钉子板上的多边形

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图形编号 ①
多边形的面积/平方厘米
多边形边上的钉子数/枚
2
4 6
②
③ ④
3 3.5
4
7
8
分组研究二： 验证S=n÷2这个规律是否对钉子板上所有的多边形 都成立？ 1，完成研究单1上面的第二题的①②两个，并填表。 2，出示课件上③④两个图形，再次验证。通过两次 操作，发现S=n÷2在其它多边形中不成立。 3，观察①②③④四个图形，你有什么发现？得出： ①②③④四个多边形内部都只有一个点。 4，再次验证：每位学生再提供的备用点子图上画一 个内部只有一个点的多边形，计算并观察多边形的 面积和边上的钉子数是否符合S=n÷2？ 5，小结：多边形的面积不仅仅和边上的钉子数有关， 还和多边形内的钉子数有关。多边形内的钉子数用 a表示，上面的规律可以归纳为： 当a=1时，S=n÷2
的面积，与围成的多边形边上的钉子数、 多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用 字母式子表示关系。 2、使学生获得探索规律成功的体验，树立 学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙， 对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和 积极性。
【实验器材】:
塑料钉子板(点阵图)、橡皮筋、实验记 录表。
研究问题：
（1）钉子板上的多边形的面积和什么因素
（3）每人把获得的数据在小组内交流，并记录在表格中
（4）观察表格中的数据，小组交流：你有什么发现？
充实猜想
图形编号 ① 多边形的面积/平 多边形边上的 钉子数/枚（n） 方厘米（S） 6 10 5.5 9 4 3 5 8
② ③ ④
当a=2时，
S =n÷2+1
猜想：当a=3、4、5· · · · · · 时，S与n之间有什么关系呢？
S=n÷2+a-1
1㎝
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1㎝
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①
②
③
图形 编号
多边形内部的钉 多边形的面积/ 子数/枚 (a) 平方厘米 (s)
分组研究一： 完成“钉子板上的多边形”研究记录单1 1、学生通过算一算、数一数，完成研究单1； 2、师展示学生的研究单，说一说你的研究过程； 3、观察分析表格中的数据，你有什么发现？ 4、通常我们用S表示面积，n表示多边形边上的钉 子数，你能用一个式子表示上面得到的关系吗？ S=n÷2 小结：根据学生的研究和汇报，初步得出： 多边形的面积等于多边形边上的钉子数除以2.
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图形编号 ① ② ③ ④
多边形的面积/平 多边形边上的 钉子数/枚（n） 方厘米（S） 2 4 3 6 7 3.5 4 8
图形中间点的个数用a来表示
当a=1时，
S =n÷2
3，合作交流
要求：
（1）每4人一小组，每人画一个内部有2枚钉子的多边形 （2）数一数，算一算多边形的面积和它边上的钉子数
有关？ （2）我们怎样计算这种多边形的面积？
如果每个方格的面积为1，你知 道这匹红鬃烈马的面积吗？ 实验方法引导
一：创设情境，引出问题
出示一个钉子板实物，并用橡皮筋围了几个多边形。 师：看到这个，猜猜我们今天要研究什么？———— 钉子板上的多边形 师：为了研究的方便，我们通常用这样的点阵图代替 钉子板。每相邻两个钉子间的距离都是1cm，相邻4 个点围成一个面积是1cm² 出示课件：钉子板上的多边形，共8个不同的多边形。 师：你想研究钉子板上的多边形的哪些项目呢？ 师：你猜想下，钉子板上的多边形的面积会有什么因 素有关？
多边形边上的 钉子数/枚 (n) 10 7 9
①
② ③
3 3 3
7 5.5
6.5
当a=3时，
S =n÷2+2
如果多边形内有4枚、5枚„钉子，它 的面积与它边上的钉子数的关系会怎样变 化？如果多边形的内部没有钉子呢？ 请先在小组内说说自己的想法，再通 过围一围、算一算进行验证。
当a=1时，S=n÷2
进行验证
1㎝
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1㎝
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钉子板上的多边形
五年级数学 设计：罗石坚
设计目的：
本课是在学生学习了平面图形面积之后设计 的一节规律探索课。通过分组实验探究，不仅让 学生得出数学结论，更重要的是让学生经历规律 探索的一般过程与方法，积累数学活动经验，培 养学生善于发现的眼光，科学严谨的态度，归纳 概括的能力。
【探究目标】：
1、通过探索，发现钉子板上围成的多边形
分组研究四：
1、组内确定研究主题：a=3或者a=4. 2、组内每人分别画一个，并且得出S与n的值，并汇报小 组的研究成果。 3、观察比较分析，研究的结果和猜想的结论是否一致？ 4，小 结： 根据刚才同学们的研究，我们得到了哪些规 律 当a=1时，S=n÷2 当a=2时，S=n÷2+1 当a=3时，S=n÷2+2 当a=4时，S=n÷2+3 5，请你说一说当a=5时，S=· · · · · · 当a=10时，S=· · · · · · · 6，问题：你能用一个含有S、n、a的式子概括出以上所 有的规律吗？
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n=10 s =6
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n =9 s=5.5
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n =9 s=6.5
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n =8 s =7
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比较发现
1㎝ 1㎝
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当a=2时，S=n÷2+1 当a=3时，S=n÷2+2 …… 你能用一个式子，表示出s与n之 间的关系吗？ 当a=x时，S=n÷2+(x-1)
五，反思：
钉子板上的多边形实物图形，内部的钉 子数为0.
当a=0时，上面的规律还成立吗？
你是怎么想的？说一说你的想法和结论。
课堂小结：
我们今天研究的规律，就是数学上著名 的皮克定理。在研究的过程中，我们从简单 情形入手，通过画一画、数一数、算一算等 方法，经历观察、比较、猜想、验证等活动， 发现了规律。 在探索规律时，一定要注意认真观察、 反复比较，举例验证。表示数学规律一般用 含有字母的式子，它具有简洁、明了、易记 的特点。