(完整版)二元一次不定方程的通解
二元一次不定方程的解法总结与例题
探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。
我们讨论二元一次方程的整数解。
The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。
如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。
定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。
通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。
二元一次不定方程的解法及其应用
一次不定方程#
$&) 有整数解的条件
定理 $&$ 设 A!g4Bi%有一组整数解 !i!% "BiB% "且
( A"4) i8"A iA$ 8"4i4$ 8"则'$( 式的所有解可以表示成!
{!i!% j4$ " ( "i%"f$"f)"f("3) BiB% jA$ "
')(
定理 $&) 二元一次不定方程 A!g4Bi%有整数解的充
其中
.i)"("3"?#
C% i%"C$ i$"C.iE.C.j$ gC.j)
依次求出 D) "C) "D( "C( "3"D? "C? "即可得到'(( 式# )&( 降低系数法 逐步取整法
当方程的系 数 较 大 时" 以 较 小 的 系 数 作 除 数 辗 转 相
除"根据不定方 程 的 解 是 整 数 这 一 条 件" 把 所 求 不 定 方 程
则 A!g4Bi%与方程 A !g 4 Bi % 即 A !g4Bi ( A"4) ( A"4) ( A"4) 8 8
%同解"令 8
A
:8 iA$
"4:8 i4$ "%:8 i%$ "得
A$
!g4$ Bi%$ "此方
程中未 知 数 !和 B的 系 数 是 互 质 的" 所 以 只 需 求 出 A$ ! g4$ Bi$ 的一组整数解为 !i!% "BiB% "则 !i%$ !% "Bi%$ B% 为 方程 A$ !g4$ Bi%$ 的一组整数解"也即为 A!g4Bi%的一组 整数解#
二元一次不定方程整数解的两种常用解法
GAOJIAO 解的两种常用解法
◎迟文焕 （ 长春建筑学院，吉林 长春 130000）
【摘要】不定方程整数解问题由来已久． 公元 5 世纪，我 国数学家张丘 建 在《算 经 》中 记 载 的“百 鸡 问 题 ”就 是 不 定 方程整数解问题． 在本文中，我们介绍了二元一次不定方程 的三种解法———观察法和同余法，并给出相应例题，以便加 深对解题方法的理解．
解 取 模 4 可 得 原 方 程 等 价 于 同 余 式 7x ≡3x ≡0
（ mod4） ，此同余式的解为 x≡0 （ mod4） ，即 x = － 4t（ t = 0，
± 1，± 2，…） ，把 x = － 4t 代入原方程得 y = 25 + 7t（ t = 0，
± 1，± 2，…） ．
由题意可知
原方程有整数解．
又因为 4 | 100，所以可得到方程的一组特解 x0 = 0，y0 = 25，并且 a1 = 7 / （ 7，4） ，b1 = 4 / （ 7，4） ，由定理 1． 2 知原方程 的一切整数解可以表示为
x = － 4t，y = 25 + 7t，t = （ 0，± 1，± 2，…） ．
用同余法求解不定方程可以避免复杂的求特解过程．
【参考文献】 ［1］ Schmidt W M Diophantine Approximation and Diophantine Equations［M］． Berlin： Springer － Verlag，1991． ［2］乐茂华． Gelfond － Baker 方法在丢番图方程中的应 用［M］． 北京： 科学出版社，1998． ［3］柯召，孙琦． 数论讲义（ 下册） ： 第 2 版［M］． 北京： 高 等教育出版社，2003． ［4］Burn Ｒ P． A Pathway into Number Theory ［M］． Cambridge： Cambridge University Press，1982． ［5］曹珍富． 不定方程及应用［M］． 上海： 上海交通大学 出版社，2000．
多元一次不定方程的完整讲义和练习
二元 一次不定方程知识要点和基本方法1．当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数的一次不定方程2．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解 例1． 解方程83=-y x解：由原方程，易得y x 38+= 因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为⎩⎨⎧=+=k y kx 38 其中k 为任意数 整数解问题：例2． 求方程863=+y x 的整数解解：因为)2(363y x y x +⨯=+， 所以，不论x 与y 取何整数，总有,633y x +但3不能整除8，因此，不论x 与y 取何整数，y x 63+都不可能等于8，即原方程无整数解定理1：整系数方程c by ax =+有整数解的充分而且必要条件是a 与b 的最大公约数d 能整除c例3． 求方程34104=+y x 的整数解解：因为4与10的最大公约数为2，而34是2的倍数，由定理得，原方程有整数解。
两边约去2后，得,1752=+y x 故5217xy -=，因此，要使y 取得整数，1x 27-=15，3=y ，即我们找到方程的一组解,3,100==y x 设原方程的所有解的表达式为：⎩⎨⎧+=+=n y mx 31代入原方程，得05217)3(5)1(2=+⇒=+++n m n m （n m ,为整数）2与5互质，所以k k n k m (2,5-==为整数）由此得到原方程的所有解为⎩⎨⎧-=+=ky kx 2351（k 为任意整数）定理2。
若a 与b 的最大公约数为1（即a 与b 互质），00,y x 为二元一次整系数不定方程c by ax =+的一组整数解（也称为特解），则c by ax =+的所有解（也称通解）为⎩⎨⎧-=+=aky y bkx x 00其中k 为任意整数 但不定方程11051999=+y x 很难直接找到一组整数解 例4． 求方程1253=+y x 的整数解。
二元一方程式解法
二元一方程式解法
二元一次方程式是指含有两个未知数的方程式，其一般形式为ax + by = c，其中a、b和c为已知实数（a和b不能同时为零），x和y为未
知数。
解决二元一次方程的方法有以下几种：
1. 消元法：通过适当的代数运算使方程中的一个未知数与系数相对应
的项消失，然后求解另一个未知数。
可以通过将一个方程的倍数加到
另一个方程上，或者将一个方程的倍数与另一个方程相减，来实现消元。
最后得到一个只含有一个未知数的一元一次方程，从而求解该未
知数。
2. 代入法：从一个方程中解出一个未知数，并将其代入另一个方程，
从而得到一个只含有一个未知数的一元一次方程。
然后求解该未知数。
这种方法适用于一个方程中的系数与另一个方程中的系数相等或成比
例的情况。
3. 矩阵法：将方程组的系数写成矩阵形式，然后应用矩阵的运算进行
求解。
通过行变换将矩阵化简为最简形式，可以得到方程组的解。
无论采用哪种方法，最终都能求得方程组的解。
在实际问题中，我们
可以利用这些方法解决包含两个未知数的方程组，找到未知数的具体值，从而得到问题的解答。
第17讲二元一次不定方程的解法
第十七讲二元一次不定方程的解法我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组J K+ y + z = 100i+ 2;=180等，它们的解是不确定的•像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组.不定方程（组）是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富•我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理.近年来，不定方程的研究又有新的进展•学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能.我们先看一个例子.例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50.这是一个二元一次不定方程•从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组.但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解.因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1, 2，3，4支，即y的取值只能是0，1, 2, 3, 4这五个.若y = 则盟=斗，不是整数,不合题意；若y = 贝Ik二13,符合题意；若汗厶贝肛二孚，不是整数*不合题意；若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意.所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔.像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了.但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明.例求不定方程x-y=2的正整数解.解我们知道：3-1=2, 4-2=2, 5-3=2，,，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是ii + 2,其中n可以取一切自然数.因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的.上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦•那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理.定理如果a, b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解X。
二元一次不定方程的解法
后 的影响 ,有不良 的心理特 征和行为表 现 , 在 学习 , 思想
品德等方 面需要特殊 教育的一 类学生 , 这类学生 一般在班 上为数 不多 , 但 他们能量 不小 , 破 坏性很强 , 成为班 上的消 极因 素 .因 此 , 班 主任应特别 注意了解 后进生心理 上的特 殊矛盾 , 努力摸索 他们发展变化的过程 , 用心点燃他们的心 灵之火 , 给后进生 留一个 " 充氧 " 的空间 , 让他在集体的氛围 中自由地呼吸 , 看 到自己潜在的希望 , 并发出璀璨的光辉 . 后 进生不 是先 天注定 . 探究 后进 的原 因往 往多 种多 样: 有的受社会环境 的不良影响 , 认为 " 读书无用 " 知识贬 , " 值" 有的属于学校教育的偏差 , 使差生厌师拒学 , 自暴自 ;
�
� =2 5 +1 9 �
( � �� )
很 多数论问题 可以从经 验中归纳出 来 , 并 且能用 三言两语 向任何一个 路过的人 解释清楚 , 但是要 证明它们 却远非容易 , 这也 正是数论所特有的奇妙的魅力 , 使得它既 被专业数学家所重视 , 又被业余研究者所宠爱 , 甚至使有些 人象 吃了 忘忧果 似的 , 一次 吃了 这种 果实 , 就再 也离 不开 了. 数论对我们如此重要 , 那么 , 作为数论中一部分的不定 方程固然也很重要了 , 理所当然我们有必要学好它 , 本文介 绍的几种解二元一次不定方程的方法 , 各有其利弊 , 大家在 解题时要不断摸索经验 , 从中选择适当的方法来解 , 这样既 不费时又能较轻松地完成任务 .
用辗转相除法求特解 U0, J 0 . 由S 2 =2 T V1 +1 3 2 T =1 3 V2 +3 1 3 =3 VS +1 3 =1 V3 +0 逆推得 : 1=1 3 -3 VS =1 3 -( 2 T -1 3 V2 ) VS =1 3 VT -2 T VS =( S 2 -2 T V1 ) VT -2 T VS =S 2 VT -2 T V3 IS 2 VT -2 T V1 3 =1 两边乘以 5得 : S 2 VS 5 -2 T V6 5 =5 即: � 0 =S 5 � 0 =6 5 I 方程的一般解是 : =S 5 -2 T � � =6 5 -S 2 �W ) � � ( � 这就是用辗转相除法解二元一次不定方程 , 当然了 , 除 这种方法外 , 解二 元一次不定方程还有另外的方法 . 参数法 X , 这种方 法是解出系 数绝对值 较小的未知 数 , 将 其写成 几部分和的形式 , 然后引进参数 , 于是便又得到一个新的不 定方程 , 这时用观 察法便可得出新方程的特解 , 然后再用代 入法就 可得出原 方程的特解 , 进而 求出通解 . 下面 用例子 说明此种方法的解题过程 : 例: 求7 � +1 T � =2 1 3整数解 解: 从系数绝 对值较小的 �解之得 : 2 1 3 -1 T � 3 -5 � =3 0 -2 + Y � 7 7 -5 � 令3 =Z Z �� 7 于是得到新不定 程 7 Z +5 � =3 [ 这时用观察法便知 Z 是 程 [ 的特解 =-1 � =2 = � 将� =的 个数少于未 知量的个 数的
关于二元一次不定方程的整数解相关结论的推导
关于⼆元⼀次不定⽅程的整数解相关结论的推导整数解的通解公式推导⼆元⼀次不定⽅程的⼀般形式为：ax + by = c ①这⾥，a、b和c都是正整数，且满⾜(a,b) = 1由(a,b) = 1知，存在⼀对整数u和v，满⾜ au + bv = 1。
取m = cu，n = cv，则m, n这⼀对整数是⽅程①的⼀组特解，即有am + bn = c ②由①②，有a(x-m) = -b(y-n)(x-m)/b = -(y-n)/a := tx = m + bt, y = n - at ③由(a,b) = 1知，b | x-m，a | y-n，即⽅程①的任意⼀组整数解都有唯⼀对应的整数t，于是③便是①的所有整数解的通解公式，t可为任意整数。
易知这些整数解在平⾯直⾓坐标系中处在同⼀条直线（斜率为 -a/b）上。
实际上，通解公式③只要求a、b、c为整数且满⾜(a,b)=1即可。
⾮负整数解的相关结论推导考虑①的⾮负整数解，则③⾥的 t 需要满⾜：m + bt ≥ 0 和 n - at ≥ 0，即t ≥ -m/b = -[m/b] - {m/b} ④t ≤ n/a = [n/a] + {n/a} ⑤由于t为整数，⑤等价于 t ≤ [n/a]；④等价于 -t ≤ m/b = [m/b] + {m/b}，即等价于 -t ≤ [m/b]，即 t ≥ -[m/b]于是有-[m/b] ≤ t ≤ [n/a] ⑥只要[n/a] ≥ -[m/b]，⽅程①就⼀定存在⾮负整数解。
事实上，①的⾮负整数的解数为M := [n/a] + [m/b] + 1 ⑦例如就8x + 15y = 2⽽⾔，x = 4, y = -2是其⼀组特解，代⼊⑦，有M = [-2/8] + [4/15] + 1 = -1 + 0 + 1 = 0即8x + 15y = 2没有⾮负整数解。
⑦给出的⽅程①的⾮负整数解数M的判别式需要借助⼀组特解，以下试图只⽤常数a、b和c来表⽰M：M = n/a - {n/a} + m/b - {m/b} + 1= c/(ab) + 1 - {n/a} - {m/b}= [c/(ab)] + 1 + {c/(ab)} - {n/a} - {m/b}由 Δ:= {r+s} - {r} - {s} = [r] + [s] - [r+s]，可知Δ = 0或-1，于是M = [c/(ab)] 或 [c/(ab)] + 1 ⑧⑧这个表⽰式⾥没有特解，⽽只有a、b和c；和⑦同样，⑧也是对①的⾮负整数解数的⼀个刻画，但⑦是确定刻画，⑧是不确定刻画。
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二元一次不定方程的通解
七年级下册学习了二元一次方程组，有一类题是求二元一次方程的整数解的问题，这在数学上有一专门名称叫做“不定方程”。
如下题：
二元一次方程x+2y=6的正整数解的个数是（）
A.4个
B. 3个
C. 2个
D.1个
初中阶段这个问题，都是用的“枚举法”。
但是为了防止遗漏，我们现在要系统解决这个问题，就需要研究二元不定方程的通解。
当我们通过观察找出了该方程的一对特解x=x0
y=y0后，就可
以写出该方程的所有解了。
∵ ax+by=c……①
ax0+by0=c……②
①-② ∴a（x-x0）+b（y-y0）=0
即a（x-x0）=b(y0-y)
设a、b互质，那么，x-x0必含因子b，y0-y必含因子a。
∴x-x0=kb，y0-y=ka（k∈Z）
∴不定方程的通解为x=x0+bk
y=y0-ak （k∈Z）
以上题为例，观察得到方程x+2y=6的一对特解为x=2 y=2，
则该方程的通解为
x=2+2k
y=2-k（k∈Z）。
由于是求正整数解，
故
2+2k＞0
2-k＞0（k∈Z）得 -1＜k＜2（k∈Z）, ∴k=0,1
∴对应的解有两个：k=0时，x=2
y=2；k=1时，
x=4
y=1.
∴选择C。
这就系统解决了不定方程的相关问题。
避免了解的遗漏问题。
当然这不属于教学内容，可作为课外知识给学有兴趣、学有余力的学生研究。