二元一次不定方程的通解
二元一次不定方程的解法及其应用
一次不定方程#
$&) 有整数解的条件
定理 $&$ 设 A!g4Bi%有一组整数解 !i!% "BiB% "且
( A"4) i8"A iA$ 8"4i4$ 8"则'$( 式的所有解可以表示成!
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当方程的系 数 较 大 时" 以 较 小 的 系 数 作 除 数 辗 转 相
除"根据不定方 程 的 解 是 整 数 这 一 条 件" 把 所 求 不 定 方 程
则 A!g4Bi%与方程 A !g 4 Bi % 即 A !g4Bi ( A"4) ( A"4) ( A"4) 8 8
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二元一次不定方程
目录摘要 (1)1.不定方程 (2)1.1不定方程的概念及分类 (2)1.2不定方程的解法 (2)1.2.1 二元一次不定方程 (2)1.2.2 n元一次不定方程（n≥3） (4)1.2.3 不定方程组 (7)2.数学竞赛中的不定方程 (7)2.1二元一次不定方程的应用 (7)2.2不定方程组的应用 (10)3.结论 (12)参考文献 (13)致谢 (13)二元一次不定方程的解法及应用【摘要】不定方程的整数解的判别与求解方法是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活有着广泛的应用。
本文首先归纳了枚举法、整数分离法、奇偶分析法等几种常用的二元一次不定方程的解法，其次以二元一次不定方程为基础，进一步讨论求多元一次不定方程整数解的方法，最后对几例中学数学竞赛题求解可以看到合理选用二元一次不定方程的解法使得相关问题简单化。
【关键词】不定方程解法应用【ABSTRACT】Indefinite number theory in the equation is important elemment, on the solution of indeterminate equation ,as well as seeking inteder solution of Diophantine Equations Mathematical Olympiad title a lot of application. This is the first description of enumeration, integer separation, such as odd-even analysis of several commonly used in an indeterminate equation of the dual solution, followed by a binary variable equation, and thus the introduction of multi-time indeterminate equation and its solution, the final Applied Mathematical Olympiad through with a few questions we can see a reasonable selection of the dual solution of indeterminate equations can make integer solutions for solving indeterminate equations related to the questions simple.【KEY-WORDS】Binary Diophantine equation ; solution ; applicaton不定方程(组)及整数解是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富。
二元一次方程的通解的求法
文档标题：破解二元一次方程，原来这么简单！正文：嘿嘿，大家好！今天我来给大家讲讲怎么破解二元一次方程。
别看它名字挺高大上，其实方法超级简单，保证你一看就会！首先，咱们得知道什么是二元一次方程。
比如，有两个未知数x和y，然后它们被一些数字和加减乘除搞在一起，就像这样：ax + by = c。
这里的a、b、c都是已知数，咱们要做的就是找出x和y的值。
接下来，我就给大家介绍一种超级好用的方法——消元法。
咱们一步一步来，保证你能搞定！第一步：找搭档。
咱们得把两个方程式放在一起，比如这两个：方程①：2x + 3y = 7方程②：4x - y = 5第二步：让其中一个未知数消失。
咱们可以想办法让x 或y在其中一个方程里变成0。
比如，咱们可以让方程②里的y变成0。
怎么做呢？咱们把方程②两边同时乘以3，得到：3 * (4x - y) = 3 * 512x - 3y = 15现在，咱们把方程①和这个新方程放在一起：方程①：2x + 3y = 7新方程：12x - 3y = 15第三步：合并同类项。
咱们把方程①和新方程相加，这样y就消失啦！(2x + 3y) + (12x - 3y) = 7 + 1514x = 22第四步：求解一个未知数。
现在只剩下x了，咱们可以轻松求出它的值：14x = 22x = 22 / 14x = 1.14（保留两位小数）第五步：代入求解另一个未知数。
现在咱们已经知道x 的值了，接下来就可以代入方程①或方程②求解y。
咱们用方程①来试试：2x + 3y = 72 * 1.14 + 3y = 72.28 + 3y = 73y = 7 - 2.283y = 4.72y = 4.72 / 3y = 1.57（保留两位小数）哈哈，搞定！现在咱们已经求出了x和y的值，分别是1.14和1.57。
是不是觉得二元一次方程也不过如此呢？总结一下，破解二元一次方程的步骤就是：找搭档、消元、合并同类项、求解一个未知数、代入求解另一个未知数。
二元一次不定方程的解法
二元一次不定方程的解法二元一次不定方程的解法【摘要】本文主要通过三个实例详尽而具体的说明了二元一次不定方程的解法．【关键词】不定方程; 通解; 解法不定方程是数论中一个古老的分支，至今仍是一个很活跃的数学领域． 中小学数学竞赛也常常因为某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程问题． 下面，就通过具体实例，来示范说明一下不定方程的解法．定义形如(,,,0)ax by c a b c z ab +=∈≠ 的方程称为二元一次不定方程，求原方程的整数解的问题叫做解二元一次不定方程．定理 1 原方程有整数解的充分必要条件是(,)|a b c ．推论若(,)1a b =，则原方程一定有整数解． 定理2 若(,)1a b =，且(,)x y ︒︒为原方程的一个整数解( 特解) ，则原方程的全部整数解( 通解) 都可表成x x bt ︒=- ，,()y y at t z ︒=+∈ 或x x bt ︒=+ ，,()y y at t z ︒=-∈ ． 由上述定理可知，求不定原方程整数解的步骤是:① x ︒．②判定原方程是否有解: 当|d c时，原方程无整数解;当|d c时，原方程有整数解．在有整数解时，方程同解变形，边除以d，使原方程转化为a b 的情形．(,)1③求特解，写通解．( 注: 通解形式不唯一)可见，求特解是解二元一次不定方程的关键．首先，对方程的未知数系数较小，或系数与常数项有和、差、约数、倍数关系时观察法是最简单易行的便捷方法．很适用, 但它毕竟也有弊端, 有些方程不容易观察, 所以我们还需寻求新的方法。
2. 分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剰下部分仍为整数，令其为一个新的整数变量，据此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解．例： 解不定方程3710725x y += ．解∵ (37,107)1,1|25= ，∴ 原方程有整数解． 先用x ，y 的系数中较小的37 去除方程的两边，并解出x ，得25107x y =- 除以37 ．再把上式右边y 的系数和常数项的整数部分分离出来，写成137(124)x y y =-+-+除以37 ．由于x ，y 都是整数，13y -也是整数，则124y-+除以37也一定是整数，则可令3y ︒= ( 由于此时－ 12 + 4 × 3除37 ∈Z) ，则有8x︒=- ． 补充说明假设通过原式中未看出特解，可令124y -+ 除37,43712,(1237)t z y t y t =∈-==+除4)39t =+ 则t 除4z ∈ ，有0t︒= ，从而有3y ︒= ，可推得8x ︒=-．这样得原不定方程的特解为8x ︒=-，3y ︒= ． ∴ 原不定方程的通解为8107,337x t y t=--=+ { ，( t ∈Z) ．3. 逐渐减小系数法 此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为± 1 的不定方程为止，直接解出这样的不定方程( 或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去) 得到原方程的通解．例： 解不定方程3710725x y += ．解∵(37,107)1,1|25= ，∴ 原方程有整数解． 由37107≤ ，用y 来表示x ，得25107x y =- 37 = 1 － 3y + － 12 + 4y 除37 ．则令124y -+37k z =∈，即43712y k -=由437≤ ，用k 来表示y ，得1237y k =+ 439k k =++ 除4 ．则令4k t z =∈ ，得4k t =将上述结果一一代回，得原方程的通解为 8107,337x t y t=--=+ { ，( t ∈Z) ． 4. 辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解． 例： 解不定方程3710725x y +=解∵ 10737233,=⨯+3710725x y += ∴ 原方程有整数解．用辗转相除法求特解:373314,=⨯+ 3348 1.=⨯+从最后一个式子向上逆推得到37(26)10791⨯-+⨯= ，∴ 37(2625)107(925)25⨯-⨯+⨯⨯=则特解为2625650x ︒=-⨯=- ，925225y︒=⨯= 通解为6501078107(6)x t t =--=--+ ， 22537337(6),()y t t t z =+=++∈ ，或改写为8107,337x t y t =--=+ { ，( t ∈Z) ．5. 欧拉算法受辗转相除法的启示，此题可简化为采用欧拉算法的方法求解． 其实质仍是找出( a ，b) 表为a ，b 的倍数和时的倍数，从而求出特解．例5 解不定方程3710725x y +=解∵(37,107)1,1|25= ，∴ 原方程有整数解．（见抄）∴ 37(26)10791⨯-+⨯= ，37(2625)107(925)25⨯-⨯+⨯⨯= 则特解为2625650x ︒=-⨯=- ，925225y ︒=⨯=通解为6501078107(6)x t t =--=--+ ，22537337(6),()=+=++∈y t t t z或改写为8107,337=--=+{ ，( t∈Z) ．x t y t6. 同余替换法此法主要是取未知量系数绝对值较小者作为模，对另一系数和常数项取同余式，将其值替换为较小的同余值，构成一个新的不定方程，据此类推，直到某不定方程的一个变量系数为±1 为止，然后一一代回，直接求出原不定方程的通解．例：解不定方程3710725+=x y解∵(37,107)1,1|25=，∴原方程有整数解．（见抄）则原方程转化为40-=，k t即4=，将其代入( 1) ，有337k t=+y t再将上式代入原方程，有8107=--，x t综上得原方程的通解为8107,337=--=+{ ，x t y t( t∈Z) ．最后，对于未知数系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数系数的倍数的和或差的不定方程，可以采用分解常数项的方法去求解方程．例:：解不定方程35143+=．x y解35143x y-+-=+=+，3(1)5(28)0x y+=，351403x y∵ (3,5)1= ，15,283x t y t ∴-=--= ，∴ 原方程的通解为15x t =- ，283,()y t t z =+∈ ． 定理: 考虑二元一次方程ax by c += ( 1) 其中a 、b 、c 是整数, 且0,(,)1,|,ab a b b c ≠=则方程( 1) 的一切整数解可以表示成,x bt y k at ==-其中t=0、±1, ±2, ⋯, k= c 除b证明:( Ⅰ) 令,,x bt y k at k c ==-=除b, 那么()ax by k at bk c +-== 即( 2) 是( Ⅰ) 的解.( Ⅱ) 设'',x y 是方程( 1) 的任一整数解, 则''ax by c +=则|b c ，可设c bk = , 则 ''(x c by =- 除a ）'(bk by =-除a ）'()b k y =- 除a ）由于',x y 是方程( 1) 的整数解, 故'x 必为整数, 从而 '()b k y -除a 也必为整数。
二元一次不定方程
注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。
例2、求321x 111y 75的一切整数解.
解： (321,111) 3 75, 方程有解，且同解于方程 107x 37 y 25
而方程107x 37 y 1的一解是： x (1) 2 9 9, y (1)3 26 26, 故原方程的一组整数解为：x 9 25, y 26 25,
(a, b) a,
(a, b) b,
(a, b) ax0 by0 c.
（充分条件）若(a, b) c, 设c c1 (a, b), c1 Z , 而对a, b Z , 且a 0，b 0，则存在s, t Z , 使得 as bt (a, b) (2)
在（2）式两端同乘以c1得 asc1 btc1 (a, b)c1 c 令x0 =sc1 , y0 =tc1，即得 ax0 by0 c， 故（ 1 ）式有一组整数解x0，y0 .
由例2方程107x 37 y 25的一解是： x 9 25, y 26 25,
故方程37x 107 y 25的一解是： y x 9 25, x y 26 25,
则原方程111x 321y 75的一切整数解是： x 26 25+107t, y 9 25 37t (t 0, 1, 2, )
(6)
25 37 y 25 4 y 同理 x y 33 33
（6）
25 4 y 令 x ， 33 1 x 则y=6 8 x 4
(7)
(8)
1 x 再令 y ，最后得到x 4 y 1 4 则x 1 4t , y t (t 0, 1, 2, )
解二元一次不等式组
解二元一次不等式组二元一次不等式组是指由两个二元一次不等式组成的方程组。
解决这类方程组需要找到满足所有不等式条件的变量取值范围。
本文将介绍解二元一次不等式组的方法和步骤。
一、二元一次不等式组的定义二元一次不等式组由两个形如ax + by ≥ c的不等式组成。
其中，a、b、c为常数，x、y为变量。
为了更好地理解，我们可以将其表示为一维坐标系中的两个直线所围成的区域。
二、解二元一次不等式组的方法解决二元一次不等式组的方法与解一元一次不等式类似。
我们可以通过图像法、代入法或消元法等方式来得到解。
1. 图像法首先，我们可以将每个不等式转化为直线，并将其表示在一维坐标系中。
然后，找出两个直线的交点，并观察交点所在的区域。
该区域即为满足所有不等式的解集。
2. 代入法代入法是指将一个不等式的解代入另一个不等式中，得到一个一元一次不等式。
然后，通过求解一元一次不等式，得到变量的取值范围。
最后，将求得的范围代入原始不等式组，检验是否满足所有条件。
3. 消元法消元法是指通过一系列运算，将二元一次不等式组化简为只含有一个变量的不等式。
然后，根据一元一次不等式的解的性质，得到每个变量的取值范围。
最后，将范围代入原始不等式组，检验是否满足。
三、解二元一次不等式组的步骤解二元一次不等式组的步骤如下：1. 将二元一次不等式组的每个不等式转化为标准形式，即ax + by ≥ c。
2. 根据需要选择合适的方法，如图像法、代入法或消元法。
3. 如果采用图像法，将每个不等式表示为直线，并在一维坐标系中画出。
找出交点所在的区域，即为解集。
4. 如果采用代入法，将一个不等式的解代入另一个不等式中，得到一元一次不等式。
求解一元一次不等式，得到变量的取值范围。
将范围代入原始不等式组，检验是否满足。
5. 如果采用消元法，通过一系列运算将二元一次不等式组化简为只含有一个变量的不等式。
根据一元一次不等式的解的性质，得到每个变量的取值范围。
将范围代入原始不等式组，检验是否满足。
二元一次不定方程的解法
后 的影响 ,有不良 的心理特 征和行为表 现 , 在 学习 , 思想
品德等方 面需要特殊 教育的一 类学生 , 这类学生 一般在班 上为数 不多 , 但 他们能量 不小 , 破 坏性很强 , 成为班 上的消 极因 素 .因 此 , 班 主任应特别 注意了解 后进生心理 上的特 殊矛盾 , 努力摸索 他们发展变化的过程 , 用心点燃他们的心 灵之火 , 给后进生 留一个 " 充氧 " 的空间 , 让他在集体的氛围 中自由地呼吸 , 看 到自己潜在的希望 , 并发出璀璨的光辉 . 后 进生不 是先 天注定 . 探究 后进 的原 因往 往多 种多 样: 有的受社会环境 的不良影响 , 认为 " 读书无用 " 知识贬 , " 值" 有的属于学校教育的偏差 , 使差生厌师拒学 , 自暴自 ;
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� =2 5 +1 9 �
( � �� )
很 多数论问题 可以从经 验中归纳出 来 , 并 且能用 三言两语 向任何一个 路过的人 解释清楚 , 但是要 证明它们 却远非容易 , 这也 正是数论所特有的奇妙的魅力 , 使得它既 被专业数学家所重视 , 又被业余研究者所宠爱 , 甚至使有些 人象 吃了 忘忧果 似的 , 一次 吃了 这种 果实 , 就再 也离 不开 了. 数论对我们如此重要 , 那么 , 作为数论中一部分的不定 方程固然也很重要了 , 理所当然我们有必要学好它 , 本文介 绍的几种解二元一次不定方程的方法 , 各有其利弊 , 大家在 解题时要不断摸索经验 , 从中选择适当的方法来解 , 这样既 不费时又能较轻松地完成任务 .
用辗转相除法求特解 U0, J 0 . 由S 2 =2 T V1 +1 3 2 T =1 3 V2 +3 1 3 =3 VS +1 3 =1 V3 +0 逆推得 : 1=1 3 -3 VS =1 3 -( 2 T -1 3 V2 ) VS =1 3 VT -2 T VS =( S 2 -2 T V1 ) VT -2 T VS =S 2 VT -2 T V3 IS 2 VT -2 T V1 3 =1 两边乘以 5得 : S 2 VS 5 -2 T V6 5 =5 即: � 0 =S 5 � 0 =6 5 I 方程的一般解是 : =S 5 -2 T � � =6 5 -S 2 �W ) � � ( � 这就是用辗转相除法解二元一次不定方程 , 当然了 , 除 这种方法外 , 解二 元一次不定方程还有另外的方法 . 参数法 X , 这种方 法是解出系 数绝对值 较小的未知 数 , 将 其写成 几部分和的形式 , 然后引进参数 , 于是便又得到一个新的不 定方程 , 这时用观 察法便可得出新方程的特解 , 然后再用代 入法就 可得出原 方程的特解 , 进而 求出通解 . 下面 用例子 说明此种方法的解题过程 : 例: 求7 � +1 T � =2 1 3整数解 解: 从系数绝 对值较小的 �解之得 : 2 1 3 -1 T � 3 -5 � =3 0 -2 + Y � 7 7 -5 � 令3 =Z Z �� 7 于是得到新不定 程 7 Z +5 � =3 [ 这时用观察法便知 Z 是 程 [ 的特解 =-1 � =2 = � 将� =的 个数少于未 知量的个 数的
关于二元一次不定方程的整数解相关结论的推导
关于⼆元⼀次不定⽅程的整数解相关结论的推导整数解的通解公式推导⼆元⼀次不定⽅程的⼀般形式为：ax + by = c ①这⾥，a、b和c都是正整数，且满⾜(a,b) = 1由(a,b) = 1知，存在⼀对整数u和v，满⾜ au + bv = 1。
取m = cu，n = cv，则m, n这⼀对整数是⽅程①的⼀组特解，即有am + bn = c ②由①②，有a(x-m) = -b(y-n)(x-m)/b = -(y-n)/a := tx = m + bt, y = n - at ③由(a,b) = 1知，b | x-m，a | y-n，即⽅程①的任意⼀组整数解都有唯⼀对应的整数t，于是③便是①的所有整数解的通解公式，t可为任意整数。
易知这些整数解在平⾯直⾓坐标系中处在同⼀条直线（斜率为 -a/b）上。
实际上，通解公式③只要求a、b、c为整数且满⾜(a,b)=1即可。
⾮负整数解的相关结论推导考虑①的⾮负整数解，则③⾥的 t 需要满⾜：m + bt ≥ 0 和 n - at ≥ 0，即t ≥ -m/b = -[m/b] - {m/b} ④t ≤ n/a = [n/a] + {n/a} ⑤由于t为整数，⑤等价于 t ≤ [n/a]；④等价于 -t ≤ m/b = [m/b] + {m/b}，即等价于 -t ≤ [m/b]，即 t ≥ -[m/b]于是有-[m/b] ≤ t ≤ [n/a] ⑥只要[n/a] ≥ -[m/b]，⽅程①就⼀定存在⾮负整数解。
事实上，①的⾮负整数的解数为M := [n/a] + [m/b] + 1 ⑦例如就8x + 15y = 2⽽⾔，x = 4, y = -2是其⼀组特解，代⼊⑦，有M = [-2/8] + [4/15] + 1 = -1 + 0 + 1 = 0即8x + 15y = 2没有⾮负整数解。
⑦给出的⽅程①的⾮负整数解数M的判别式需要借助⼀组特解，以下试图只⽤常数a、b和c来表⽰M：M = n/a - {n/a} + m/b - {m/b} + 1= c/(ab) + 1 - {n/a} - {m/b}= [c/(ab)] + 1 + {c/(ab)} - {n/a} - {m/b}由 Δ:= {r+s} - {r} - {s} = [r] + [s] - [r+s]，可知Δ = 0或-1，于是M = [c/(ab)] 或 [c/(ab)] + 1 ⑧⑧这个表⽰式⾥没有特解，⽽只有a、b和c；和⑦同样，⑧也是对①的⾮负整数解数的⼀个刻画，但⑦是确定刻画，⑧是不确定刻画。
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二元一次不定方程的通解
七年级下册学习了二元一次方程组，有一类题是求二元一次方程的整数解的问题，这在数学上有一专门名称叫做“不定方程”。
如下题：
二元一次方程x+2y=6的正整数解的个数是（）
A.4个
B. 3个
C. 2个
D.1个
初中阶段这个问题，都是用的“枚举法”。
但是为了防止遗漏，我们现在要系统解决这个问题，就需要研究二元不定方程的通解。
当我们通过观察找出了该方程的一对特解x=x0
y=y0后，就可
以写出该方程的所有解了。
∵ ax+by=c……①
ax0+by0=c……②
①-② ∴a（x-x0）+b（y-y0）=0
即a（x-x0）=b(y0-y)
设a、b互质，那么，x-x0必含因子b，y0-y必含因子a。
∴x-x0=kb，y0-y=ka（k∈Z）
∴不定方程的通解为x=x0+bk
y=y0-ak （k∈Z）
以上题为例，观察得到方程x+2y=6的一对特解为x=2 y=2，
则该方程的通解为
x=2+2k
y=2-k（k∈Z）。
由于是求正整数解，
故
2+2k＞0
2-k＞0（k∈Z）得 -1＜k＜2（k∈Z）, ∴k=0,1
∴对应的解有两个：k=0时，x=2
y=2；k=1时，
x=4
y=1.
∴选择C。
这就系统解决了不定方程的相关问题。
避免了解的遗漏问题。
当然这不属于教学内容，可作为课外知识给学有兴趣、学有余力的学生研究。