用几何方法证明坐标平面内互相垂直的两直线的斜率之积等于
高B数学必修二课件时两条直线垂直的条件
圆锥曲线的性质
在解析几何中，圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线等。 当两条直线分别与圆锥曲线相切且互相垂直时，可以利用 这一性质求解圆锥曲线的方程和相关问题。
与重合直线的辨析
位置关系
重合直线是两条完全重合在一起的直线，它们具有相同的斜率和截距；而垂直直线则是两条相交的直 线，它们在交点处形成90度角。
性质差异
重合直线可以视为一条直线，具有相同的性质；而垂直直线则具有两条直线的性质，但在交点处具有 特殊性。
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直角三角形的性质
在直角三角形中，两条直角边互相垂 直，斜边与其中一条直角边形成的角 为90度，利用这一性质可以求解与直 角三角形相关的问题。
在解析几何中的应用
直线方程的求解
在解析几何中，两条直线垂直的条件是它们的斜率之积为 -1。利用这一条件可以求解直线方程，进而解决与直线相 关的问题。
圆的标准方程
必要条件
两条直线必须有交点
两条直线垂直的必要条件是它们必须有交点，也就是说，它 们不能是平行线。
交点处两直线的切线垂直
在两条直线的交点上，分别作两条直线的切线，这两条切线 必须垂直。
充要条件的证明
充分性证明
如果两条直线的斜率之积等于-1或者 一条直线斜率为0而另一条直线斜率 不存在，那么可以通过计算证明这两 条直线的夹角为90度，从而证明它们 垂直。
在物理问题中，如力学、电磁学 等领域，常常需要分析物体受力 情况。当两个力互相垂直时，可 以利用这一性质进行力的合成与
互相垂直的两条直线的k值关系证明
互相垂直的两条直线的k值关系证明在几何学中，直线是一种没有曲度的线段，由无数个点组成。
直线的特点是无限延伸，没有起点和终点。
而两条直线之间的关系可以通过斜率（k值）来描述。
斜率（k值）是直线上两个不同点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。
它表示了直线的倾斜程度。
对于互相垂直的两条直线，它们的斜率之间存在一定的关系。
设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，若L1与L2互相垂直，则k1与k2之间的关系满足以下特点：1. 斜率之积为-1对于互相垂直的两条直线，它们的斜率之积等于-1。
即k1 * k2 = -1。
这是因为两条垂直直线的斜率乘积恒为-1，可以从几何上得到证明。
2. 一个斜率为0，另一个斜率不存在对于互相垂直的两条直线，其中一条直线的斜率为0，代表这条直线是与x轴平行的水平线。
而另一条直线的斜率不存在，代表这条直线是与y轴平行的竖直线。
互相垂直的两条直线的k值关系可以通过斜率之积为-1来描述。
这个关系在解决几何问题中非常有用。
例如，在求解直角三角形的问题中，我们可以利用两条垂直直线的斜率关系来求解未知量。
举个例子来说明这个关系。
假设有两条直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2。
如果我们已知k1=2，那么根据斜率之积为-1的关系，我们可以求得k2=-1/2。
这样，我们就得到了两条垂直直线的斜率关系。
除了斜率之积为-1的关系，垂直直线还有其他特点。
例如，两条直线的交点一定是直角，即两条直线在交点处相互垂直。
这也是直角三角形的定义。
因此，通过斜率关系，我们可以判断两条直线是否垂直。
总结一下，互相垂直的两条直线的k值关系可以通过斜率之积为-1来描述。
这个关系在几何学中有重要的应用，可以帮助我们解决各种与垂直直线相关的问题。
通过掌握这个关系，我们可以更好地理解和运用直线的性质，为几何问题的解决提供更多的思路和方法。
椭圆上一点到两顶点斜率之积
椭圆上一点到两顶点斜率之积点 P 是椭圆 C ： x2a2+y2b2=1 的左顶点左顶点，过点 P 且互相垂直的两条直线分别与椭圆E交于、A、B 两点，则直线 AB 过定点 (−a⋅c2a2+b2,0) .证明：证明：法一：法一：当直线AB的斜率为 0 时，显然不符合题意；当直线 AB 的斜率不为 0 时，设直线 AB的方程为 x=my+n , A(x1,y1) , B(x2,y2) .则 {x=my+nx2a2+y2b2=1 ,联立得: (a2+b2m2)⋅y2 +2mnb2y +nb2 −a2b2=0 ,由根与系数的关系得： {y1+y2=−2mnb2b2m2+a2y1⋅y2=b2n2−a2b2b2m2+a2;由题可知：P(−a,0), kPA⋅kPB=−1 ,所以 kPA⋅kPB =y1−0my1+n+a ⋅y2−0my2+n+a =−1 ⇔ (m2+1)⋅y1y2 +m(n+a)⋅(y1+y2) +(n+a)2=0 ;代入{y1+y2=−2mnb2b2m2+a2y1⋅y2=b2n2−a2b2b2m2+a2得：(m2+1)⋅n2b2−a2b2a2+b2m2 −m(n+a)⋅2mnb2a2+b2m2 +(n+a)2=0 ；化简得： (a2+b2)⋅n2 +2a3n +a2(a2−b2) =0 ,因式分解可得：[(a2+b2)n+a(a2−b2)]⋅(n+a)=0解得： n=−a⋅c2a2+b2 ,或者 n=−a （此时直线过点，不符合题意，舍去）（此时直线AB过点P，不符合题意，舍去）直线 AB 过定点 (−a⋅c2a2+b2,0) .法二：法二：椭圆：C：x2a2+y2b2=1向右平移 a 个单位长度，即将椭圆 C的左顶点P平移到原点 O ，如图二；则此时椭圆方程为 (x−a)2a2+y2b2=1 ,化简为 x2a2−2xa +y2b2=0 ；设平移后直线AB为 mx+ny=1 .联立{mx+ny=1x2a2−2xa+y2b2=0得：x2a2 −2xa⋅ (mx+ny) +y2b2=0 ；化简得： (1a2−2ma)⋅x2 −2na⋅xy + +1b2⋅y2=0 ,等式两边同时除以 x2 齐次化得： 1b2⋅(yx)2 −2na⋅(yx) +1a2−2ma=0 ;设平移后A(x_1,y_1) , B(x2,y2) ,又平移后的直线、PA、PB 的斜率之积依然为−1，则kPA⋅kPB=−1 =y1x1⋅y2x2 .由根与系数的关系得： y1x1⋅y2x2 =1a2−2ma1b2 =−1 ，解得： m=a2+b22ab2 ,所以平移后直线AB为 a2+b22ab2⋅x+ny=1 ，过定点 (2ab2a2+b2,0) ,再平移回去即可得原直线过定点(\frac{2ab^2}{a^2+b^2}-a,0) ,化简即可得直线 AB 过定点 (−a⋅c2a2+b2,0) .延伸猜想延伸猜想:题中有两个变量，点 P 的位置和直线 PA 与 PB 的关系（即 PA →⋅PB→或者 kPA⋅kPB 的值）（1）当点 P 的位置改变，kPA⋅kPB=−1 时，点 P 是椭圆 C的右顶点右顶点，则直线 AB 过定点 (a⋅c2a2+b2,0) ；点 P 是椭圆 C的上顶点上顶点，则直线 AB 过定点，(0，−b⋅c2a2+b2) ；点 P 是椭圆 C的下顶点下顶点，则直线 AB 过定点，(0，b⋅c2a2+b2) ；点 P 是椭圆 C上一点点(x0,y0) ，则直线 AB 过定点 (x0⋅c2a2+b2,−y0⋅c2a2+b2) .（2）当点 P 的位置改变，kPA⋅kPB=t(t≠b2a2)时，点 P 是椭圆 C的左顶点左顶点，则直线 AB 过定点 (−a⋅a2t+b2a2t−b2,0) ;点 P 是椭圆 C的右顶点右顶点，则直线 AB 过定点 (a⋅a2t+b2a2t−b2,0) ;点 P 是椭圆 C的上顶点上顶点，则直线 AB 过定点，(0，−b⋅a2t+b2a2t−b2) ；点 P 是椭圆 C的下顶点下顶点，则直线 AB 过定点，(0，b⋅a2t+b2a2t−b2) ；点 P 是椭圆 C上一点点(x0,y0) ，则直线 AB 过定点 (x0⋅a2t+b2a2t−b2,−y0⋅a2t+b2a2t−b2) .注：对于法一法一，因式分解是一个难点，想必到这里可能已经劝退了一波人，不过这里有巧可乘；从图一可知，当点 A 或点 B 在无限靠近点 P时，直线AB也无限接近点 P，所以在解关于 n 的方程时，必有一增根n=−a；因此在因式分解 (a2+b2)n2+2a3n+a4−a2b2=0时，可以借助这一点，利用多项式除法化简即可得[(a2+b2)n+a(a2−b2)]⋅(n+a)=0；对于法二法二，则是利用齐次化的方法，对于解决斜率之和与斜率之积问题，齐次化的方法不失为一种简单而又巧妙的方法；。
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
思考1、两条直线互相垂直，它们的斜率之 积等于-1吗？
有可能一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在
y
l2
若一条直线的倾斜角为90°,
l1
另一条直线的倾斜角为0°
则两直线互相垂直.
o
x
思考2、如果两条直线的斜率之积等于-1， 它们垂直吗？ 一定垂直
练习
下列哪些说法是正确的（ C ）
A 、两直线l1和l2的斜率相等，则 l1 ∥ l2；
巩固提高
试确定m的值，使过点A（m，1），B(–1, 2m)的直线与经过点P（1，2），Q（-5，0）的直 线 解： （由直线的斜率公式可得 1）平行；（2）垂直。 ( 2) PQ AB
k AB k PQ y2 y1 2m 1 1 2m , x2 x1 1 m 1 m y2 y1 0 2 1 x2 x1 5 1 3
y
C B
O
x
A
练习. 判断下列各小题中的直线 L1 和 L 2 是否垂直？ （1）. L1 经过 A(4，5)，B(1,2)， L 2 经过 M(－2, －1),N(2,1)。 (2). L1 的斜率为-10， L 2 经过 M(10,2),N(20,3)
（3）. L1 经过 A（3，4)，B(3,100)， L 2 经过 M(－10,40),N(10,40)。
问题探究二：两直线垂直与它们斜率有何关系？ 设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 （α1,α2≠ 90°），且α1<α2，其斜率分别 为k 1，k 2。
类比： l1 /k /l 1时， 2 l tan 1 tan 2 k1 k2 l1⊥l2 思考 2 当 k 12 2=-1 1与l2的位置关系如何？
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第二节 两条直线的位置关系教案 理(含解析)苏教版-苏教版高三全
第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2[小题体验]1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则实数m 的值为________．解析：由k AB ＝4－mm ＋2＝－2，得m ＝－8.答案：－82．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________. 解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，所以|a ＋1|＝2，又a ＞0，所以a ＝2－1. 答案：2－13．若直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为________．解析：直线ax ＋2y －1＝0的斜率k 1＝－a 2，直线2x －3y －1＝0的斜率k 2＝23，因为两直线垂直，所以－a 2×23＝－1，即a ＝3.答案：31．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：①若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t ，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，因为l 1⊥l 2，所以k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，所以t ＝－1.综上可知t ＝－1或t ＝1. 答案：－1或12．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：因为63＝m 4≠14－3，所以m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2. 答案：2考点一 两条直线的位置关系 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·沭阳月考)若直线y ＝mx ＋1与直线y ＝4x －8垂直，则m ＝________. 解析：由直线y ＝mx ＋1与直线y ＝4x －8垂直， 得m ×4＝－1，解得m ＝－14.答案：－142．(2018·某某模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________． 解析：依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝03．(2019·启东调研)已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2. 解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)＋b ＝0.① 又l 1过点(1,1)，所以a ＋b ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去． 所以a ＝2，b ＝－2.(2)因为l 1∥l 2，所以a －b (a －1)＝0，③由题意，知a ＞0，b ＞0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4a，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，4b .则12×4a ×4b＝2，得ab ＝4，④ 由③④，得a ＝2，b ＝2.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 l 1与l 2平行的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) l 1与l 2相交的充分条件 A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) [提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使PA ＝PB ，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )． 因为A (4，－3)，B (2，－1)，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. 因为点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， 所以a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， 所以|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.所以所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎪⎫277，－87.[由题悟法]距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．(3)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．[即时应用]1．(2019·阜宁中学检测)在坐标轴上，与点A (1,5)，B (2,4)等距离的点的坐标是________．解析：线段AB 的垂直平分线方程为y －92＝－1－25－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，令x ＝0，可得y ＝3；令y＝0，可得x ＝－3，∴在坐标轴上，与点A (1,5)，B (2,4)等距离的点的坐标是(0,3)或(－3,0)． 答案：(0,3)或(－3,0)2．(2018·某某中学测试)已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则PM 的最小值为________．解析：PM 的最小值即为点P (3，－1)到直线x ＋3y ＝2的距离， 又d ＝|3－3－2|1＋3＝1，故PM 的最小值为1.答案：13．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为______________________．解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行， 所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－1)．又因为l 1与l 2的距离是2， 所以|b ＋1|12＋12＝2，解得b ＝1或b ＝－3，即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0考点三 对称问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．(2019·丹阳高级中学检测)点A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为________． 解析：设A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为(x 0，y 0)，由中点坐标公式，得2＋x 02＝0，3＋y 02＝5，则x 0＝－2，y 0＝7.∴点A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为(－2,7)．答案：(－2,7)角度二：点关于线对称2．(2018·某某模拟)已知△ABC 的两个顶点A (－1，5)和B (0，－1)，若∠C 的平分线所在的直线方程为2x －3y ＋6＝0，则BC 边所在的直线方程为______________．解析：设点A 关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×x ′－12－3×y ′＋52＋6＝0，y ′－5x ′＋1＝－32，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ′－3y ′－5＝0，3x ′＋2y ′－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3113，y ′＝－113，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3113，－113，由题意知，点A ′在直线BC 上．所以直线BC 的方程为y ＝－113－－13113－0x －1，整理得12x －31y －31＝0. 答案：12x －31y －31＝0 角度三：线关于线对称3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________．解析：设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， 所以2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0. 答案：x －2y ＋3＝0[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．(2019·沭阳期中)已知点A (1，－2)关于直线x ＋ay －2＝0的对称点为B (m,2)，则实数a 的值为________．解析：由对称的特点可知，AB 的中点在对称轴上，直线AB 垂直于对称轴，则1＋m 2＋－2＋22a －2＝0，2－－2m －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得m ＝3，a ＝2.答案：22．(2018·启东期末)已知直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的斜率为________．解析：设P (a ，b )是直线l 上任意一点，则点P 到直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0的距离相等， 即|2a －b －2|5＝|a ＋2b －1|5，整理得a －3b －1＝0或3a ＋b －3＝0， ∴直线l 的斜率为13或－3.答案：13或－33．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )， 则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·某某调研)已知点A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5，1)，则直线l 的方程为________．解析：∵已知点A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5,1)，故直线l 为线段AB 的中垂线．求得AB 的中点为(－2,2)，AB 的斜率为1－3－5－1＝13，故直线l 的斜率为－3，故直线l 的方程为 y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0.答案：3x ＋y ＋4＝02．(2018·宿迁模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是________． 解析：因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率ky －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.答案：2x ＋y －2＝03．直线y ＝3x ＋3关于直线l ：x －y －2＝0对称的直线方程为________． 解析：取直线y ＝3x ＋3上一点A (0,3)，设A 关于直线l ：x －y －2＝0对称的点为A ′(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －0·1＝－1，a ＋02－b ＋32－2＝0，解得a ＝5，b ＝－2.∴A ′(5，－2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋3，x －y －2＝0，解得x ＝－52，y ＝－92.令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92，∵直线y ＝3x ＋3关于直线l 对称的直线过A ′，M 两点，∴所求直线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－92－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－525－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，即x －3y －11＝0.答案：x －3y －11＝04．(2018·启东中学测试)已知直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则点P 的坐标为________．解析：因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，则直线l 2l 2过点(－1,1)，所以直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理得y ＝2xx ＝0，得y ＝3，所以点P 的坐标为(0,3)．答案：(0,3)5．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，所以直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)， 代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2， 所以a ＝23.答案：236．(2019·某某检测)已知直线l 1：mx ＋2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋(m ＋1)y －2＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________．解析：∵直线l 1：mx ＋2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋(m ＋1)y －2＝0平行，当m ＝－1时，显然不合题意；当m ≠－1时，有m 1＝2m ＋1≠4－2，解得m ＝1，∴l 1与l 2间的距离d ＝|－2－4|1＋4＝655.答案：655二保高考，全练题型做到高考达标1．已知直线l 1：(m ＋1)x ＋2y ＋2m －2＝0，l 2：2x ＋(m －2)y ＋2＝0，若直线l 1∥l 2，则m ＝________.解析：由题意知，当m ＝2时，l 1：3x ＋2y ＋2＝0，l 2：x ＋1＝0，不合题意；当m ≠2时，若直线l 1∥l 2，则m ＋12＝2m －2≠2m －22，解得m ＝－2或m ＝3(舍去)． 答案：－22．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1， 所以l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0， 所以l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.答案：823 3．(2019·X 家港模拟)过点P (1,2)作一直线l ，使直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)的距离相等，则直线l 的方程为________________．解析：易知直线l 的斜率存在，∵直线l 过点P (1,2)，∴设l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.又直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)的距离相等， ∴|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|4k ＋5－k ＋2|k 2＋1， 解得k ＝－4或k ＝－32， ∴l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.答案：4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝04．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点________． 解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，所以直线l 2恒过定点(0,2)．答案：(0,2)5．已知点P (0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线P Q 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：设Q(x 0，y 0)，因为点Q 在直线x －y ＋1＝0上，所以x 0－y 0＋1＝0.①又直线x ＋2y －5＝0的斜率k ＝－12，直线P Q 的斜率k P Q ＝y 0＋1x 0， 所以由直线P Q 垂直于直线x ＋2y －5＝0，得y 0＋1x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.② 由①②解得x 0＝2，y 0＝3，即点Q 的坐标是(2,3)．答案：(2,3)6．(2019·某某一模)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且坐标原点O 到直线l 的距离为3，则△AOB 的面积S 的最小值为________．解析：由坐标原点O 到直线l 的距离为3，可得|－1|m 2＋n 2＝3，化简得m 2＋n 2＝13. 对直线l ：mx ＋ny －1＝0，令x ＝0，可得y ＝1n ；令y ＝0，可得x ＝1m， 故△AOB 的面积S ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ·1n ＝12|mn |≥1m 2＋n2＝3， 当且仅当|m |＝|n |＝66时，取等号． 故△AOB 的面积S 的最小值为3.答案：37．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则PA ·PB 的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以PA 2＋PB 2＝AB 2＝10，所以PA ·PB ≤PA 2＋PB 22＝5(当且仅当PA ＝PB ＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，PA ·PB＝0，故PA ·PB 的最大值是5.答案：58．将一X 画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A (0,2)与点B (4,0)重合．若此时点C (7,3)与点D (m ，n )也重合，则m ＋n 的值是________．解析：由题意知，折痕既是A ，B 的对称轴，也是 C ，D 的对称轴．因为AB 的斜率k AB ＝0－24－0＝－12，AB 的中点为(2,1)， 所以图纸的折痕所在的直线方程为y －1＝2(x －2)，所以k CD ＝n －3m －7＝－12， ① 因为CD 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫m ＋72，n ＋32， 所以n ＋32－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋72－2. ② 由①②解得m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345. 答案：3459．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)当l 1∥l 2时，求a 的值；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， 由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＝11－a，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1. 综上可知，a ＝－1.法二：由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a a －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6⇒a ＝－1.(2)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1⇒a ＝23. 法二：因为l 1⊥l 2，所以A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23. 10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，所以l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，所以k BC ＝65， 所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·江阴检测)直线l 经过点P (2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为S ，如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则S ＝________.解析：由已知可得直线l 的斜率一定存在且不为零，设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，则直线l 与坐标轴的交点为(0,1－2k )，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0， 则S ＝12|1－2k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12k －2k . 如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则关于k 的方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12k －2k ＝S 只有三个解，即4k 2＋2(S －2)k ＋1＝0与4k 2－2(S ＋2)k ＋1＝0，一个有一解，一个有两解，解得S ＝4.答案：42．(2018·锡山高级中学检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________．解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin B ·sin A ax sin A ＋ay ＋c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －y sin B ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，因此k 1·k 2＝b sin B ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin A a ＝－1，所以两条直线垂直．答案：垂直3．已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值，并求此时l 的方程．解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，因为点A (5,0)到l 的距离为3，所以|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝2或λ＝12， 所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)．所以d max ＝PA ＝5－22＋0－12＝10.因为k PA ＝－13，l ⊥PA ，所以k l ＝3， 所以直线l 的方程为y －1＝3(x －2)，即3x －y －5＝0.。
直线的倾斜角与斜率题型归纳与练习
直线的倾斜角与斜率重点一、倾斜角重点二、斜率(倾斜角为α)重点三、两条直线平行对于两条不重合．．．的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2． [归纳总结] (1)当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．(2)直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，当k 1＝k 2时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (3)对于不重合的直线l 1、l 2，其倾斜角分别为α、β，有l 1∥l 2⇔α＝β．重点四、两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；如果它们的斜率之积等于－1， 那么它们互相垂直．[归纳总结] 当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和． (1)平行：倾斜角相同，所过的点不同；(2)重合：倾斜角相同，所过的点相同； (3)相交：倾斜角不同；(4)垂直：倾斜角相差90°．【典题精练】考点1、直线的倾斜角例1．下列命题正确的是（ ）．A ．若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin 0α≥D ．若直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π【解析】倾斜角为90︒的直线，其斜率不存在，故A 错误；若直线的斜率为tan α，只有当[)0,απ∈时，其倾斜角才为α，故B 错误；直线的斜率为0，其倾斜角为0而不是π，故D 错误．故选C ． 所以本题答案为C.考点点睛： 1.求直线的倾斜角(1)根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找出倾斜角，再通过解三角形或其它方法求之； (2)先求出直线的斜率k ，再由k ＝tan α，求倾斜角α．2．倾斜角α与直线斜率值的关系：把倾斜角α分为以下四类讨论：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.对应的斜率k 的值依次为0，正值，不存在，负值．考点2、已知两点坐标求倾斜角和斜率例2．过两点(4,A B 的直线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】直线AB 的斜率k ==,故直线AB 的倾斜角30α=，故选A 考点点睛：(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x 轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．考点3、两直线平行关系的判断与应用例3．已知直线1:sin 0l x y θ+=与直线2:2sin 10l x y θ++=，试求θ的值，使12l l //． 【解析】12//l l ，112sin sin 0112sin 00θθθ⨯-⨯=⎧∴⎨⨯-⨯≠⎩，sin θ∴=，故θ=()4k k ππ±+∈Z考点4、两条直线垂直关系的判断与应用例4．已知()222,3A m m +-，()23,2B m m m --，()21,32C n n +-三点，若直线AB 的倾斜角为45︒，且直线AC AB ⊥，求点A ，B ，C 的坐标． 【解析】()()22232tan 45123ABm mk m m m --===+---， 解得1m =-（舍去），2m =-，∴点()6,1A ，()1,4B -．3211216AC n k n --==-+-，解得85n =，∴点2114,55C ⎛⎫⎪⎝⎭.考点点睛：两条直线垂直的判定条件：(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直；(2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直． 课后训练：1．若直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直，则实数m 的值为（ ） A ．2-B ．12-C ．12D ．2【解析】因为直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直，所以20m -=，得2m =．故选：D ． 2．直线30x y ++=的倾斜角为（ ）A ．56π B ．34π C ．3π D ．4【答案】B【解析】由题得直线的斜率为1-,故其倾斜角为34π.故选B 。
证明垂直的方法
证明垂直的方法证明垂直的方法1利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。
不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法两条直线的方向向量数量积为02斜率两条直线斜率积为-13线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。
方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：Ⅰ.平行关系：线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。
2.公理4(平行公理)。
3.线面平行的性质。
4.面面平行的性质。
5.垂直于同一平面的两条直线平行。
线面平行：1.直线与平面无公共点。
2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。
3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。
面面平行：1.两个平面无公共点。
2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。
Ⅱ.垂直关系：线线垂直：1.直线所成角为90°。
2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。
线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。
2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。
3.面面垂直的性质。
4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。
5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。
面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。
高中线线垂直的判定定理
高中线线垂直的判定定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学中，线线垂直的判定定理是指当两条直线的斜率乘积为-1时，这两条直线是垂直的。
这个定理在几何中起着非常重要的作用，可以帮助我们判断任意两条直线是否垂直，从而解决一些几何问题。
下面我们就来详细讨论一下关于高中线线垂直的判定定理。
我们来看两条直线的斜率k1 和k2，斜率的定义是：直线上的两个不同点的纵坐标差除以横坐标差。
即：k1 = (y2-y1)/(x2-x1)k2 = (y4-y3)/(x4-x3)如果两条直线垂直，那么它们的斜率k1 和k2 的乘积应该等于-1，即：k1 * k2 = -1所以，我们可以用这个式子来判断两条直线是否垂直。
如果两条直线的斜率乘积等于-1，那么这两条直线是垂直的。
举个例子，假设有两条直线L1 和L2，它们的斜率分别为k1 = 1/2 和k2 = -2。
我们可以计算它们的乘积：如果我们已知两条直线的方程，也可以直接通过斜率来判断它们是否垂直。
假设直线L1 的方程为y = mx + c1，直线L2 的方程为y = nx + c2，其中m 和n 分别为斜率，c1 和c2 分别为截距。
m * n = 2 * (-1/2) = -1因为m * n = -1，所以直线L1 和L2 是垂直的。
第二篇示例：线垂直的判定定理是高中数学中的一个基础知识点，也是几何学中的一个重要定理。
在解决几何问题时，经常会涉及到线的垂直关系，因此了解线垂直的判定定理对于提高我们的解题能力和几何推理能力是非常重要的。
我们来看一下什么是线垂直。
在线性代数和几何学中，两条直线的垂直关系是指这两条直线的夹角为90度。
这意味着这两条直线在相交的点上互相垂直，即它们是相互正交的。
线垂直的判定定理就是用来判断两条线是否垂直的方法。
在高中数学中，线垂直的判定定理主要有以下几种形式：1. 垂直线段定理：如果两条直线段相交，并且它们的斜率的乘积为-1，则这两条直线段垂直。
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用几何方法证明“坐标平面内，两直线互相垂直时，它们的
斜率的乘积等于-1”
证明：如图，直线y
1=k
1
x和直线y
2
=k
2
x互相垂直，
过直线y
1=k
1
x上任意一点A做AC⊥x轴于点C，
在直线y
2=k
2
x上取一点B使OB=OA，过B点做BD⊥x轴于点D，
则∠ACO=∠BDO=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠ACO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
设OC=a，则BD=OC=a，AC=OD=k
1
a，∵点B在第二象限，
∴点B的坐标是（-k
1
a，a），
把点B坐标代入直线y
2=k
2
x，
得：a=k
2×（-k
1
a），
∴k
1k
2
=-1.
应用举例：
如图，直线AB 交x 轴于点A （a ，0），交y 轴于点B （0，b ），且a 、b 满足()()042
2=-++a b a .若点C 坐标为（-1,0），且AH ⊥BC 于点H ，AH 交PB 于点P ，
试求点P 坐标. 解：由()()042
2=-++a b a 易得：a=4，b= -4， ∴点B 坐标为（0，-4），
∵点C 坐标为（-1,0），
∴线段BC 的解析式为y=-4x-4，
∵AH ⊥BC ，
∴线段AH 的斜率为4
1， 因为点A 坐标为（4，0），
易得线段AH 的解析式为14
1-=x y ， 所以点P 的坐标为（0，-1）.
当然，该题利用全等三角形的知识解决起来会更简便一些。
这留给同学们自己来解答.。