5-8 电场强度与电势梯度
电场强度与梯度
p Ep = −eV = − 4π ε 0 r 2
e = 1.60 ×10−19 C
e
o
H H
r p A
1.60 ×10−19 6.2 ×10−30 = 3.57 ×10−20 J Ep = 4π × 8.85 ×10−12 (5 ×10−10 ) 2
与气体分子热运动能量比较
Ep 3.57 ×10−20 = K = 2.59 ×103 K T= k 1.38 × 10−23
y q 解 QV = 4πε 0 ( x 2 + R 2 )1 2 r R q E = −∇V o ∂V ∴ E = Ex = − z ∂x ∂ 1 q =− 2 2 12 ∂x 4πε 0 ( x + R )
r
θ
P
x
x
qx = 4πε 0 ( x 2 + R 2 )3 2
1
的电势和电场强度。 例2 求电偶极子电场中任意一点V的电势和电场强度。 解 V = +
Q r0 << r ∴ r− − r+ ≈ r0 cos θ
q 4π ε 0 r+ 1 q V− = − 4π ε 0 r− V = V+ + V− q r− − r+ = 4π ε 0 r+ r− 1
y
r−
θ
A
r+ r
−q o r +q x
θ=
π
2
r0
V =0
写成： 用A点的坐标x,y写成：
x V= 4π ε 0 ( x 2 + y 2 )3 / 2
p
y
r−
θ
A
∂V p y2 − 2x2 Ex = − =− ∂x 4π ε 0 ( x 2 + y 2 )5 / 2
电势梯度和电场强度的关系
电势梯度和电场强度的关系
电势梯度和电场强度是电学中两个非常重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
电势梯度是指电势在空间中的变化率，而电场强度则是指单位电荷在电场中所受到的力的大小。
在电学中，电势梯度和电场强度的关系是非常紧密的，它们之间的关系可以用以下公式来表示：
E = -∇V
其中，E表示电场强度，V表示电势，∇表示梯度运算符。
这个公式告诉我们，电场强度的大小与电势梯度的大小成反比。
也就是说，当电势梯度越大时，电场强度就越小；反之，当电势梯度越小时，电场强度就越大。
这个公式的意义可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个电荷为Q的点电荷，它在空间中产生了一个电势场。
如果我们想知道在某一点P处的电场强度，我们可以通过以下步骤来计算：
1. 首先，我们需要计算出点P处的电势V。
2. 然后，我们需要计算出点P处的电势梯度∇V。
3. 最后，我们可以通过公式E = -∇V来计算出点P处的电场强度E。
这个例子告诉我们，电势梯度和电场强度之间的关系是非常密切的。
在电学中，我们经常使用这个公式来计算电场强度，从而更好地理解电场的性质和行为。
电势梯度和电场强度是电学中两个非常重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
电场强度的大小与电势梯度的大小成反比，这个关系可以用公式E = -∇V来表示。
在电学中，我们可以通过这个公式来计算电场强度，从而更好地理解电场的性质和行为。
电势梯度表达式
电势梯度表达式
（原创版）
目录
1.电势梯度的定义
2.电势梯度的表达式推导
3.电势梯度的物理意义
4.电势梯度在电场中的应用
正文
电势梯度是指单位长度上电势的差值，是描述电场强度的物理量。
电势梯度通常用字母V 表示，也可以用符号▽V 表示。
电势梯度的定义可以追溯到电势的概念，电势是描述电场作用的物理量，它等于单位正电荷在电场中所具有的能量。
电势梯度的表达式可以通过电势的定义和电场的基本公式推导得出。
根据电势的定义，电势梯度可以表示为电势的负梯度。
电势梯度的表达式可以写为V = -dV/dr，其中dV表示电势的微小变化，dr表示距离的微小变化。
这个表达式表示，电势梯度是电势在距离上的变化率。
电势梯度在电场中有着重要的物理意义。
首先，电势梯度表示了单位电荷在电场中所受到的力的大小和方向。
其次，电势梯度可以用来描述电场的强度和方向，因为电势梯度的方向和大小与电场的方向和大小相同。
最后，电势梯度可以用来计算电势的变化，因为电势的变化等于电势梯度与距离的乘积。
电势梯度在电场中有着广泛的应用。
例如，它可以用来计算电势的差值，从而确定电荷的位置和电势能的大小。
另外，电势梯度还可以用来计算电场的强度和方向，从而确定电荷在电场中的运动轨迹。
第1页共1页。
电场强度与电势梯度的关系
电场强度与电势梯度的关系
电场与电势是相互关联的，电势是电场的线积分，电场是电势的变化梯度，即电势的求导，电势变化越快的地方电场越强，有一个特殊的地方，电势零点可以任意选取，电场不为零的地方电势可以为零，电势为零的地方电场可以不为零电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
1、电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
2、场强与电势的关系：场强和电势无因果关系。
场强的方向是电势降落最快的方向，场强大小标志着沿电场线方向电势降落的快慢，场强数值和电势数值无因果关系。
3、电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
4．场强与电势的关系：场强和电势无因果关系。
场强的方向是电势降落最快的方向，场强大小标志着沿电场线方向电势降落的快慢，场强数值和电势数值无因果关系。
电场线假设与等势面不垂直，那么沿等势面就有分量，这样电荷在沿等势面移动时电场力就可做功，故假设不正确。
因此，电场线应与等势面垂直。
电场线越密处，电荷所受电场力大，移动相同距离电场力做功多也可能是克服电场力做功多，故在此处沿电场线方向移动相同距离比疏处电势差大。
那么相邻等势面差值一样时，电场线越密处等势面也越密。
8.5电场强度与电势梯度的关系
E
ds
等势面——规定、性质、梯度
gradU
U n
n
三、 q、E、U 三者关系网
1、 q E
E
1
4 0
dq r3
r
sE
ds
1
0
vdv
2、 q U
U
1
4 0
dq r
U LE dl
3 E U
U LE dl
势面2，电场力做功
dA qE dl
qEdl cos
en
1
2
P1
en P2
P3
qEdn
V V+dV
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电场力做功等于电势能的减少量 dA q dU
E dU dn
场强也与等势面垂直，但指向电势降低的方向。
E Een 写成矢量形式
E
第一章 真空中静电场小结
一、理论体系：
出发点
：叠 库加 仑原 定理 律
高斯定理 环路定理
电场为有源场 电场是有势场
二、内容：
1、一个定律 ： 2、两个定理 ：
F
q1q2
4 0
r r3
E
ds
1
dv
s
0 v
l E dl 0
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则 dn dl cos
dU dU cos
dl dn
2
P1
en P2
P3
U U+dU
上页 下页 返回 退出
定义电势梯度
电场强度与电势梯度关系的简单推导方法
） （ 器 Ｉ ； ｖ － — ｒ 【 ） ＝ 一 Ｅ ，
收稿 日期 ： ２ ０ １ ２—０ ９ —０ ６
基金项 目： 国家 自然科学基金专项基金项 目（ １ １ ０ ４ ７ ０ １ ９ ） ； 安徽省 自然科学基金项 目（ １ １ ０ ４ ０ ６ ０ ６ Ｍ１ ５ ） ． 作者简 介： 黄时 中（ １ ９ ５ ７ 一） ， 男， 安徽宿松人 ， 教授 ， 博士 ， 主要从事大学物理和理论物理方面的教学与研究工作 ． 引用格式 ： 黄时 中， 张丹丹 ． 电场强度与电势梯度关系的简单推导方法 ［ Ｊ ］ ． 安徽师范大学学报 ： 自然科学 版， ２ ０ １ ３ ， ３ ６ （ ２ ） ： １ ２ ３ —１ ２ ４
强度 分别 为
＝ ＝
图 １ 单 个 点 电荷 情 形
４ 丌 Ｅ ０ √（ ｚ—Ｉ ｚ ｉ ） ２ ＋（ —ｙ ｉ ） ２ ＋（ ｚ一 ） ２ ’
和
置 ＝
其 中
Ｅ 妇 ＝
＝Ｅ ＋Ｅ ＋ Ｅ ，
（ ２ ）
， Ｅ ＝
， Ｅ 娩 ＝
（ ３ ）
由如下 简单 的微分 运算
疑惑 、 有似懂 非懂 的感 觉 ． 本文 以 电势叠 加原 理和场 强叠加 原 理 为基础 ， 给 出严格 推 导 电场强 度 与 电势 梯度
关系 的一种 非 常 简 单 的方 法 ． 这 种 简 单 的推 导 过 程 可 以
方便 地在 大学物 理学 课程 中进 行讲 授 【 ０ ， ． 众 所周 知 ， 对于 给定 的 电荷分 布 ， 电场 中任一 点 Ｐ 的 电势 与场 中的电场 强度之 间的关 系为 积分关 系 ， 即
（ ４ ｃ ） ）
直接得到 置 与 之间的微分关系
电势梯度和电场强度的关系
电势梯度和电场强度的关系电势梯度与电场强度是电学中两个重要的概念，它们之间存在着密切的联系和相互依赖关系。
本文将从电势梯度和电场强度的定义、计算方法以及它们之间的关系等方面展开阐述。
我们来了解一下电势梯度和电场强度的定义。
电势梯度是指电势在空间中变化的快慢程度，表示为电势的变化率。
电场强度是指单位正电荷所受的力的大小和方向，表示为电场力的大小。
电势梯度的计算方法是通过对电势函数沿着某一方向求偏导数，即电势梯度等于电势函数在某一方向上的偏导数。
电场强度的计算方法是通过库仑定律得到的，即电场强度等于单位正电荷所受力的大小。
接下来，我们来探讨电势梯度和电场强度之间的关系。
根据定义可知，电场强度是电势梯度的负梯度，即电场强度与电势梯度具有相反的方向。
这是因为电势梯度表示电势的变化率，而电场强度表示单位正电荷所受的力的大小和方向，二者之间存在着直接的关系。
进一步地，我们可以通过电势梯度和电场强度的性质来理解它们之间的关系。
首先，电势梯度的方向指向电势变化率最快的方向，而电场强度的方向指向力的作用方向。
由于力的方向是电势下降最快的方向，所以电势梯度的方向与电场强度的方向相反。
电势梯度的大小与电场强度的大小成正比。
根据电势梯度的定义可知，电势梯度的大小等于电势函数在某一方向上的偏导数。
而根据电场强度的定义可知，电场强度的大小等于单位正电荷所受力的大小。
由于电场力与电势梯度具有相反的方向，所以电场强度的大小与电势梯度的大小成正比。
我们可以通过具体的例子来进一步说明电势梯度和电场强度之间的关系。
假设有一个点电荷位于原点，我们要计算该点电荷在距离原点某一点的电场强度。
首先，我们可以通过库仑定律计算出该点电荷在距离原点某一点的电势。
然后，我们可以通过计算电势在该点的梯度得到该点电荷在该点的电场强度。
根据电势梯度和电场强度的关系可知，电场强度的大小与电势梯度的大小成正比，方向与电势梯度的方向相反。
电势梯度和电场强度之间存在着密切的关系。
电势与电场强度的关系
P. 7 / 16 .
当θ＝0 时，即沿等势面的法向方
向 V 的空间变化率的取最大值：
E
( dV ) max dl
dV E cos 0 dn
定义：电势梯度
E cos dV
dl
即： E 沿 dl 方向的分量等于V
沿该方向的空间变化率的负值 !
E
V dV
V
ˆ n a
b dl
Chapter 5. 静电场
§5.8 电势与电场强度的关系 作者：杨茂田
P. 8 / 16 .
当θ＝0 时，即沿等势面的法向方
向 V 的空间变化率的取最大值：
E
( dV ) max dl
dV E cos 0 dn
定义：电势梯度
ˆ V dV n dn ☻ n为等势面的法向单位矢量。 ˆ
☻梯度 V 为矢量，指向电势
升高的方向。
E
V dV
V
ˆ n a
b dl
Chapter 5. 静电场
§5.8 电势与电场强度的关系 作者：杨茂田
P. 9 / 16 .
E V
ˆ V V ˆ V ˆ V k i j x y z
E
说明
E
V dV
b a
Chapter 5. 静电场
§5.8 电势与电场强度的关系 作者：杨茂田
P. 6 / 16 .
E
E cos dV
dl
即： E 沿 dl 方向的分量等于V
沿该方向的空间变化率的负值 !
E
V dV
V
ˆ n a
b dl
Chapter 5. 静电场
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用等势面的疏密表示电场的强弱. 任意两相邻等势面间的电势差相等. 等势面越密的地方，电场强度越大.
点电荷的电场线与等势面
-
第五章 静电场
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
物理学 第六版
5-8 电场强度和电势梯度 两平行带电平板的电场线和等势面
+ + + + + + + + + + + +
一对等量异号点电荷的电场线和等势面
-
+
第五章 静电场
3
物理学 第六版
5-8 电场强度和电势梯度
二
V E l
电场强度与电势梯度
V
El cos θ
V V
E cosθ El
V El l V dV El lim l 0 l dl
El
l
B
A
E
II
I
第五章 静电场
4
物理学 第六版
物理学 第六版
5-8 电场强度和电势梯度
一
等势面
电场中电势相等的点所构成的面. 电荷沿等势面移动时，电场力做功为零.
WAB q(VA VB )
b a
qE dl 0
E dl
某点的电场强度与通过该点的等势面垂直.
第五章 静电场
1
物理学 第六版
5-8 电场强度和电势梯度
5-8 电场强度和电势梯度
dV El dl
电场中某一点 的电场强度沿任一 方向的分量，等于 这一点的电势沿该 方向单位长度上电 势变化率的负值.
V
V V
El
l
B
A
E
II
I
第五章 静电场
5
物理学 第六版
5-8 电场强度和电势梯度
dV El dl
dl dln
dV En dl n
2p 1 E 3 4 πε0 x p 1 E 3 4πε0 y
-
A
r
r
r
+
r0
x
12
第五章 静电场
物理学 第六版
本章目录
选择进入下一节：
5-0 教学基本要求
5-1 电荷量子化 电荷守恒定律 5-2 库仑定律 5-3 电场强度 5-4 电场强度通量
*5-5
高斯定理
密立根测定电子电荷的实验
-
r0
x
9
第五章 静电场
物理学 第六版
5-8 电场强度和电势梯度
r0 r r r r0 cosθ q r r V V V 4πε0 r r q r0 cosθ 1 p cosθ 2 2 4πε0 r 4πε0 r
θ0 θπ
π θ 2
求电场强度的三种方法
利用电场强度叠加原理
利用高斯定理
利用电势与电场强度的关系
第五章 静电场
7
物理学 第六版
5-8 电场强度和电势梯度
例1 用电场强度与电势的关系，求均匀 带电细圆环轴线上一点的电场强度. 解
V E Ex x q 2 2 12 x 4 πε0 ( x R ) qx 4πε0 ( x 2 R 2 )3 2
En El
V
V V
dV E en dln
dV 大小 E dl n
dl
en dl n
E
低 电 势
高 电 势
方向 由高电势处指向低电势处
第五章 静电场
6
物理学 第六版
5-8 电场强度和电势梯度
电场强度等于电势梯度的负值
V V V E （ i j k ) gradV V x y z
q V 4πε0 ( x 2 R 2 )1 2
R
o
x
P
x
8
第五章 静电场
物理学 第六版
5-8 电场强度和电势梯度
例2 求电偶极子电场中任意一点A的电势 和电场强度. 1 q y A V 解 4πε0 r
1 q V 4πε0 r
r
r
r
+
q r r V V V 4πε0 r r
第五章 静电场
13
y
A
r
r
r
+
E E E
2 x
p (4 x y ) 4πε0 ( x 2 y 2 ) 2
2 y 2
2 1/ 2
-
r0
x
11
第五章 静电场
物理学 第六版
5-8 电场强度和电势梯度
p (4 x 2 y 2 )1/ 2 E 4πε0 ( x 2 y 2 ) 2
y
y0
x0
1 p V 2 4 πε0 r 1 p V 4πε0 r 2
r r r 2
y
A
r
r
r
+
-
V 0
第五章 静电场
r0
x
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物理学 第六版
5-8 电场强度和电势梯度
1 p cos θ p x V 2 4πε0 r 4πε0 ( x 2 y 2 )3 / 2
2 2 V p y 2 x Ex 2 2 5/ 2 x 4πε0 ( x y ) p 3xy V Ey y 4πε0 ( x 2 y 2 )5 / 2