概率统计第四章
概率论与数理统计 --- 第四章{随机变量的数字特征} 第一节：数学期望
这个数能否作为 X的平均值呢？
若统计100天,
可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. 一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出三件废品)
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数), 求W 的数学期望.
解: 由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
2 2
a
例7 设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x , 0 y f ( x, y) 2 2 0 其它 (1)求系数A , ( 2)求E ( X ), E ( XY ).
x f ( x )x
i i i
i
阴影面积近似为
这正是:
f ( xi )xi
x f ( x )dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分: xf ( x )dx
概率论
绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:
2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则： E ( X )
E (Y )
xf X ( x )dx
yfY
( y )dy
xf ( x , y )dxdy,
高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.4第1课时离散型随机变量的均值b选择性
7
个，从中任取
2
个球，
提 素
知
养
合 作
已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为(
探
究
A．3
B．4
释
疑 难
C．5
D．2
)课
时 分 层 作 业
·
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·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
(2)(一题两空)某运动员投篮命中率为 p＝0.6，则
提 素
知
养
①投篮 1 次时命中次数 X 的数学期望为________；
探
课 时
究
释 疑
可知 X～B300，13，∴E(X)＝300×13＝100.]
分 层 作 业
难
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情
离散(lísàn)型随机变量均值的性质
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
【例 2】 已知随机变量 X 的分布列为
提 素
知
养
X －2 －1 0 1 2
合
作 探 究
P
1 4
1 3
1 5
提 素
知
养
奇数”的对立事件的概率；(2)先求出 ξ 的取值及每个取值的概率，
合
作
课
探 然后求其分布列和均值．
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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情
[解] 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事 课
《概率论与数理统计》第四章考点手册
《概率论与数理统计》第四章 随机变量的数字特征考点33 离散型随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）1.设X 是离散型随机变量,概率分布为P {X =x i }=p i ,i =1,2,…。
则∑∞==1)(i i ip x X E 为X 的数学期望(或均值)。
2.常用离散型随机变量的数学期望（1）两点分布：X ∼B(1,p),0<p<1，则E(X)=p 。
（2）二项分布：X ∼B(n,p)，其中0<p<1，则E(X)=np 。
（3）泊松分布:X ∼P(λ)，其中λ>0，则E(X)=λ。
考点34 连续型随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）1.设X 是连续型随机变量，则称⎰∞∞-=dx x f x X E )()(为X 的数学期望。
2. 常用连续型随机变量的数学期望（1）均匀分布若X~U[a,b],即X 服从[a,b]上的均匀分布,则； 21)()(b a dx a b x dx x xf X E b a +=-==⎰⎰+∞∞- （2）指数分布若X 服从参数为λ的指数分布，则 ； /1)(0λλλ⎰+∞-==dx e x X E x 正态分布若X 服从),(2s µN ，则.)(μ=X E考点35 二维随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）1.二维离散型随机变量的数学期望：设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布为p ij ,i=1,2,⋯，j=1,2,⋯.则：.),()],([11åå¥=¥==i j ij j i p y x g Y X g E2. 二维连续型随机变量的数学期望：设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y),则:. ),(),()],([dxdy y x f y x g Y X g E òò¥¥-¥¥-=考点36 数学期望的性质（★★★一级考点，选择、填空）(1).设C 是常数，则E(C)=C;E(C)=C ×1=C(2).若k 是常数，则E(kX)=kE(X);(3).E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4).设X,Y 相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y);考点37 方差的概念（★★二级考点，选择、填空）1.方差的概念:设X 是一随机变量，若E [X -E (X )]2 存在,则称其为X 的方差，记成Var(X )，即Var(X )=E {[X -E (X )]2} 并称)(X Var 为X 的标准差。
概率与数理统计第四章
X 3, 一台付款3000元; 设寿命X服从参数为0.1的指数分布,试求该商店一 台收费Y的数学期望.
解 由题意, X的分布函数为
F ( x) 1 e
x 10
( x 0)
Y的可能的取值为1500,2000,2500,3000，且
P{Y 1500 } P{X 1} F (1) 1 e0.1 0.0952
解 因为 X , Y 相互独立且均服从参数为 的指数 分布，所以 X , Y 的联合密度函数为
2e x y f ( x, y) 0
E ( Z ) zf ( x, y )dxdy
R2 x y
x 0, y 0 其它
x y
zf ( x, y)dxdy zf ( x, y)dxdy
X
e f x dx e 1dx e 1
x x 0
1
例4.1.11 设某种商品每周的需求量X服从区间 [10,30]上的均匀分布,而经销商进货数为区间[10,30] 中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元; 若供大于求则削价处理,每处理一单位商品亏损100 元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每单位仅 获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280,试 确定最小的进货量. 解 设进货数为a,则利润为 500a ( X a)300, a X 30 Ya g ( X ) 500 X (a X )100, 10 X a
i 1 j 1
E (Z ) E[ g ( X , Y )] g xi , y j pij
（2）如果 X , Y 是二维连续型随机变量，且其联合密度函数 是 f x, y ，则当
《概率论与数理统计》第04章习题解答
第四章 正态分布１、解：(0,1)ZN（1）{ 1.24}(1.24)0.8925P Z ∴≤=Φ={1.24 2.37}(2.37)(1.24)0.99110.89250.0986P Z <≤=Φ-Φ==-= {2.37 1.24}( 1.24)( 2.37)(1.24)(2.37)0.89250.99110.0986P Z -<≤-=Φ--Φ-=-Φ+Φ=-+=（2）{}0.9147()0.9147 1.37{}0.05261()0.0526()0.9474 1.62P Z a a a P Z b b b b ≤=∴Φ==≥=-Φ=Φ==，，得，，，得2、解：(3,16)XN8343{48}()()(1.25)(0.25)0.89440.59870.295744P X --∴<≤=Φ-Φ=Φ-Φ=-= 5303{05}()()(0.5)(0.75)44(0.5)1(0.75)0.691510.77340.4649P X --<≤=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= 31(25,36){25}0.95442(3,4){}0.95X N C P X C X N C P X C -≤=>≥、（）设，试确定，使；（）设，试确定，使解：（1）(25,36){25}0.9544X N P X C -≤=，{2525}0.9544P C X C ∴-≤≤+=25252525()()0.954466()()2()10.9544666()0.9772,21266C C C C CC CC +---Φ-Φ=-Φ-Φ=Φ-=Φ=∴==即， （2）(3,4){}0.95XN P X C >≥，331()0.95()0.952231.6450.292C CCC ---Φ≥Φ≥-≥≤-即，，4、解：（1）2(3315,575)XN4390.2533152584.753315{2584.754390.25}()()575575(1.87)( 1.27)(1.87)1(1.27)0.969310.89800.8673P X --∴≤≤=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= （2）27193315{2719}()( 1.04)1(1.04)10.85080.1492575P X -≤=Φ=Φ-=-Φ=-=(25,0.1492)YB ∴4440{4}(0.1492)(10.1492)0.6664ii i i P Y C -=∴≤=-=∑5、解：(6.4,2.3)X N{}{}1()81(1.055)10.85540.14462.3(85}0.17615 6.451(0.923)(0.923)0.82121()2.3P X P X X P X -Φ>-Φ-∴>>======->-Φ-Φ-Φ6、解：（1）2(11.9,(0.2))XN12.311.911.711.9{11.712.3}()()(2)(1)(2)1(1)0.20.20.977210.84130.8185P X --∴<<=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= 设A ={两只电阻器的电阻值都在欧和欧之间} 则2()(0.8185)0.6699P A ==（2）设X , Y 分别是两只电阻器的电阻值，则22(11.9,(0.2))(11.9,(0.2))X N Y N ，，且X , Y 相互独立[]22212.411.9{(12.4)(12.4)}1{12.4}{12.4)}1()0.21(2.5)1(0.9938)0.0124P X Y P X P Y -⎡⎤∴>>=-≤⋅≤=-Φ⎢⎥⎣⎦=-Φ=-=7、一工厂生产的某种元件的寿命X （以小时计）服从均值160μ=，均方差为的正态分布，若要求{120200}0.80P X <<≥，允许最大为多少解：因为2(160,)XN σ由2001601201600.80{120200}()()P X σσ--≤<<=Φ-Φ从而 40402()10.80()0.9σσΦ-≥Φ≥，即，查表得401.282σ≥，故σ≤8、解：（1）2(90,(0.5))XN8990{89}()(2)1(2)10.97720.02280.5P X -∴<=Φ=Φ-=-Φ=-= （2）设2(,(0.5))X N d由808080{80}0.991()0.99()0.99 2.330.50.50.5d d d P X ---≥≥∴-Φ≥Φ≥≥，，，即 从而d ≥ 9、解：22~(150,3),~(100,4)X Y X N Y N 与相互独立，且则（1）2221~(150(100,3)4)(250,5)W X Y N N =+++=()222222~2150100,(2)314(200,52)W X Y N N =+-⨯+-⨯+⨯=-22325~(125,)(125,(2.5))22X Y W N N +== （2）242.6250{242.6}()( 1.48)1(1.48)10.93060.06945P X Y -+<=Φ=Φ-=-Φ=-= 12551255125522212551251255125()1()(2)1(2)2.5 2.522(2)220.97720.0456X Y X Y X Y P P P ⎧+⎫++⎧⎫⎧⎫->=<-+>+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭--+-=Φ+-Φ=Φ-+-Φ=-Φ=-⨯=10、解：（1）22~(10,(0.2)),~(10.5,(0.2))X N Y N X Y ，且与相互独立22~(0.5,2(0.2))(0.5,(0.282))X Y N N ∴--⨯=-0(0.5){0}()(1.77)0.96160.282P X Y ---<=Φ=Φ=（2）22~(10,(0.2)),~(10.5,)X N Y N X Y σ设，且与相互独立222~(0.5,2(0.2))(0.5,(0.2))X Y N N σ∴--⨯=-+0.90{0}P X Y ≤-<=Φ=Φ由1.28≥，故σ≤11、设某地区女子的身高（以m 计）2(1.63,(0.025))WN ，男子身高（以m 计）2(1.73,(0.05))MN ，设各人身高相互独立。
第四章概率统计模型
第四章 概率统计模型本章的目的不是系统地介绍概率论和统计分析的内容，而是利用概率论和统计分析的知识建立和分析实际问题，从而建立数学模型。
§4.1 古典随机模型 一、古典概型设E 是随机试验，Ω是E 的样本空间，若○1Ω只含有有限个基本事件——有限性； ○2每个基本事件发生的可能性相同——等可能性。
则称E 为古典概型。
在古典概型中，如果事件A 是由全部n 个基本事件中的某m 个基本事件复合而成的，则事件A 的概率可用下式来计算：nm A P =)(例1 配对问题某人先写了n 封投向不同地址的信，在写n 个标有这n 个地址的信封，然后随意的在每个信封内装入一封信。
试求信与地址配对的个数的数学期望。
解：用i A 表示“第i 封信与地址配对”这一事件，则)(110i ni A P q ⋃=-=为求)(1i ni A P ⋃=，可利用一般加法公式)()1()()()()(2113211n n nk j i k j inj i j ini ii ni A A A P A A AP A AP A P A P -=<<=<==-+++-=∑∑∑来计算。
第i 封信可装入n 个信封，恰好和地址配对的概率nA P i 1)(=，故1)(1=∑=ni iA P如i A 出现，第j 封信共有n －1个信封可以选择，故,111)()()(,11)(-⋅==-=n n A A P A P A A P n A A P ij i j i i j从而,!21)1(/)(22=-=∑=<n n C A A P n nj i j i类似地可得到!1)(,!31)2)(1(/)(2133n A A A P n n n C A A A P n n nk j i k j i ==--=∑=<<于是∑∑==-=-=--=-=nk nk kk i ni k k A P q 1110!)1(!)1(1)(1q 0与n 有关，如记q 0=q 0(n),则利用q 0不难求出q r 。
《概率论与数理统计》第4-7 章复习与自测题
《概率论与数理统计》第4－7章复习第四章 随机变量的数字特征常用分布的期望与方差第五章 大数定律及中心极限定理第六章 数理统计的基本概念第七章参数估计常用概率分布的参数估计表自测题第四章﹑数字特征1. 设随机变量X 的密度函数f(x)= ⎩⎨⎧5x 4 0≤x ≤1 0 其他, 求数学期望EX 。
2.设随机变量X ～N (-1，3)，Y ～N (0，5)，Cov(X ,Y )=0.4，求D (X +Y )的值。
3. 设随机变量X 和Y 的密度函数分别为f X (x)= ⎩⎨⎧0.5， 1≤x ≤30， 其它 ，f Y (y)= ⎩⎨⎧3e -3y ， y>00， y ≤0， 若X ，Y 相互独立，求： E(XY)4. 设 X 服从参数为 λ 的普阿松分布(λ>0)，则下列6个等式中那几个是错误的。
DX=1λ, E(X)D(X) =1 , E(X 2)=E(X)[E(X)+1] , E(X) = λ , E (X - λ)2 = 0, EX=λ2+λ5．设随机变量的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 1 2 0 1/4 1/12 2 1/6 1/2 求：(1) E(X), E(Y)；(2)D(X), D(Y)；(3) ρxy 。
6．设二维随机变量(X ，Y)的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 0 1 3 0 0.1 0.2 0.1 1 0.2 0.4 0，求(1)E(XY); (2)Cov(X,Y)。
试问：X 与Y 是否相互独立？为什么？7. 设随机变量X 的分布律为 ⎣⎡⎦⎤X -2 0 1 2P 0.2 0.3 0.4 0.1.记Y =X 2， 求：(1)D (X )，D (Y )；(2)Cov(X,Y ), ρxy .8. 已知投资某短期项目的收益率R 是一随机变量，其分布为：⎣⎡⎦⎤R -2% 0% 3% 10%P 0.1 0.1 0.3 0.5 。
(1) 求R 的数学期望值E(R)与方差D(R)；(2) 若一位投资者在该项目上投资100万元，求他预期获得多少收益(纯利润)(万元)？9. 假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。
概率论与数理统计第4章复习
第四章 随机变量的数字特征一、 随机变量的数学期望1. 离散型随机变量数学期望设离散型随机变量X 的分布律为：,...2,1,}{===k p x X P k k 若级数∑kk k p x 绝对收敛，则称级数∑kk k p x 的和为随机变量X 的数学期望，记为E(X)，即∑=kk kp xX E )(。
2. 连续型随机变量数学期望设连续型随机变量X 的概率密度函数为)(X f ，若积分⎰+∞∞-dx x xf )(绝对收敛，则称积分⎰+∞∞-dx x xf )(为随机变量X 的数学期望，记为E(X)，即⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(.数学期望简称期望或均值，他反映了随机变量所有可能取值的一种平均。
3. 随机变量函数的期望（1） 设X 是随机变量，)(x g y =为实变量x 的函数。
1） 若X 是离散型随机变量，其分布律为：,}{k k p x X P == 1=k ，2,3，...,且级数∑kk k p x g )(绝对收敛，则∑==kk kp xg x g E Y E )()]([)(2） 若X 市连续型随机变量，其密度函数为)(x f ，且积分⎰+∞∞-dx x f x g )()(绝对收敛，则⎰+∞∞-==dx x f x g x g E Y E )()()]([)(（2） 设（X ，Y ）是二维随机变量，),(y x g z =为实变量x ，y 的二元函数。
1） 若（X ，Y ）是离散型随机变量，其分布律为：,),(ij i i p y Y x X P ===,.....2,1,=j i 且∑∑ijij j ip y xg ),(绝对收敛，则∑∑==ijij j ip y xg Y X g E Z E ),()],([)(2） 若（X ，Y ）是连续型随机变量，其密度函数为),(y x f ，且⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f y x g ),(),(绝对收敛，则⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dxdy y x f y x g Y X g E Z E ),(),()],([)(。
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习题四解答1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。
（1）5,4,3,2,1,0,15==i ip i ；（2）()3,2,1,0,652=-=i i p i； （3）5,4,3,2,41==i p i ； （4）5,4,3,2,1,251=+=i i p i 。
解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证i p 是否满足下列二个条件：其一条件为 ,2,1,0=≥i p i ，其二条件为1=∑ii p 。
依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为0646953<-=-=p ；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为∑=≠=5112520i i p 。
2. 试确定常数c ，使()()4,3,2,1,0,2===i ci X P i 成为某个随机变量X 的分布律，并求：()2≤X P ；⎪⎭⎫ ⎝⎛<<2521X P 。
解 要使i c 2成为某个随机变量的分布律，必须有1240=∑=i i c ，由此解得3116=c ；（2） ()()()()2102=+=+==≤X P X P X P X P 3128412113116=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=（3）()()212521=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛<<X P X P X P 311241213116=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=。
3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。
从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数。
解 X 可能取的值为-3，1，2，且()()()612,211,313=====-=X P X P X P ，即X 的分布律为X 的分布函数0 3-<x()()x X P x F ≤== 3113<≤-x6521<≤x1 2≥x4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X 表示取出的3个球中最大号码，写出X 的分布律和分布函数。
解 依题意X 可能取到的值为3，4，5，事件{}3=X 表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即()1013513=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ；事件{}4=X 表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时()103352314=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==X P ；同理可得()106352415=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==X P 。
X 的分布律为X 的分布函数为0 3<x()=x F10143<≤x 10454<≤x1 5≥x5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X 的分布律。
解 依题意X 服从参数6.0,5==p n 的二项分布，因此，其分布律()5,,1,0,4.06.055 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k k k X P kk ，6. 时，各件产品被抽到的可能性相等。
在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律。
（1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2） 每次取出的产品都不放回这批产品中； （3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。
解 （1）设事件 ,2,1,=i A i 表示第i 次抽到的产品为正品，依题意，,,,1n A A 相互独立，且() ,2,1,1310==i A P i 而 ()()()()() ,2,1,131013311111=⎪⎭⎫⎝⎛====---k A P A P A P A A A P k X P k k k k k 即X 服从参数1310=p 的几何分布。
（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X 可能取到的值为1，2，3，4，()()()().286110111213101234,143511121310233,26512131032,13101=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯===⨯⨯====X P X P X P X PX 的分布律为（3）X ()()()().219761313131234,21977213131312233,1693313131132,13101=⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯===⨯⨯====X P X P X P X P所求X 处。
7. 设随机变量()p B X ,6~，已知()()51===X P X P ，求p 与()2=X P 的值。
解 由于()p B X ,6~，因此()()6,,1,0,1666 =-⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-k p p k X P kk 。
由此可算得 ()()()(),165,16155p p X P p p X P -==-== 即 ()(),161655p p p p -=- 解得21=p ；此时，()641521!25621212626262=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-X P 。
8. 掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X 表示出现国徽的次数，求X 的分布函数。
解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为21，因此X 服从21,4==p n 的二项分布，即 ()4,3,2,1,0,212144=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k k k X P kk由此可得X 的分布函数0， 0<x161， 10<≤x ()=x F 165， 21<≤x1611， 32<≤x1615， 43<≤x1， 4≥x9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X 服从参数4=λ的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？解 设至少要进n 件物品，由题意n 应满足()(),99.0,99.01≥≤<-≤n X P n X P即 ()99.0!41104<=-≤∑-=-n k ke k n X P()99.0!404≥=≤∑=-nk k e k n X P查泊松分布表可求得 9=n 。
10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。
解 设X 为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X 服从0001.0,1000==p n 的二项分布，即()0001.0,1000~B X ，由于n 较大，p 较小，因此也可以近似地认为X 服从1.00001.01000=⨯==np λ的泊松分布，即()1.0~P X ，所求概率为()()().004679.0090484.0904837.01!11.0!01.0110121.011.00=--=--≈=-=-=≥--ee X P X P X P 11. 某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X 表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X 的分布律。
解 设事件i A 表示第i 次试验成功，则()75.0=i A P ，且 ,,,1n A A 相互独立。
随机变量X 取k 意味着前1-k 次试验未成功，但第k 次试验成功，因此有()()()()()75.025.011111---====k k k k k A P A P A P A A A P k X P()=x f x 2， A x <<00， 其他， 试求：（1）常数A ；（2）X 的分布函数。
解 （1）()x f 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为()0≥x f ；其二为()⎰+∞∞-=1dx x f ，因此有⎰=Axdx 012，解得1±=A ，其中1-=A 舍去，即取1=A 。
（2）分布函数()()()⎰∞-=≤=xdx x f x X P x F= ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++∞-∞-∞-xxxdxxdx dx xdxdx dx101000020200 1100≥<≤<x x x= 102x 1100≥<≤<x x x13. 设随机变量X 的密度函数为()+∞<<-∞=-x Ae x f x ,，求：（1）系数A ；（2）()10<<X P ；（3）X 的分布函数。
解 （1）系数A 必须满足⎰+∞∞--=1dx Ae x ，由于xe-为偶函数，所以⎰⎰⎰+∞∞-+∞+∞---===12200dx Ae dx Aedx Aex xx解得21=A ；（2）()()11010121212110----===<<⎰⎰e dx e dx e X P x x ； （3）()()⎰∞-=xdx x f x F= ⎰⎰⎰-∞--∞--+x xx xxdxe dx e dxe 00212121 00≥<x x= ⎰⎰⎰-∞-∞-+x xx xxdxe dx e dxe 00212121 00≥<x x= ()x xe e--+1212121 00≥<x x= x xe e--21121 00≥<x x14. 证明：函数()=x f 022cx ec x - 00<≥x x （c 为正的常数） 为某个随机变量X 的密度函数。
证 由于()0≥x f ，且()12022022222=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==+∞-∞+-∞+∞-∞+∞--⎰⎰⎰cx c x c x e c x d e dxe cxdx x f ，因此()x f 满足密度函数的二个条件，由此可得()x f 为某个随机变量的密度函数。
15. 求出与密度函数()=x f 025.05.0x e 2200>≤<≤x x x对应的分布函数()x F 的表达式。
解 当0≤x 时，()()⎰⎰∞-∞-===xx x xe dx e dx xf x F 5.05.0当20≤<x 时，()()⎰⎰⎰∞-∞-+=+==0025.05.025.05.0x dx dx e dx x f x F xx x当2>x 时，()15.05.0025.05.00220=+=++=⎰⎰⎰∞-xx dx dx dx e x F综合有()=x F ,1,25.05.0,5.0x e x + .2;20;0≥≤≤≤x x x16. 设随机变量X 在()6,1上服从均匀分布，求方程012=++Xt t 有实根的概率。
解 X 的密度函数为()=x f,5161<<x ； ,0 其他.方程012=++Xt t 有实根的充分必要条件为042≥-X ，即42≥X ，因此所求得概率为()()()()⎰=+=≥+-≤=≥-≤=≥6225451022224dx X P X P X X P X P 或。