如何做几何证明题(教师版)

几何证明专题讲座——如何做几何证明题【知识精读】1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

【分类解析】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例1. 已知：如图1所示，∆ABC中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF90，，，。

求证：DE＝DFC F BA ED图1分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=︒A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =，∠=︒D CF 45。

从而不难发现∆∆D CF D AE ≅ 证明：连结CDAC BC A BACB AD D BCD BD AD D CB B A AE CF A D CB AD CD=∴∠=∠∠=︒=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，，∴≅∴=∆∆A D E C D FDE DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。

显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。

本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证∆EFG 是等腰直角三角形。

有兴趣的同学不妨一试。

例2. 已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。

求证：∠E ＝∠FDBCF EA 图2证明：连结AC 在∆ABC 和∆CD A 中，A B C D B C A D A C C A A B C C D A SSS B DA B C D A E C F B E D F===∴≅∴∠=∠==∴=，，，∆∆()在∆BCE 和∆D A F 中，BE D F B D BC D A BC E D AF SAS E F=∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴∠=∠∆∆()说明：利用三角形全等证明线段求角相等。

常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。

证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。

证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

例3. 如图3所示，设BP 、CQ 是∆ABC 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。

求证：KH ∥BCABCMNQ PKH 图3分析：由已知，BH 平分∠ABC ，又BH ⊥AH ，延长AH 交BC 于N ，则BA ＝BN ，AH ＝HN 。

同理，延长AK 交BC 于M ，则CA ＝CM ，AK ＝KM 。

从而由三角形的中位线定理，知KH ∥BC 。

证明：延长AH 交BC 于N ，延长AK 交BC 于M∵BH 平分∠ABC ∴=∠∠ABH NBH 又BH ⊥AH∴==︒∠∠A H B N H B 90 BH ＝BH∴≅∴==∆∆ABH NBH ASA BA BN AH H N()，同理，CA ＝CM ，AK ＝KM ∴KH 是∆A M N 的中位线 ∴K H M N // 即KH//BC说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。

我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。

例4. 已知：如图4所示，AB ＝AC ，∠，，A AE BF BD DC =︒==90。

求证：FD ⊥EDB CAFED 321图4证明一：连结ADAB AC BD D CD AE D ABBAC BD D CBD ADB D AB D AE==∴+=︒==︒=∴=∴==，∠∠，∠∠∠，∠∠∠129090在∆A D E 和∆B D F 中，AE BF B D AE AD BD AD E BD FFD ED===∴≅∴∠=∠∴∠+∠=︒∴⊥，∠∠，∆∆313290说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。

证明二：如图5所示，延长ED 到M ，使DM ＝ED ，连结FE ，FM ，BMBCAEFD M图5BD D CBD M C D E D M D E BD M C D EC E BM C C BMBM ACA ABM A AB AC BF AE AF C E BM=∠=∠=∴≅∴=∠=∠∴∠=︒∴∠=︒=∠==∴==，，，∆∆//9090∴≅∴==∴⊥∆∆AEF BFMFE FM D M D E FD ED说明：证明两直线垂直的方法如下：（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。

（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。

（3）证明二直线的夹角等于90°。

3、证明一线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。

（截长法）例5. 已知：如图6所示在∆ABC 中，∠=︒B 60，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。

求证：AC ＝AE ＋CD图6BCAEDF O142356分析：在AC 上截取AF ＝AE 。

易知∆∆AEO AFO ≅，∴∠=∠12。

由∠=︒B 60，知∠+∠=︒∠=︒∠+∠=︒566016023120，，。

∴∠=∠=∠=∠=︒123460，得：∆∆FOC DOC FC DC ≅∴=，证明：在AC 上截取AF ＝AE()∠=∠=∴≅∴∠=∠BAD CAD AO AOAEO AFO SAS ，∆∆42又∠=︒B 60∴∠+∠=︒∴∠=︒∴∠+∠=︒∴∠=∠=∠=∠=︒∴≅∴=566016023120123460∆∆FO C D O C AAS FC D C()即AC AE CD =+（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。

（补短法）例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，∠=︒EAF 45。

求证：EF ＝BE ＋DFG B E CAFD123图7分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。

不妨延长CB 至G ，使BG ＝DF 。

证明：延长CB 至G ，使BG ＝DF在正方形ABCD 中，∠=∠=︒=ABG D AB AD 90，又∠=︒EAF 45∴∠+∠=︒∴∠+∠=︒23452145即∠GAE ＝∠FAE∴=∴=+G E E F E F B E D F4、证明几何不等式：例7. 已知：如图9所示，∠=∠>12，AB AC 。

求证：BD DC >D B A1C 2E图9证明一：延长AC 到E ，使AE ＝AB ，连结DE 在∆A D E 和∆AD B 中，AE AB AD AD AD E AD BBD D E E B D C E B D C E ED E D C BD D C=∠=∠=∴≅∴=∠=∠∠>∠∴∠>∠∴>∴>，，，，21∆∆证明二：如图10所示，在AB 上截取AF ＝AC ，连结DFD BA2C1F 图1043则易证∆∆AD F AD C ≅∴∠=∠=>∠∠>∠∴∠>∠∴>∴>3434，，D F D C B F D BB F D BB D D F B D D C说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。

5、中考题：例8. 如图8所示，已知∆ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。

求证：EC ＝EDE B DF AC 图8证明：作DF//AC 交BE 于F ∆ABC 是正三角形 ∴∆BFD 是正三角形 又AE ＝BDDA BCEFG DEABCFG DEAB C∴==∴==A E F D B F B A A F E F即EF ＝ACAC FD EAC EFD EAC D FE SAS EC ED//()∴∠=∠∴≅∴=∆∆例9. 如图，等边三角形ABC 和等边三角形DEC ，CE 和AC 重合，CE=23AB,(1)求证：AD=BE ；(2)若CE 绕点C 顺时针旋转30度，连BD 交AC 于点G ，取AB 的中点F 连FG ，求证：BE=2FG ；(3)在(2)的条件下AB=2，则AG= ______．（直接写出结果）考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质． 专题：证明题．分析：（1）由三角形ABC 和等三角形DEC 都是等边三角形，得到∠BCE=∠ACD=60°，CE=CD ，CB=CA ，则△CBE ≌△CAD ，从而得到BE=AD ．（2）过B 作BT ⊥AC 于T ，连AD ，则∠ACE=30°，得∠GCD=90°，而CE=23 AB ，BT=23AB ，得BT=CD ，可证得Rt △BTG ≌Rt △DCG ，有BG=DG ，而F 为AB 的中点，所以FG ∥AD ，FG= 21AD ，易证Rt △BCE ≌Rt △ACD ，得到BE=AD=2FG ；（3）由（2）Rt △BTG ≌Rt △DCG ，得到AT=TC ，GT=CT ，即可得到AG=23．解答：解：（1）证明：∵三角形ABC 和等三角形DEC 都是等边三角形，∴∠BCE=∠ACD=60°，CE=CD ，CB=CA ，QPDABCE∴△CBE ≌△CAD ，∴BE=AD ．（2）证明：过B 作BT ⊥AC 于T ，连AD ，如图：∵CE 绕点C 顺时针旋转30度， ∴∠ACE=30°， ∴∠GCD=90°， 又∵CE=23AB ，而BT=23AB ，∴BT=CD ，∴Rt △BTG ≌Rt △DCG ，∴BG=DG ． ∵F 为AB 的中点， ∴FG ∥AD ，FG=21AD ，∵∠BCE=∠ACD=90°， CB=CA ，CE=CD ，∴Rt △BCE ≌Rt △ACD ．∴BE=AD ， ∴BE=2FG ；（3）∵AB=2，由（2）Rt △BTG ≌Rt △DCG ， ∴AT=TC ，GT=CG ， ∴GT=21， ∴AG=23．故答案为23．例10. 在等边△ABC 中，D 、E 分别在AC 、BC 上，且AD=CE=nAC ，连AE 、BD 相交于P ，过B 作BQ ⊥AE 于点Q ，连CP. (1)∠BPQ=______,BP PQ =____(2)若BP ⊥CP ，求BPAP ；(3)当n=_____时，BP ⊥CP?考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题：计算题．分析：（1）根据△ACE ≌△BAD 及三角形的每一个内角是60°解答；（2）通过作辅助线连AK （在BP 上取BK=AP ．连AK ）来证明△ACP ≌△BAK ，然后求出∠AKP=∠KAP=30°，从而求得AP=PK ；（3）通过作辅助线CF ⊥AE （过C 点作CF ⊥AE ，交AE 延长线于点F ），然后利用平行线的判定（内错角相等，两直线平行）和平行线的性质（平行线间的线段成比例）解答．解答：解：（1）在△ACE 和△BAD 中，CE=AD ，∠ACE=∠BAD=60°（等边三角形的三个内角都是60°），AC=BA ，∴△ACE ≌△BAD ；∴∠EAC=∠ABD ，∴∠BAP+∠EAC=∠BAP+∠ABD=60°， ∴∠BPQ=∠BAP+∠ABD=60°； 在三角形BPQ 中，BQ ⊥AE ， ∴BPPQ =21；（2）解：在BP 上取BK=AP ．连AK ∵△ACE ≌△BAD ， ∴∠CAE=∠ABD ； ∵BK=AP ，AB=CA ， ∴△ACP ≌△BAK ， ∴∠BAK=∠ACP ， ∴∠AKP=∠CPE=30°． 又∠APB=120°． ∴∠AKP=∠KAP=30°， ∴AP=PK ， ∴BPAP =21；（3）过C 点作CF ⊥AE ，交AE 延长线于点F ． ∵∠BPQ=60°，BP ⊥CP ， ∴∠CPF=30°， ∵CP=2CF ，∵∠PBQ=∠CPF=30°，∠BQP=∠PFC=90°， ∴△BPQ ∽△PCF ， ∴BQ ：PC=PQ ：CF ，（如图2）NMACEFB（如图3）MNEACFB（如图1)NMFA EB C∴BQ ：PQ=2，假设AD=1，则CD=1-n ， CD ：AD=BQ ：CE ，∴（1-n ）：n=BQ ：CE=2， ∴n=31．点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质等知识，难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神． 例11. 点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ∆和BCF ∆，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．(1)若ABE ∆和F B C ∆是等腰直角三角形，且090=∠=∠FBC ABE (如图1)，则M B N∆是三角形． (2)在ABE ∆和BCF ∆中，若BA =BE ,BC =BF ,且α=∠=∠FBC ABE ，(如图2)，则M B N∆是 三角形，且=∠MBN .(3)若将(2)中的ABE ∆绕点B 旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；旋转的性质． 专题：综合题．分析：（1）根据题意可知△ABF ，△EBC 的关系可看作△EBC 是由△ABF 绕点B 顺时针旋转90度得到的，所以BM=BN ，BM ⊥BN ，即△MBN 是等腰直角三角形；（2）根据题意可知△ABF ≌△EBC ，根据全等三角形的性质可知对应中线相等，所以MB=NB ，即△MBN 是等腰三角形，所以△BMN ∽△BEA ，则∠MBN=∠ABE=∠FBC=α； （3）结论仍然成立，先根据条件证明△ABF ≌△EBC ，得到AF=CE ．∠AFB=∠ECB ，从而证明△MFB ≌△NCB ，所以BM=BN ，∠MBF=∠NBC ，则∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=α．解答：解：（1）∵BM=BN ，BM ⊥BN ，∴△MBN是等腰直角三角形；（2）∵∠ABE=∠FBC=α，∴∠ABF=∠EBC，又∵BA=BE，BC=BF，∴△ABF≌△EBC，∴MB=NB，即△MBN是等腰三角形，∴△BMN∽△BEA，则∠MBN=∠ABE=∠FBC=α；（3）结论仍然成立．证明：在△ABF和△EBC中，BA=BE∠ABF=∠EBCBF=BC （SAS），∴△ABF≌△EBC，∴AF=CE，∠AFB=∠ECB．∵M，N分别是AF、CE的中点，∴FM=CN，∴△MFB≌△NCB，∴BM=BN，∠MBF=∠NBC，∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=α．点评：主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．例12.以ABC∆，∆的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD∆和等腰Rt ACE∠=∠=︒连接DE，M、N分别是90,BAD CAEBC、DE的中点．探究：AM与DE的位置及数量关系．(1)如图①当ABC∆为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；(2)将图①中的等腰Rt ABD∆绕点A沿逆时针方向θ(0<θ<90)后，如图②所示，(1)问中得到的旋转︒两个结论是否发生改变？并说明理由．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）ED=2AM，AM⊥ED．延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再结合已知条件可以证明△DAE≌△ABG，根据全等三角形的性质可以得到DE=2AM，∠BAG=∠EDA，再延长MG交DE于H，因为∠BAG+∠DAH=90°，所以∠HDA+∠DAH=90°这样就证明了AM⊥ED；（2）延长CA 至F ，使FA=AC ，FA 交DE 于点P ，并连接BF ，证出△FAB ≌△EAD ，利用相似三角形的性质得到BF=DE ，∠F=∠AEN ，从而证出∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°，得到FB ⊥DE ，根据AM ∥FB ，可得到AM=21FB ．解答：（1）ED=2AM ，AM ⊥ED ；证明：延长AM 到G ，使MG=AM ，连BG ，则ABGC 是平行四边形，再延长MA 交DE 于H ．∴AC=BG ，∠ABG+∠BAC=180° 又∵∠DAE+∠BAC=180°， ∴∠ABG=∠DAE ． 再证：△DAE ≌△ABG ∴DE=2AM ，∠BAG=∠EDA ． 延长MN 交DE 于H ， ∵∠BAG+∠DAH=90°， ∴∠HDA+∠DAH=90°． ∴AM ⊥ED ．（2）结论仍然成立． 证明：如图，延长CA 至F ，使FA=AC ，FA 交DE 于点P ，并连接BF ． ∵DA ⊥BA ，EA ⊥AF ， ∴∠BAF=90°+∠DAF=∠EAD ． ∵在△FAB 和△EAD 中， FA=AE∠BAF=∠EAD BA=DA∴△FAB ≌△EAD （SAS ）∴BF=DE ，∠F=∠AEN ，∴∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°． ∴FB ⊥DE ．又∵CA=AF ，CM=MB ． ∴AM ∥FB ，且AM=21FB ，∴AM ⊥DE ，AM=21DE ．点评：本题考查了旋转的性质和相似三角形的性质，利用旋转不变性找到三角形全等的条件．此题综合性较强，要注意观察图象的特点． 【实战模拟】1. 已知：如图11所示，∆ABC 中，∠=︒C 90，D 是AB 上一点，DE ⊥CD 于D ，交BC 于E ，且有AC AD CE ==。