从一题多解谈数学发散思维的培养

从一题多解谈数学发散思维的培养
作者：周丽娟
来源：《江西教育·综合版》2013年第09期
摘要：数学新课程注重培养学生的发散思维，发散思维是创造力的核心，是灵活应用知识的重要前提。

此文主要探讨通过一题多解培养数学发散思维。

通过一题多解的教育功能——巩固知识、加强知识联系、思想方法渗透等方面讨论其对发散思维流畅性、变通性、独特性的培养。

另外注重解题后反思是发挥一题多解培养发散思维的重要环节。

关键词：一题多解发散思维迁移
一、引言
随着数学课程改革的深入，数学教学除了要让学生掌握基础知识和基本技能即完成“双基”教学外，还要进一步培养学生的数学思维能力及数学创新意识等，而在思维能力培养和创新意识的培养中，注意发展学生的发散思维，让学生积极思维，大胆设想，防止思维定式，这样才能提高学生分析和解决问题的能力，也只有这样才能真正提高学生的创新能力。

正如徐利治先生在《数学方法论选讲》中给出的这样一个公式：创造力=知识+发散思维能力，可见培养学生发散思维能力是发展学生创造能力的重要方面。

发散思维是灵活运用知识解决问题所必需的，更是迎接信息时代，适应未来生活所应具备的能力。

一题多解，就是用不同的思维分析方法，多角度多途径地解答问题。

一题多解对一道题可能涉及各方面的知识要进行不同角度、不同层面的深入研究，目的是将这道题做“深”、做“广”、做“透”。

这样做有利于全面、系统掌握解题规律，加强各部分知识之间的联系，从而使所学知识得到“升华”，因而是培养发散思维的有效途径。

二、一题多解，促进知识迁移，培养发散思维
美国心理学家吉尔福认为，发散性思维是指“从给定的信息中产生信息，其着重点是从同一的来源中产生各种各样的为数众多的输出”。

因此发散思维的培养首先要建立在信息源上，信息量多，发散的广度才可能越大。

同时，发散性思维强调通过联想和迁移对同一个问题形成尽可能多的答案，并寻找多种正确途径。

1.一题多解，夯实基础，增强发散思维的流畅性。

注重“双基”教学，加强知识积累，是培养学生发散思维的必要准备。

知识积累量增加，则面对知识的建构更有意义，有利于知识迁移。

一题多解的解答过程，可从不同侧面重温这些知识，检查自己对概念、定理公式的理解是否准确，进而夯实基础。

知识积累量增加，使得学生能在尽可能短的时间内生成并表达出尽可能多的思维观念，即增强了发散思维的流畅性。

2.一题多解，加强知识的联系，培养学生发散思维的变通性。

数学问题总是具体的，而在具体内容中，所蕴含的知识点与其他的知识点又有着内在联系，这些联系便是本质。

一题多解对题目从不同的角度进行观察和分析，发现隐蔽关系，抓住题目中条件和结论之间的有机联系，从而从不同角度寻找到解决问题的方法。

例1 设a，b，c为三个非负的实数，试证：
■+■+■≥■（a+b+c）。

证法一：由题设和均值不等式有：
■=■■≥■■
同理有：
■≥■（b+c），■≥■（c+a）
于是有：
■+■+■≥■（a+b+b+c+c+a）=■（a+b+c）。

证法二由■等的形式可以联想到直角三角形的斜边的表达式，所以我们可以用作图的方法作出（如图1）有关线段。

BA=■，BC=■，
CD=■，AD=■（a+b+c）
显然有AB+BC+CD≥AD，即求证式成立。

三、一题多解促进思维的广阔与灵活性，培养发散思维
通过一题多解，引导学生从不同的角度、不同的方位、不同的观点分析思考同一问题，从而扩充思维容量，使学生不满足固有的方法，寻求新法。

一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展思维能力。

1.一题多解注重数学思想方法的渗透。

数学课程改革，要求学生不仅要掌握所学的数学知识，更要学会将数学知识应用于生活，而数学运用中数学思想方法的体现与运用是重要组成部分。

所以在解题过程中数学思想方法的渗透具有重要意义。

数学思想方法有方程思想、函数思想、整体思想、三角变换、配方、换元、分类、数形结合等。

在解题中这些思想方法的运用往
往会产生令人耳目一新的解法，不仅可以从不同的角度挖掘解题路径，而且有利于发散思维的培养。

从题目的结构特征（外形特征、内在特征）中捕捉有用的信息，通过归纳、类比、联想等，从而得到问题的答案。

如果捕捉同一题目结构特征的角度不同，获得的有用信息就不同，进而产生一题多解。

而归纳、类比、联想往往是获得问题解决的重要数学思想方法。

2.一题多解后反思，促进思维的深刻性。

一题多解不能以多为胜，要有目的性和侧重点。

如果只刻意追求题目的多解而不考虑它们各自的优劣、简繁，也不考虑哪种解法是通法，哪种解法是简便方法，对方法的使用价值没有分析比对，这样的一题多解不仅对发散思维的培养没有帮助，还容易让学生产生困惑，学生就像满天抓麻雀，一个也没逮着，只是抓到几片羽毛。

四、结束语
一题多解突破思维定式，开阔解题思路，有效地开发学生创造思维，是培养学生发散思维的重要方法。

一题多解对于培养数学发散思维具有重要意义，但在实际教学中，对方法要有所选择和侧重。

刻意追求多解，而不考虑解法的选择常常造成学生对解题方法、思路的不明晰，产生困惑。

所以在一题多解的教学中要注意淡化繁解，否则讲解繁解后容易导致学生先入为主，不利于对好方法的掌握；遵循常规，巧解兼顾，解题是学生巩固所学知识的重要途径，过于强调解题巧妙、快捷，淡化常规不利于学生基本数学思想的掌握。

所以一题多解在方法选择和讲解上要有所侧重。

同时在培养发散思维的过程中，仍需要集中思维的配合，需要严谨的分析，合乎逻辑的推理，在发散的多种途径、多种方法中，也需要通过比较判断，获得一种最简捷、最科学的方案与结果。

思维的发散与集中犹如鸟的双翼，需要和谐配合，才能使学生的思维发展到新的水平。

参考文献
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