山东省沂水县高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.3 直线与平面平行的性质学案(含
高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点
第二章点、直线、平面之间的地点关系空间点、直线、平面之间的地点关系一、平面1、平面及其表示2、平面的基天性质①公义 1：A lB llAB②公义 2：不共线的三点确立一个平面③公义 3：Pl 则 P lP二、点与面、直线地点关系1、 A1、点与平面有 2 种地点关系2、 B2、点与直线有1、 A l2 种地点关系l2、 B三、空间中直线与直线之间的地点关系1、异面直线2、直线与直线的地点关系订交共面平行异面3、公义 4 和定理公义 4：l1 Pl3l1 Pl 2l 2 Pl3定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
4、求异面直线所成角的步骤：① 作：作平行线获得订交直线；② 证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角；③ 结构三角形求出该角。
提示： 1、作平行线常有方法有：直接平移，中位线，平行四边形。
2、异面直线所的角的范围是000 ,90。
四、空间中直线与平面之间的地点关系地点关系直线 a在平面内直线 a与平面订交直线 a与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a a IA a P图形表示五、空间中平面与平面之间的地点关系地点关系两个平面平行两个平面订交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示P I a图形表示直线、平面平行的判断及其性质一、线面平行1、判断：ba b Pb Pa（线线平行，则线面平行）2、性质：a Pa a Pbb（线面平行，则线线平行）二、面面平行1、判断：aba b P Pa Pb P（线面平行，则面面平行）2、性质 1：PI a a PbI b（面面平行，则线面平行）性质 2：Pm Pm（面面平行，则线面平行）说明（ 1）判断直线与平面平行的方法：① 利用定义：证明直线与平面无公共点。
② 利用判断定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。
③ 利用面面平行的性质：两个平面平行，则此中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（2）证明面面平行的常用方法①利用面面平行的定义：此法一般与反证法联合。
山东省沂水县高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.2 平面与平面平行的判定学案(含
2．2.2 平面与平面平行的判定学习目标 1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理；2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．知识点平面与平面平行的判定定理思考1 三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案不一定．思考2 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案平行．思考3 如图，平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行？这两个平面平行吗？答案无数条，不平行．类型一面面平行的判定定理例1 下列四个命题：(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；(2)若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；(3)平行于同一直线的两个平面平行；(4)两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；其中正确的个数是______________．答案0反思与感悟在判定两平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．跟踪训练1 设直线l, m,平面α，β，下列条件能得出α∥β的有( )①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④ l∩m＝P, l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β.A．1个B．2个C．3个D．0个答案 A解析①错误，因为l, m不一定相交；②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；④正确．类型二平面与平面的判定定理的应用例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：平面EFG∥平面BDD1B1.证明如图，连接SD，SB，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，同理，EG∥平面BDD1B1.又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.反思与感悟判定两个平面平行，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q 是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，易证四边形PQBA是平行四边形，∴QB∥PA.又∵AP⊂平面APO，QB⊄平面APO.∴QB∥平面APO.∵P、O分别为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.同理可得D1B∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.1．平面α与平面β平行的条件可以是( )A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D．α内的两条相交直线分别与β平行答案 D解析若两个平面α、β相交，设交线是l，则有α内的直线m与l平行，得到m与平面β平行，从而可得A是不正确的，而B中两条直线可能是平行于交线l的直线，也不能判定α与β平行，C 中的无数条直线也可能是一组平行于交线l的直线，因此也不能判定α与β平行．由平面与平面平行的判定定理可得D项是正确的．2．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．其中正确的命题是( )A．①② B．②④ C．①③ D．②③答案 B解析①中的两条直线有可能平行，相交或异面，故①不正确；②正确；③中一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行，故③不正确，④正确．3.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC 的位置关系是________．答案平行解析在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为DD1中点．能否同时D1，B两点作平面α，使面α∥面PAC？证明你的结论．解能作出满足条件的平面α，其作法如下：如图，连接BD1，取AA1中点M，连D1M，则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α.证明如下：连接BD交AC于O，连接PO，则PO∥D1B，故D1B∥平面PAC.又因为M为AA1中点，故D1M∥PA，从而D1M∥平面PAC.又因为D1M∩D1B＝D1，D1M⊂α，D1B⊂α，所以α∥面PAC.证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．一、选择题1．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列正确的是( )A．平面ABCD∥平面ABB′A′B．平面ABCD∥平面ADD′A′C．平面ABCD∥平面CDD′C′D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′答案 D2．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．不确定答案 B解析因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β.又因l∥α，m∥α，l∩m＝P，∴β∥α.3．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析设m∩n＝P，记m与n确定的平面为γ.由题意知：γ∥α，γ∥β，则α∥β.故①正确．②、③均错误．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，E、F分别是A1B1、C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是( )A．面ABB1A1B．面BCC1B1C．面BCFE D．面DCC1D1答案 C解析AB、DC的中点分别为E1和F1，OM扫过的平面即为面A1E1F1D1.(如图)故面A1E1F1D1∥面BCFE.5．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( ) A．平行B．相交C．平行或相交D．可能重合答案 C解析若三点分布于平面β的同侧则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．6．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②平面PAD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面PAD∥平面PAB.其中正确的有( )A．①③ B．①④C．①②③ D．②③答案 C解析把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB.同理平面PAD∥BC.二、填空题7．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是________．答案相交或平行解析b、c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．8．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”)．答案平行解析假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β. 9．已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．答案平行解析在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ∩β＝l，则l⊂β，∵a∥β，∴a与l无公共点，∴a∥l，∴l∥α.又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.10．经过平面α外两点，作与平面α平行的平面，则这样的平面可以作________个．答案0或1解析过平面外两点的直线若与平面α相交，则过这两点与平面α平行的平面不存在，过这两点的直线若与平面α平行，平面可以作出一个而且仅有一个．三、解答题11.如图，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△A BD，△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ACD.(1)证明如图，连接BM，BN，BG并延长，分别交AC，AD，CD于点P，F，H.因为M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，所以有BM MP ＝BN NF ＝BGGH＝2.连接PF ，FH ，PH ， 则有MN ∥PF ，NG ∥FH .因为MN ∥PF ，MN ⊄平面ACD ，PF ⊂平面ACD ， 所以MN ∥平面ACD ，同理NG ∥平面ACD . 又MN ∩NG ＝N ，MN ⊂平面MNG ，NG ⊂平面MNG ， 所以平面MNG ∥平面ACD . (2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，所以MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，所以MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ，所以△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， 所以S △MNG ∶S △ACD ＝1∶9.12．如图所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面． (2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明 (1)因为G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， 所以GH 是△A 1B 1C 1的中位线， 所以GH ∥B 1C 1.又因为B 1C 1∥BC ，所以GH ∥BC ， 所以B ，C ，H ，G 四点共面． (2)因为E ，F 分别是AB ，AC 的中点， 所以EF ∥BC .因为EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， 所以EF ∥平面BCHG . 因为A 1G ∥EB ，A 1G ＝EB ， 所以四边形A 1EBG 是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，作出截面．解能．如图，取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1.∵A1N綊PC1綊MC，∴四边形A1MCN是平行四边形，又∵A1N∥PC1，A1N⊄平面PBC1，PC1⊂平面PBC1，∴A1N∥平面PBC1，同理A1M∥平面PBC1，又∵A1N∩A1M＝A1，A1N⊂平面A1MCN，A1M⊂平面A1MCN，∴平面A1MCN∥平面PBC1.∴平面A1MCN即为所求截面．因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．。
高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与
六、教学过程
（一）创设问题情景，引入新课
基于新课程的理念和本节课的教学目标，使学生体会到数学知识发生在现实背景只需按为此结合一道习题即回归了上节课直线与平面的判定也引出了本节课的内容，自然流畅，更让学生了解到本节课学习的必要性。
探索二：需要几条直线？需要什么样的直线？
思考：（1）上表面有一条直线与下表面平行，两平面平行吗？
（2）上表面有两条直线与下表面平行，两平面平行吗？
借助几何画板和长方体模型，很容易观察出问题（1）不能保证平行。
对于问题（2）分两种情况讨论（依据平面内两条直线的位置关系：平行和相交）
当两条直线平行时，如何？（观察模型有不成立的情况）
（1：根据同学们日常生活的观察，你们能举出平面与平面平行的具体事例吗？
生1：教室的天花板与地面给人平行的感觉。
生2：，前后两块黑板也是平行的，然后教师用多媒体动画演示。
思考2：两个平面满足什么条件时，就可以说它们是平行的？下面我们来探索结论。
[学情预设：此处的预设与生成应当是很自然的，但老师要预见到可能出现的情况]
四、教学策略选择与设计
本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出平面与平面平行的判定定理，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。
当两条直线相交时，如何？（多次操作，直观感知）
学生上黑板板演，其他同学下面做，
师生共同评价点明，对旧知识复习，又有深入，
高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.4平面与平面平
2018-2019学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.4 平面与平面平行的性质检测新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.4 平面与平面平行的性质检测新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
2.4 平面与平面平行的性质A级基础巩固一、选择题1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b,则a、b的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．不确定解析：两平行平面α，β被第三个平面γ所截，则交线a、b平行．答案:A2．已知l是过正方体ABCD。
A1B1C1D1的顶点A，B1，D1的平面与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论中错误的是（)A．D1B1∥l B．BD∥平面AD1B1C．l∥平面A1B1C1D1D．l⊥B1C1解析：因为正方体的上底面与下底面平行,由面面平行的性质定理可得选项A正确，再由线面平行的判定定理可得选项B、C正确．选项D错误，因为D1B1∥l，所以l与B1C1所成角是45°.答案：D3．五棱柱的底面为α和β,且A∈α,B∈α，C∈β,D∈β，且AD∥BC，则AB与CD的位置关系为（)A．平行B．相交C．异面D．无法判断解析：因为AD∥BC所以ABCD共面，由面面平行的性质定理知AB∥CD.答案：A4．P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC,α交线段PA,PB，PC于A′，B′,C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝（）A．2∶25 B．4∶25C．2∶5 D．4∶5解析：易知平面ABC∥平面A′B′C′，所以AC∥A′C′，BC∥B′C′,AB∥A′B′。
高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判定学案(含解析)新人
山东省沂水县高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.1 直线与平面垂直的判定学案（含解析）新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山东省沂水县高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.1 直线与平面垂直的判定学案（含解析）新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2．3.1 直线与平面垂直的判定学习目标 1.理解直线与平面垂直的定义;2.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用；3。
应用直线与平面垂直的判定定理解决问题．知识点一直线与平面垂直的定义思考1 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？答案不变，90°.定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l 与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？答案不一定．思考2 当折痕AD满足什么条件时,AD与桌面垂直?答案当AD⊥BD且AD⊥CD时,折痕AD与桌面垂直．文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α,b⊂α,a∩b＝P⇒l⊥α图形语言知识点三直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面α相交，但不和平面α垂直,图中直线PA斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO直线与平面所成的角定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠PAO规定：一条直线垂直于平面,它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°取值范围设直线与平面所成的角为θ,0°≤θ≤90°类型一直线和平面垂直的定义例1 下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直;⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．答案④⑤解析当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时,l与α不一定垂直,所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时,l 可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面,所以⑤正确．故填④⑤。
高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.1-2.2.2 直线、平面平行的判定课件 新
1．直线与平面平行的判定定理 文字 _平__面__外__一条直线与_此__平__面__内__的一条直线_平__行__，则
语言
该直线与此平面平行
符号 语言
____a_⊄_α__，__b_⊂_α_且__a_∥__b_____⇒a∥α
图形
语言
2.平面与平面平行的判定定理 文字 一个平面内的_两__条__相__交__直__线___与另一个平面平 语言 行，则这两个平面平行 符号 __a_⊂_β_，__b_⊂__β_，__a_∩_b_＝__P__，__a_∥__α_，__b_∥__α__________
连接 DE，同理，EB1 BD， 所以四边形 EDBB1 为平行四边形，则 ED B1B. 因为 B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)， 所以 ED A1A，则四边形 EDAA1 为平行四边形， 所以 A1E∥AD，又 A1E ⊄平面 ADC1，AD⊂平面 ADC1， 所以 A1E∥平面 ADC1. 由 A1E∥平面 ADC1，EB∥平面 ADC1， A1E⊂平面 A1EB，EB⊂平面 A1EB， 且 A1E∩EB＝E，所以平面 A1EB∥平面 ADC1.
[解] (1)由题意可知 OM 是△BPD 的中位线，所以 OM∥PD， ①正确；由线面平行的判定定理可知②③都正确．OM 与平面 PBA 及平面 PCB 都相交，故④⑤不正确．故填①②③.
(2)证明：如图所示，取 AB 的中点 G，连接 FG，CG， 因为 F，G 分别是 BE，AB 的中点， 所以 FG∥AE，FG＝12AE. 又因为 AE＝2a，CD＝a， 所以 CD＝12AE.又 AE∥CD，所以 CD∥FG，CD＝FG， 所以四边形 CDFG 为平行四边形， 所以 DF∥CG.又 CG⊂平面 ABC，DF⊄ 平面 ABC， 所以 DF∥平面 ABC.
山东省沂水县高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面学案(含解析)新人教A版必修2
2．1.1 平面学习目标 1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系；2.掌握有关平面的三个公理；3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系．知识点一平面思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？答案没有．平行四边形．1．平面的概念(1)平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．(2)立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的．如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象．2．平面的画法3.(1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.知识点二点、直线、平面之间的关系思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？答案点和直线，平面的位置关系可用数字符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示．点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达知识点三 平面的基本性质思考1 直线l 与平面α有且仅有一个公共点P .直线l 是否在平面α内？有两个公共点呢？ 答案 前者不在，后者在．思考2 观察下图，你能得出什么结论？答案 不共线的三点可以确定一个平面．思考3 观察正方体ABCD A 1B 1C 1D 1(如图所示)，平面ABCD 与平面BCC 1B 1有且只有两个公共点A 、B 吗？答案 不是，平面ABCD 与平面BCC 1B 1相交于直线BC .类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．解 在(1)中，α∩β＝l ，a ∩α＝A ，a ∩β＝B . 在(2)中，α∩β＝l ，a ⊂α，b ⊂β，a ∩l ＝P ，b ∩l ＝P .反思与感悟 借助集合中的符号来表示几何中点、线、面的关系就是几何中的符号语言，符号语言的运用简洁明了地表达了几何中的各元素的关系，比文字语言更适合于几何关系的表示，因此，要逐步适应并掌握．跟踪训练1 若点M 在直线a 上，a 在平面α内，则M ，a ，α之间的关系可记为( ) A ．M ∈a ，a ∈α B ．M ∈a ，a ⊂α C ．M ⊂a ，a ⊂α D ．M ⊂a ，a ∈α答案 B解析 点与直线的关系为元素与集合的关系，能用“∈”，直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”．类型二 平面性质的应用例2 已知：如图所示，l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C .求证：直线l 1、l 2、l 3在同一平面内． 证明 方法一 (纳入平面法)∵l 1∩l 2＝A ，∴l 1和l 2确定一个平面α. ∵l 2∩l 3＝B ，∴B ∈l 2.又∵l 2⊂α，∴B ∈α.同理可证C ∈α. 又∵B ∈l 3，C ∈l 3，∴l 3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．反思与感悟证明点、线共面问题，一般先由部分点线确定一个平面，再证其他的点和线在所确定的平面内．跟踪训练2 已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．证明如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．例3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．方法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB ∩α＝P ，AC ∩α＝R ，∴平面APR ∩平面α＝PR . ∵B ∈平面APR ，C ∈平面APR ，∴BC ⊂平面APR . ∵Q ∈BC ，∴Q ∈平面APR ，又Q ∈α，∴Q ∈PR ， ∴P 、Q 、R 三点共线．反思与感悟 证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上．也可考虑为点P 、R 确定一条直线，Q 也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法．跟踪训练3 如图所示，在正方体A BCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：CE 、D 1F 、DA 三线交于一点．证明 如图，连接EF ，D 1C ，A 1B . ∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，∴EF 綊12A 1B .又∵A 1B 綊D 1C ，∴EF 綊12D 1C ，∴E ，F ，D 1，C 四点共面， ∴D 1F 与CE 相交于点P . 又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD .∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理3，可得P ∈DA ， 即CE 、D 1F 、DA 相交于一点.1．若A ∈平面α，B ∈平面α，C ∈直线AB ，则( ) A ．C ∈α B ．C ∉α C ．AB ⊄α D ．AB ∩α＝C答案 A解析 因为A ∈平面α，B ∈平面α，所以AB ⊂α.又因为C ∈直线AB ，所以C ∈α.2．下列说法正确的是( )A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面答案 D解析A选项中，三点若在同一直线上就不能确定一个平面；B中，这一点在直线上不能确定一个平面；空间四边形ABCD就不是平面图形，故C错.3．把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．(1)A∉α，a⊂α________.(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β________.(3)a⊄α，a∩α＝A________.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________.答案(1)C (2)D (3)A (4)B4．空间两两相交的三条直线可以确定的平面数是________．答案1或35.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．答案P∈直线DE解析因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.1．三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据；公理2——判定点共面、线共面的依据；公理3——判定点共线、线共点的依据．2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．3．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．4．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．一、选择题1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行答案 B解析两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面．2．下列命题中正确的是( )A．空间三点可以确定一个平面B．三角形一定是平面图形C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D．四条边都相等的四边形是平面图形答案 B解析共线的三点不能确定一个平面，故A错；两个平面有公共点，这两个平面可以是相交的，故C错；四边都相等的四边形可以是空间四边形．3.如图所示，用符号语言可表示为( )A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n答案 A解析很明显，α与β交于m，n在α内，m与n交于A，故选A.4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条答案 D解析当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．5．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是( )A．0 B．1C．1或4 D．无法确定答案 C解析空间不共线四点可以确定的平面个数可以是1或4，它取决于四个点的相互位置关系．6．空间中A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一平面内，B，D，C，E在同一平面内，那么这五点( )A．共面B．不一定共面C．不共面D．以上都不对答案 B解析本题容易错选A.认为A，B，C，D，E在B，C，D三点所确定的平面内，没有考虑B，C，D是否能确定一个平面．B，C，D三点可能共线．若A，E两点所在直线与B，C，D三点所在直线不平行且没有交点，则有A，B，C，D，E五点不共面．7.如图，平面α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ是( )A．直线ACB．直线BCC．直线CRD．以上都不对答案 C解析由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.二、填空题8．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确的个数是________．答案0解析命题①错，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一平面内；命题②错，若交于同一点时，可以不共面，如正方体同一顶点的三条棱．命题③错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上．命题④错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内．所以正确命题的个数为0.9．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．答案A∈m解析因为A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，又α∩β＝m，故A在α与β的交线m上．10．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是________(填序号)．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A；④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合．答案③解析∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A的写法错误．11．已知A∈α，B∉α，若A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________个公共点．答案 112.如图所示，A、B、C、D为不共面的四点，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上．(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在________上；(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在________上．答案(1)BD所在的直线．(2)AC所在的直线．解析由公理3易得．三、解答题13．已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面．证明(1)无三线共点情况，如图①.设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.因为a∩d＝M，所以a，d可确定一个平面α.因为N∈d，Q∈a，所以N∈α，Q∈α.所以NQ⊂α，即b⊂α.同理c⊂α，所以a，b，c，d共面．(2)有三线共点的情况，如图②.设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K∉a.因为K∉a，所以K和a确定一个平面，设为β.因为N∈a，a⊂β，所以N∈β，所以NK⊂β，即b ⊂β.同理c⊂β，d⊂β，所以a，b，c，d共面．由(1)(2)知a，b，c，d共面．14．在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA ＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．证明因为E，G分别为BC，AB的中点，所以GE∥AC.又因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，所以FH∥AC，从而FH∥GE.故E，F，H，G四点共面．所以四边形EFHG是一个梯形，设GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两个平面的交线上．而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上．这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点．。
高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点
高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点第二章点、直线、平面之间的位置关系一、平面及其表示平面是指在三维空间中的一个无限大的平面，可以用点和直线来表示。
平面的基本性质可以通过三条公理来描述：①公理1：如果一个点A在直线l上，另一个点B也在直线l上，且A在平面α上，那么B也在平面α上。
②公理2：如果三个不共线的点A、B、C确定一个平面α，那么这三个点必在平面α上。
③公理3：如果一个点P在平面α上，又在平面β上，那么P一定在它们的交线l上。
二、点与面、直线位置关系1、点与平面有两种位置关系：①点A在平面α上；②点B不在平面α上。
2、点与直线有两种位置关系：①点A在直线l上；②点B不在直线l上。
三、空间中直线与直线之间的位置关系1、异面直线是指不在同一平面内的两条直线。
2、直线与直线的位置关系包括相交、共面和平行三种情况。
3、公理4和定理：如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
四、空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系可以分为三种情况：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。
五、空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面的位置关系可以分为平行和相交两种情况。
其中，平行的两个平面没有公共点，而相交的两个平面有一条公共直线。
直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定方法有三种：利用定义、利用判定定理、利用面面平行的性质。
其中，面面平行的性质可以推导出直线与平面平行的性质。
证明面面平行的常用方法有以下几种：①利用面面平行的定义，一般与反证法结合使用；②利用判定定理；③证明两个平面垂直于同一个平面；④证明两个平面同时平行于第三个平面。
直线与平面垂直的判定方法如下：若直线l与平面α所成角α∈(0,90)，则PO⊥α，AO为___在平面α上的投影，故∠α为直线l与平面α所成角。
二面角α-l-β的平面角为∠___，其中BO⊥l，___。
线面垂直的判定方法如下：___⊥α，___α，且a∩b=A，则___⊥α。
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2．2.3 直线与平面平行的性质学习目标 1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行；2.结合具体问题体会化归与转化的数学思想．知识点直线与平面平行的性质思考1 如图，直线l∥平面α，直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？答案不一定，因为还可能是异面直线．思考2 如图，直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？答案无数个，a∥b.图形语言类型一线面平行的性质及应用例1 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．证明 因为AB ∥平面MNPQ ，平面ABC ∩平面MNPQ ＝MN ，且AB ⊂平面ABC ， 所以由线面平行的性质定理，知AB ∥MN . 同理AB ∥PQ ，所以MN ∥PQ .同理可得MQ ∥NP . 所以截面四边形MNPQ 是平行四边形．反思与感悟 利用线面平行的性质定理解题的步骤 (1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面．(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面． (3)确定交线．(4)由性质定理得出结论．跟踪训练1 如图，已知E ，F 分别是菱形ABCD 边BC ，CD 的中点，EF 与A C 交于点O ，点P 在平面ABCD 之外，M 是线段PA 上一动点，若PC ∥平面MEF ，试求PM ∶MA 的值．解 如图，连接BD 交AC 于点O 1，连接OM ， 因为PC ∥平面MEF ，平面PAC ∩平面MEF ＝OM ， 所以PC ∥OM ，所以PM PA ＝OC AC， 在菱形ABCD 中，因为E ，F 分别是边BC ，CD 的中点， 所以OC O 1C ＝12.又AO 1＝CO 1， 所以PM PA ＝OC AC ＝14，故PM ∶MA ＝1∶3.类型二 线面平行的性质与判定的综合应用 例2 已知，a ∥α，且a ∥β，α∩β＝l ， 求证：a ∥l .证明 如图，过a 作平面γ交α于b .因为a ∥α，所以a ∥b .过a 作平面ε交平面β于c . 因为a ∥β，所以a ∥c ，所以b ∥c . 又b ⊄β且c ⊂β， 所以b ∥β.又平面α过b 交β于l ，所以b ∥l . 因为a ∥b ，所以a ∥l .反思与感悟 判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下： 线线平行――――→在平面内作或找一直线线面平行――――――→经过直线作或找平面与平面的交线线线平行．跟踪训练2 如图所示，四面体ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形．求证：CD ∥平面EFGH . 证明 ∵截面EFGH 是矩形， ∴EF ∥GH .又GH ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD . ∴EF ∥平面BCD .而EF ⊂平面A CD ，平面ACD ∩平面BCD ＝CD ， ∴EF ∥CD .又EF ⊂平面EFGH ，CD ⊄平面EFGH ， ∴CD ∥平面EFGH .1．已知直线l ∥平面α，l ⊂平面β，α∩β＝m ，则直线l ，m 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．相交或异面 答案 B解析 由直线与平面平行的性质定理知l ∥m .2．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．0条或1条 D ．无数条答案 C解析 过直线a 与交点作平面β，设平面β与α交于直线b ，则a ∥b ，若所给n 条直线中有1条是与b 重合的，则此直线与直线a 平行，若没有与b 重合的，则与直线a 平行的直线有0条． 3.如图所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB ，AC 分别交平面α于点E ，F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，则EF ＝________.答案 32解析 由于点A 不在直线a 上，则直线a 和点A 确定一个平面β，所以α∩β＝EF . 因为a ∥平面α，a ⊂平面β，所以EF ∥a . 所以EF BC ＝AFAC.所以EF ＝AF ×BC AC ＝3×45＋3＝32. 4.如图，AB 是圆O 的直径 ，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，P 为平面ABC 外一点，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明．解析 直线l ∥平面PAC ， 证明如下：因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点， 所以EF ∥AC .又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ， 所以EF ∥l .因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以l∥平面PAC.1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．一、选择题1．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的关系为( )A．相交B．平行C．异面D．平行或异面答案 D解析a∥α，a与α无公共点，b⊂α，∴a与b无公共点，∴a与b平行或异面．2.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则GH与AB的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行和异面答案 A解析∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.3．若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是( )A．平行B．相交C ．异面D ．平行、相交或异面答案 D解析 画图可知两直线可平行、相交或异面，故选D.4．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为( ) A ．都平行B ．都相交且一定交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或都交于同一点 答案 D解析 分l ∥α和l 与α相交两种情况作答，对应的结果是都平行和都交于同一点．5.如图，四棱锥S ABCD 的所有的棱长都等于2，E 是SA 的中点，过C ，D ，E 三点的平面与SB 交于点F ，则四边形DEFC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 3C ．3＋2 3D ．2＋2 3答案 C解析 ∵CD ∥AB ，又CD ⊄平面SAB ， ∴CD ∥平面SAB ，又平面CDEF ∩平面SAB ＝EF ， ∴CD ∥EF ，又CD ∥AB ， ∴AB ∥EF ，∵SE ＝EA ， ∴EF 为△ABS 的中位线， ∴EF ＝12AB ＝1，又DE ＝CF ＝3，∴四边形DEFC 的周长为3＋2 3.6.如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，在下列命题中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMN C ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45° 答案 C解析 由PQ ∥AC ，QM ∥BD ，PQ ⊥QM 可知AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角，故D 正确；故C 是错误的，选C. 二、填空题7.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于______．答案2解析 由于在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2. 又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ， 平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ， ∴F 为DC 的中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.8.如图所示，A BCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.答案223a 解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ，∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3.9.如图所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.答案 m ∶n解析 ∵AC ∥平面EFGH ， ∴EF ∥AC ，GH ∥AC ， ∴EF ＝HG ＝m ·BEBA， 同理EH ＝FG ＝n ·AE AB.∵四边形EFGH 是菱形，∴m ·BE BA ＝n ·AE AB， ∴AE ∶EB ＝m ∶n .10.已知(如图)A ，B ，C ，D 四点不共面，且AB ∥α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 的形状是________．答案 平行四边形解析 ∵AB ∥α，平面ABC ∩α＝EG ，∴EG ∥AB .同理FH ∥AB ，∴EG ∥FH .又CD ∥α，平面BCD ∩α＝GH ，∴GH ∥CD .同理EF ∥CD .∴GH ∥EF .∴四边形EFHG 是平行四边形． 三、解答题11.如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l .(1)求证：BC ∥l ；(2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论． (1)证明 ∵BC ∥AD ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，∴BC ∥平面PAD .又∵平面PAD ∩平面PBC ＝l ，BC ⊂平面PBC ， ∴BC ∥l .(2)解 MN ∥平面PAD . 证明如下：如图所示，取PD 中点E . 连接EN 、AE .又∵N 为PC 中点，EN 綊12AB ，∴EN 綊AM ，∴四边形ENMA 为平行四边形，∴AE ∥MN . 又∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .12．如图，ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .证明 如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接MO ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，则有AP∥GH.13．如图所示，已知正三棱柱ABCA′B′C′中，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明．解点D为AA′的中点．证明如下：取BC的中点F，连接AF，EF，如图，设EF与BC′交于点O，易证A′E∥AF，A′E＝AF.易知A′，E，F，A共面于平面A′EFA，因为A′E∥平面DBC′，A′E⊂平面A′EFA，且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO，所以A′E∥DO.在平行四边形A′EFA中，因为O是EF的中点(因为EC′∥BF，且EC′＝BF)，所以点D为AA′的中点．。