概率论与数学建模
数学建模的主要建模方法

数学建模的主要建模方法数学建模是指运用数学方法和技巧对复杂的实际问题进行抽象、建模、分析和求解的过程。
它是解决实际问题的一个重要工具,在科学研究、工程技术和决策管理等领域都有广泛的应用。
数学建模的主要建模方法包括数理统计法、最优化方法、方程模型法、概率论方法、图论方法等。
下面将分别介绍这些主要建模方法。
1.数理统计法:数理统计法是基于现有的数据进行概率分布的估计和参数的推断,以及对未知数据的预测。
它适用于对大量数据进行分析和归纳,提取有用的信息。
数理统计法可以通过描述统计和推断统计两种方式实现。
描述统计主要是对数据进行可视化和总结,如通过绘制直方图、散点图等图形来展示数据的分布特征;推断统计则采用统计模型对数据进行拟合,进行参数估计和假设检验等。
2.最优化方法:最优化方法是研究如何在给定的约束条件下找到一个最优解或近似最优解的方法。
它可以用来寻找最大值、最小值、使一些目标函数最优等问题。
最优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等方法。
这些方法可以通过建立数学模型来描述问题,并通过优化算法进行求解。
3.方程模型法:方程模型法是通过建立数学方程或函数来描述问题,并利用方程求解的方法进行求解。
这种方法适用于可以用一些基本的方程来描述的问题。
方程模型法可以采用微分方程、代数方程、差分方程等不同类型的方程进行建模。
通过求解这些方程,可以得到问题的解析解或数值解。
4.概率论方法:概率论方法是通过概率模型来描述和分析不确定性问题。
它可以用来处理随机变量、随机过程和随机事件等问题。
概率论方法主要包括概率分布、随机变量、概率计算、条件概率和贝叶斯推理等内容。
利用概率论的方法,可以对问题进行建模和分析,从而得到相应的结论和决策。
5.图论方法:图论方法是研究图结构的数学理论和应用方法。
它通过把问题抽象成图,利用图的性质和算法来分析和求解问题。
图论方法主要包括图的遍历、最短路径、最小生成树、网络流等内容。
数学建模-概率模型

确定性现象的特征
条件完全决定结果
随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象.
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 明天的天气可
特征: 条件不能完全决定结果
能是晴 , 也可能是多云
或雨.
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?
P( A)
m n
A
所包含样本点的个数 样本点总数
.
古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球
(2) 有放回地摸球
例1 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的.
解 假设接待站的接待时间没有
规定,且各来访者在一周的任一天
0.0000003 .
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
例2 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.
解 64 个人生日各不相同的概率为
p1
365
364
(365 36564
2. 假设遗传基因是由两个基因A和B控制的,则有 三种可能基因型:AA、AB和BB。
例如:金鱼草是由两个基因决定它开花的颜色,AA 型开红花,AB型开粉花,而BB型开白花。这里AA型 和AB型表示了同一外部特征,此时可以认为基因A 支配了基因B,也可以说基因B对基因A是隐性的。
数学建模基础知识

数学建模基础知识引言:数学建模是一门以数学为工具、以实际问题为研究对象、以模型为核心的学科。
它通过将实际问题抽象为数学模型,并利用数学方法对模型进行分析和求解,从而得到问题的解决方案。
在数学建模中,有一些基础知识是必不可少的,本文将介绍数学建模的基础知识,包括概率与统计、线性代数、微积分和优化算法。
一、概率与统计概率与统计是数学建模的基础。
概率论用于描述随机现象的规律性,统计学则用于从观测数据中推断总体的特征。
在数学建模中,需要根据实际问题的特点选择合适的概率模型,并利用统计方法对模型进行参数估计。
1.1 概率模型概率模型是概率论的基础,在数学建模中常用的概率模型包括离散型随机变量模型和连续型随机变量模型。
离散型随机变量模型适用于描述离散型随机事件,如投硬币的结果、掷骰子的点数等;连续型随机变量模型适用于描述连续型随机事件,如身高、体重等。
在选择概率模型时,需要根据实际问题的特点进行合理选择。
1.2 统计方法统计方法用于从观测数据中推断总体的特征。
在数学建模中,经常需要根据样本数据对总体参数进行估计。
常用的统计方法包括点估计和区间估计。
点估计用于估计总体参数的具体值,如均值、方差等;区间估计则用于给出总体参数的估计范围。
另外,假设检验和方差分析也是数学建模中常用的统计方法。
二、线性代数线性代数是数学建模的重要工具之一。
它研究线性方程组的解法、向量空间与线性变换等概念。
在线性方程组的求解过程中,常用的方法包括高斯消元法、矩阵的逆和特征值分解等。
线性代数还广泛应用于图论、网络分析等领域。
2.1 线性方程组线性方程组是线性代数的基础,它可以用矩阵和向量的形式来表示。
求解线性方程组的常用方法有高斯消元法、矩阵的逆矩阵和克拉默法则等。
高斯消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组转化为简化行阶梯形式,从而求得方程组的解。
2.2 向量空间与线性变换向量空间是线性代数的核心概念,它由若干个向量组成,并满足一定的运算规则。
数学建模思想融入概率论课程的初步研究与探索

刘 晓 歌
巩 ( 南财 经 学 院成 功 学 院共 同学科部 河 南 ・ 义 河
中图 分 类 号 : 4 G6 2 文献 标 识 码 : A
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文 章 编 号 : 2 7 9 ( 0 )1 O 一 2 17 — 8 42 1 3 一 15 O 6 1 0
tc lsa itc ia ttsi s
具来描述带有随机因素的客观现象 , 这是非常必要 的。然而 高度抽象后 的数学概念有 时 已远离实 际 ,在教 学过程 中既 需要 建立从 实际到抽象 的桥梁 ,又需要把抽象 概念返 回到 实际, 这个过程就需用到数学建模思想 。因此 , 数学建模 将 思想融入 到概 率论 教学 中去 ,可 以将数学 与实际有机地联 系起 来 , 让概率论变得既生动 又贴 近实际 , 同时也提高 了学 生学 习概率论 的积极性。 我校学生学习概率论与数理统计 的现状 : 缺少学 习的兴趣 和动力 , 数学 基础薄弱 , 在畏难心理 存
不足 Байду номын сангаас
Au h r a d e s C mmo s i l e De a t n , h n g n t o ’ d r s o S n Dicp i p rme t e g o g n C Col g o ’ a F n n e n E o o c Col g ,5 0 , le e f He n i a c a d c n mis n l e4 0 e 1 2
摘 要 本 文 通 过 分 析 独 立 院 校 学 生 学 习 概 率 论 的特 点及 现 状 .探 讨 在 独立 院校 概 率 论 教 学 中 融入 数 学 建 模 思 想 的
数学建模概率论知识点总结

数学建模概率论知识点总结1.概率的基本概念概率是描述随机现象发生可能性大小的数值。
随机现象是指在一定条件下,不能准确预测结果的现象,比如抛硬币、掷骰子等。
为了描述随机现象的规律,人们引入了概率的概念。
概率的基本概念包括样本空间、事件、概率等。
样本空间是指随机现象所有可能的结果组成的集合。
比如抛硬币的样本空间为{正面,反面},掷骰子的样本空间为{1,2,3,4,5,6}。
事件是样本空间的子集,表示一个具体的结果或一组结果。
概率是描述事件发生可能性大小的数值,通常用P(A)来表示事件A发生的概率。
概率的基本性质包括非负性、规范性、可列可加性、加法定理等。
非负性指概率的值始终大于等于0,规范性指样本空间的概率为1,可列可加性指对于互不相容事件的概率,其和等于各自概率的和,加法定理指事件A与事件B的和事件的概率等于事件A的概率加上事件B的概率减去事件A与事件B的交事件的概率。
2.随机变量与概率分布随机变量是描述随机现象结果的数学变量,通常用大写字母X、Y等来表示。
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量的取值有限或可数,比如投掷硬币的结果、掷骰子的结果等。
离散随机变量的概率分布通常用概率质量函数来描述,概率质量函数表示了随机变量取各个值的概率。
连续随机变量的取值为连续的实数区间,比如身高、体重等。
连续随机变量的概率分布通常用概率密度函数来描述,概率密度函数表示了随机变量在某个区间内取值的概率密度。
常见的离散概率分布包括均匀分布、伯努利分布、二项分布、泊松分布等;常见的连续概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布等。
3.大数定律与中心极限定理大数定律指在独立重复试验中,随着试验次数的增加,随机变量的平均值趋于一个确定的常数。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律,弱大数定律指随机变量的平均值收敛于其数学期望,强大数定律指随机变量的平均值几乎必然收敛于其数学期望。
中心极限定理指在独立重复试验中,随机变量的和在适当标准化后近似服从正态分布。
数学建模有哪些方法

数学建模有哪些方法
数学建模是指将实际问题用数学的方法进行描述和分析的过程。
常见的数学建模方法有以下几种:
1. 形式化建模:将实际问题抽象成数学模型,通过符号和公式的形式进行描述和求解。
2. 统计建模:利用统计学的方法对数据进行收集、整理和分析,从中提取规律和模式,对未知的情况进行预测和决策。
3. 数值模拟:利用计算机和数值方法对问题进行模拟和求解,通过近似计算得到结果。
4. 最优化建模:通过建立优化模型,寻找使目标函数达到最大或最小值的最优解。
5. 离散建模:将连续的问题离散化,转化为离散的数学模型进行分析和求解。
6. 动态建模:对问题进行时间序列的分析和建模,预测未来的变化和趋势。
7. 图论建模:将问题抽象成图的形式,利用图的相关理论和算法进行分析和求解。
8. 概率建模:利用概率论的方法对问题进行建模和分析,从中推断出一些未知的情况。
以上是一些常见的数学建模方法,具体的方法选择要根据实际问题的特点和要求进行判断和决策。
《概率论与数理统计》教学与数学建模思想方法的融入

论: ・
概 念时 , 们可 以从 生 活中的 “ 术平 均数 ”“ 我 算 、加权平 均数” 引入 , 深学 生对 “ 学期望 ” 加 数 就是 “ 值 ” 均 的理
解。
2通过实例融人数学建模思想方法 。《 . 概率论与数 理统计 》 是一门应用性很强 的学科 , 教师 应充分利用教 材 中的实例 或 自己设计 实例进行讲解 。使 学生学会如 何收集 、 分析数据 , 建立模型解决实 际问题 。
几条标有记号( 有m条 )然后再根据 收集到 的资料进 设 。 行估计 。 ’ 问题 的解决 : 池 中有Ⅳ 设 条鱼 , 第二次 钓 出且 有记 号 的鱼数是个随机变数记为 则 ,
^
人n 个盒 中, 计算相关事件的概率 。一般来说 , 放人 根据 的方 式不 同 , 可分 四种情况讨论 :
放 人方 式 不 同放法 总数 个 质 点 每 盒 可 容 纳 质 点 可分 辨
随 机放入 任意个质点 质点不可分辨 嚣 C
个 盒 中 每 盒 最 多 只 质 点 可分 辨
P = (: )
,为整数 , a ( ,— + ) <ri m x Os N r≤  ̄a n
运用 能力 。 二、概 率论与数理统计》教 学中融入数学建模 思 《
概率论与数理统计在数学建模中的应用

概率在数学建模中:的应用姓名:邓洪波高强庞宁班级:文电082-2专业:电子计算机与科学技术电话:?概率论与数理统计在数学建模中的应用通过五天的学习我们主要学习了三个方面的知识,包括:概率模型,统计回归模型,以及马氏链模型。
通过这三个方面的学习,大体上了解了概率在数学建模中的应用以及它所能解决的问题类型。
下面就这三个方面的内容做一下简单的介绍 。
首先对概率模型做一下简单的介绍。
对于实际问题我们所研究的对象无非是制定计划使效率最高,收入最高,费用最小,浪费最小以及变化趋势的估计等问题。
在这类问题中,题目往往给出的是实际背景,我们需要从这些实际背景中,抽象出数学模型,设出所需要的变量,然后用所学的知识解决问题,并且每一个模型都要进行“模型假设”,这是用数学知识解决问题的一个前提条件,下面就一个实际的题目进行各个方面的分析。
比如有如下问题:以周为时间单位;一周的商品销售量为随机;周末根据库存决定是否订货,供下周销售。
用到的知识是(s ,S )存贮策略,即制丁下界s ,上界S ,当周末库存小于s 时订货,是下周初的库存达到S;否则,不订货。
要解决的问题是考在虑订货费,存贮费,缺货费,购进费的情况下,制订(s ,S )存贮策略,使总费用最小。
首先我们进行模型的假设,设出建模中所用到的变量,如下:1.每次订货费0c ,每件商品的购进价为1c ,每件商品一周贮存费2c ,每件商品缺货损失费3c (1c <3c );2.每周销售量r 随机,连续,概率密度p(r);3.每周库存量x ,订货量u ,周初库存量u x +;4. 每周贮存量按 x+u-r 计等等,当然有些问题再“模型的假设”这一过程中除了对变量做相关的假设以外还要对实际问题进行假设,比如在《传送系统的效率》中我们曾假设:生产进入稳态,每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的等。
当然有些问题在做一般假设的时候还不能解决问题,还要进行进一步的假设,比如在《随机人口模型》中,在我们假设出生率x b 与t ∆成正比之后,又做了进一步的假设,假设出生率x b 与人口的总数n 成正比。
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概率论与数学建模基础知识部分 一、概率论:1、概率:刻化某一事件在一次试验中发生的可能性大小的数。
注:事件指随机事件(可重复、可预测、结果明确) 例如抛骰子,抛一枚硬币。
2、常见的随机变量:X (1)离散型:泊松分布:k e P X k k k λλ-(=)=,=0、1、2、、、!实际应用:时间t 内到达的次数;(小概率事件)一本书中一页中的印刷错误数; 某地区在一天内邮件遗失的信件数; 某一天内医院的急症病人数;某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数; 一个时间间隔内某种放射性物质发出的经过计数器的α粒子数等等…… (2)连续型:指数分布:x e x>0f X λλ⎧⎨⎩-,()=0,其它其中>0λ为常数 ,记为)(~λExp X特点:无记忆性。
即是P(/)()X s t X s P X t >+>=>一个元件已经使用了s小时,在此情形下,它总共能使用至少s+t 小时的概率,与开始使用时算起它至少能使用t小时的概率相等,即元件对已使用过s小时无记忆。
实际应用:(可靠性理论、排队论)许多“等待时间”都服从指数分布;一些没有明显“衰老”迹象的机械元器件(如半导体元件)的寿命也可也用指数分布来描述……正态分布:xef X<x<+2μσσπ∞∞22(-)-2()=,-记为2X~N(,)μσ标准正态分布:X~N(0,1)正态分布标准化:若),(~2σμNY,则)1,0(~NXYσμ-=,标准化的目的在于能够方便查阅书后的标准正态分布表。
“3σ“原则:“3σ“原则被实际工作者发现,工业生产上用的控制图和一些产品质量指数都是根据3σ原则制定。
3、随机变量的特征数(数字特征):均值(期望):k k k x p E X xf x dx ∞∞∞⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∑⎰=1+-,(离散型)()=(),(连续型)方差:22D X =E X E X ()(())E X E X =-2()(-())中心极限定理:n X X ,,1Λ是独立同分布的随机变量序列,且22(),(),0i i E X D X μσσ==>则有:)(}{lim 1t t nn X X P n n Φ=≤-+∞→σμΛ模型一、轧钢中的浪费模型:问题:将粗大的钢坯制成合格的钢材需要两道工序:粗轧(热轧),形成刚才的雏形;精轧(冷轧),得到规定长度的成品材料。
由于受到环境、技术等因素的影响,得到钢材的长度是随机的,大体上呈正态分布,其均值可以通过调整轧机设定,而均方差是由设备的精度决定,不能随意改变。
如果粗轧后的钢材长度大于规定长度,精轧时要把多余的部分切除,造成浪费;而如果粗轧后的钢材长度小于规定长2σ6σ4σ(1)(2)(3)μ度,则造成整根钢材浪费。
如何调整轧机使得最终的浪费最小。
(1) 问题概述:成品材料的规定长度已知为l ,粗轧后的钢材长度的标准差为σ,粗轧后的钢材长度的均值m ,使得当轧钢机调整到m 进行粗轧,然后通过精轧以得到成品材时总的浪费最少。
(2) 问题分析:精轧后的钢材长度记为X ,X 的均值记为m ,X 的方差为σ,按照题意,),(~2σm N X 。
概率密度函数记为f (x ),当成品钢材的规定长度l 给定后,记x ≥ι的概率为p ',p '=p (x ≥ι)。
在轧钢过程中产生的浪费由两种情况构成:若l X >,则浪费量为l X -;若l X <,则浪费量为X 。
注意到当m 很大时,l X >的可能性增加,浪费量同时增加;而当m 很小时,l X <的可能性增加,浪费量也增加,因此需要确定一个合适的m 使得总的浪费量最小。
(3) 模型建立与求解:这是一个优化模型,建模的关键是选择合适的目标函数,并用 l ,σ,m 把目标函数表示出来。
根据前面的分析,粗轧一根钢材平均浪费长度为:W (x-)f(x)dx+xf(x)d(x), (1)ιιι∞-∞=⎰⎰利用f(x)dx 1+∞-∞=⎰,xf(x)d(x)m +∞-∞=⎰,和f(x)dx p ι+∞'=⎰由(1)得:W=m-l p '以W 为目标函数是否合适?由于轧钢的最终产品是成品材,浪费的多少不应以每粗轧一根钢材的平均浪费量为标准,而应该用每得到一根成品材浪费的平均长度来衡量。
因此目标函数为:W mJ P P ι==-''因为ι是已知的常数,所以目标函数可以等价的取为:mJ(m),(2)P (m)='其中P (m)=p(x)dx ι∞'⎰,22(x-m)-2P(X)=σ易见J(m)平均每得到一根成品钢材所需要的刚才长度,问题就转化为求m 使J(m)达到最小。
令x mmy ,,,ιμλσσσ-===则(2)式可表为:(-Z)J()J(Z),(Z=-)(-)(Z)σμσλμλμφλμφ-===其中:2y -2z(Z)=(y)dy,(y)=φφ∞ψ⎰可用微分法解J (Z)-的极值问题。
不难推出最优值Z 应满足方程:(Z)Z (Z)φλ=-ψ (*)记(Z)F(Z)=(Z), φψ)(Z F 可根据标准正态分布的函数值φ和ψ制成表格式给出图形。
由上表可得方程(*)的根Z*注:当给定λ>F (0)=1.253时,方程(*)不止一个根,但是可以证得,只有唯一负根Z*<0,才使J (Z)-取得极小值。
模型二、(美国)一个地区911应急服务中心在过去的一年内平均每月要收到171个房屋火灾电话,基于这个资料的,火灾率被估计为每月171次,下个月收到火灾报警电话只有153个,这表明房屋火灾率实际上实际上是减少了,或是或是它只是一个随机波动?分析:Xn ——第n-1次和第n 次火灾之间的时间(月),X1…,Xn ,…是独立的且每一个Xn 服从参数为λ的指数分布,λ为报告的房屋火灾率(月),即是:ix i f(X )=eλ-λ,(Xi>0)目标:给定λ=171,确定每月收到153次这样的少的电话报警的概率有多大?或者说每月收到153是否属于正常范围内?建模:i x i f(X )=e λ-λ,λμ1)(==n X E ,221σλ=将11μσλλ==,代入得:(利用3σ原理):若要有95%的把握,则:22-≤≤ 若要有99%的把握,则:33-≤≤ 选择95%的把握得到:12...,(1)n n n X X X λλλλ-≤+++≤+将λ=171,n=153代入(1),有:12153153153 (171171171171)X X X -≤+++≤+ 即:121530.75... 1.04X X X ≤+++≤因此我们的观察值12153...1X X X +++≈是在正常的变化范围之内 结论:断言火灾报警率降低的证据不充分,它可能是正态随机变量的正常结果。
当然,若每月都连续这样低,则需重新评估。
灵敏度分析:当λ=171代入(1)得:12 (171171171171)n n n X X X -≤+++≤+因为对任何的[]n 147199∈,,区间171n ±1,即在[]147199,之间都属于正常范围。
对于“每月171次”的假设的敏感性分析。
去掉特殊性,假设每月的均值是λ,我们有一个月的报警电话次数的观测值n=153,代入(1),有:12153153153...X X X λλλλ-≤+++≤+因为对于任何的[]1281178λ∈,之间153λλ±总会包含1,所以λ=153属于正常的变化范围。
随机过程与数学建模基础知识部分随机过程:热噪声电压:电子元件或器件由于内部微观粒子的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压。
它在任一时刻t 的值是一随机变量,记为V(t),不同时刻对应不同的随机变量,当时间在某区间,譬如在[]∞0,+上推移时,热噪声电压表现为一族随机变量,记为:{V(t),t>=0}。
由于热骚动的随机性,在相同条件下每次测量都将产生不同的电压——时间函数。
这样,不断的独立的测量就可以得到一族不同的电压——时间函数。
∈的一族(无限多个)设T是一无限实数集,我们把依赖于参数t T∈,X(t)是随机变量称为随机过程。
记为{X(t),t T∈}。
这时每一个t T一随机变量,T叫做参数集。
把t看作为时间,称X(t)为时刻t时过程的状态,而X(t)=x或是t=t1∈,X(t)的所有可能的一切值的全时过程处于状态x。
对于一切的t T体称为随机过程的状态空间。
马尔可夫链及其基本方程:将时间离散化为n=0,1,2,…对每个n ,系统的状态用随机变量Xn 表示,设Xn 可以取k 个离散的值Xn=1,2,…k ,且记i n a n P X i ()=(=)即状态概率从Xn=i~Xn+1=j 的概率记为 ij n n P P X j X i =+1(=|=),即转移概率。
如果1+n X 的取值只取决于Xn的取值及转移概率,而与X1,X2,…,Xn-1的取值无关,则称这种离散状态按照离散的时间的随机转移过程叫做马尔可夫过程。
或者说此过程具有马尔可性或无后效性。
注:还可以这样表示{}{}n n 12n-1n n n n n n P X x X x X x X x P X x X x x R≤=≤∈12-1-1-1|=,=,...,=|=,由状态转移的无后效性和全概率公式可以写出马尔可夫链的基本方程为ki j ij j a n a n P i 123k =∑=1(+1)=(),,,,..., (1) 并且i a n ()和ij P 应满足: i1an ,0,1,2,...0,1,,1,2,...,kij ij j n P P i j k==≥==∑∑ki=1()=1 (2)引入状态概率向量和转移概率矩阵12k a n a n a n a n P⨯ij k k ()=((),(),...,()),{P }则(1)式可表为:a n+1()=a(n)p (3)由此可得 :a n n()=a(0)p (4)(2)式表明转移矩阵P 是非负矩阵,且P 的行和为1,称为随机矩阵。
说明:对于马尔可夫链模型最基本的问题是构造状态Xn 及写出转移矩阵P ,一旦有了P ,那么给定初始状态概率a (0)就可以用(3)和(4)或计算任意时段n 的状态概率a (n )模型一:人寿保险公司对受保人的健康状况特别关注,他们欢迎年轻力壮的人投保,患病者和高龄人则需付较高的保险金,甚至被拒之门外。
人的健康状态随着时间的推移会发生转变,且转变是随机的,保险公司要通过大量数据对状态转变的概率做出估计,才可能制定出不同年龄、不同健康状况的人的保险金和理陪金数额,下面分两种情况进行讨论: (1)健康与疾病:n 1X n 0122⎧==⎨⎩,健康 ,,,,...,疾病i n ij n+1n a n P X i P P X j X i =()=(=)---状态概率(=|=)----状态转移概率其中(i ,j=1,2)a n a n-1P a n P a n a n-1P a n P a a +⎧⎨+⎩1111221211222212()=()()()=()()(0)=1,(0)=0若开始处于疾病状态,即a a 12(0)=0,(0)=1,更一般的12(0)0.25λ=(0)=0.75,a ,当n →∞时,a n a n 12(),()的趋向与上面两表相同。