二 元 一 次 不 定 方 程 的 求 解

二元一次不定方程的求解

有这么一道数论题：一个数的20倍减去1能被153整除，这样的自然数最小的是_______.

[分析]解答数论题的关键是把文字表达式转化为数字表达式，

x-，又假设我们可以设这样的数字为x,根据题意则有153(201) x a

-=（a为整数），即201531

201153

=+，显然在这个方程中，

x a

未知数的个数多于方程的个数，这样的方程我们成为二元一次不定方程，那这个题具体我们应该怎么去解答呢？通过观察，不难发现，20x的末尾数字一定是0，所以a最小为3，此时23

x=，从而符合条件的最小的自然数为23.

在这个题目讲解完后，我们可以拓展一道训练题：

一个数的20倍加7能被59整除，这样的自然数最小的是多少？

【归纳并拓展】同学们，大家可以看到，上面题目中涉及到的知识点一是数论中整除的知识，另一个更重要的知识点是二元一次不定方程的求解。下面我们一起来学习二元一次方程的求解方法。

一般说来，二元一次不定方程有如下几种分析方法：

①倍数分析法；

②尾数分析法；

③奇偶分析法；

④从大数入手；

首先我们看第①种分析方法：倍数分析法

Eg1： 求二元一次不定方程3215a b +=的正整数解。

【分析】我们先观察下，在所给的方程中3a 和15都是3的倍数，所以2b 必是3的倍数，故b 最小为3.

当b=3时，a=3;

当6b =时，a=1.

符合条件的解就只有：3,3;1, 6.a b a b ====

接着我们再来学习第②种分析方法：尾数分析法

还是以一道例题来说明：

Eg2:求二元一次不定方程3523a b +=的正整数解。

【分析】我们先来审题，5b 的尾数只有两种情况：0和5.

I.)当5b 的尾数为0时，3a 的尾数一定得为3，所以a 可以为1，11….. 但是又要满足b 是正整数的条件，所以a=1,此时b=4;

II) 当5b 的尾数为5时，3a 的尾数一定得为8，所以a 可以为6,16…. 要满足整数解的条件，a 只能为6，此时b=1.

尾数分析法关键是从方程的各项的尾数入手。

下面是第③种分析方法：奇偶分析法

我们还是一道例题为例：

Eg3:求二元一次不定方程2311m n +=的正整数解。

【分析】通过观察方程，不难发现：方程的左边是23m n +，右边

是11（奇数），根据奇偶性分析（偶数+奇数=奇数），我们就能确定n 为奇数，于是n 可以为1，3，5，7…….

当1

m m n =时，=4;n=3时，=1.只有这两组才是符合原方程的解。

奇偶分析法关键是奇偶性分析（奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数），可要记牢了哦。

最后一种分析方法是：从大数入手。

这里仍然一道例题为例：

Eg4:求二元一次不定方程3523x y +=的整数解。

【分析】我们通过观察发现，35x y 与和为23，其中523y 与比较接近，我们开始尝试，进而求出此不定方程的解。

y 最大为4，此时1x =，接着往下试，

y 为3，2时，x 的值不符合题目条件，

y 为1时， 6.x =

所以符合条件的只有两组解：1,4;6, 1.x y x y ==== 以上我们一起学习了二元一次不定方程的四种分析方法，很多时候一道二元一次不定方程不止一种解法来解，可以用多种方法来解决，这里由于篇幅原因，就不一一累述。

【课后巩固】：1.求二元一次不定方程3x+11y=45的正整数解．

2.小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？