.-23C.14D.-14sin A ∶sin B ∶sin C=3∶2∶3,由正弦定理,得a ∶b ∶c=3∶2∶3,设a=3k ,b=2k ,c=3k (k>0),则cos C=a 2+b 2-c 22ab=9k 2+4k 2-9k212k2=13.2.已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,设向量m =(a+b ,sin C ),n =(√3a+c ,sin B-sin A ),若m ∥n ,则角B 的大小为( ) A.30°B.60°C.120°D.150°m ∥n ,∴(a+b )(sin B-sin A )-sin C (√3a+c )=0.由正弦定理,得(a+b )(b-a )=c (√3a+c ),即a 2+c 2-b 2=-√3ac.由余弦定理,得cos B=-√32.又B 为△ABC 的内角,∴B=150°.故选D .3.已知在△ABC 中,sin A+sin B=(cos A+cos B )·sin C ,则△ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形D.直角三角形,原式可变形为c (cos A+cos B )=a+b ,所以c (b 2+c 2-a 22bc +a 2+c 2-b22ac)=a+b ,整理得a 2+b 2=c 2,可得C=90°.故选D .4.已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且c 2-b 2=ab ,C=π3,则sinAsinB 的值为( ) A.12B.1C.2D.3c 2-b 2=a 2-2ab cos C=a 2-ab=ab ,所以a=2b ,所以由正弦定理得sinAsinB =ab =2.5.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2b ·cos C=2a+c ,若b=3,则△ABC 的外接圆面积为( ) A.π48B.π12C.12πD.3π2b ·cos C=2a+c ,若b=3,∴cos C=2a+c=a 2+b 2-c 2,可得a 2+c 2-b 2=-ac ,∴cos B=a 2+c 2-b 2=-1,∴由B ∈(0,π),可得B=2π,设△ABC 的外接圆半径为R ,由正弦定理可得2R=bsinB=√32,解得R=√3,可得△ABC 的外接圆面积为S=πR 2=3π.故选D .6.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若b+c=2a ,且3sin A=5sin B ,则角C=.3sin A=5sin B 结合正弦定理,得3a=5b.因为b+c=2a ,所以b=35a ,c=75a.由余弦定理,得cos C=a 2+(35a )2-(75a )22·a ·35a =-12,故C=120°.°7.在△ABC 中,B=60°,a=1,c=2,则csinC= .由余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2ac cos B=3,∴b=√3,∴由正弦定理得,csinC =bsinB =√332=2.8.已知△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a cos B=5b cos A ,a sin A-b sin B=2sin C ,则边c 的值为 .a cos B=5b cos A ,∴由余弦定理可得a ·a 2+c 2-b22ac=5b ·b 2+c 2-a 22bc ,整理可得3(a 2-b 2)=2c 2. 又∵a sin A-b sin B=2sin C ,∴由正弦定理可得a 2-b 2=2c ,∴6c=2c 2,解得c=3.9.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b cos C=3a cos B-c cos B. (1)求cos B 的值;(2)若BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,且b=2√2,求a 和c 的值.由正弦定理,得a=2R sin A ,b=2R sin B ,c=2R sin C ,其中R 为△ABC 外接圆半径,则2R sin B cos C=6R sin A cos B-2R sin C cos B ,即sin B cos C=3sin A cos B-sin C cos B ,可得sin B cos C+sin C cos B=3sin A cos B ,即sin(B+C )=3sin A cos B ,可得sin A=3sin A cos B.又sin A ≠0,因此cos B=13.(2)由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,得ac cos B=2.由(1)知cos B=13,故ac=6,由b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得a 2+c 2=12,所以(a-c )2=0,即a=c ,所以a=c=√6.能力提升1.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且c cos A+a cos C=2c ,若a=b ,则sin B 等于( ) A.√154B.14C.√34D.√32c cos A+a cos C=2c ,∴由正弦定理可得sin C cos A+sin A cos C=2sin C , ∴sin(A+C )=2sin C ,∴sin B=2sin C ,∴b=2c.又a=b ,∴a=2c.∴cos B=a 2+c 2-b2=4c 2+c 2-4c 22=1,∵B ∈(0,π),∴sin B=√1-cos 2B =√154.2.如图,在△ABC 中,B=45°,D 是BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB 的长为( ) A.√615 B.5 C.5√62D.5√6△ADC 中,由余弦定理,得cos ∠ADC=AD 2+DC 2-AC 22AD ·DC=25+9-492×5×3=-12,所以∠ADC=120°,则∠ADB=60°.在△ABD 中,由正弦定理,得AB=ADsin∠ADB sinB=5×√32√22=5√62.3.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=(b+c )cos C ,则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形D.锐角三角形,得sin A=(sin B+sin C )cos C ,即sin(B+C )=(sin B+sin C )cos C ,所以sin B cos C+cos Bsin C=sin B cos C+sin C cos C ,所以cos B sin C=sin C cos C.因为sin C ≠0,所以cos B=cos C ,故必有B=C ,从而△ABC 是等腰三角形.4.在△ABC 中,A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,B=π,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗=-2,且满足sin A+sin C=2sin B ,则该三角形的外接圆的半径R 为( ) A.4√3B.2√3C.√3D.2√3AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ac cos(π-B )=-12ac=-2, 所以ac=4.由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B. 又因为sin A+sin C=2sin B ,所以a+c=2b.所以(a+c )24=(a+c )2-3ac ,所以3(a+c )24=12,所以(a+c )2=16,所以a+c=4,所以b=2,所以2R=bsinB =2sin60°=4√33, 所以R=2√33.5.在△ABC 中,B=π3,AC=√3,且cos 2C-cos 2A-sin 2B=-√2sin B sin C ,则BC= .cos 2C-cos 2A-sin 2B=-√2sin B sin C ,∴(1-sin 2C )-(1-sin 2A )-sin 2B=-√2sin B sin C , ∴-sin 2C+sin 2A-sin 2B=-√2sin B sin C ,由正弦定理可得a 2-c 2-b 2=-√2bc ,∴cos A=√2,∴A=π.由正弦定理可得BC sinA=AC sinB=√332=2,∴BC=2×√2=√2.√26.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a=√3,√3+bc=sinC+sinAsinC+sinA -sinB,则b+2c 的最大值等于 .原等式可化为a+bc =c+ac+a -b ,整理,得a 2=b 2+c 2-bc ,故cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,由A ∈(0,π),可得A=π3.因为bsinB =csinC =asinA =2,可得b+2c=2sin B+4sin C=2sin B+4sin (2π3-B)=4sin B+2√3cos B=2√7sin(B+θ),其中θ为锐角,tan θ=√32.由于B ∈(0,2π3),故当B+θ=π2时,b+2c 取得最大值为2√7.√77.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知sin B+sin C=m sin A (m ∈R ),且a 2-4bc=0. (1)当a=2,m=54时,求b ,c 的值; (2)若角A 为锐角,求m 的取值范围.,得b+c=ma ,a 2-4bc=0.(1)当a=2,m=54时,b+c=52,bc=1. 解得{b =2,c =1或{b =12,c =2. (2)∵cos A=b 2+c 2-a 22bc=(b+c )2-2bc -a 22bc=m 2a 2-a 22-a 2a 22=2m 2-3∈(0,1),∴32<m 2<2.由b+c=ma ,得m>0,故√62<m<√2.8.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2a sin A=(2b-c )sin B+(2c-b )sin C. (1)求角A 的大小;(2)若sin B+sin C=√3,试判断△ABC 的形状.∵2a sin A=(2b-c )sin B+(2c-b )sin C ,∴2a 2=(2b-c )b+(2c-b )c ,即bc=b 2+c 2-a 2,∴cos A=b 2+c 2-a 22bc=12.∵0°<A<180°,∴A=60°.(2)∵A+B+C=180°,∴B+C=180°-60°=120°,由sin B+sin C=√3,得sin B+sin(120°-B )=√3,∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B=√3, ∴3sin B+√3cos B=√3,即sin(B+30°)=1.又∵0°<B<120°,∴30°<B+30°<150°,∴B+30°=90°,即B=60°,∴A=B=C=60°,∴△ABC 为正三角形.。
03正、余弦定理(习题课)
Do it well and show that you are excellent.正、余弦定理（复习）一、学习目标1．理解并掌握正、余弦定理，并会用它解三角形 2. 综合应用正、余弦定理解决一些问题 二、自主学习.学与思1、三角形ABC ∆中的一些常用结论①内角和定理：②边角关系： ③()=+B A sin , ()=+B A cos , =+2sinBA , 2、正弦定理：设c b a ,,分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，R 为外接圆的半径，则有 ________ =__________=___________=__________ 变形一（化边为角）：_________________________________________________________________ 变形二（化角为边）： 变形三（三角形的面积公式）： 3、余弦定理：设c b a ,,分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，R 为外接圆的半径， 则有 ， ， 常用变形：_____________________________________________________________________ 4、解三角形___________________________________________________________________ __叫解三角形．（1） 正弦定理可解决以下两类问题：① ②（2） 余弦定理可解决以下两类问题：① ② 三、探究学习.讲与练 题型一：解三角形例1 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的解三角 （1）a=7，b=8，A=105°； （2）a=10，b=20，A=80°；（3）a=5，b =A=30°。
【变式】1、在中，若a =A=300，试讨论当b 为何值时（或什么范围内）三角形有解，两解，无解？- -2 练习2：在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，求cos C 的值。
正弦定理和余弦定理
2 2 ∵ sinC＝ 1－ cos C＝ ， a＝ 3 2，∴ b＝ 2 3. 3
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
4．△ ABC 中，已知 b＝ 2 2，c＝ 2 6，C＝ 60° ，则 A＝ ________.
人 教 B 版 数 学
[答案]
90°
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
人 教 B 版 数 学
又由 b>a，知 B>A， ∴ 30° <B<180° ，∴ B＝ 90° . ∴ C＝ 180° －(A＋ B)＝ 180° － (30° ＋90° )＝60° . ∴ c＝ b2－ a2＝ 162－ 82＝ 8 3.
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
在△ ABC 中，a＝ λ，b＝ 3λ，∠ A＝ 45° ，则满足此 条件的三角形个数是( A． 0 C． 2 ) B． 1 D．无数个
解三角形
正弦定理的综合应用
[例 2] 在△ABC 中，已知∠ B＝ 60° ， tanAtanC＝ 2 ＋ 3，又知顶点 C 的对边 c 上的高为 4 3，求三角形三边 的长． [分析 ] 由已知件不难求出 tanA 和 tanC，从而求出 4 3 4 3 ∠ A 和∠ C，然后根据边 c＝ ＋ 进而问题得解． tanA tanB
人 教 B 版 数 学
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
人 教 B 版 数 学
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
一、选择题 1．在△ABC 中，a＝ 80，b＝ 100，A＝ 45° ，则此三 角形解的情况是( A．一解 C．一解或两解 ) B．两解 D．无解
高中数学同步教学课件 习题课 正弦定理、余弦定理的综合应用
(2)若∠ACD＝30°，求AB的长.
∵∠ACD＝30°，由(1)可得sin∠BCD＝2sin∠ACD＝1， 即∠BCD＝90°，∴∠ACB＝120°， 由余弦定理得 AB＝ AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝ 4＋1＋2＝ 7.
反思感悟
在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形， 再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角.
由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝16＋4－2×8×－14＝24，
∴a＝2 6，
又sina A＝sinc C，
解得 sin C＝ 810，
∴a＝2
6，sin C＝
10 8.
(2)求 cos2C＋π3的值.
由(1)知，sin C＝ 810，b>c，∴C∈0，π2，
∴cos C＝ 1－sin2C＝386，
1234
2.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD ＝4，则sin B的值为
1 A.2
7 B. 6
7 C. 14
√D.
21 14
1234
由题意，得△ADC为等边三角形，
则∠ADB＝120°，AC＝2，
由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB，
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五
课时对点练
基础巩固
1.在△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝ 23，则 C 等于
A.60°或120°
B.30°
C.60°√
D.45°
在△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，B＝30°，
S△ABC＝12AB·ACsin A＝ 23，可得 sin A＝1， 所以A＝90°， 所以C＝180°－A－B＝60°.
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1.1正余弦定理综合应用 习题课
1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B
b ，则角B 等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
解析：由正弦定理知sin A a ＝sin B b ，∵sin A a ＝cos B
b ，
∴sin B ＝cos B ，∵0°<B <180°，∴B ＝45°. 答案：B
2．在△ABC 中，∠B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形
D ．直角三角形
解析：由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝1
2，则(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又∠B
＝60°，∴△ABC 为等边三角形．
答案：B
3．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为( ) A ．1
3
B ．－23
C ．14
D ．－14
解析：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝3∶2∶3，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k (k >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋4k 2－9k 212k 2＝1
3
.
答案：A
4．在△ABC 中，lg a －lg b ＝lg sin B ＝－lg 2，∠B 为锐角，则∠A 的值是( ) A ．30° B ．45° C ．60°
D ．90°
解析：由题意得a b ＝sin B ＝2
2，
又∵∠B 为锐角，∴B ＝45°， 又a b ＝sin A sin B ＝2
2， sin A ＝sin B ×22＝1
2
， ∴∠A ＝30°.
答案：A
5．在△ABC 中，b ＝1，a ＝2，则角B 的取值范围是________． 解析：由正弦定理得1sin B ＝2sin A ，所以sin B ＝1
2
sin A ∈⎝⎛⎦⎤0，12.又因为b <a ，所以B <A ，所以B ∈(0°，30°]．
答案：(0°，30°]
6．在△ABC 中，若∠C ＝60°，则
a b ＋c ＋b
a ＋c
＝________. 解析：a b ＋c ＋b
a ＋c ＝a 2＋ac ＋
b 2＋b
c (b ＋c )(a ＋c )
＝a 2＋b 2＋ac ＋bc ab ＋ac ＋bc ＋c 2
① ∵∠C ＝60°∴a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝ab . ∴a 2＋b 2＝ab ＋c 2②
②代入①得ab ＋c 2＋ac ＋bc ab ＋ac ＋bc ＋c 2＝1.
答案：1
7．在△ABC 中，cos A ＝4
5，且(a －2)∶b ∶(c ＋2)＝1∶2∶3，试判断三角形的形状．
解：由已知设a －2＝x ，则b ＝2x ，c ＋2＝3x ， 所以a ＝2＋x ，c ＝3x －2，由余弦定理得 4x 2＋(3x －2)2－(x ＋2)24x (3x －2)＝4
5，解得x ＝4， 所以a ＝6，b ＝8，c ＝10，
所以a 2＋b 2＝c 2，即三角形为直角三角形．
8．(2013·陕西高考)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
解析：由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ，所以sin(B ＋C )＝sin 2 A ，∴sin A ＝sin 2 A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π
2
，所以△ABC 是直角三角形．
答案：B
9．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A ．322
B ．332
C ．32
D ．3 3
解析：由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－(13)22×3×4＝12，所以sin A ＝3
2.
则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×
32＝33
2
，故选B ． 答案：B
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．
解析：由sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫B ＋π
4＝2得 sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝1，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin B
b ＝2·sin
π
42＝1
2
，所以A ＝π6或5π
6
(舍去)．
答案： π
6
11．(2014·大纲全国高考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝1
3
，求B ．
解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ． 故3tan A cos C ＝2sin C ，
因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，tan C ＝1
2.
所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C ) ＝
tan A ＋tan C
tan A tan C －1
＝－1.
即B ＝135°.
12．(2014·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B ．
(1)求a 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π
4的值． 解：(1)因为A ＝2B ，
所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ． 由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 2
2ac .
因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.
(2)由余弦定理得
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－1
3.
由于0<A <π，
所以sin A ＝1－cos 2 A ＝
1－19＝22
3
. 故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π
4 ＝
223×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－2
6
.
13．(2014·北京高考)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在
BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝1
7
.
(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．
解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝43
7.
所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝
437×12－17×32＝33
14
. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin ∠BAD
sin ∠ADB ＝8×
33
1443
7＝3.
在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×1
2＝49.
所以AC ＝7.。