向量的坐标表示及其运算
空间向量运算的坐标表示
F1
0
,
1 4
，1 .
B
BE1
1 ,
3 4
, 1
(1 , 1 ,
0)
0
,
1 4
, 1
,
例2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
DF1
0
,
1 4
，1 (0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1 .
A1
E1 B1
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3)则 a b (a1b1,a2 b2,a3 b3) ; a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R);
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1及 1 cos a , b 0时，
2)求点A到直线EF的距离。 D1
(用向量方法）
F A1
C1 B1
E
D A
C B
向量的坐标表示及其运算
思考:与一个位置向量相等的向量有 ______ 个。
4
3
N2
2j
1
j
-2
Oi
-1
-2
-3
P（3，2）
2
M
4
6
3i
那么，对于任一位置向量，能否用基本位置 y
向量 i 、j 来进行表示呢？
N
OA OM ON xi y j
a
A (x, y)
j
OA xi y j
O
i
Mx
在上式中，向量OA能表示成两个相互垂直的向量i、j
O
x ( x2 i y2 j ) ( x1i y1 j )
即
(x2 x1)i ( y2 y1) j
P(x1, y1)
PQ ( x2 x1, y2 y1)
结论：任意向量坐标 = 终点坐标 - 起点坐标
例2：已知平行四边形ABCD三个顶点A, B,C的坐标
分别为(2，1),(3, 2),(1，3)，①求 AC, BC的坐标；
分别乘以实数x、y后组成的和式，该和式称为i、j 的线
性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。
y
3，向量的坐标表示：
A (x, y) a
j
Oi
x
在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在唯 一一个与它相等的位置向量.
a OA xi y j
相等的向量具有相同的坐标。
例1. 如图，写出向量 a,b ,c 的坐标.
1，在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别
相同的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为 i 、j
2，以原点O为起点，A为终 y源自点的向量 OA 叫做点A的位
8.1向量的坐标表示及其运算
a
位置向量.
j
O i1
1）平面内每一点都有对应的位置向量。
Ab
x
2)平面内任一向量都有唯一的与它相等的位置向量。
思考:与一个位置向量相等的向量有 ______ 个。
பைடு நூலகம்
-2
调用几何画板
4
怎样用i, j表示位置向量OP？
3
P（3，2）
N2
2j
1
j
Oi
2
M
4
3i
6
-1
OP OM ON 3i 2 j
例2：设ABC三个顶点坐标分别为A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ),G是ABC的重心，求G的坐标。
重心坐标公式
x
y
x1 y1
x2 3 y2 3
x3 y3
例3 : 线段AB的端点为A( x, 5), B(2, y), 直线AB上的点C(1,1),使 AC 2 BC , 求x, y的值.
存在唯一实数 ，使 b a ，则
(x2 , y2 ) (x1, y1) ( x1, y1)
因此 x1 y2 x2 y1 x1( y1) ( x1) y1 0
平面向量平行条件的坐标表示
定理：已知任意向量 a (x1, y1),b (x2, y2),
a//b 的充要条件是 x1 y2 x2 y1 0
②求点A关于点B的对称点H的坐标
③若点C分有向线段 AB 的比 ＝2，求点C的坐标 ④求点D(0.5，y)分有向线段 AB 的比 及y值。
⑤若 AE 5 AB ,求点E的坐标 22
3, 若P是分 P1 P2定比为2的分点, 则P是分P2P1定比为 ___的分点， 则P1是分PP2定比为 ___的分点， 则P2是分PP1定比为 ___的分点。
向量的线性运算与坐标表示
向量的线性运算与坐标表示向量是线性代数中一个基本的概念，它在各个学科领域都有广泛的应用。
本文将重点讨论向量的线性运算以及如何用坐标表示向量。
一、向量的定义与表示在二维和三维空间中，向量通常用箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的方向和长度表示向量的方向和大小。
如图所示：[插入示意图：箭头向量的表示]向量有两种表示方法：行向量和列向量。
行向量按照元素排列在一行中，用方括号括起来；列向量按照元素排列在一列中，用方括号括起来。
例如，行向量[a, b, c]和列向量[a; b; c]表示同一个向量。
二、向量的线性运算向量的线性运算主要包括加法和数乘。
1. 向量的加法向量的加法遵循“平行四边形法则”，即将两个向量的起点放在一起，然后将它们的箭头连接起来，箭头的指向为新向量的方向，连接起点和终点，得到新向量的结果。
如图所示：[插入示意图：向量加法示意图]向量加法的坐标表示为，设向量a的坐标为[a1, a2, a3]，向量b的坐标为[b1, b2, b3]，则向量a和向量b的和的坐标为[a1+b1, a2+b2,a3+b3]。
2. 向量的数乘向量的数乘是将向量的每个元素与一个实数相乘，得到一个新的向量。
数乘后的向量与原向量的方向相同（当数乘的实数为正数时）或相反（当数乘的实数为负数时），而长度与原向量的长度之比为数乘的实数绝对值。
向量的数乘的坐标表示为，设向量a的坐标为[a1, a2, a3]，实数k，则向量a的数乘结果的坐标为[k*a1, k*a2, k*a3]。
三、向量的坐标表示向量可以用坐标进行表示，坐标是指向量在坐标系中的位置。
在二维平面中，通常以x轴和y轴为基础建立直角坐标系；而在三维空间中，通常以x轴、y轴和z轴为基础建立直角坐标系。
在直角坐标系中，向量的坐标表示为(a1, a2, a3)，其中a1、a2、a3分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
例如，向量a在直角坐标系中的坐标表示为(a1, a2, a3)。
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
高一数学必修件向量坐标表示与运算
向量的模长具有非负性、齐次性和三角不等式性质。其中，非负性指向量的模长总是大于等于0；齐次性指向量 与一个正实数相乘时，其模长也与该正实数相乘；三角不等式性质指向量a、b满足|a+b|≤|a|+|b|。
03 空间直角坐标系 中向量表示与运 算
空间直角坐标系简介
空间直角坐标系定义
空间点坐标表示
向量的数乘
一个向量与一个实数相乘，等于该向量的每个坐标与该实 数相乘得到的新向量。例如，实数k与向量a=(x, y)相乘得 到的新向量为(kx, ky)。
坐标形式下向量模长计算
向量模长的定义
向量的模长等于其坐标点到原点的距离，可以通过勾股定理计算得到。例如，向量a=(x, y)的模长为 |a|=√(x^2+y^2)。
作用
平面直角坐标系可以方便地表示平面上的点，并通过点的坐标进行各种运算。
向量在坐标系中表示方法
向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，一个向量 可以用一个有序数对来表示，这 个有序数对称为向量的坐标。例
如，向量a可以表示为(x, y)。
向量的方向
向量的方向由其所在直线的倾斜 角确定，倾斜角为向量与x轴正
由三个互相垂直的数轴所构成的坐标 系，用于描述三维空间中点的位置。
在空间直角坐标系中，任意一点P的 位置可以用一个有序实数组(x,y,z)来 表示，其中x、y、z分别为点P到x轴 、y轴和z轴的距离。
坐标轴与坐标平面
三个坐标轴分别为x轴、y轴和z轴，它 们互相垂直并相交于原点O。三个坐 标平面分别为xOy平面、yOz平面和 zOx平面。
乘法消元律
若某一方程可化为另一方程的 k倍，则这两个方程相减可消 去一个未知数。
利用向量求解线性方程组方法
向量坐标表示及运算
y
j
O
1 2
a
A(x, y)
a
（3）两个向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 相等的充要条件：a b x x
i
x
且y1 y2
(4)如图以原点O为起点作 OA a ，点A的位置 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 （5）区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同
3．若 A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则 AB ＋2 BC ＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)， ∴ AB ＝(2,3)， BC ＝(－3,3)． ∴ AB ＋2 BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
(x2－x1，y2－y1)
例1：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐 .
解： a b (2,1) (3,4) (1,5)
a b (2,1) (3,4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
例2、 1已知A(2,3), B (3,5), 求BA的坐标.
解： BA
2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
解：设B x,y ,
2,3 3,5 5, 2.
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
j
-4 -3
-1 -2
i1
2
3
4
x
c 2i 3 j ( 2, 3)
向量的坐标表示及其运算
a
O
OA x i y j
i
M
x
在上式中，向量OA能表示成两个相互垂直的向量i、j
分别乘以实数x、y后组成的和式，该和式称为i、j 的线
性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。
3，向量的坐标表示：
j
O
y
A (x, y)
a
i
x
在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在唯 一一个与它相等的位置向量.
8.1向量的坐标表示及其运算
一、基本概念
1，在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别
相同的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为 i 、 j 2，以原点O为起点，A为终 点的向量 OA叫做点A的位 置向量，如图，OA即为一 个位置向量.
1
y
A
b
a i
1
j
O
x
1）平面内每一点都有对应的位置向量。
C(-1,3) B(-3,2)
2 1 4
y
3
D(x,y)
A(2,1)
2 4 6
-6
-4
-2
O
-1 -2
x
-3
-4
2)平面内任一向量都有唯一的与它相等的位置向量。
思考:与一个位置向量相等的向量有 ______ 个。
4
3NΒιβλιοθήκη （3， 2） P2 1
2j
j
-2
O i
-1 -2
2
3i
M
4
6
-3
那么，对于任一位置向量，能否用基本位置 y 向量 i 、来进行表示呢？ j A ( x, y) N
OA OM ON x i y j
y Q(x2, y2)
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向量的坐标表示及其运算【知识概要】1. 向量及其表示1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如a 读作向量a ，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如AB ，表示由A 到B 的向量. A 为向量的起点，B 为向量的终点）.向量AB（或a ）的大小叫做向量的模，记作AB （或a ）.注：① 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别；② 长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的 注意0与0的区别③ 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.例1 下列各量中不是向量的是（ D ）A.浮力B.风速C.位移D.密度 例2 下列说法中错误的是（ A ）A.零向量是没有方向的 B .零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ）A.一条线段 B .一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆2）向量坐标的有关概念① 基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i 和j .② 将向量a 的起点置于坐标原点O ，作OA a =，则OA 叫做位置向量，如果点A 的坐标为(,)x y ，它在x 轴和y 轴上的投影分别为,M N ，则,.OA OM ON a OA xi y j =+==+③ 向量的正交分解在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j 分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称为i 、j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记为a =(,)x y .一般地，对于以点111(,)P x y 为起点，点222(,)P x y 为终点的向量12PP ，容易推得122121()()PP x x i y y j =-+-，于是相应地就可以把有序实数对2121(,)x x y y --叫做12PP 的坐标，记作12PP =2121(,)x x y y --. 3）向量的坐标运算：1122(,),(,)a x y b x y ==，R λ∈则1212121212(,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=. 4） 向量的模：设(,)a x y =，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm .22a x y =+.注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示； ② 向量的模是个标量，并且是一个非负实数.例4 已知点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(3,0)-，且4,3AP BP ==，求点P 的坐标.解：点P 的坐标为612(,)55- 或 612(,)55--. 例5 已知2(4,3),2(3,4)a b a b +=--=，求a 、b 的坐标. 解：(1,2),(2,1)a b =-=-- 例6 设向量,,,,a b c R λμ∈，化简：（1）()()()()a b c a b c b c λμμλμλ+--+-+--； （2）2()(22)2a b c a b c λμλμλμμ+--++. 解：都为0.2. 向量平行的充要条件平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定0与任一向量平行）. 已知a 与b 为非零向量，若1122(,),(,)a x y b x y ==，则//a b 的充要条件是1221x y x y =，所以，向量平行的充要条件可以表示为：1221//().a b a b x y x y λλ⇔=⇔=其中为非零实数例7 已知向量(2,3)a =-，点(2,1)A -，若向量AB 与a 平行，且213AB =，求向量OB 的坐标.解：OB 的坐标为(6,7)- 或 (2,5)-.3. 定比分点公式1）定比分点公式和中点公式① 12,P P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于12,P P 的任一点，存在实数λ， 使P P 1=2PP λ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：(内分)λ>0 (外分) λ<-1 (外分) -1<λ<0② 已知111(,)P x y 、222(,)P x y 是直线l 上任一点，且P P 1=2PP λ(,1)R λλ∈≠.P 是直线12P P 上的一点，令(,)P x y ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，这个公式叫做线段12P P 的定比分点公式，特别地1λ=时，P 为线段12P P 的中点，此时121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，叫做线段12P P 的中点公式.注：① 12PP PP λ=⋅可得12PP PP λ=±⋅；② 当1λ=-时，定比分点的坐标公式121x x x λλ+=+和121y y y λλ+=+显然都无意义，也就是说，当1λ=-时，定比分点不存在2）三角形重心坐标公式设ABC ∆的三个点的坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，G 为ABC ∆的重心，则12312333G G x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩例8 在直角坐标系内12(4,3),(2,6)P P --，点P 在直线12P P 上，且122PP PP =，求出P 的坐标.解：当P 在12P P 上时，(0,3)P ；当P 在12P P 延长线上，(8,15)P -.例9 已知(3,1),(4,2)A B ---，P 是直线AB 上一点，若23AP AB =，求点P 的坐标. 解: 注意定比分点的定点，可得155(,)22P --.*方法提炼*几个重要结论1. 若,a b 为不共线向量，则a b +，a b -为以,a b 为邻边的平行四边形的对角线的向量；2. 22222()a b a b a b ++-=+；3. G 为ABC ∆的重心0GA GB GC ⇔++=123123(,)33x x x y y y G ++++⇔ 112233[(,),(,)(,)]A x y B x y C x y【基础夯实】1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2.下列命题正确的是（ C ）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行3. 在下列结论中,正确的结论为（ D ） (1)a ∥b 且|a |=|b |是a =b 的必要不充分条件(2)a ∥b 且|a |=|b |是a =b 的既不充分也不必要条件 (3)a 与b 方向相同且|a |=|b |是a =b 的充要条件(4)a 与b 方向相反或|a |≠|b |是a ≠b 的充分不必要条件 A. (1)(3) B. (2)(4) C. (3)(4) D. (1)(3)(4) 4. 已知点A 分有向线段BC 的比为2，则在下列结论中错误的是（ D ）A. 点C 分AB 的比是-31B.点C 分BA 的比是-3C 点C 分AC 的比是-32D 点A 分CB 的比是25. 已知两点1(1,6)P --、2(3,0)P ，点7(,)3P y -分有向线段21P P 所成的比为λ，则λ、y 的值为（ C ）A －41，８ B.41，－８ C －41，－８ D ４，816. △ABC 的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是（ A ）A (2，-7)B (-7，2)C (-3，-5)D (-5，-3)7. “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的 条件. 答案：必要非充分8. 已知a 、b 是两非零向量,且a 与b 不共线,若非零向量c 与a 共线,则c 与b 必定 . 答案：不共线9. 已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x=答案：2或2710. △ABC 的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C 点坐标为 答案：(8,-4)11. 已知M 为△ABC 边AB 上的一点，且18AMC ABC S S ∆∆=，则M 分AB 所成的比为 答案：71【巩固提高】12. 已知点(1,4)A =--、(5,2)B ，线段AB 上的三等分点依次为1P 、2P ，求1P 、2P 点的坐标以及,A B 分21P P 所成的比λ．解：P 1(1,-2),P 2(3,0),A 、B 分21p p 所成的比λ1、λ2分别为-21,-213. 过1(1,3)P 、2(7,2)P 的直线与一次函数5852+=x y 的图象交于点P ，求P 分21P P 所成的比值解：12514. 已知平行四边形ABCD 一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB 、CD 的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标 解：Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）15. 设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=,则（ B ） (A). 0PA PB += (B). 0PC PA += (C). 0PB PC += (D). +0PA PB PC +=16. 若平面向量,a b 满足1,a b a b +=+平行于x 轴，(2,1)b =-，则(1,1)(3,1)a =--或.17．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－6,21)B ．(－2,7)C ．(6，－21)D ．(2，－7)解析：选A.AC →＝2AQ →＝2(PQ →－P A →)＝(－6,4)，PC →＝P A →＋AC →＝(－2,7)，BC →＝3PC →＝(－6,21)．18.已知O 为坐标原点，向量(2,),(,1),(5,1).OA m OB n OC =-==-若A,B,C 三点共线，且2m n =，求实数,m n 的值19.已知点A(3，0),B(-1，-6), P 是直线AB 上一点，且1||||3AP AB =，求点P 的坐标.20. 已知向量(cos ,sin )m θθ=和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈，且8||25m n +=，求cos()28θπ+的值。