二次函数对称规律
二次函数规律总结
二次函数规律总结二次函数是高中数学中的重要内容，它的形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像一般为抛物线，其开口的方向由系数 a 的正负决定， a>0 时开口向上， a<0 时开口向下。
在学习和研究二次函数时，我们可以总结出一些常见的规律和性质。
一、二次函数的图像特点：1.抛物线的对称轴：二次函数图像的对称轴与y轴平行，对称轴的方程为x=-b/2a。
2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)=ax²+bx+c。
3.开口方向：抛物线的开口方向由系数a的正负决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
4.最值：若a>0，则二次函数的最小值为f(-b/2a)；若a<0，则二次函数的最大值为f(-b/2a)。
二、二次函数的零点和因式分解：1. 零点：二次函数的零点为函数图像与 x 轴相交的点，即 f(x)=0 的解。
二次函数的零点有两个解时，可以使用求根公式 x=(-b±√(b²-4ac))/(2a) 来求解。
2. 因式分解：对于一个二次函数f(x)=ax²+bx+c，若在 a、b、c 都为整数的情况下，可以对 f(x) 进行因式分解。
找到对应的两个整数 p 和 q，使得 a=pq，c=pq，则有 f(x)=(px+q)(qx+p)。
三、二次函数与平移、伸缩、翻转的关系：1. 平移：对于二次函数y=ax²+bx+c，若将 y=a(x-h)²+k，则得到的新函数 y' 的图像为原图像上下平移 h 个单位，左右平移 k 个单位。
2. 伸缩：对于二次函数y=ax²+bx+c，若将 y=a(x-p)²+q，则得到的新函数 y' 的图像相对于原图像在 x 轴方向上伸缩 p 倍，在 y 轴方向上伸缩 q 倍。
二次函数关于x,y轴及原点对称后解析式系数变化规律
教师姓名赵军单位名称霍城县芦草沟中心
校
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学科数学年级/册中考复习教材版本新课标人教版课题名称备战中考-----二次函数关于X,Y，原点对称后解析式系数变化规律
难点名称
难点分析从知识角度分析为
什么难
知识点多，且本身内容复杂，内在逻辑性强
从学生角度分析为
什么难
学生机械记忆，容易混淆。
难点教学方法1，从学生原有知识出发，探寻知识内在规律，
2，在所探寻的规律根底上，以理解记忆为根底，体会从特殊到一般的过程
教学环节教学过程
导入
备战中考-----二次函数Y=a(x-h)2+k
Y=ax2+bx+c
关于X,Y，原点对称后解析式系数变化规律
知识讲解〔难点突破〕
对顶点式：Y=3(x+2)2-1 ，首先求点〔-2,1〕关于X,Y，原点对称后点的坐标，进而根据点的变化规律探寻解析式变化规律
对一般式：Y=2x2+4x+3把解析式看做y=f〔x〕，首先求点〔-4,5〕〔-1,3〕关于X,Y，原点对称后点的坐标，进而根据点的变化规律探寻解析式y=f〔x〕中x，y的变化规律。
二次函数的对称性
(一)、教学内容1.二次函数得解析式六种形式①一般式y＝ax2 +bx+c(a≠0)②顶点式（a≠０已知顶点)③交点式(a≠0已知二次函数与X轴得交点）④y=ax２(ａ≠0）（顶点在原点）⑤y=ax２＋c(a≠0) (顶点在y轴上)⑥ｙ=ax2 +ｂx (a≠０) (图象过原点)2.二次函数图像与性质对称轴:顶点坐标:与y轴交点坐标(0,c)增减性:当a＞0时，对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,ｙ随x增大而增大ﻩ当a<０时,对称轴左边，y随x增大而增大;对称轴右边，y随x增大而减小☆二次函数得对称性二次函数就是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应得纵坐标相等那么对称轴:与抛物线y=ax2 ＋ｂx+c(a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y=ａx２-bｘ+c(a≠0)与抛物线y=ax2 +ｂx+c(a≠0）关于x轴对称得函数解析式:y=-ax2–bx-c(a≠0）当a>0时，离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大；当a＜０时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大;【典型例题】题型 1 求二次函数得对称轴1、二次函数y＝－ｍx+3得对称轴为直线x=３,则m=_＿_____＿。
2、二次函数得图像上有两点(３，-８)与(－5，-8）,则此拋物线得对称轴就是( ) (A) (Ｂ） (C) (D)3、y=２ｘ－４得顶点坐标为___ ___＿_，对称轴为___＿__＿___。
4、如图就是二次函数y＝ａx２+bx＋c图象得一部分,图象过点Ａ(－3,0)，对称轴为x=-１.求它与x轴得另一个交点得坐标( , )5、抛物线得部分图象如图所示,若,则x得取值范围就是( )A、 B、C、或D、或6、如图,抛物线得对称轴就是直线,且经过点(3,0),则得值为 ( ）A、0B、－1C、 1D、２题型2 比较二次函数得函数值大小1、、若二次函数,当x取，(≠)时，函数值相等,则当x取＋时,函数值为( )(A)a＋c （B）a-c （C)-ｃ (D)ｃ2、若二次函数得图像开口向上,与x轴得交点为(4,0),(-2,0）知,此抛物线得对称轴为直线x=1,此时时,对应得y1 与ｙ２得大小关系就是( )Ａ．y1 <ｙ2Ｂ、 y１=y２Ｃ、 y1＞y２Ｄ、不确定点拨:本题可用两种解法yxO–1 13O–1 331解法1:利用二次函数得对称性以及抛物线上函数值y随x得变化规律确定:a>0时，抛物线上越远离对称轴得点对应得函数值越大;a<0时,抛物线上越靠近对称轴得点对应得函数值越大解法2:求值法:将已知两点代入函数解析式,求出a,b得值再把横坐标值代入求出ｙ1 与y２得值,进而比较它们得大小变式１：已知二次函数上两点,试比较得大小变式２:已知二次函数上两点，试比较得大小变式3:已知二次函数得图像与得图像关于y轴对称,就是前者图像上得两点，试比较得大小题型3 与二次函数得图象关于x、y轴对称:二次函数就是轴对称图形，有这样一个结论:当横坐标为x1，x２其对应得纵坐标相等那么对称轴：与抛物线y＝ax2 +bx+c（a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y＝ａx２-bｘ＋ｃ(a≠０)与抛物线y=aｘ2+bx+ｃ（a≠0)关于x轴对称得函数解析式:y=-aｘ2 –bx-c(a≠０)１、把抛物线y＝-2x2+4x＋３沿x轴翻折后，则所得得抛物线关系式为____ __＿＿2、与y＝ -3x+关于Ｙ轴对称得抛物线_＿_＿_____＿_____＿3、求将二次函数得图象绕着顶点旋转１80°后得到得函数图象得解析式。
二次函数的对称性质
二次函数的对称性质二次函数是数学中常见的一类函数，其表达式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像常常呈现出一些对称性质，本文将介绍二次函数的对称轴、顶点和对称中心。
一、二次函数的对称轴对称轴是指二次函数图像上的一条直线，它将二次函数图像分为两部分，对称轴的方程可以通过以下公式确定：x = -b / (2a)公式中的 a 和 b 分别为二次函数的系数。
对称轴与 x 轴垂直，它是二次函数图像上的一条中轴线。
根据对称轴的位置，二次函数图像可以呈现三种情况：1. 当对称轴与 x 轴重合时，二次函数的图像为一条对称于 y 轴的直线。
例如，对于函数 y = x^2，其对称轴方程为 x = 0，图像是一条以原点为对称中心的抛物线。
2. 当对称轴位于 x 轴上方时，二次函数的图像呈现上开口的抛物线形状。
例如，对于函数 y = x^2 + 1，其对称轴方程为 x = 0，即抛物线在 x 轴上方对称。
3. 当对称轴位于 x 轴下方时，二次函数的图像呈现下开口的抛物线形状。
例如，对于函数 y = -x^2 + 1，其对称轴方程为 x = 0，即抛物线在 x 轴下方对称。
二、二次函数的顶点顶点是二次函数图像的最高或最低点，也是对称轴上的一个点。
通过对称轴的方程 x = -b / (2a) 可以求得顶点的横坐标，将其代入二次函数表达式中即可求得顶点的纵坐标。
例如，对于函数 y = x^2 + 2x + 1，其中 a = 1，b = 2，c = 1，根据对称轴的方程可求得 x = -2 / (2*1) = -1，代入函数表达式得到 y = (-1)^2 + 2*(-1) + 1 = 0。
因此，该函数的顶点坐标为 (-1, 0)。
对于上开口的抛物线，顶点为最低点，而对于下开口的抛物线，顶点为最高点。
顶点也可以看作是二次函数的最值点。
三、二次函数的对称中心对称中心是指二次函数图像上的一个点，它在图像上关于对称轴对称。
探讨二次函数的对称性质,总结二次函数的特征。
探讨二次函数的对称性质，总结二次函数的特征。
探讨二次函数的对称性质，总结二次函数的特征1. 对称性质二次函数是指拥有二次项的函数，其一般表达式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是实数常数，$a \neq 0$。
1.1 关于 $y$ 轴对称二次函数关于 $y$ 轴对称意味着函数图像关于 $y$ 轴对称，即对于任意点 $(x, y)$，若 $(x, y)$ 在函数图像上，则点 $(-x, y)$ 也在函数图像上。
判断二次函数是否关于 $y$ 轴对称可以通过判断二次项的系数$a$ 的正负性，若 $a>0$，则二次函数关于 $y$ 轴对称；若 $a<0$，则二次函数不关于 $y$ 轴对称。
1.2 关于 $x$ 轴对称二次函数关于 $x$ 轴对称意味着函数图像关于 $x$ 轴对称，即对于任意点 $(x, y)$，若 $(x, y)$ 在函数图像上，则点 $(x, -y)$ 也在函数图像上。
二次函数关于$x$ 轴对称的充分必要条件是函数没有$bx$ 项，即 $b=0$。
1.3 关于原点对称二次函数关于原点对称意味着函数图像关于原点对称，即对于任意点 $(x, y)$，若 $(x, y)$ 在函数图像上，则点 $(-x, -y)$ 也在函数图像上。
二次函数关于原点对称的充分必要条件是函数的常数项为0，即 $c=0$。
2. 特征总结二次函数具有以下特征：- 若 $a>0$，则函数图像开口向上，称为上凸函数；若 $a<0$，则函数图像开口向下，称为下凸函数。
- 函数图像在 $x$ 轴两侧无穷远处趋近于直线 $y=0$，称为函数的水平渐近线。
- 函数图像的顶点为 $(h, k)$，其中 $h=-\frac{b}{2a}$，$k=f(h)$。
- 若 $a>0$，则函数图像的最小值为 $k$，且最小值点为顶点；若 $a<0$，则函数图像的最大值为 $k$，且最大值点为顶点。
二次函数的对称轴公式
二次函数的对称轴公式
二次函数对称轴的开口方向和大小，位置和对称轴公式的判断方法如下：1、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a\ue0时，抛物线开口向上；当a\uc0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则抛物线的开口越小；|a|越小，则抛物线的开口越大。
2、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即
ab\ue0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab\uc0），对称轴在y轴右侧。
（可巧记为：左同右异）
3、首先确认二次函数的通常式：y=ax^2+bx+c，然后通过二次函数的通常式
y=ax^2+bx+c 中的数字去分别确认a，b，c的值，确认a,b,c的值后，可以得出结论对称轴公式为 x=-b/2a。
4、确定二次函数的顶点式，如果是顶点式 y=a(x-h)^2+k ，则二次函数的顶点式的对称轴公式为：x=h。
二次函数的平移与对称性
二次函数的平移与对称性二次函数是一个非常重要的数学概念，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
在本篇文章中，我们将探讨二次函数的平移与对称性。
1. 平移的概念平移是指改变函数图像的位置而不改变其形状。
对于二次函数来说，平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1.1 水平平移水平平移是指在横轴方向上移动函数图像的位置。
当二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c时，水平平移的公式为f(x-h) = a(x-h)^2 + b(x-h) + c，其中h为平移的距离。
1.2 垂直平移垂直平移是指在纵轴方向上移动函数图像的位置。
当二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c时，垂直平移的公式为f(x) = ax^2 + bx + c + k，其中k为平移的距离。
2. 平移的影响平移会改变二次函数图像的位置，进而对函数的性质和方程产生影响。
2.1 平移对顶点的影响顶点是二次函数图像的最低点（极小值）或最高点（极大值）。
当进行平移时，顶点的坐标会发生改变。
对于水平平移，顶点的横坐标会加上平移的距离；而对于垂直平移，顶点的纵坐标会加上平移的距离。
2.2 平移对对称轴的影响对称轴是二次函数图像的对称线，对称轴的方程是x = -b/(2a)。
当进行平移时，对称轴的位置会发生改变。
对于水平平移，对称轴的方程中的b会减去平移的距离；而对于垂直平移，对称轴的方程不会受到平移的影响。
2.3 平移对图像形状的影响平移不会改变二次函数图像的形状，只会改变其位置。
二次函数的形状由参数a的正负确定，正数的a使得图像开口向上，负数的a使得图像开口向下。
平移只会改变图像在坐标系中的位置，不会改变其形状。
3. 对称性的概念对称性是指图像在某种变换下仍旧保持原样。
对于二次函数来说，有两种类型的对称性：轴对称和中心对称。
3.1 轴对称轴对称是指图像相对于某一条直线对称。
对于二次函数来说，其图像关于对称轴对称。
对称轴的方程是x = -b/(2a)，这条直线将图像分为左右两部分，两部分关于该直线对称。
二次函数的轴对称性
二次函数的轴对称性二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在图像上呈现出特殊的轴对称性。
本文将介绍二次函数的轴对称性的定义、性质以及相关的数学推导。
一、二次函数的轴对称性的定义二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数形式，其中a、b、c 为常数且a≠0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
当抛物线在某条直线上对称，称为二次函数的轴对称线。
二、轴对称性的性质1. 轴对称线的方程设二次函数的轴对称线为x = p，则p是二次函数的顶点横坐标。
对于f(x) = ax^2 + bx + c型的二次函数，可以通过平方完成该函数与对称轴的性质推导，推导的步骤如下：Step 1: 将二次项配方将f(x) = ax^2 + bx + c中的项ax^2进行配方，得f(x) = a(x^2 +(b/a)x) + c。
Step 2: 提取完全平方项提取完全平方项，得f(x) = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c。
Step 3: 整理化简整理化简后，得f(x) = a[(x + b/2a)^2 - (b/2a)^2] + c。
Step 4: 展开表达式展开表达式，得f(x) = a(x^2 + bx/a + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c。
Step 5: 合并项合并项，得f(x) = a(x^2 + bx/a + (b/2a)^2) - (b^2/4a) + c。
Step 6: 求和化简求和化简，得f(x) = a[(x + b/2a)^2 - (b^2-4ac)/4a]。
方程f(x) = a[(x + b/2a)^2 - (b^2-4ac)/4a]中，项(x + b/2a)^2表示一个完全平方项。
而当b^2-4ac = 0时，项(b^2-4ac)/4a为0，即f(x) = a(x +b/2a)^2，所以二次函数的轴对称线方程为x = - b/2a。
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二次函数对称规律
1、 y 1=ax 2+bx+c 关于x 轴对称的函数是y 2= -ax 2-bx-c 。
因为抛物线的形状未变，只是开口方向相反，所以a 变为-a ；对称轴未变，y 1的对称轴是a 2b x -=，y 2的对称轴也应该是a 2b a 2b x -=---
=；y 1与y 轴的交点坐标是（0，c ），关于x 轴对称后就是（0，-c ）。
2、 y 1=ax 2+bx+c 关于y 轴对称的函数是y 2= ax 2-bx+c 。
因为抛物线的形状未变，开口方向未变，所以a 不变；对称轴改变，y 1的对称轴是a 2b x -=，y 2的对称轴就应该是a
2b a 2b x =--=；y 1与y 轴的交点坐标是（0，c ），y 2与y 轴的交点坐标也是（0，c ），所以c 不变。
3、 y 1=a （x-h ）2＋k 关于原点对称的函数是y 2=-a （x+h ）2-k 。
此时必须将抛物线化成顶点式研究。
因为y 1=a （x-h ）2＋k 的顶点是(h,k)，关于原点对称后的顶点是（-h ，-k ），抛物线形状不变，开口方
向相反，所以a 变为-a 。