数学建模足球场上的不同威胁

足球场上的不同威胁摘要：01年的冬天如莽撞的少年，无意间闯入了溢香的花园。

积雪早已掩盖了残花败草，慵懒的夜蚕食着欲颓的夕阳。

我独自一人穿行于雪雾之中，冥冥中我要去完成一件例行的使命，那就是照例去体彩投注站，花上两元钱买上一方小小的足球彩票。

这是一位笔友对足球的执着！在足球场上，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不一样的。

在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射！我们针对三种情况做出模型的建立与分析，一：吊门入射，这种入射一定要把握起射角度，我们通过抛物线和重力加速度等一些量的分析，从而解得起射角的有效范围。

具体运用到实际还要做相应的调整；二：通过各种射门方式的比较，我们又对边线进球做了分析，通过几何和线性以及均值不等式相应的性质，求得何时边线进球为最佳；三：对于任意球射门，我们通过二维正态分布及概率密度函数做了深入分析。

除此之外，还与运动员的心理和身体素质有关，以及技巧的纯熟度等一系列因素有关！关键词：抛物线方程；重力加速度；几何图形分析；均值不等式；二维正态分布；概率密度函数1 问题的重述:(i) 吊门入射(ii) 边线进球(iii) 任意球射门2 模型假设:已知标准球场长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米；球门区（小禁区）宽18.32米，（距球门端线）长为5.5米；罚球区（大禁区）长40.32米，（距球门端线）长16.5米。

3 模型的建立及求解:1) 问题一模型的建立以及求解如左图设球门OA=2.5米，守门员处于距球门b米处，最大模高为3米。

球门距守门员a米。

吊门球进入球门后的落点（假设球网能穿破）在球门后P点，设OP=1米。

不妨设球速为30米/秒。

首先我们以地面上的一条直线为x轴，以球在空中最高点向地面作的垂线为y轴建立直角坐标系（如右下图），则可以设球在空中的抛物线为y=-x2+C,从图象可以看出，C为球距地面的最大距离。

所以，可知：得抛物线方程为y = -x2 + 45sin2θ。

而我们知道，要吊门成功，必须满足两个条件：;（1）抛物线必须高过球门员最大摸高y1。

（2）抛物线必须低于球门高y2反应在数学式子上为:由（2）式得出一系列的θ值（1）当a=5米,b=1米时，即守门员距球门1米,球距守门员5米时, θ∈(20o，26o)，在这个角度范围内，吊球可以成功。

（2）当a=10米,b=3米时，即守门员距球门3米，球距守门员10米时，θ∈(31o，67o)，在这个角度范围内，吊门可以成功。

（3）当a=20米,b=5米时，即守门员距球门5米，球距守门员10米时，θ∈φ ，也就是说，这时已没有起脚吊门的机会了。

当然，如果考虑到守门员的移动，那么起射角在允许的范围内尽量小一些。

实际上，此问题还可考虑更一般的情况。

即设球入门后的落点P距球门为d 米，只要d>0，球即可入门。

针对具体情况，我们必须考虑现实中存在的问题，针对诸多不确定因素做相应的调整！2) 问题二模型的建立以及求解对一些射门技巧做出一些总结：1.里脚背射门：里脚背射门力量大，多用于转身射门。

当球在身体侧前方或者离身体较远时，都可以用里脚背射门。

它可以突然改变射门角度，如斜线插入时，守门员必然会移动位置，以封住近角，此时进行半转身射门，易使球射入远角。

2.外脚背射门：外脚背射门威胁力大，突然性强，具有隐蔽性，能射各种方向来球，如射正面，小角度等，并可射出直线球和弧线球等。

3.正脚背射门：正脚背射门力量大，准确性高，运用最广，是射门脚法的基础脚法。

如射正面，斜侧、转身等地滚球等。

纵观以上三种射门方式，射门角度对进球率的影响可谓是不能小视。

在足球场上，边线射门是各种角度射门中难度最大的一种，现在我们就对边线射门进行一些分析：我们将边线射门问题建立成数学模型，设AB为球门，C点为脚球区，D为边线上一点（CD为边线一部分）tan∠ADB=tan（∠ADC—∠BDC）=（tan∠ADC—∠BDC）/（1+tan∠ADCtan∠BDC）=[（a+b）/x—b/x]/[1+（a+b）/x*(b/x)]=1/{a/x*[1+（a+b）*b/x^2]}又∵tan∠ADC=（a+b）/xtan∠BDC=b/x∴原式=1/[x/a+（a+b）b/ax]≤1/{2[x/a*（a+b）b/ax]^1/2当且仅当x/a=（a+b）b/ax x=（a+b）b^1/2所以根据数学中均值不等式的相关知识可得出结论：当CD 的长为（a+b ）b^1/2时，边线射门进球率最高。

3) 问题三模型的建立以及求解任意球射门，即射手站在距离球门25m 的正对球门的地点，在距离射手9m 处设置了对方球员组成的人墙（假设人墙高1.80m ，人墙跳起后高度为2.30m ），而射手只能踢出高于人墙的球才能越过人墙，从而有得分的机会。

下面分两步来建立这个问题的模型:一． 假设射手射向球门的球的落点满足以（0，1）为中心的二维正态分布且x,y 方向相互独立。

而守门员判断来球需要一定的反应时间，并要做出相应的移动（假设反应时间为0.1s ，移动的最大速度为5m/s ），假设守门员站在球门中间位置扑出球的概率也满足二维正态分布且x,y 方向相互独立（这个假设实际上是有问题的， 这在第二步中将更正）， 只是中心要变为（v*(t-0.1),1）,其中v 是守门员的移动速度，t 是球在空中飞行的时间，l 是守门员的重心高度。

此外，由于人墙的存在，射手的射门速度要有一定的限制：y 向速度需要够大才能越过人墙，x 向速度需要够大才能在球落地之前射进球门，z 向速度需要够小才能不偏离球门。

综上所述，建立的射门得分的概率密度方程为：]})1())1.0(([21exp{21]})1([21exp{d d 21f 2222122124223243d y d v t x d d d y d x -+-----+-=ππ 其中,]})1())1.0(([21exp{21f 22221221d y d v t x d d -+---=π是守门员守住球的概率密度； 1d ,2d 是x,y 方向的标准差；]})1([21exp{d d 2124223243d y d x -+-π是射手进球的概率密度；3d ，4d 是x,y 方向的标准差。

约束条件为：⎪⎩⎪⎨⎧≤-⨯+≤-0v v 25)v 9(530.20v v 2.025132131⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≤-066.3v v 25066.3v v 251313⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-⨯+-≤--⨯-0)10v v 25(520v 044.2)10v v 25(520v 2312323123编程如下：1． 目标函数：function f=shemen(v)%d=[2,2,5,5];%d=[2,2,20,20];d=[2,2,100,100]; %将标准差赋初值t=25/v(1); %v(1)是x 向速度，t 是球在空中飞行的时间x=v(2)*t; % v(2)是z 向速度，球到球门的横坐标y=v(3)^2/20-1/2*10*(25/v(1)-v(3)/10)^2; %球到球门的高度f=1/2/pi/d(1)/d(2)*exp(-1/2*((x-(t-0.1)*5)^2/d(1)^2+(y-1)^2/d(2)^2))-1/2/pi/d(3)/d(4)*exp(-1/2*(x^2/d(3)^2+(y-1)^2/d(4)^2));2． 约束条件：function [c,cep]=shemencon(v)c=[25-1/5*v(1)*v(3);2.30+5*(9/v(1))^2-25*v(3)/v(1);25*v(2)/v(1)-3.66; -25*(2)/v(1)-3.66;v(3)^2/20-1/2*10*(25/v(1)-v(3)/10)^2-2.44;-v(3)^2/20+1/2*10*(25/v(1) -v(3)/10)^2];cep=[];3．运行程序：利用matlab软件求得结果:Active inequalities (to within options.TolCon = 1e-006):lower upper ineqlin ineqnonlin35v = 109.9569 16.0977 11.8686fv = 0.0098x = 3.6600y = 2.4400t = 0.2274运行结果：当射门进球的概率密度最大时，射手射门的速度的x,z,y 分量是109.956916.097711.8686（m/s）射门的角度为（3.66，2.44），这个位置是球门的两个上角。

射门时间是0.227s。

下面对程序中目标函数中将守门员移动距离由(t-0.1)*v 改为(t-0.1)*5作一下说明：因为从结果我们可看出射门时间很短是0.2s 左右，而且概率密度最大进球的位置在球门的两个上角附近，所以守门员需要全速移动。

第二步：其实第一步中有一个很不科学的假设，就是将守门员扑出球的概率看为正态分布，因为守门员扑出某个方位的球明显有内在的概率，而不是概率密度。

所以，关于守门员要另作假设。

假设该守门员是一世界级门将，即在他周围只要是他能够到的球肯定能扑出，进球概率是0，而他够不到的球当然就肯定进了，进球概率是1。

假设他侧扑的最大距离为3m,并且此时他刚好能扑出在空中飞行了0.12s 的足球，说明他弹跳速度为25m/s，假设他向各个方向起跳的速度都是25m/s,并且由于时间很短在空中保持不变。

我们还应该注意到，足球是有体积的（设直径是0.2m），不能将其当成点来处理，所以我想应该把球门划分成一个个足球大小的方格来处理。

此外，还应考虑射手的目标。

所以射向球门的球的落点满足以目标（x，y）为中心的二维正态分布且x,y 方向相互独立。

而第一步也不是完全没用，它至少提供了射门得分这个过程的时间范围——略大于0.2s，以及选择射门的大概位置。

我在以下的过程中就用0.22s 这个时间。

其余假设同第一步。

所以，射手射门进球的概率应为射到每个小格的概率之和。

编程如下：1目标函数：function f=shemen2(x,d)a=-3.6:0.2:3.6;b=0:0.2:2.4; %将球门分割成小格s=0;for i=1:7 %球射进球们左侧的概率和for j=1:12if sqrt((a(i)+0.6)^2+b(j)^2)/25<0.22-0.1 %守门员够到球temp=0;elsetemp=1/2/pi/d(1)/d(2)*exp(-1/2*((a(i)-x(1))^2/d(1)^2+(b(j)-x(2))^2/d(2)^2)); % 球射进（a(i),b(j)）的概率s=temp+s;endendendfor i=31:37for j=1:12if sqrt((a(i)-0.6)^2+b(j)^2)/25<0.12 %守门员够到球temp=0;elsetemp=1/2/pi/d(1)/d(2)*exp(-1/2*((a(i)-x(1))^2/d(1)^2+(b(j)-x(2))^2/d (2)^2)); %球射进（a(i),b(j)）的概率s=temp+s;endendendf=-0.04*s; %球射进球门的概率2 运行程序：x0=[3,2]; %初值要选的靠近上角opt=optimset('largescale','off');[x,fv]=fmincon(@shemen2,x0,[],[],[],[],[-3.6,0],[3.6,2.4],[],opt,[1,1 ])f=shemen2([3.6,2.4],[1,1])与上角对比运行结果：结果分析：从上表可以看出，射手的准确度越高，当他选择最佳角度射门时，其进球率越高，而当他选择角度不好时，准确率越低；当射手准确率很低时，射门角度对他的进球率几乎没影响（说明他基本上靠蒙）。