对称6 生命规律 再探对称思想
作文标题万能模板对称式生命
作文标题万能模板对称式生命生命的美丽是对称的，就像一幅对称图案，左右对称，上下对称，完美而和谐。
生命也是如此，它的对称美让人感叹不已。
生命是宇宙中最珍贵的礼物，它的对称美让我们感受到了无尽的神奇和奇迹。
生命的对称美表现在各个方面。
首先是生命的起源和发展是对称的。
从宇宙大爆炸到星球形成，从原始生命的诞生到生物的进化，这一切都是对称的。
生命的起源和发展是一个庞大而复杂的过程，但它却是如此对称美丽，让人不禁感叹宇宙的神奇和奇迹。
其次是生命的结构和功能是对称的。
无论是微观的细胞结构，还是宏观的身体器官，都展现着对称美。
细胞的对称结构让它们能够正常运作，身体器官的对称功能让人体能够健康生存。
生命的结构和功能是如此对称美，让人不禁感叹自然的智慧和神奇。
再次是生命的生命周期是对称的。
从出生到成长，再到衰老和死亡，生命的生命周期是一个对称的过程。
每个人都要经历生命的起伏，无论是喜悦还是悲伤，都是生命对称美的一部分。
生命的生命周期是如此对称美，让人不禁感叹时间的流逝和生命的脆弱。
最后是生命的生态系统是对称的。
地球上的生命形式相互依存，构成了一个庞大而复杂的生态系统。
植物和动物之间的相互关系，食物链的循环，都展现着生命对称美的一面。
生命的生态系统是如此对称美，让人不禁感叹自然界的奇妙和美丽。
生命的对称美让人感受到了无尽的神奇和奇迹。
它让我们明白了生命的宝贵和珍贵，让我们珍惜每一次呼吸，每一次感受。
生命的对称美是宇宙中最美丽的景色，让我们感叹自然的智慧和神奇。
让我们珍惜生命，珍惜对称美，让生命在对称美中绽放出更加绚丽的光芒。
运用规律与对称利用规律与对称创造秩序与美感
运用规律与对称利用规律与对称创造秩序与美感在自然界和人类文化中，我们经常会发现运用规律与对称的现象。
通过利用规律与对称，我们可以创造出秩序与美感。
本文将探讨这些规律与对称的应用，并解释它们对秩序与美感的影响。
一、自然界中的规律与对称自然界中存在着丰富多样的规律与对称。
例如，植物的叶片通常会呈现出对称的形状，如菊花的花瓣、树叶的形状等。
这种对称美感可以追溯到植物细胞的内部结构，植物细胞的结构也呈现出许多规律与对称。
另外，自然界中的地貌和地理景观也经常展现出规律与对称的特点。
比如，冰川侵蚀形成的山谷通常呈现出V字形，这种形状的对称性给人一种平衡和谐感。
再比如，山脉的起伏和河流的弯曲也都遵循一定的规律与对称。
二、人类文化中的规律与对称规律与对称不仅存在于自然界中，也广泛应用于人类的艺术、建筑和设计中。
在艺术领域，绘画、雕塑和建筑等作品经常运用对称的手法，以达到观赏者的审美效果。
例如，古希腊神庙的建筑常常呈现出前后对称的形式，这种对称美感给人一种庄重和谐的感觉。
另外，在服装设计和家居装饰中，对称性也被广泛应用。
服装设计师通常会在设计中考虑到身体的对称性，以使得穿着者看起来更加匀称和美观。
而在家居装饰中，对称性可以在空间布局和家具摆放上体现出来，使得整个空间更加平衡和谐。
三、规律与对称对秩序与美感的影响运用规律与对称可以创造出秩序与美感。
首先，规律与对称给人一种平衡和谐的感觉。
当事物呈现出规律与对称的形式时，我们会感受到一种安定和整齐的秩序感，这使我们感到舒适和愉悦。
其次，规律与对称可以提升事物的美感。
对称的形式给人一种审美的享受，使人们感到事物的外观更加美丽和动人。
这种美感可以激发人们的情感共鸣，产生一种艺术上的愉悦感。
最后，规律与对称还有助于提高信息的传递效果。
当事物的布局和形式呈现出对称性时，观察者更容易理解和接受其中的信息。
这种清晰的传递效果可以增强事物的表达力，使得信息更加直观和易懂。
总结起来，规律与对称在自然界和人类文化中都发挥着重要的作用。
中班数学教案对称6
中班数学教案对称6中班数学教案：对称6引言：在幼儿数学教学中，对称是一个重要的概念。
通过对称的学习和探索，幼儿可以培养空间意识、观察力、思维逻辑等能力。
本篇教案将介绍一堂中班数学教案，主题为“对称6”。
通过多种教学方法和活动，帮助幼儿理解对称的概念，并培养他们的观察力、创造力和团队合作精神。
一、教学目标：1. 培养幼儿的对称观察能力。
2. 学习认识数字6，并理解其对称性。
3. 培养幼儿的创造力和团队合作精神。
二、教学准备：1. 数字卡片：包括数字6的卡片和其他数字的卡片。
2. 各种形状的图形卡片：包括正方形、长方形、圆形等。
3. 左右手的模型或图片。
4. 彩色纸和剪刀。
三、教学活动：1. 导入活动：幻灯片展示教师可以通过使用幻灯片展示对称的图片，引起幼儿的兴趣。
幼儿可以观察图片，辨认出哪些图形是对称的，并与其他幼儿分享他们的观察结果。
2. 概念引入：对称的概念教师将两只不同的手模型或图片一起展示给幼儿，并向他们解释什么是对称。
教师可以示范将手模型放在镜子前观察，然后幼儿们互相交换手模型进行观察，最后交流他们的观察结果。
3. 数字6的讲解教师向幼儿们展示数字6的卡片，并引导幼儿们观察数字6的形状。
教师可以问幼儿，数字6是否是对称的？为什么？4. 数字6的对称探索将数字6的卡片折叠，使其能够在一个直线上对称。
教师鼓励幼儿们模仿折叠数字6的动作，并发现数字6的对称性。
然后，幼儿可以选择其他数字的卡片进行对称探索，观察它们是否具有对称性。
5. 形状的对称探索教师向幼儿展示各种形状的图形卡片，如正方形、长方形、圆形等，并引导幼儿们观察这些图形的对称性。
幼儿们可以模仿图形的折叠动作，探索这些图形是否具有对称性。
6. 创造对称图案教师发给每个幼儿一张彩色纸和剪刀。
教师鼓励幼儿们使用剪刀将纸剪成对称的形状。
幼儿们可以将剪好的形状粘贴在一张白纸上，创造出自己的对称图案。
7. 小组游戏：对称接龙将幼儿分成小组，每个小组站成一队，每个幼儿手持一张数字卡片。
生活中的对称总结知识点
生活中的对称总结知识点一、对称的概念1.1 对称的定义对称是指物体的两部分相互镜像对称或平衡，两部分在某种意义上相似或相等。
在几何学中，对称是指某一对象以某种中心旋转或平移，使得对象保持不变。
1.2 对称的分类对称可以分为平面对称、轴对称、中心对称等。
平面对称是指一个物体对称面两侧完全相同，如圆形；轴对称是指物体围绕某一条轴旋转180度后能够重合的对称方式，如正方形；中心对称是指物体围绕一个中心点旋转180度后能够重合的对称方式，如心形。
二、自然界的对称2.1 植物的对称植物体现出了许多美丽的对称结构，如花瓣的对称、树木的分枝对称、叶片的对称等。
这些对称结构不仅美观，还有助于植物的生长和繁衍。
2.2 动物的对称动物体现出了不同的对称特点，如昆虫的节肢对称、脊椎动物的左右对称等。
这些对称结构有助于动物的运动和生存。
三、建筑中的对称建筑是对称美的重要体现，从古代到现代，建筑中的对称设计一直占据着重要地位。
许多著名的建筑作品，如古希腊的巴特农神庙、中国的故宫、法国的凡尔赛宫等，都采用了对称的设计手法，使建筑更加稳固、美观和宏伟。
四、艺术中的对称艺术作品中的对称设计有助于提升作品的美感和表现力。
绘画、雕塑、建筑等艺术形式中都常常使用对称的手法，使作品更加和谐、统一和富有节奏感。
五、日常用品中的对称日常用品中也有许多体现对称美的设计，如家具、餐具、服饰等。
这些对称设计不仅美观，还有助于使用时的舒适感和便利性。
六、对称的应用6.1 对称在科技领域的应用对称原理在科技领域有许多应用，如光学中的镜面对称、电路设计中的对称布局等。
这些对称应用使科技产品更加稳定和有效，提高了其性能和可靠性。
6.2 对称在人体美学的应用对称美是人体美学的重要标准，许多美容手术和美容产品都以对称美为目标，通过对称调整和修饰来提升面部和身体的美感。
6.3 对称在心理治疗中的应用对称原理也被用于心理治疗中，通过调整人们的心理对称感受，使其情绪更加稳定和愉悦。
对称的知识
《对称的知识》
同学们，今天咱们来聊聊对称的知识。
你们看，咱们的身体就是对称的。
两只眼睛、两只耳朵、两只手、两条腿，是不是很神奇？这让我们看起来很整齐、很美观。
再看看大自然里，蝴蝶的翅膀是对称的，飞起来特别漂亮。
还有蜻蜓，它的身体也是对称的，在空中飞行的时候特别平稳。
在建筑中也有很多对称的例子。
比如故宫，那红墙黄瓦，左右两边的宫殿排列得整整齐齐，看起来特别庄严、雄伟。
还有我们经常玩的纸飞机，如果把它折得对称，就能飞得又高又远。
对称的知识可有趣啦，你们发现了吗？
《对称的知识》
同学们，对称的世界很奇妙哦！
咱们教室里的窗户，一般都是左右对称的，这样看起来很规整。
想想过年时贴的春联，左右两边的字数和图案也是对称的，充满了喜庆的味道。
还有数学里的图形，像正方形、圆形，它们都是对称的。
比如说正方形，沿着它的对角线对折，两边能完全重合。
我记得有一次做手工，我折了一只对称的千纸鹤，小伙伴们都夸好看。
对称让我们的生活变得更加有秩序，更加美好。
《对称的知识》
同学们，对称的知识可不少呢！
咱们穿的衣服，扣子一般都是对称排列的，这样好看又方便。
公园里的花坛，很多也是对称的造型，五颜六色的花朵对称地开放着，让人赏心悦目。
在画画的时候，如果能注意对称，画出来的画会更漂亮。
比如画一座桥，两边的桥栏对称的话，整座桥就会显得很稳固。
有一次我看到一个对称的剪纸作品，那精致的图案，简直太让人惊叹了！
学会了对称的知识，能让我们发现更多生活中的美。
对称思想的概念
对称思想的概念对称思想是一种哲学概念，涉及到自然界、人类社会和人类心理等多个领域。
在不同的领域中，对称思想都具有相似的内涵，即平衡、和谐和对等的概念。
对称思想在人类思维方式和价值观念中产生了深远的影响，也在科学、艺术和宗教等领域中有着重要的地位。
首先，对称思想在自然界中有着重要的地位。
自然界中存在着大量的对称现象，比如植物的对称花瓣、矿物的晶体结构、动物的对称体形等等。
对称在自然界中体现了一种美感和和谐感，让人感到舒适和平衡。
在物理学中，对称也是很重要的一个概念，很多基本粒子和物理定律都表现出对称性，这为科学研究提供了很多重要的线索。
对称思想在自然界中体现了宇宙的美妙和神秘，让人不禁产生对宇宙的敬畏之情。
其次，对称思想在人类社会和文化中也起着重要的作用。
在建筑、绘画、雕塑等艺术领域中，对称构图是一种常见的手法，它能够给人以稳定感和美感。
在音乐中，对称的音乐结构也是一种常见的形式，它可以使音乐富有节奏感和和谐感。
在人类社会中，对称思想也表现为平等和正义的追求。
人们希望社会中的资源和权利能够公平地分配，人与人之间能够平等对待，这些都是对称思想在社会中的具体表现。
此外，对称思想还在人类心理和思维方式中扮演了重要的角色。
人们在面对一些复杂的情境时，常常会倾向于寻求一种平衡和对称的解决方式。
在心理学中，对称思想也被用来解释人们对美感和和谐感的追求。
人们总是希望自己的内心世界是和谐、平衡的，这种追求可以看作是对称思想在心理层面的一个体现。
总的来说，对称思想是一个跨学科的概念，它在自然界、社会文化和心理学等多个领域中都有着重要的意义。
对称思想所体现的和谐、平衡和美感，符合人类对美好生活的追求，也是人类文明发展的重要动力之一。
因此，对称思想不仅在学术研究中有价值，也对人们的生活和思维方式产生着重要影响。
在现代社会中，对称思想依然具有深远的意义。
面对日益复杂和多变的社会情境，人们更加需要对称思想所体现的和谐、平衡和正义来指导自己的行为和决策。
对称的概念是什么
对称的概念是什么对称的概念是什么对称，就是物体相同部分有规律的重复。
晶体具有对称性，这表现在晶体外形上是相等的晶面、晶棱和角顶有规律的重复出现。
下面店铺给大家整理的对称的概念简介，希望能帮到大家!对称的概念指图形或物体两对的两边的各部分,在大小、形状和排列上具有一一对应的关系。
我国的建筑绝大部分是对称的。
对称的定义定义一：对称，指物体或图形在某种变换条件(例如绕直线的旋转、对于平面的反映，等等)下，其相同部分间有规律重复的现象，亦即在一定变换条件下的不变现象。
定义二：作为哲学范畴的对称是指宇宙的根本规律对立统一规律。
同一性是宇宙的本质属性，也是对立统一规律的本质属性，所以作为哲学“对称”的对立统一规律不同于斗争性占主导、作为“矛盾”的对立统一规律。
具体科学或日常生活中的对称，包括对应、对等、平衡等均为哲学“对称”的具体内容。
对称逻辑、对称经济学的“对称”属于哲学范畴。
定义三：《对称》是举世闻名的大手笔小册子，是作者大学退休前“唱出的一支天鹅曲”，它由普林斯顿大学出版社将外尔(C.H.H.Weyl，曾译作魏尔或者凡尔)退休前的系列讲座汇编而成书。
据说许多百科全书的“对称”条目都将外尔的这部小书列为主要参考文献。
定义四：在日常生活中和在艺术作品中，“对称”有更多的含义，常代表着某种平衡、比例和谐之意，而这又与优美、庄重联系在一起。
外尔的书首先用一章讲镜像对称，涉及手性诸问题，有十分丰富的内容。
2001年诺贝尔化学奖奖励的课题主要是“手性分子催化”问题。
如今，手性药物在药品市场占有相当的份额，有机分子手性对称性已经是相当实用和热门的话题。
这里面仍然遗留下许多基本的问题没有解答，比如生命基本物质中的氨基酸、核酸的高度一致性的手性(即手性对称破缺)是如何起源的?植物茎蔓的手性缠绕是由什么决定的?同种植物是否可能具有不同的手性? 左右对称在建筑艺术中有大量应用，但是人们也注意到完全的左右对称也许显得太死板，建筑设计者常用某种巧妙的办法打破严格的'左右对称，如通过园林绿化或者通过立面前的雕塑或者广场非对称布局，有意打破严格的对称。
自然界中的对称性
自然界中的对称性自然界是一个奇妙而神秘的之地，充满了各种各样的美妙现象和奇异规律。
在这个充满生命力的世界中，对称性是一种常见而又重要的特征。
无论是在生物界、物理界还是数学界，对称性都扮演着重要的角色。
首先，我们来看看自然界中的生物对称性。
许多动物和植物都具有对称的身体结构。
比如，我们常见的昆虫、鱼类和蝴蝶的身体都是左右对称的，也就是说，它们的左边和右边是镜像对称的。
同样，许多花朵的外形也呈现出一种美丽的对称性，比如玫瑰花和百合花。
这种对称性不仅仅是美观的外表，它还有助于生物的生存和繁衍。
对称的身体结构使得生物能够更好地适应环境，提高生存能力。
此外，对称性还可以吸引异性，促进物种的繁殖。
因此，可以说对称性在自然界的生物进化过程中发挥着重要的作用。
其次，对称性在物理界中也有着广泛的应用。
物理学家们发现，自然界中的许多自然定律和现象都显示出对称性。
例如，牛顿的运动定律中的“作用力与反作用力相等反向”就是一种对称性的体现。
这个定律告诉我们，任何一个物体受到了作用力，它都会产生一个相等大小但方向相反的反作用力。
这种对称性保证了物体的平衡和稳定。
此外，在电磁学中，电场和磁场之间也存在一种对称性，它们可以相互转换。
这种对称性的发现为电磁学的发展做出了重要的贡献，也启发了科学家们对自然界更深层次的理解。
最后，数学中的对称性是自然界中对称性的抽象和总结。
在数学中，对称性是一种重要的概念，它涵盖了许多方面，如几何对称、代数对称等。
几何对称是指一个物体具有轴对称、中心对称或旋转对称等性质。
这种对称性在自然界中随处可见。
例如，许多晶体和雪花都呈现出几何对称的特征，它们的结构规则且美丽。
代数对称是指一个函数在某个变量替换下具有相同的值。
这种对称性在数学中起着重要的作用，它帮助我们理解函数和方程中的关系，还有助于解决许多实际问题。
因此，数学中的对称性不仅仅是一种美丽的抽象概念，它还具有实际的应用价值。
综上所述，自然界中的对称性是一个广泛而有趣的领域。
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六. 生命规律 再探对称思想查尔斯·罗伯特·达尔文（C.R.Darwin，1809.2.12～1882.4.19），英国生物学家，生物进化论的奠基人.他以博物学家的身份，参加了英国派遣的环球航行，做了五年的科学考察. 在动植物和地质方面进行了大量的观察和采集，经过综合探讨，形成了生物进化的概念，证明了“物竞天择，适者生存”的进化论思想. 1859年出版了划时代的科学巨著《物种起源说》.地球上有生命的历史至少可以追溯到38亿年前. 灭绝的动物很多，现存动物其体型结构大多采取对称的形式. 除了草履虫等原生动物不对称，水螅等腔肠动物螺旋对称外，几乎所有动物都是左右对称的. 研究表明左右对称的动物更适应比较复杂的环境，这些动物的神经系统的进化使这些动物在运动时有了方向性，如左右眼图像的立体感和距离感，使它能够准确捕捉食物；左右耳的声音叠加，使它能躲避来犯之敌. 于是根据达尔文适者生存的理论，一些不对称的就逐渐被淘汰了，只剩下一些较小的低等动物. 事实就是这样，对动物来说，结构对称是生存的本能，进化的结果.另一方面，物理学家研究指出，宇宙万物都存在一个自己的核心，一个系统核心的质能决定着这个系统的结构和性质. 无论是宏观世界还是微观世界，一个系统总是要调整自己，使系统的总能量达到最低，使自己处于稳定的平衡状态. 动物体型结构的对称性正是由这个“能量最小原理”决定的. 与此同时，生物学家最新研究指出，生命机体是一个巨大的复杂系统，也具有配合系统的内在规律，“生命在于运动”是不确切的，应该是“生命在于对称振荡”，由此建立了“生命进化对称性”的数理模型，分析了氨基酸、遗传密码等生命元素与对称的关系. 例如，记录人体心脏电活动的心电图，正常时应该是周期函数的图像，即平移得到的对称，如果一个波形和其相邻的波形出现差异，可能就是心律失常的前兆，危险！总之，生命规律也需要用对称来描述，生命在于平衡！生命在于对称！1. 例说对称模式宇宙万物，人为万物之灵. 这条著名的断语，出自儒家的经典《尚书·周书·泰书》中的一句话：“惟天地，万物父母；惟人，万物之灵. ” 探讨生命形态的对称特征是生命学说的一个重要内容之一. 人体外部结构是对称的，但人体的内脏结构分布是不完全对称的，如心脏位于胸腔中间偏左，肝脏位于右侧横隔膜之下，胆囊位于右方肋骨下肝脏后方，胃位于左上腹部等. 但支撑着人体的骨骼又是完全对称的.这种对称—不对称—对称的结构正是对称的模式.事实上，宇宙万物总是不断地进行着平衡循环：平衡→不平衡→新平衡；有序→无序→新有序；生→死→新生；现系统→崩溃分解→新系统；现事物→崩溃分解→新事物；思想→反思→新思想. 这种宇宙万物的平衡循环是永恒的过程，旋转是宇宙万物的基本运动形式. 而对称—不对称—对称的模式就是指系统之间的平衡关系，均衡是对称的变体. 对称，就是一种平衡，稳定且和谐！创立了“天理”学说的北宋理学家和教育家程颐（1033年～1107年）就说过：“天地万物之理，无独必有对，皆自然而然，非有安排也”. 万物的对称包含自身内部结构对称、物物对称、物与环境的对称. 而且所有物质都存在与自身对称的反物质，万事万物无独有偶，必有自己的对称方，如：阴与阳、正与反、有与无、虚与实、长与短、前与后、高与低、上与下、轻与重、左与右、难与易、美与丑、善与恶、爱与恨、输与赢、祸与福、贫与富、新与旧、多与少、强与弱、生与死、进化与退化……，事物与自己的对称方相互对立、相互依存、相互关联、相互制约、相互影响、相互消长、相互平衡，在一定条件下双方可相互转化.数学中的对称方也很多：加法与减法，乘法与除法，乘方与开方，指数与对数，微分与积分等等，这些互逆的运算可以看成是对称关系；函数与反函数、变换与逆变换、映射与逆映射、奇函数与偶函数等是对称关系；命题中的原命题与逆命题、否命题与逆否命题也是对称关系. 数学中的很多概念、定理、法则、公式都是历代数学家从对称性的角度研究得出的. 数学中的对称方也可以相互转化并统一：加法与减法统一为代数和，除法通过倒数可以转化为乘法，乘方与开方可以统一为幂的运算等等. 在数学中，对称的概念略有拓广常把这些具有关连或对立的概念视为对称，这样对称便成了数学中的一个重要组成部分.对称中含有不对称的差异，不对称中又有对称的影子，不对称与对称也在互相转化. 例如，液态水分子是一种球性的对称，这是水之所以能流动的奥秘所在. 但当水受冷结冰时，这种完美的对称就被破坏，而转变成了低层次的如雪花晶体般的六边形的新的对称. 这种对称与不对称的奇妙变换，如同宇宙本身的神秘性，引发了人们无限的遐思，成了新崛起的混沌学研究的一个课题.对称的形式容易被感知与理解，均衡协调的结构往往能理顺思路，反之则会干扰思考，这就要求我们使凌乱的非对称的形式转化为对称和谐的结构. 还有些问题，表面看上去是不对称的，但实际与对称也有着不可分割的联系. 前几节已经举了不少不对称图形可以转化为对称图形求解的例子. 生命中也存在类似的转化：例 树的形状一般是不对称的. 树有树的生长规律，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝. 所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发，此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”(如图)，…….一株树木各年的枝桠数，便构成斐波那契数列. 这个规律就是生物学上著名的“鲁德维格定律”. 兔子的繁殖、蜜蜂的繁殖、植物的生长、花瓣的数目等大自然现象也都符合这个规律.这个生长规律，看来也是不对称的，但是人们却发现了斐波那契数列与对称的密切联系：将贾宪三角变换一下形式，来一个向左看齐，将数按左下方向相加，斐波那契数列，正是贾宪三角中几个数字的和构成的.这个事实说明了自然法则与对称是紧密联系的，只不过有些自然规律还没有被发现而已. 可以毫不夸大的说对称是大自然的最基本的规律.无数事例已经足以说明，对称远远不只是一个数学概念，物理、化学、生物等自然学科里都大量存在对称，历史、地理、政治、经济等人文科学也讲对称，文学、艺术里也广泛运用着对称. 对称，不仅是大自然的最基本的规律，也是人类生存、发展的最基本的规律. 时空守恒定律揭示的是万物生成和运行的规律，不变或永恒是“对称”的本质，所以人们把守恒律也称为对称律.人体的内外结构与树的生长规律刻画了不对称与对称的关系，同时说明了对称不仅是表面可以观察到的现象，而是内在的、隐藏在事物深处的本质，这就是对称论需要研究的内涵.现代研究已经表明，生命的对称规律可以数字化！2. 树立对称思想宇宙是对称的，生命是对称的，这就要求人们用对称的观念去认识世界、改造世界. 人们在认识和解决具有对称或对等以及反对等性的问题过程中产生和形成的思想称之为对称思想. 学生时代，就应该深刻理解对称模式，掌握对称方法，树立对称思想. 在数学中，对称思想是极其重要的一种数学思想，把不对称的数学问题构造成对称问题或者用对称方法求解问题都是对称思想的具体体现.数学思想是指从具体的数学内容中提炼出来的对数学知识的本质认识，它在数学认识活动中被普遍使用，是建立数学理论和解决数学问题的指导思想. 数学方法是指研究数学问题过程中所采取的手段、途径、方式等. 数学思想和数学方法是紧密联系的，两者虽然层次不同，但它们之间没有绝对的界限. 一般来说，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法. 在数学问题的求解过程中，如果我们能充分运用对称思想方法，那么解题思路就会被打开，解题过程也会优化，甚至没有对称思想，有些问题就无法解决. 从科学史来看，许多多少年解决不了的难题，往往是人们在对称性的认识上有了新的突破后得到圆满解决的.先举一个用对称方法求解的例子，说明对称思想的运用.例1 已知x,y,z R ﹢,且x+y+z＝1，求函数f(x,y,z)＝14 x +1414 z y 的最大值.例2 在△ABC 中求证：812sin 2sin 2sin C B A . 略解 三角形的角A、B、C 显然处于对称地位，且A+B+C＝π. 但解题时将C 视为常量，A、B 视为变量，打破对称性，问题转化为求2sin 2sinB A 的最大值. ∵2sin 2sin B A ＝C B A B A B A sin 212cos 21)2cos 2(cos 21 ， ∴在C 为常量时，当且仅当A＝B 时取最大值；根据对称思想，如果将B 视为常量，A＝C 时取最大值，如果将A 视为常量，B＝C 时取最大值， 呈现出和谐之感，因此只有当A＝B＝C=3时 2sin 2sin 2sin C B A 有最大值81. 这又是一个对称—不对称—对称的模式，说明了对称思想的丰富. 形式上的对称，方法上的对称，确实能为获取信息打开通道. 但有时抓住某种“不对称”更能简洁明快的求解问题. 运用对称思想的例子很多，再欣赏几个例子.例3 已知:△ABC 的内接圆与外切圆的半径分比别为r 和R,则r 和R 比值等于( ).A. 2cos 2cos 2sin4C B A B. 2cos 2sin 2sin 4C B A C. 2sin 2sin 2sin 4C B A D. 2sin 2cos 2cos 4C B A 略解 这是一个三角形的问题，树立了对称思想的话，就会想到三角形的边a、b、c 或角A、B、C 对r 和R 的影响是相同的，r 和R 不可能对三角形的某一条边或某个角有选择或特别偏重，因此在比值Rr 的表达式中，必有边a、b、c 或角A、B、C 的轮换对称，因此无需计算就可以判断C 是正确的.例4 由数字0、1、2、3、4 、5 组成没有重复的六位数，其中个位数小于十位数的有 个. 略解 在上述的6位数的集合A 中，把个位和十位交换，就能得到一个6位数，这个6位数还是在A 中，且任意A 中两个6位数，进行上面的操作后，得到的6位数仍然两两不同，于是根据对称思想，可以知道个位数小于十位数的6位数和个位数大于十位数的6位数个数是一样的，都等于(6!-5!)/2＝300个.例5 设f(x)＝x ，求f )1(+f )1(+…+f )1(+f )1(+f )2(+…+f )2005(+f )2006(的值.例6 连掷两次骰子得到的点数分别是m、n，记向量a ＝(m,n)与向量b ＝(1,-1)的夹角为 ，求 (0,2]的概率. 略解 这是一个向量与概率的综合问题，似乎没有对称性. 在利用向量夹角公式cos ＝||||a b a b ≥0时，求得m≥n，m＝n 的情况有6种，而m＞n 与m＜n 的情况是对称的，所以各有2636 ＝15种，所求答案是36156 ＝127. 对称思想经常蕴含在解题过程中. 运用对称思想高屋建瓴地去观察﹑审视问题，通过形、式的调整、补充、变换等等对称手法，往往能诱发灵感，迅速解决问题.3. 构造对偶式对称思想还有一个典型方法：构造对偶式. 这是对称与不对称“你中有我，我中有你”的绝妙写照.数学中的数与式有很多是配对出现的，例如实系数二次方程的两个无理根或虚根等，它们虽然对立但又相互依存，知道其中一个可以联想另一个，与已知的配合求解问题. 根据式子的结构与特征及某些性质，引进它的“配偶”，称为对偶方法.例1 若251a , 求A＝618323 a a 的值. 略解 这是一个不对称问题. 但251 a 的对偶是有理化因式251b ，它们的和、积为1 b a ，1 ab ，很简单. 构造A 的对称式B＝618323 b b .则4)(3)(333 b a ab b a b a ，182)(3323366 b a b a b a ，3222)(662661212 b a b a b a ， 32118)(3)(66663661818 b a b a b a b a .于是 A+B＝644181832332118323661818 ba b ab a , A-B＝0)323)((3231266126666661818 b b a a b a ba b a b a , ∴A＝5796.互为有理化因式的两个根式是一对对偶，这种构造对偶的方法源自于两个有理化因式的和、积都是有理数.例2 已知z C,|z|＝1，z≠±1，求证：m＝11 z z 是纯虚数. 略解 取共轭复数m ＝11 z z ，则m+m ＝11 z z +11 z z ＝)1)(1()1)(1()1)(1( z z z z z z ， 注意到z z ＝|z|2＝1，∴m+m ＝0，即m 的实部为0，又∵z≠±1，∴m≠0，m＝11 z z 是纯虚数. 与有理化因式相妨，共轭复数也是一组对偶，z+z ，z z 都是实数，这称为构造共轭对偶.例3 若x，y，z (0,1)，求证：y x 11+z y 11+x z 11≥3. 略解 设M＝y x 11+z y 11+xz 11，以各项倒数为对偶，构造对偶式： N＝(1-x+y)+(1-y+z)+(1-z+x)，根据a a 1≥2, ∴M+N≥6. 而N＝3，∴M≥3.通过式子结构中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法，称为互倒对偶. 解法自然，朴素，过程简洁，运算轻松！例4 对于一切正整数n，求证不等式(1+31)(1+51)…(1+121 n )＞1221 n . 略解 奇数的配偶是偶数，记A＝(1+31)(1+51)…(1+121 n )＝ 5634122 n n ， 构造对偶式B＝(1+41)(1+61)…(1+2n 1)＝2n12n 6745 ， 显然对于一切正整数n，122 n n ＞2n12n ＞0， ∴A＞B＞0, A 2＞AB＝( 5634122 n n )(2n 12n 6745 )＝31(2n+1)＞41(2n+1)， 即 A＞1221 n . 在整数分类中奇数与偶数是对偶，这就是构造奇偶数对偶式的方法. 这种构造法一下子使问题冰消雪融了.例5 求值: A＝sin 210º+cos 240º+sin10ºcos40º.略解 把正弦与余弦看作对偶，对偶设元，设B＝cos 210º+ sin 240º+ cos10ºsin40º，则A+B＝2+sin50º，A-B＝-21-sin50º. ∴2A＝23，A＝43. 这是一道比较典型的三角求值题. 正弦与余弦是一对亲密的朋友，它们的平方和等于1. 利用互余函数构造对偶式，借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答.例6 设a,b R +,且111 ba ，求证：对每一个自然数n 有(a+b)n -a n -b n ≧22n -22n-1. 略证 设A＝(a+b)n -a n -b n ＝b a C n n 11 +222b a C n n +…+11 n n n ab C ，构造对偶式B＝11bn n a C +…+222b a C n n n +b a C n n n 11 ， 注意到1n C ＝1 n n C ，2n C ＝2 n n C ，… ，∴A＝B,则2A＝A+B＝)()()(111n 22222111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n n n n n ≥2n n b a (21n nC C +…+1 n n C )＝2n n b a (2n -2).由条件得ab＝a+b≥2ab ,∴ab≥4，于是A≥2n 4(2n -2)＝22n -22n-1.通过对题目结构特征的观察，利用对称的公式k n C ＝k n n C 构造对偶式，倒过来相加，从而独辟蹊径，出奇制胜.对偶方法有着广泛的运用，我国诗词中的对仗就是一种严格的对偶. 数学里，在“运筹学”里有一个分支“线性规划”，最重要的发现就是对偶问题，下面通过一个简单例子说明一下.某企业收到一批订单，要生产甲、乙两种产品. 这些产品分别需要A、B、C、D 四种不同的原料. 已知两种产品各需要的原料数如表. 表中右列的数据是各原料的可用数，表中最后一行是每生产一件产品可以获得的利润. 问应该如何安排生产，才能获得最多利润？设甲、乙产品各生产x 1、x 2件，总利润为z. 可得称为约束条件的不等式组：,012416482122x 221212121x x x x x x x 要求满足这组约束条件的函数z＝2x 1+3x 2的最大值，称为目标函数，记为max z.这就是一个简单的线性规划问题，可以用图解. 先作出满足约束条件的变化范围，称为可行域(图中阴影部分)；再把z 看作常数，作直线2x 1+3x 2＝z(图中虚线)，当z 变大时，该直线与可行域的最后交点的坐标就是所求的最优解. 答案是x 1＝4，x 2＝2时有max z＝14.如果设A、B、C、D 四种原料分别为y 1、y 2、y 3、y 4，就转化为求原料总数w＝12y 1+8y 2+16y 3+12y 4最小的问题：这个问题就是原问题的对偶问题，约束条件与目标函数互换了，最大与最小互换了，但是结果没有变. 对偶问题已经独自形成了对偶理论(Duality theory). 1928年美籍匈牙利数学家诺伊曼 (1903.12.28～1957.2.8)在研究对策论已发现线性规划与对策论之间存在着密切的联系. 两零和对策可表达成线性规划的原始问题和对偶问题.事实上，数学中有很多对偶问题，比如“两数和相同差小积大，两数积相同差小和大”等等。