11级研究生数值分析考试试题2011-11-25
研究生数值分析考试
工科研究生《数值分析》复习练习一．填空（共4分，每空44分）（1）设i x i =（n i ,,2,1,0⋯=）插值结点，)(x l i 是相应的n 次Lagrange 插值基函数，则()ni i l x ==∑（）,=∑=ni i i x l x 0)(（）.（2）用简单迭代法求方程3()10f x x x =−−=的正实根，迭代格式（）至少是二阶收敛的。
(3)求解非线性方程01=−x xe 的牛顿迭代公式是（）（4）在所有首项系数为1的n 次多项式中，首项系数为1的n 次（）多项式在[-1，1]上与零的平方逼近误差最小。
（5）设211314122A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，则1||||A =（），||||A ∞=（）.（6）32()272f x x x =−+，则[1,2,3,4]f =（），[1,1,1]f =（）（7）n 次Chebyshev 多项式在[-1，1]上的零点为（）（8）插值型求积公式0()()nbk k ak A f x f x dx =≈∑∫至少具有（）次代数精度，求积系数之和0nk k A ==∑（）,而Gauss 求积公式至少具有（）次代数精度。
（9）初值问题'24,(0)2,y y x y =−−=，则显式Euler 格式，隐式Euler 格式和梯形格式分别为（），（），（）。
(10)已知数据对),,2,1)(,(n k y x k k ⋯=，用直线c bx ax y ++=2拟合这n 个点，则参数c b a ,,满足的法方程组是（）（11）第一种幂法迭代格式为（）二（10分）求一个次数不高于4次的代数多项式()p x ，使它满足(0)'(0)0,(1)'(1)1,(2)1p p p p p =====，并写出其余项表达式。
（利用Newton 插值公式，制作带重节点的差商表）三（10分）证明：区间[a,b]上带权()x ρ的正交多项式()n g x 的零点都是实数，相异的，且全部落在开区间(,)a b内部。
2011级数值分析试卷
菏泽学院数学系2011级 2013-2014学年第一学期数学与应用数学专业《数值分析和计算方法》期末试卷（A ）(110分钟)题号 一 二 三 四 五 总分得分 阅卷人一．选择题（将正确选项前的代号写在题号前的括号内，每小题3分，共15分）( )1.若用最小刻度为0.5mm 的刻度尺测量物体，其误差限为（ ）A.0.25mmB.1.0mmC.0.5mmD.0mm （ ）2.下列具有最高代数精度的求积公式是（ ）A.龙贝格求积公式B.复合辛普森求积公式C.牛顿-科特斯求积公式D.高斯求积公式（ ）3.已知2,1,0,,1)(==-=i i x x x f i i i 。
则函数)(x f 的插值多项式为（ ）A. 145412-+x x B.1-xC.-145412-+x x D.2+-x（ ）4.下列给出的是用不动点迭代法求032=-x 的根3*=x 的迭代函数，则相应的迭代方法局部收敛的是A.x x 3=)(ϕ B.3)(2-+=x x x ϕC.2321)(2-+=x x x ϕD.)3(21)(xx x +=ϕ( )5.线性方程组AX=b 能用高斯消元法求解的充要条件是（ ）A.A 为对称矩阵B.A.为实矩阵C.A 的各阶顺序主子式不为零D.0≠A得分 阅卷人二．填空题（请将正确答案填写在每小题的横线上，每空4分，共20分）1.计算积分⎰b adx x f )(的梯形公式为 。
2.设向量T n x )2,1,0( =，则=∞x 。
3.用牛顿法求方程0)(=x f 的根的公式为 。
4.已知n=3时的牛顿-科特斯系数83,83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ,则=)3(3C 。
5.已知点,5,4,3,2,1,1=-=i i x i 则二阶差分=∆32x 。
三．判断题（对的在题前括号内划√，错的划×，每题2分，共10分）（ ）1.高斯求积公式的系数都是正的，故计算总是稳定的。
太原理工大学11级硕士研究生数值分析期末考试题
11级（12/07/03）
一、基础题(40分)
(一)、单项选择(2×5=10分)
1、求解常微分方程的预估—校正法的局部截断误差为( )。
2、过
3
4
5、
(二)
1、是一日插值基函数在节点上的取值是______________。
2、设分段多项式，
，
是以0，2，3为节点的三次样条
函数。
则a =____________，b =____________， c =____________。
3、设，则关于节点，，的二阶向前差分为_________。
4、5个节点的牛顿—科特斯求积公式的代数精度为________，5个节点的求积公式最高代数精度为________。
5、设，则a的取值范围为________A可分解为A = LL T，且当L满足________，分解是唯一的。
6、设是切比雪夫正交多项式系，则的正交区间为________，它的权
7迭8。
1
2
(1)
(2)
3、用二步法求解一阶常微分方程初值问题
，
，问：如何选择、的值，才能使该方法的阶数尽可能高？写出此时的局部截断误差主项。
三、计算题(15×2=30分)
1、(1)设，，是区间[-1，1]上权函数为的最高项系数为1的正交多项式组，其中，，求。
(2)利用，，求函数在[-1，1]上的二次最佳平方逼近多项式。
2、已知求解方程组Ax = b的分量迭代格式：，
，，，；，，，
(1)试求出矩阵格式及迭代矩阵。
(2)证明当A为严格对角占优矩阵，时，该迭代格式收敛。
研究生数值分析复习题
11级研究生数值分析习题第一章 误差及相关问题内容及纲目：1） 舍入误差和截断误差2） 绝对误差和相对误差3） 误差的传播和计算函数值4） 算法的数值稳定性5） 计算中需要注意的问题1. 用x 近似,sin x 即,sin x x ≈δδ],,0[∈x 最大为多少时，该近似计算的截断误差不超过10－7. 2. 设,0>x x 的相对误差为δ，求x ln 的绝对误差。
2.0.1%，应取几位有效数字？解：知识点：有效数字和相对误差间的关系。
4，设近视数*x 有n 位有效数字，所以有： *11|()|1024n r e x -≤⨯⨯，令：11100.1%24n -⨯≤⨯，解得： 3.097,n ≥所以有4位有效数字。
第二章 函数插值内容及纲目：1） 插值多项式的存在性与唯一性2） 插值多项式的构造方法（lagrange 插值，Newton 插值，等距节点的插值）3） 带导数的插值函数构造，Hermite 插值，误差估计和构造方法4） 差分和差商的定义、性质和联系5） 三次样条插值公式及误差估计1. ]2,,2,2,2,[]2,,2,2,2,[,13)(72162147 x f x f x x x x f 和求+++=。
2. 已知12144,11121,10100===，分别用线性插值和抛物插值法，求115的近似值。
3. （分三次Hermite 插值）,仅给定10,x x 和相应的函数值10,y y 及其微商10,m m ,构造插值函数)(x H ,)(x H 满足条件：1.)(x H 是不超过三次的多项式；2. ,)(,)(1100y x H y x H ==1100)(,)(m x H m x H ='='。
4. 构造 不超过3次的插值多项式，使其满足：.3)1(;0)2(,2)1(,1)0(='===f f f f5. 设f(x) ∈C 2[a,b],且)(a f = )(b f =0,求证：b x a x f ≤≤|)(|max )(81a b -≤ 2 bx a x f ≤≤|)(''|max 。
数值分析试题集
（试卷一）一（ 10分）已知x-i 1.3409，x 2 1.0125都是由四舍五入产生的近似值， 判断捲x 2及x-i x 2有几位有效数字。
二（1值多项式三（15分）设f （x ） C 4［a,b ］，H （x ）是满足下列条件的三次多项式 求f （x ） H （x ），并证明之。
（试卷二）一 填空（4*2分）21 { k （x ） } k 0是区间［0，1］上的权函数为 （X ） X 的最高项系数为1的正交多项式族，其中1(x) 1，贝U x 0(x)dx ----------------- ,1(x) -------------------------21 JiII II2 A■ ■，则 A ----------,(A)---------------------- 。
1 4a 1 23设A1 4，当a满足条件------------ 时，A 可作LU 分解。
Q***4设非线性方程f （x ） （x 3x 3x 1）（x 3） 0,其根X 13，x ? 1，则求为的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是 -------------------- 。
数值分析试题集四（15分）计算1®，10五（15分）在［0，2］上取x 0 0 , x 1 1 , X 2 2，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。
六（10分）证明改进的尢拉法的精度是 2阶的。
七（ 10分）对模型y y ,0 ,讨论改进的尢拉法的稳定性。
八（15分）求方程x 3 4x 2 7x 1在-1.2附近的近似值,1010.5 二（ 8分）方程组AX=b ，其中A 0.52 a0.51试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的 收敛最快？2选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯y f （x y ）三（9分）常微分方程初值问题的单步法公式为y n ,y n , 2hf （x n , y n ），求该y 。
11级研究生试卷
2011级研究生随机过程期末试卷1(15分),X Y 两个随机变量均值函数和方差分别为,,,X Y X Y m m δδ,相关系数为ρ，设Z X tY =+,求()(),Z Z m t R t2、（15分）设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。
3、（15分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。
求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。
4、（15分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3.007.08.02.0007.03.0P（1）求两步转移概率矩阵)2(P 及当初始分布为0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P时，经两步转移后处于状态2的概率。
（2）求马尔可夫链的平稳分布。
5、（20分）设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010007.03.0000000100004.06.0003.04.03.0P 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。
6、（20分）已知下列平稳过程X 的相关函数为{}.X R τ（谱密度()X S ω），求X 的谱密度（相关函数{}.X R τ）：（1）{}()()4cos 3X R e cos ττπττ-=+ （2）()()651,15150,15X S ωδωωωω⎧⎛⎫+-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩（已知：()()()()11000cos ;12;f f f f ωτπδωωδωωπδω---++⎡⎤⎣⎦()()()()10222200cos 0.f a f a a e a a a τωτωωωω--+>-+++ ）。
武汉大学2011工程硕士数值分析考试复习题
武汉大学2011工程硕士数值分析考试复习题预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制1、设()0f x =有根，且'0(),m f x M x <≤≤-∞<<+∞，试证明由1()k k k x x f x λ+=-产生的序列{}k x 对任意的0x 和02M λ<<均收敛。
2、对3*(),0()x x x x x φφ=+=为的一个不动点，验证10()0k k x x x φ+=≠对不收敛，但改用steffen 方法却收敛。
3、设*x 是()0f x =的根，且()()'''*0,f x f x x ≠在领域上连续，试证明：Newton 迭代序列{}n x 满足''*12'*12()lim ()2()k k k k k x x f x x x f x -→∞---=-4、给定方程组的雅可比迭代矩阵为022101220J B =----??，试证明雅可比迭代收敛而高斯迭代不收敛。
5、设二阶方程组为12630321x x = ? ? ?-????，取(0)00x ??= （1）用最快速下降法迭代两次求近似解(2)x ；（2）用共轭梯度法迭代两次求近似解(2)x ；（3）与精确解进行比较分析。
6、设方程组AX=B 系数矩阵A 非奇异，条件数cond （A ），设A 有扰动A δ，且11A A δ-<，分析解的扰动X δ的相对变化XX δ。
7、设2()[,],()()0f x c a b f a f b ?==且，试证明：2''()max ()max ()8a xb a x b b a f x f x ≤≤≤≤-≤8、试证明两点三次Hermite 插值余项(4)2231()()()()4!k k f R x x x x x ξ+=--，并求此分段三次Hermite 插值的误差限。
西安石油大学研究生数值分析10 11年试题
一、填空题（每题2分，共20分） 1.近似数 x =0.231关于真值x=0.229有
位有效数字。 。
n
2.求方程 f ( x) 0 的根时，对应的牛顿切线法迭代公式为 3.设 l i ( x) （i=0,1,2,…,n）是n次拉格朗日插值基函数，则
4 0 x1 5 2 3 1 1 x 2 9 2 2 0 x 3 3
四、（12分）写出解线性方程组
4 x1 2 x3 4 x1 4 x 2 2 x3 1 的高斯—赛德尔迭代法的迭代格式，并判断其收敛性。 3 x 5 x x 2 2 3 1
l ( x) =
i 1 i
。
4.求解微分方程初值问题
y ' f ( x, y ) 时，设x节点步长为h，则欧拉预估— y ( x0 ) y 0
迭代法和
校正方法的局部截断误差为 。 5.若线性方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则 迭代法收敛。 6.差商与向前差分满足关系： 差商与向后差分满足关系： 7.用数值方法求积分 。 。
五、（12分）已知一组观察数据为 i 0 1 2 2 3 3 4
xi
1
yi
0
-5
-6
3
试用此组数据构造3次牛顿插值多项式 N 3 ( x) ，并计算 N 3 (1.5) 的值。 六、（12分）试确定经验公式 y ae 中的参数a和b（a为正数），使该函数曲线与下列数
bx
据按最小二乘原则相拟合（至少保留ห้องสมุดไป่ตู้位小数）。 1 2
xi
3 20