二元一次不定方程
二元一次不定方程的解法总结与例题
探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。
我们讨论二元一次方程的整数解。
The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。
如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。
定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。
通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。
二元一次不定方程 PPT
学习目标
1.了解我国古代数学家在不定方程的研究方面取得的一 些成就； 2.理解二元一次不定方程有整数解的判别准则； 3.理解并掌握二元一次不定方程有整数解时，特解的求 法以及整数通解的表示。
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新知探究
二元一次不定方程是最简单的
不定方程合，它作的探一究般形式是为 ax by c (1)
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新知探究
设 a,b 1 ，则不定方程 ax by c 的 整所数有通解解为
x y
x0 y0
bt at
t
Z
x x0 , y y0 是不定方程 ax by c 的一个特解。
问题3
问题4
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新知反思
1、如何求一个不定方程的特解； 2、如何求一个不定方程的整数通解；
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人教A版选修4-6 第三讲
3.1 二元一次不定方程
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识一识
不定方程 是指未知数的个数多与方程个数的方程或方程组。
4x y 15
5x
3y
z 3
100
x y z 100
二元一次不定方程 三元一次不定方程
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预习反馈
问题1 问题2 问题3 问题4 问题5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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7x 4y 1 3x 6y 22
其中 a, b, c 为整数，且 a, b不等于零。
问问题题21
1 不定方程不（定1）方有程解（时1，）整不数一a定, b有, c整有数何解特点？ 2 整数 a, b, c的这种特征能否保证不定方程（1）有整数解？
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考一考
（1） 24x 66y 150 可化简为： 4x 11y 25 （2） 20x 12 y 40 可化简为： 5x 3y 10
二元一次不定方程
目录摘要 (1)1.不定方程 (2)1.1不定方程的概念及分类 (2)1.2不定方程的解法 (2)1.2.1 二元一次不定方程 (2)1.2.2 n元一次不定方程（n≥3） (4)1.2.3 不定方程组 (7)2.数学竞赛中的不定方程 (7)2.1二元一次不定方程的应用 (7)2.2不定方程组的应用 (10)3.结论 (12)参考文献 (13)致谢 (13)二元一次不定方程的解法及应用【摘要】不定方程的整数解的判别与求解方法是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活有着广泛的应用。
本文首先归纳了枚举法、整数分离法、奇偶分析法等几种常用的二元一次不定方程的解法，其次以二元一次不定方程为基础，进一步讨论求多元一次不定方程整数解的方法，最后对几例中学数学竞赛题求解可以看到合理选用二元一次不定方程的解法使得相关问题简单化。
【关键词】不定方程解法应用【ABSTRACT】Indefinite number theory in the equation is important elemment, on the solution of indeterminate equation ,as well as seeking inteder solution of Diophantine Equations Mathematical Olympiad title a lot of application. This is the first description of enumeration, integer separation, such as odd-even analysis of several commonly used in an indeterminate equation of the dual solution, followed by a binary variable equation, and thus the introduction of multi-time indeterminate equation and its solution, the final Applied Mathematical Olympiad through with a few questions we can see a reasonable selection of the dual solution of indeterminate equations can make integer solutions for solving indeterminate equations related to the questions simple.【KEY-WORDS】Binary Diophantine equation ; solution ; applicaton不定方程(组)及整数解是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富。
二元一次不定方程
m = 6 − 3t （t为整数） , n = 0 + 2t
m = 3 m = 0 n = 2 n = 4 m = −3 n = 6
m = 12 m = 9 m = 6 n = −4 n = −2 n = 0
…
二元一次不定方程解的形式和判定
若ax+by=c （其中a,b,c为整数 其中 为整数,ab≠0）有整 ） 为整数 数解 x = x 0
初中数学知识专题讲座
二元一次不定方程
问题的提出
1、〔百钱买百鸡〕鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三， 、 百钱买百鸡〕鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，
鸡雏三，值钱一。 鸡雏三，值钱一。 百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？ 百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？” 分析： 分别表示鸡翁、 分析：设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数， 分别表示鸡翁 鸡母、鸡雏的只数， 则可列出方程如下： 则可列出方程如下：
脚虫和蜘蛛（ 只脚 若干， 只脚） 例：在一个盆内有6脚虫和蜘蛛（8只脚）若干， 在一个盆内有 脚虫和蜘蛛 共有46只脚 只脚， 脚虫和蜘蛛各有几只？ 共有 只脚，问6脚虫和蜘蛛各有几只？ 脚虫和蜘蛛各有几只
脚虫有x只 蜘蛛有y只 解：设6脚虫有 只，蜘蛛有 只，依题意可得 脚虫有 6x+8y=46 化简得 化简得3x+4y=23 由观察得知x=1,y=5是方程的一组解 由观察得知 是方程的一组解 所以方程的整数解为x=1+4t,y=5-3t,t为整数 所以方程的整数解为 为整数 因为x＞ ＞ 因为 ＞0,y＞0 所以1+4t ＞0, 5-3t ＞0 所以 解得-0.25＜t＜5/3 解得 ＜＜ 因为t为整数 所以t=0,1 为整数， 因为 为整数，所以 所以原方程的非负整数解为x=1,y=5或x=5,y=2 所以原方程的非负整数解为 或
二元一次不定方程整数解的两种常用解法
GAOJIAO 解的两种常用解法
◎迟文焕 （ 长春建筑学院，吉林 长春 130000）
【摘要】不定方程整数解问题由来已久． 公元 5 世纪，我 国数学家张丘 建 在《算 经 》中 记 载 的“百 鸡 问 题 ”就 是 不 定 方程整数解问题． 在本文中，我们介绍了二元一次不定方程 的三种解法———观察法和同余法，并给出相应例题，以便加 深对解题方法的理解．
解 取 模 4 可 得 原 方 程 等 价 于 同 余 式 7x ≡3x ≡0
（ mod4） ，此同余式的解为 x≡0 （ mod4） ，即 x = － 4t（ t = 0，
± 1，± 2，…） ，把 x = － 4t 代入原方程得 y = 25 + 7t（ t = 0，
± 1，± 2，…） ．
由题意可知
原方程有整数解．
又因为 4 | 100，所以可得到方程的一组特解 x0 = 0，y0 = 25，并且 a1 = 7 / （ 7，4） ，b1 = 4 / （ 7，4） ，由定理 1． 2 知原方程 的一切整数解可以表示为
x = － 4t，y = 25 + 7t，t = （ 0，± 1，± 2，…） ．
用同余法求解不定方程可以避免复杂的求特解过程．
【参考文献】 ［1］ Schmidt W M Diophantine Approximation and Diophantine Equations［M］． Berlin： Springer － Verlag，1991． ［2］乐茂华． Gelfond － Baker 方法在丢番图方程中的应 用［M］． 北京： 科学出版社，1998． ［3］柯召，孙琦． 数论讲义（ 下册） ： 第 2 版［M］． 北京： 高 等教育出版社，2003． ［4］Burn Ｒ P． A Pathway into Number Theory ［M］． Cambridge： Cambridge University Press，1982． ［5］曹珍富． 不定方程及应用［M］． 上海： 上海交通大学 出版社，2000．
（完整版）二元一次不定方程的通解
（完整版）⼆元⼀次不定⽅程的通解
⼆元⼀次不定⽅程的通解
七年级下册学习了⼆元⼀次⽅程组，有⼀类题是求⼆元⼀次⽅程的整数解的问题，这在数学上有⼀专门名称叫做“不定⽅程”。
如下题：
⼆元⼀次⽅程x+2y=6的正整数解的个数是（）
A.4个
B. 3个
C. 2个
D.1个
初中阶段这个问题，都是⽤的“枚举法”。
但是为了防⽌遗漏，我们现在要系统解决这个问题，就需要研究⼆元不定⽅程的通解。
当我们通过观察找出了该⽅程的⼀对特解x=x0
y=y0后，就可
以写出该⽅程的所有解了。
∵ ax+by=c……①
ax0+by0=c……②
①-②∴a（x-x0）+b（y-y0）=0
即a（x-x0）=b(y0-y)
设a、b互质，那么，x-x0必含因⼦b，y0-y必含因⼦a。
∴x-x0=kb，y0-y=ka（k∈Z）
∴不定⽅程的通解为x=x0+bk
y=y0-ak （k∈Z）
以上题为例，观察得到⽅程x+2y=6的⼀对特解为x=2 y=2，
则该⽅程的通解为
x=2+2k
y=2-k（k∈Z）。
由于是求正整数解，
故
2+2k＞0
2-k＞0（k∈Z）得 -1＜k＜2（k∈Z）, ∴k=0,1
∴对应的解有两个：k=0时，x=2
y=2；k=1时，
x=4
y=1.
∴选择C。
这就系统解决了不定⽅程的相关问题。
避免了解的遗漏问题。
当然这不属于教学内容，可作为课外知识给学有兴趣、学有余⼒的学⽣研究。
用辗转相除法解二元一次不定方程的技巧
用辗转相除法解二元一次不定方程的技巧辗转相除法是一种解决二元一次不定方程的有力工具。
该方法利用了两个数的公因数和最大公因数的性质，从而得出方程的解。
具体步骤如下：
1. 将方程中的两个未知数分别表示为a和b，将方程变形为
ax+by=c。
2. 用欧几里得算法求出a和b的最大公因数g，即g=gcd(a,b)。
3. 如果c不能被g整除，那么方程无解；否则，将c除以g得到c'=c/g。
4. 对于方程ax+by=c'，用扩展欧几里得算法求出一组特解
(x0,y0)。
5. 原方程的通解可以表示为x=x0+k(b/g)，y=y0-k(a/g)，其中k为任意整数。
这种方法的优点在于其简单明了，可以迅速得出解，但需要注意的是，如果a和b不互质，那么方程可能会有无数个解。
因此，在使用此方法时需要注意条件的限制。
- 1 -。
二二元一次不定方程的特解
（5）写出原方程的特解和通解．
所以方程63x+8y=1有一组特解
x 1
y
8
，
方程63x+8y=－23有一组特解
y
x 23 ，
8 23
所以原方程的所有整数解为 x 23 8t
y
8
23
63t
2、求方程12x+8y=100的所有整数解．
y=6-11t
应用二
例一、求二元一次不定方程13x+37y=4 解析： 的一个特解.
因为（13，37）=1，且1︱4， 所以 不定方程有解.
由 13=37×0+13 37=13×2+11 13=11×1+2 11=2×5+1
因此 q2=2，q3=1，q4=5. 再由递推关系式依次计算得：
k2=-2×1+0= -2 k3=-1×（-2）+1 =3 k4=-5 ×(3)+(-2)=-17 x0=-68， y0=24，
即37×（-83）+256×12=1 上式各项乘以3得37×（-249）+256×36=3 x0=-249 ∴原方程的一个整数解是 y0=-36 x=-249+256t 通解为 （t为任意整数）① y=-36-37t
课堂练习
1、判断不定方程2x+4y=5是否有整数解（ B ）.
A、有 B、没有
2、不定式方程ax+by=c有解的条件（ D ）.
讨论
然后由递推关系式ki=ki-2-qiki-1（i=2，…，n）.
依次计算出k2，…，kn.根据大衍求一术的算法
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二元一次不定方程一、教学内容分析
4-6》的第三讲。
它是对第一讲整除本节是《普通高中课程标准实验教科书·数学选修和第二讲同余中相关知识的应用。
也是之后多元一次不定方程的基础。
本节课程体现数学文化的特色，百钱买百鸡问题使学生对二元一次不定方程产生浓厚的兴趣。
学生通过分析，试验，猜想、验证等，
从中获得新的知识，新的方法，新的思想，体验数学发现和创造的历程，感受数学的魅力。
二、
学生学情分析
学生之前可能通过课后阅读或资料，故事书听说过百钱买百鸡问题，或曾经尝试过此类问题进行解决，难度较大。
现在是第一次系统性的学习，学生的兴趣浓厚，积极性很高，有热情和新鲜感。
通过课前导学能对有解性和整数通解提出猜想，但难以给出证明。
所以需要教师精心设计，做好引导工作，充分体现教师的“引路人”角色。
特别小组合作学习中在分。
组时注意学生的合理
搭配（成绩的好坏、分析解决问题能力、口头表达能力等）三、教学目标
知识目标：1; 、掌握二元一次不定方程有解的充要条件2. 、会求二元一次不定方程的整数通解能力目标1渗透从特殊到一般，先猜后证的数学方法。
培养观察、分析、归纳、总结、证明．; 的能力2. ．培养学生的口头表达能力和合作意识情感目标1．了解不定方程的发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人，让学生感受到我国古代数学成就，激发学生的民族自豪感；2. .
使学生感受到数学来源于生活，体会数学的实用价值并应用于实践四、教学重点和难点重点：1. 二元一次不定方程有解的充要条件；2. 二元一次不定方程的整数通解的证明。
难点：引导学生利用整除的知识对二元一次不定方程的整数通解进行证明。
五、教法与学法
. 学生成为课堂的主人，教师层层引导，关键地教法：以问题为驱动，以学生为主体方点拨的教学模式。
学法：鼓励学生“动脑想、大胆猜、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法。
六、教学过程设计
埋下伏笔历史名题，激发学生学习兴趣。
（视频体验）学生表演神童“百钱买百鸡问题”
展示成果学生动手1、判断下列方程是否有整数解问题4??6y6?y?28x8x?6y?18x (2)(3) (1)，，c?ax?byc,a,b 2 得到新知合作探究问题：若方程有整数解，则整数满足什么关系？1?3y4x? 33组）问题的整数解（至少、写出不定方程1?b)c(a，ax?by?yy?x?x,4为不定方程整数解问题求不定方程，：，00
得到新知合作探究c|,b)b,)|c(a?axby?c(a，不定方有整数解，那么。
反过来，当结论1：如果不定方程c?ax?by!
一定有整数解程bt??xx?0cby??1ax?)(a，b?Z，t?的整数通解为2：设，则不定方程结论
at?y?y?0c??axby y?,x?xy为不定方程的一个特解。
00
解决名题利用新知10?3x5?y 1: 的整数通解求不定方程例
1?5x?3y?z?100?3 2: 的非负整数解例求下列不定方程??x?y?z?100?
巩固提高课堂练习判断下列不定方程是否有整数解，若有，求出整数通解
5x?4y?113x?2y?5 (1) (2) ,
小结收获整理思路知识收获方法能力收获情感体会
七.板书设计
八、教学反思小组合作学习，提升学生的学习积极性。
课堂模式为课前预习，本节课通过
学生的表演，培养学生的团队精神，体验合作学猜想并解决问题，并由学生讲解的方式进行。
发现问题，在参与中体验成功，体会学习的快习。
让学生感受到数学知识产生、发展和应用的全过程，但由于时间关系，问题的猜想仅通过代数的方法进乐，感受古人的智慧，感受数学的奇妙。
行，没有将数形结合的思想渗透其中。