二 元 一 次 不 定 方 程 的 求 解
二元一次不定方程的解法总结与例题
探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。
我们讨论二元一次方程的整数解。
The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。
如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。
定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。
通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。
专题复习：一元二次方程的五种常用解法(后附答案)【精品】
专题：一元二次方程的5种解法方法1 形如x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1.用直接开平方法解下列方程:(1)9x2=25; (2)x2-√=0; (3)(2t-1)2=9;(4)(x-3)2-9=0. (5)2(x－1)2－18＝0.用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 2.用配方法解下列方程：(1)x 2-10x+9=0; (2)x 2+2x=2; (3)2x 2-4x+1=0.3. 用配方法解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0; (2)12x 2－6x －7＝0； (3)2x 2＋7x －4＝0.用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x ＋n)2＝p 的形式.(4)开方：若p ≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p ＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.方法3 易化成一般形式（二次项系数不为1）时，用公式法求解4.用公式法解方程:(1)x2+3x+1=0; (2)2x2-5x-7=0;(3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8; (4)y2-2√2y+2=0；(5)(x＋1)(2x－6)＝1； (6)x2＋5x＋18＝3(x＋4)．用公式法解一元二次方程的四个步骤(1)化：若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0).(2)定：确定a，b，c的值.(3)算：计算b2－4ac的值.(4)求：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出方程的根；若b2－4ac ＜0，则原方程没有实数根.方法4 能化成形如（x+a）（x+b）=0时，用因式分解法求解5．用因式分解法解下列方程：(1)x2－9＝0； (2)x2＋2x＝0；(3)x2－53x＝0； (4)5x2＋20x＋20＝0；(5)(2＋x)2－9＝0； (6)3x(x－2)＝2(x－2)．(7)(3x＋2)2－4x2＝0； (8)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；用因式分解法解一元二次方程的“四步法”（“右化零，左分解，两因式，各求解”）6.有三个方程:①(2x-1)2=5;②x2-x-1=0;③x(x-√3)=√3-x.解这三个方程时适合的解法依次是( )A.因式分解法、公式法、因式分解法B.直接开平方法、配方法、公式法C.直接开平方法、公式法、因式分解法D.公式法、配方法、公式法7.用适当的方法解下列方程:(1)(x-1)2=3; (2)x2+2x-2=0;(3)(x-5)2=2(x-5)-1; (4)x(3x-2)=3x-2.方法5 用换元法解方程8.【阅读材料】解方程：x4－3x2＋2＝0.解：设x2＝m，则原方程变为m2－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2.当m＝1时，x2＝1，解得x＝±1.当m＝2时，x2＝2，解得x＝± 2.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－ 2.以上方法就叫做换元法，通过换元达到了降次的目的，体现了转化的思想．【问题解决】利用上述方法解方程(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0.参考答案：1.解:(1)方程两边同时除以9得,x 2=259,根据平方根的意义得,x=±53.(2)移项得,x 2=√256=16, 根据平方根的意义得,x=±4. (3)根据平方根的意义得,2t-1=±3, 移项得,2t=4或2t=-2, 系数化为1得,t=2或t=-1. (4)移项得,(x-3)2=9,根据平方根的意义得,x-3=±3, 移项得,x=0或x=6. (5)∵2(x －1)2－18＝0，∴(x －1)2＝9，∴x －1＝±3，∴x 1＝4，x 2＝－2. 2.解:(1)移项,得x 2-10x=-9.配方,得x 2-10x+25=-9+25,(x-5)2=16.开方,得x-5=4,或x-5=-4.∴x 1=9,x 2=1.(2)配方,得x 2+2x+1=2+1,(x+1)2=3.∴x+1=±√3.∴x 1=√3-1,x 2=-√3-1.(3)将方程两边同时除以2,得x 2-2x+12=0,即x 2-2x=-12.配方,得x 2-2x+12=-12+12, (x-1)2=12.∴x=1±√22.即x 1=1+√22,x 2=1-√22.3.(1)原方程变形为3x 2＋6x ＝5，∴x 2＋2x ＝53，∴x 2＋2x ＋1＝83，∴(x ＋1)2＝83，∴x ＋1＝±263，∴x 1＝－1＋263，x 2＝－1－263. (2)原方程变形为12x 2－6x ＝7，∴x 2－12x ＝14，∴x 2－12x ＋36＝50，∴(x －6)2＝50，∴x －6＝±52， ∴x 1＝6＋52，x 2＝6－5 2.（3）(x ＋74)2＝8116，∴x 1＝12，x 2＝－4.4.解:(1)∵a=1,b=3,c=1,∴Δ=b 2-4ac=9-4×1×1=5>0,∴x=-3±√52.∴x 1=-3+√52,x 2=-3-√52.(2)∵a=2,b=-5,c=-7,∴b 2-4ac=81,∴x=5±√814,∴x 1=-1,x 2=72. (3)原方程可化为x 2+2x-3=0. ∵a=1,b=2,c=-3,∴b 2-4ac=16.∴x=-2±√162,∴x 1=1,x 2=-3.(4)∵这里a=1,b=-2√2,c=2,∴b 2-4ac=(-2√2)2-4×1×2=0,∴y=2√2±02,∴y 1=y 2=√.(5)整理得2x 2－4x －7＝0，∵a ＝2，b ＝－4，c ＝－7， ∴Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×(－7)＝72，∴x ＝4±722×2＝2±322，∴x 1＝2＋322，x 2＝2－322.(6)整理得x 2＋2x ＋6＝0，∵a ＝1，b ＝2，c ＝6，∴Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×6＝－20＜0，∴原方程无实数根． 5.（1）解：(x ＋3)(x －3)＝0，∴x 1＝－3，x 2＝3. （2）解：x(x ＋2)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝－2. （3）解：x(x －53)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝5 3. （4）解：(x ＋2)2＝0， ∴x 1＝x 2＝－2.（5）解：(x ＋5)(x －1)＝0， ∴x 1＝－5，x 2＝1.（6）解：原方程变形为3x(x －2)－2(x －2)＝0， 即(3x －2)(x －2)＝0， ∴x 1＝23，x 2＝2.（7）解：(3x ＋2＋2x)(3x ＋2－2x)＝0， 解得x 1＝－25，x 2＝－2.（8）解：原方程可化为[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0， 即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0， 即(7x －16)(－3x ＋4)＝0. ∴x 1＝167，x 2＝43.6.C7.解:(1)∵x-1=±√3,∴x 1=√3+1,x 2=-√3+1.(2)∵x2+2x+1=3,∴(x+1)2=3,∴x1=√3-1,x2=-√3-1.(3)∵(x-5)2-2(x-5)+1=0,∴[(x-5)-1]2=0,∴x1=x2=6.(4)∵x(3x-2)-(3x-2)=0,∴(3x-2)(x-1)=0,.∴x-1=0或3x-2=0,∴x1=1,x2=238.解：(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0，整理，得(x2－2x)2－5(x2－2x)＋6＝0.设x2－2x＝m，则原方程变为m2－5m＋6＝0，解得m1＝3，m2＝2.当m＝3时，x2－2x＝3，解得x＝3或x＝－1；当m＝2时，x2－2x＝2，解得x＝1± 3.所以原方程的解为x1＝3，x2＝－1，x3＝1＋3，x4＝1－ 3.。
一元二次方程的解法及一元二次不等式的解法
方程一边是0, ①因式分解法 (方程一边是 ,另一边整式容易因式分解) ②直接开平方法 ( (x+m)2=k k≥0 ) ③公式法 (化方程为一般式) 化方程为一般式) 化方程为一般式 ④配方法 二次项系数为1,而一次项系数为偶数) (二次项系数为 ,而一次项系数为偶数)
用三种不同的方法 解方程3x 5 x = 2
∴x 2 = 0或3x +1 = 0 1 ∴x1 = 2, x2 = 3
用配方法解
解:
两边同时除以3, 两边同时除以 ,得:
3x 5 x = 2
2
步骤
①二次项系数化1 二次项系数化 ②移项
5 2 x x= 3 3
2
左右两边同时加上(
x
2
5 25 x + 3 36
5 ,得: )2 6
2 25 = + . 3 36
变式练习2.关于 的不等式 的不等式ax 变式练习 .关于x的不等式 2+bx+c<0的解 的解 集为{x|x<-1或x>2}.解不等式 2-bx+c>0. 解不等式ax 集为 或 解不等式 小结:( )根据解集, 小结 (1)根据解集,确定二次项系数的符号 (a<0); ; 的关系:b=-a, (2)由韦达定理确定 ,b,c的关系 )由韦达定理确定a, , 的关系 , c=-2a ; 代入要求解的不等式, (3)把b=-a,c=-2a代入要求解的不等式,进 ) , 代入要求解的不等式 而解不等式 -3x2+4x+4>0.
即解不等式: 即解不等式 3x2-4x-4<0. 第一步:解方程3x 第一步:解方程 2-4x-4=0,得x1=2,x2=-2/3. , , 第二步:画出抛物线y=3x2-4x-4的草图; 的草图; 第二步:画出抛物线 的草图 第三步:根据抛物线的图象,得出不等式 第三步:根据抛物线的图象,得出不等式3x2-4x-4<0的 的 解集为{x|-2/3<x<2}. 解集为
二元一次不定方程的解法
二元一次不定方程的解法.doc一、二元一次不定方程的概念二元一次不定方程指的是形如ax + by = c 的方程，其中a、b、c为已知数，x、y为未知数。
如果a、b不同时为零，那么该方程就是一个二元一次不定方程。
二元一次不定方程具有如下特点：1.方程有两个未知数，需要求出两个未知数的值才能确定方程的解。
2.方程的一次项系数a,b不能同时为0。
3.方程的解可能有无数个，也可能没有解。
二、二元一次不定方程的求解方法1.消元法消元法是一种常见的求解二元一次不定方程的方法。
这种方法的基本思想是通过消去一个未知数，将方程转化为一个一元一次方程，从而求解出这个未知数的值，最后再代入原方程中求出另一个未知数的值。
举例说明：a）求解2x + 3y = 7的解。
解答：将x消去，得到y = (7 - 2x)/3。
因为x和y都是整数，所以7 - 2x要是3的倍数，才有整数解。
整理得x = (7 - 3y)/2，要是7 - 3y是2的倍数才有整数解。
所以当y取-1、0、1、2、3、4、 5、 6时，可以求得相应的整数解。
b）求解3x + 4y = 5的解。
解答：同样地，将x消去，得到y = (5 - 3x)/4。
因为x和y都是整数，所以5 - 3x要是4的倍数，才有整数解。
但是由于5- 3x的最大值只有4，所以该方程无整数解。
2.代入法代入法是一种常见的求解二元一次不定方程的方法。
这种方法的基本思想是将其中一个未知数用另一个未知数表示出来，将其代入原方程中，从而得到只包含一个未知数的一元一次方程，再求解出这个未知数的值，最后再代回原方程中求出另一个未知数的值。
举例说明：求解x + y = 5, 2x - 3y = 10的解。
解答：可以将x + y = 5中的x用2x - 3y = 10 代替，得到(2x -3y) + y = 5，即2x - 2y = 5。
将该方程除以2，得到x - y = 2。
把该式代入x + y = 5中，可得到2y = 3，即y = 3/2。
不定方程组的通解
不定方程组的通解一、引言在数学中，方程是研究数量关系的基本工具之一。
方程可以分为线性方程和非线性方程两大类。
而不定方程组则是非线性方程组的一个重要分支。
不定方程组是指含有未知数的多个方程的集合，其解满足所有这些方程。
本文将介绍不定方程组的通解及其求解方法。
首先会对不定方程组进行定义和分类，并介绍一些常见的不定方程组问题。
然后会详细介绍如何求解一般形式的不定方程组，并给出具体示例。
最后会总结本文所介绍的内容，并展望不定方程组在数学中的应用。
二、定义和分类2.1 定义不定方程组是指含有未知数的多个方程的集合，其解满足所有这些方程。
2.2 分类根据未知数和系数之间的关系，不定方程组可以分为以下几类：2.2.1 线性不定方程组线性不定方程组是指所有未知数都只有一次幂，并且系数都是常数的情况。
例如：3x + 4y = 75x - 2y = 12.2.2 二次不定方程组二次不定方程组是指至少有一个未知数的平方项，并且系数可以是常数或者其他未知数的情况。
例如：x^2 + y^2 = 25x^2 - y = 72.2.3 指数不定方程组指数不定方程组是指至少有一个未知数的指数项，并且系数可以是常数或者其他未知数的情况。
例如：3^x + 4^y = 135^x - 2^y = 9三、求解方法3.1 线性不定方程组的通解求解方法线性不定方程组的通解求解方法主要有以下几种：3.1.1 列主元素消去法列主元素消去法是线性代数中常用的一种求解线性方程组的方法。
通过选取系数矩阵中每一列中绝对值最大的元素作为主元，然后进行消去操作，最终得到行简化阶梯形矩阵。
根据行简化阶梯形矩阵可以直接得到线性方程组的通解。
3.1.2 克拉默法则克拉默法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法。
通过构造增广矩阵，并计算系数矩阵和常数向量的行列式，可以得到线性方程组的解。
3.1.3 矩阵求逆法矩阵求逆法是一种利用矩阵的逆求解线性方程组的方法。
通过将系数矩阵和常数向量构造成增广矩阵，然后求出系数矩阵的逆矩阵，最后将逆矩阵与常数向量相乘，可以得到线性方程组的解。
二二元一次不定方程的特解
（5）写出原方程的特解和通解．
所以方程63x+8y=1有一组特解
x 1
y
8
，
方程63x+8y=－23有一组特解
y
x 23 ，
8 23
所以原方程的所有整数解为 x 23 8t
y
8
23
63t
2、求方程12x+8y=100的所有整数解．
y=6-11t
应用二
例一、求二元一次不定方程13x+37y=4 解析： 的一个特解.
因为（13，37）=1，且1︱4， 所以 不定方程有解.
由 13=37×0+13 37=13×2+11 13=11×1+2 11=2×5+1
因此 q2=2，q3=1，q4=5. 再由递推关系式依次计算得：
k2=-2×1+0= -2 k3=-1×（-2）+1 =3 k4=-5 ×(3)+(-2)=-17 x0=-68， y0=24，
即37×（-83）+256×12=1 上式各项乘以3得37×（-249）+256×36=3 x0=-249 ∴原方程的一个整数解是 y0=-36 x=-249+256t 通解为 （t为任意整数）① y=-36-37t
课堂练习
1、判断不定方程2x+4y=5是否有整数解（ B ）.
A、有 B、没有
2、不定式方程ax+by=c有解的条件（ D ）.
讨论
然后由递推关系式ki=ki-2-qiki-1（i=2，…，n）.
依次计算出k2，…，kn.根据大衍求一术的算法
一元二次方程的解法-公式法
x=
= 22 = 4 .
即 x1= -2, x2=
3
2
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解方程x2+4x=2
解：移项，得 x2+4x-2=0
这里的a、b、c 的值是什么？
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 .
b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 . 0
x=
b2 -4ac＜0，那么方程有实数根吗？为什么？
在一元二次方程
ax2 bx c 0 (a 0)
中，如果b2-4ac＜0，那么方程无实数根，这是
由于 b 2 4ac 无意义
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
a=1，b=-2 ，c=3
b2-4ac=(-2 )2-4×1×3=0
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25. 0∴x=
=
∴x=
=
=
=
x 3 5 或x 3 5
4
4
x 2或x 1 2
即 x1=2, x2= -
= x1 = x2 =
当 b2-4ac=0 时，一 元二次方程有两个相等
知识回顾
3.如何用配方法解一般形式的一元二次
方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）呢？
解：因为a≠0 ，所以方程两边都除以a，得
x2 b x c 0 aa
移项，得 x2 b x c aa
配方，得 x2 2 b x ( b )2 c ( b )2
2a
2a
19.2 一元二次方程的解法
a 2 a 2 x ax ( ) ( x ) 2 2
2
注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
4.把下列各式分解因式：
1). χ2－3χ
4 4 2). x x 3 9
2
3). 2χ2－χ－3
(2χ－3)(χ+1)
解下列方程,并说明你所用的方法,与同伴交流.
(1). χ2=4 (2). χ2－1=0
交流与概括
对于方程(1),可以这样想: ∵ ∴ 即: χ2=4 χ= 4 χ=±2 根据平方根的定义可知:χ是4的( 平方根).
即：
x1 9 x2 2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、、 b c的值。 2、求出
b2 4ac 的值，
b b 2 4ac x 2a
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : 4、写出方程的解：
x1、 x2
例1：用配方法解下列方程 (1)x2 － 4x ＋3 =0 解：移项，得x² -4x=-3 配方，得x² -2· x· 2+2² =-3+2² （x-2）² =1 解这个方程，得x-2=±1 所以 x1=3,x2=1
(2)X² ＋ 3x －1=0 解：移项，得x²+3x=1
3 3 3 2 配方，得 x 2 x 1 2 2 2
例 2. 解方程： x 3 2 3 x
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二元一次不定方程的求解
有这么一道数论题：一个数的20倍减去1能被153整除，这样的自然数最小的是_______.
[分析]解答数论题的关键是把文字表达式转化为数字表达式，
x-，又假设我们可以设这样的数字为x,根据题意则有153(201) x a
-=（a为整数），即201531
201153
=+，显然在这个方程中，
x a
未知数的个数多于方程的个数，这样的方程我们成为二元一次不定方程，那这个题具体我们应该怎么去解答呢？通过观察，不难发现，20x的末尾数字一定是0，所以a最小为3，此时23
x=，从而符合条件的最小的自然数为23.
在这个题目讲解完后，我们可以拓展一道训练题：
一个数的20倍加7能被59整除，这样的自然数最小的是多少？
【归纳并拓展】同学们，大家可以看到，上面题目中涉及到的知识点一是数论中整除的知识，另一个更重要的知识点是二元一次不定方程的求解。
下面我们一起来学习二元一次方程的求解方法。
一般说来，二元一次不定方程有如下几种分析方法：
①倍数分析法；
②尾数分析法；
③奇偶分析法；
④从大数入手；
首先我们看第①种分析方法：倍数分析法
Eg1： 求二元一次不定方程3215a b +=的正整数解。
【分析】我们先观察下，在所给的方程中3a 和15都是3的倍数，所以2b 必是3的倍数，故b 最小为3.
当b=3时，a=3;
当6b =时，a=1.
符合条件的解就只有：3,3;1, 6.a b a b ====
接着我们再来学习第②种分析方法：尾数分析法
还是以一道例题来说明：
Eg2:求二元一次不定方程3523a b +=的正整数解。
【分析】我们先来审题，5b 的尾数只有两种情况：0和5.
I.)当5b 的尾数为0时，3a 的尾数一定得为3，所以a 可以为1，11….. 但是又要满足b 是正整数的条件，所以a=1,此时b=4;
II) 当5b 的尾数为5时，3a 的尾数一定得为8，所以a 可以为6,16…. 要满足整数解的条件，a 只能为6，此时b=1.
尾数分析法关键是从方程的各项的尾数入手。
下面是第③种分析方法：奇偶分析法
我们还是一道例题为例：
Eg3:求二元一次不定方程2311m n +=的正整数解。
【分析】通过观察方程，不难发现：方程的左边是23m n +，右边
是11（奇数），根据奇偶性分析（偶数+奇数=奇数），我们就能确定n 为奇数，于是n 可以为1，3，5，7…….
当1
m m n =时，=4;n=3时，=1.只有这两组才是符合原方程的解。
奇偶分析法关键是奇偶性分析（奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数），可要记牢了哦。
最后一种分析方法是：从大数入手。
这里仍然一道例题为例：
Eg4:求二元一次不定方程3523x y +=的整数解。
【分析】我们通过观察发现，35x y 与和为23，其中523y 与比较接近，我们开始尝试，进而求出此不定方程的解。
y 最大为4，此时1x =，接着往下试，
y 为3，2时，x 的值不符合题目条件，
y 为1时， 6.x =
所以符合条件的只有两组解：1,4;6, 1.x y x y ==== 以上我们一起学习了二元一次不定方程的四种分析方法，很多时候一道二元一次不定方程不止一种解法来解，可以用多种方法来解决，这里由于篇幅原因，就不一一累述。
【课后巩固】：1.求二元一次不定方程3x+11y=45的正整数解．
2.小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？。