二次函数对称规律
二次函数的对称轴
二次函数的对称轴二次函数是指具有形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
而对称轴是指抛物线上的一条直线，它将抛物线分成两个对称的部分。
本文将详细介绍二次函数的对称轴，并探讨对称轴在解析几何中的重要性。
一、对称轴的定义二次函数的对称轴可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数。
这表示对称轴的 x 坐标等于二次项系数与一次项系数的比值的负数除以 2a。
通过求得的 x 坐标，可以确定对称轴在平面直角坐标系上的位置。
二、对称轴的性质1. 对称性：对称轴将二次函数的图像分成两个对称的部分。
如果点(x1, y1) 在对称轴的一侧，则点 (-x1, y1) 必然在对称轴的另一侧。
2. 垂直性：对称轴是与 x 轴垂直的直线。
这是因为对称轴的方程 x= -b / (2a) 中只有 x 变量而没有 y 变量。
3. 中心对称：对称轴是二次函数图像的中心轴线。
这意味着对称轴上的任意一点到抛物线上的对称点的距离相等。
三、对称轴的作用1. 确定抛物线的形状：对称轴的位置决定了抛物线是开口向上还是向下。
当二次项系数 a 大于 0 时，抛物线开口向上；当 a 小于 0 时，抛物线开口向下。
2. 求解顶点坐标：对称轴上的点与抛物线的顶点是重合的，因此可以通过对称轴的坐标计算出抛物线的顶点。
顶点是二次函数的极值点，是函数的最高点或最低点。
3. 确定零点位置：由于对称轴将抛物线分成两部分，抛物线与对称轴的交点也就是二次函数的零点。
可通过求解对称轴与 x 轴的交点来找到二次函数的零点。
四、示例分析考虑二次函数 y = x^2 - 4x + 3。
根据公式 x = -b / (2a)，可得对称轴的 x 坐标为 -(-4) / (2*1) = 2。
因此，对称轴的方程为 x = 2。
通过对称轴 x = 2，我们可以得到以下信息：- 抛物线开口向上（a = 1 > 0）；- 顶点坐标为 (2, -1)；- 零点为 (1, 0) 和 (3, 0)。
二次函数的零点及轴对称性
二次函数的零点及轴对称性二次函数是一个常见的代数函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
在本文中，我们将探讨二次函数的零点及轴对称性。
一、二次函数的零点二次函数的零点，也称为函数的根或解，指的是函数值等于零的x 值。
要找到二次函数的零点，我们可以使用求根公式或图像法。
1. 求根公式通过求根公式可以得到二次函数的零点。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其零点可以通过以下公式得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示取两个值，即可以得到二次函数的两个零点。
这个公式称为二次方程的根的公式，它的推导可以利用配方法或因式分解方法得到。
2. 图像法除了求根公式，我们还可以通过观察二次函数的图像来找到其零点。
二次函数的图像为一条抛物线，可以是开口向上或开口向下的形状。
当抛物线与x轴相交时，对应的x值即为函数的零点。
二、二次函数的轴对称性二次函数的轴对称性是指二次函数图像关于某一直线对称。
要确定二次函数的轴对称线，我们可以使用公式或观察法。
1. 公式法二次函数的轴对称线可以通过以下公式确定：x = -b / (2a)这个公式给出了二次函数的抛物线的对称轴的x坐标值。
例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，其对称轴的x坐标值为-x轴系数的一半。
2. 观察法除了公式法，我们还可以通过观察二次函数的图像来确定其轴对称线。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，如果a>0，则抛物线开口向上，轴对称线为抛物线的最低点所在的垂直线；如果a<0，则抛物线开口向下，轴对称线为抛物线的最高点所在的垂直线。
三、总结二次函数的零点是函数值等于零的x值，可以通过求根公式或观察图像来确定。
而二次函数的轴对称性指的是抛物线关于某一直线对称，可以通过公式或观察图像来确定轴对称线的位置。
二次函数口诀
精品资料欢迎下载
二次函数图像与性质口诀:
1、基本性质
二次函数抛物线，图象对称是关键；
开口、顶点和交点,它们确定图象限；
开口、大小由a断,c与Y轴来相见,
b的符号较特别，符号与a相关联；
顶点位置先找见，Y轴作为参考线，
左同右异中为0，牢记心中莫混乱；
顶点坐标最重要,一般式配方它就现，
横标即为对称轴,纵标函数最值见。
一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
2、待定系数法
二次函数抛物线，选定需要三个点，
a的正负开口判，c的大小y轴看，
△的符号最简便，x轴上数交点，
a、b同号轴左边，抛物线平移a不变。
3、与一元二次方程的关系及平移
二次方程零换y，二次函数便出现。
表中填入组数据，图像叫做抛物线。
抛物线有对称轴，两边增减正相反。
A定开口及大小，线、轴交点叫顶点。
顶点非高即最低。
上低下高很显眼。
如果要画抛物线，平移也可去描点，
提取配方定顶点，两条途径再挑选。
列表描点后连线，平移规律记心间。
左加右减括号内，号外上加下要减。
二次函数的顶点与轴对称
二次函数的顶点与轴对称二次函数是数学中一种重要的函数形式，其表达式可以写成y =ax^2 + bx + c的形式，其中a、b、c都是实数且a ≠ 0。
本文将着重讨论二次函数的顶点与轴对称。
一、二次函数的顶点顶点是二次函数图像的最高或最低点，也是二次函数的关键特征之一。
要确定二次函数的顶点，我们可以利用一些简单的计算方法。
1. 完成平方二次函数的标准形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c都是已知实数。
为了简化计算，我们可以将x^2项与x项配平，并加上一个平方的恒定项。
假设我们要求函数y = 2x^2 + 4x + 1的顶点。
首先，我们对x^2项进行平方配平，即取一半的b/a，即4/2 = 2，再平方得到4：y = 2(x^2 + 2x + 1) - 4 + 1接下来，我们将x^2项与x项配平，即加上一个平方的恒定项，即1：y = 2(x^2 + 2x + 1) - 4 + 1= 2(x + 1)^2 - 3这样，我们得到了一个可以简化计算顶点的形式，即y = a(x - h)^2+ k，其中(h,k)为顶点坐标。
对比原函数，我们可以得到顶点坐标为(-1,-3)。
2. 利用导数另一个求解二次函数顶点的方法是利用导数。
对于一元函数y = f(x)，其导数函数y'表示y相对于x的变化率。
当y' = 0时，函数达到极值，此时的x值就是函数的顶点。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其导数为y' = 2ax + b。
将y' = 0代入，我们可以求得x = -b/2a，这个值就是二次函数的顶点x坐标。
然后，我们将x代入原函数，即可求得顶点的y坐标。
以函数y = 2x^2 + 4x + 1为例，我们可以通过一阶导数找到顶点的x坐标：2ax + b = 02(2)x + 4 = 04x + 4 = 0x = -1将x = -1代入原函数，我们可以求得顶点的y坐标：y = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1= 2 - 4 + 1= -1所以，函数y = 2x^2 + 4x + 1的顶点为(-1, -1)。
二次函数的对称问题
（b 不变） （ab 变，c 减）
y=-a(x+h)2-k y=-a(x-h)2+k y=-a(x+h-2m)2+2n-k
（全变） （a 变） （全变，减 2m 加 2n)
6 直线 x=m 对称
y=a(x+h-2m)2+k
（h 变,减 2m）
7 直线 y=n 对称
y=-a(x-h)2 +2n-k
（h 不变，加 2n）
一般式
原二次函数表达式
y=ax2+bx+c
1 x 轴对称Байду номын сангаас
y= -ax2-bx-c
规律 （全变）
顶点式
y=a(x-h)2+k y=-a(x-h)2-k
规律 （h 不变)
2 y 轴对称
y=ax2-bx+c
（b 变 ）
y=a(x+h)2+k
（h 变）
3 原点对称 4 顶点对称
5 点 m，n 对称
y=-ax2+bx-c
二次函数的对称问题
二次函数的对称问题主要分两大类 7 种情况进行讨论，分别是轴（线）对称和点对称。其中轴（线）对称包括关于 X 轴对称、关 于 Y 轴对称、关于直线 x=m 对称和关于直线 y=n 对称；点对称包括关于原点对称、关于顶点对称和关于点 P(m,n)对称。每一种情况再 按二次函数表达式的不同，分一般式和顶点式进行讨论。具体见下表。
二次函数图象的对称
3、任何一个二次函数都是轴对称图形，若（x1, y）和（x2, y）是一对对称点，
则：（1）对称点的纵坐标相同 （2）对称轴等于对称点横坐标的和的一半（x
x1
x2 ）
2
关于两个二次函数之间的对称关系
一、关于x轴对称
1、顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0) （1）它们的顶点的横坐标相同，纵坐标互为相反数 （2）二次项系数a互为相反数
2、一般式： y=ax²+bx +c (a≠0)
二次项系数a，一次项系数b以及常数项c都互为相反 数
关于两个二次函数之间的对称关系
二、关于y轴对称
1、顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0) （1）它们的顶点的横坐标互为相反数，纵坐标相同 （2）二次项系数a相同
2、一般式： y=ax²+bx +c (a≠0)
(3) y=x²-3x -7
关于两个二次函数之间的对称关系的应用
3、已知二次函数y1=mx²+(m-1)x +m+2，求： （1）y1关于x轴对称的二次函数解析式y2 （2）若y2经过原点，则y1和y2的解析式分别是多少？
关于两个二次函数之间的对称关系的应用
1.已知抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=-2(x+3)2-9的 形状相同,请写出满足下列各பைடு நூலகம்件的抛物线的解析式. (1)两抛物线关于x轴对称 (2)两抛物线关于y轴对称 (3)两抛物线关于原点对称
解:(1)y=2(x+3)2+9
(2)y=-2(x-3)2-9
有关二次函数的对称性
泉波中学 王飞
知识回顾
1、二次函数解析式的形式
二次函数关于坐标轴对称式规律
.
二次函数关于坐标轴对称式规律
原式y=ax²+bx+c
关于x轴对称y=-ax²-bx-c
关于y轴对称y=ax²-bx+c
关于原点对称y=-ax²+bx-c
总结：全反x,一反y.原点对称一不换
规律是，若求原二次函数解析式的关于x轴的对称的解式，原解析式的a,b,c 都变成原来系数的相反数，就可以了。
若求它的关于y轴为对称轴的解析式，只把一次项的系数变成它的相反数就行了。
若求它关于原点为对称中心的解析式，一次项的系数不变，二次的系数和常数项的符号都变成原数的相反数即可。
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
精品。
两个二次函数关于原点对称
两个二次函数关于原点对称在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，它的一般形式可以写作y=ax^2+bx+c。
其中a、b、c是常数，x是自变量，y是因变量。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
而关于原点对称的二次函数是指满足当x取相反数时，y值也取相反数的二次函数。
也就是说，如果对于二次函数中的任意一个点(x,y)，当x取相反数时，y也取相反数，那么这个二次函数就是关于原点对称的。
现在我们来看两个关于原点对称的二次函数：y=x^2和y=-x^2。
第一个函数y=x^2是一个开口向上的抛物线。
它的图像在原点处交于y轴，而且随着x的增大，y的值也随之增大。
这个函数的图像是一个向上开口的抛物线，它在原点处取得最小值0，随着x的增大，y的值也会增大，但是增长的速度逐渐减慢。
这个函数是一个典型的二次函数，它是关于原点对称的，因为当x取相反数时，y 也取相反数。
我们可以通过绘制它的图像来更好地理解它的性质。
第二个函数y=-x^2是一个开口向下的抛物线。
它的图像同样在原点处交于y轴，但随着x的增大，y的值逐渐减小。
这个函数的图像是一个向下开口的抛物线，它在原点处取得最大值0，随着x的增大，y的值也会减小，但是减小的速度逐渐减慢。
同样地，这个函数也是关于原点对称的，当x取相反数时，y也取相反数。
这两个关于原点对称的二次函数在数学和物理中都有广泛的应用。
在数学中，它们常常用于描述曲线的形状和变化趋势。
在物理中，它们可以用来描述自由落体的运动轨迹、抛物线的轨迹等等。
两个关于原点对称的二次函数，即y=x^2和y=-x^2，是数学中常见的函数形式。
它们的图像分别是开口向上和开口向下的抛物线，具有关于原点对称的性质。
这些函数在数学和物理中有着广泛的应用，可以描述曲线的形状和变化趋势。
通过学习和理解这些函数，我们可以更好地理解和应用数学知识。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、y1=ax2+bx+c关于x轴对称的函数是y2=-ax2-bx-c。
因为抛物线的形状未变，只是开口方向相反，所以a变为-a；对称轴未变，y1的对称轴是 ，y2的对称轴也应该是 ；y1与y轴的交点坐标是（0，c），关于x轴对称后就是（0，-c）。
2、y1=ax2+bx+c关于y轴对称的函数是y2=ax2-bx+c。
因为抛物线的形状未变，开口方向未变，所以a不变；对称轴改变，y1的对称轴是 ，y2的对称ห้องสมุดไป่ตู้就应该是 ；y1与y轴的交点坐标是（0，c），y2与y轴的交点坐标也是（0，c），所以c不变。
3、y1=a（x-h）2＋k关于原点对称的函数是y2=-a（x+h）2-k。此时必须将抛物线化成顶点式研究。
因为y1=a（x-h）2＋k的顶点是(h,k)，关于原点对称后的顶点是（-h，-k），抛物线形状不变，开口方向相反，所以a变为-a。