第2章 图像变换技术

1 F (u + N , v) = N 1 = N 1 = N
Байду номын сангаас
∑ ∑ f ( x, y) exp{− j2π[(u + N ) x + vy] / N }
x =0 y =0
N −1 N −1
∑ ∑ f ( x, y) exp[− j2π(ux + vy) / N ]exp(− j2πNx / N )
P 功率谱：(u, v) = F (u, v)
2
= R 2 (u , v) + I 2 (u , v)
第2章 2.1 傅里叶变换
图像函数和傅里叶频谱的表示：
第2章 2.1 傅里叶变换
实际图像和傅里叶频谱
第2章 2.2 傅里叶变换的性质
1.分离性
1 F (u, v) = N 1 = N
N −1 N −1 x =0 y =0 N −1 x =0
第2章 2.2 傅里叶变换的性质
2.平移性质
f ( x, y ) exp[ j2π (u0 x + v0 y ) / N ] ⇔ F (u − u0 , v − v0 ) f ( x − x0 , y − y0 ) ⇔ F (u , v) exp[− j2π (ux0 + vy0 ) / N ]
证：
P (u ) = F (u )
2
= R 2 (u ) + I 2 (u )
第2章 2.1 傅里叶变换
2-D傅里叶变换：
1 F (u, v) = N
∑ ∑ f ( x, y) exp[− j2π(ux + vy) / N ]
x =0 y =0
N −1 N −1
u , v = 0, 1,
, N −1
逆变换：
令s=x-z，并交换积分次序：
F { f ( x) ∗ g ( x)} = ∫
∞ −∞
f ( z ) exp(− j 2π uz )dz ∫ g ( s ) exp(− j 2π us)ds
−∞
∞
于是： F { f ( x) ∗ g ( x)} = F (u )G (u )
第2章 2.2 傅里叶变换的性质
e e
, M − 1 y = 0,1,
, M −1
和 0≤y≤B − 1 或 B≤y≤N − 1 和 0≤y≤D − 1 或 D≤y≤N − 1
x =0 y =0
N −1 N −1
1 f ( x, y ) = 2 2-D离散函数平均值： N 比较两式可得结论。
∑ ∑ f ( x, y )
x =0 y =0
N −1 N −1
第2章 2.2 傅里叶变换的性质
8.卷积定理
卷积定义：
∞
f ( x) ∗ g ( x) =
−∞
∫
f ( z ) g ( x − z )dz
x =0 y =0
N −1 N −1
∑ ∑ f ( x, y) exp[− j2π(ux + vy) / N ]
x =0 y =0
N −1 N −1
=1
= F (u , v)
第2章 2.2 傅里叶变换的性质
证：（共轭对称性） 1 N −1 N −1 F (−u , −v) = ∑ ∑ f ( x, y ) exp[− j2π(−ux − vy ) / N ] N x =0 y =0
x =0 y =0 N −1 N −1
N −1 N −1
第2章 2.2 傅里叶变换的性质
4.旋转性质
f (r ,θ + θ 0 ) ⇔ F ( w, φ + θ 0 )
证明:借助极坐标变换
x=rcosθ y= rsinθ u=ωcosφ v=ωsinφ 将以上变换代入傅氏变换,即可得证.
第2章 2.2 傅里叶变换的性质
第2章 2.2 傅里叶变换的性质
1.分离性
⎡1 F ( x, v ) = N ⎢ ⎣N
∑
y =0
N −1
⎤ f ( x, y ) exp[− j2πvy / N ]⎥ ⎦
由2步1-D变换计算2-D变换
1 F (u , v) = N
∑ F ( x, v) exp[− j2πux / N ]
x =0
N −1
第2章 2.2 傅里叶变换的性质
7.平均值
1 f ( x, y ) = F (0, 0) N
证：将u=0，v=0代入
1 F (u, v) = N
∑ ∑ f ( x, y) exp[− j2π(ux + vy) / N ]
x =0 y =0
N −1 N −1
1 得到： F (0, 0) = N
∑ ∑ f ( x, y )
卷积定理：
f ( x) ∗ g ( x) ⇔ F (u )G (u )
f ( x) g ( x) ⇔ F (u ) ∗ G (u )
第2章 2.2 傅里叶变换的性质
∞
证：（卷积定理）
F { f ( x) ∗ g ( x)} = ∫
∞ −∞ −∞
f ( x) ∗ g ( x) =
∞
−∞
∫
f ( z ) g ( x − z )dz
运算量由O（N4） 减为O（N2）
∑ ∑ f ( x, y) exp[− j2π(ux + vy) / N ]
⎡ -j2πux ⎤ N −1 ⎡ -j2πvy ⎤ exp ⎢ ⎥ ∑ f ( x, y )exp ⎢ N ⎥ ⎣ N ⎦ y =0 ⎣ ⎦
∑
u , v = 0, 1,
, N −1
两步1-D变换：
1 = N 1 = N
∗
F (u , v) = F * (−u , −v)
∑ ∑ f ( x, y) exp[ j2π(ux + vy) / N ]
x =0 y =0
N −1 N −1
∑ ∑ f ( x, y) {cos[2π(ux + vy) / N ] + jsin[2π(ux + vy) / N ]}
5.分配率
F { f1 ( x, y ) + f 2 ( x, y )} = F { f1 ( x, y )} + F { f 2 ( x, y )} F { f1 ( x, y ) ⋅ f 2 ( x, y )} ≠ F { f1 ( x, y )} ⋅ F { f 2 ( x, y )}
乘法不满足！
x =0 y =0
N −1 N −1
1 F ( −u , − v ) = N 1 = N 1 = N
∑ ∑ f ( x, y) {cos[2π(ux + vy) / N ] − jsin[2π(ux + vy) / N ]}
x =0 y =0 x =0 y =0
N −1 N −1
∑ ∑ f ( x, y) {cos[−2π(ux + vy) / N ] + jsin[−2π(ux + vy) / N ]} ∑ ∑ f ( x, y) exp[− j2π(ux + vy) / N ] = F (u, v)
1-D函数卷积示例
f ( x) ∗ g ( x) =
∞
−∞
∫
f ( z ) g ( x − z )dz
第2章 2.2 傅里叶变换的性质
卷积的周期：
f(x)采样数为A，g(x)采样数为B 设f(x)与g(x)具有周期M，则f(x)*g(x)周期也为M。 当M< A+B-1时，卷积周期重叠； 当M= A+B-1时，卷积周期相邻接； 当M≥A+B-1时，卷积周期分离。
∫
f ( z ) g ( x − z )dz exp(− j 2π ux)dx
由于 exp(− j 2π ux) = exp(− j 2π uz ) exp[− j 2π u ( x − z )]
F { f ( x) ∗ g ( x)} = ∫
∞ −∞ −∞
∫
∞
f ( z ) exp(− j 2π uz )dzg ( x − z ) exp[− j 2π u ( x − z )]dx
1 f ( x, y ) = N
∑ ∑ F (u, v) exp[ j2π(ux + vy) / N ]
u =0 v =0
2 2 12
N −1 N −1
x, y = 0, 1,
, N −1
频谱： F (u, v) = ⎡ R (u, v) + I (u, v) ⎤ ⎣ ⎦
相位角：φ (u, v) = arctan[ I (u, v) R(u, v)]
∑ f ( x) exp[− j2πux / N ]
x =0
N −1
u = 0, 1,
, N −1
F
−1
{F (u )} =
f ( x) = ∑ F (u ) exp[ j2πux / N ]
u =0
N −1
x = 0, 1,
, N −1
第2章 2.1 傅里叶变换
1-D傅里叶变换：
1 F (u ) = N
第2章 2.2 傅里叶变换的性质
2-D离散卷积：
f(x,y)和g(x,y)分别用尺寸为A×B和C×D， 周期为M和N的离散数组表示。
1 f e ( x , y ) ∗ g e ( x, y ) = MN
x = 0,1,
M −1 N −1 m =0 n =0
∑ ∑ f (m, n) g ( x − m, y − n)
⎡1 F ( x, v ) = N ⎢ ⎣N
1 F (u , v) = N
N −1 x =0
∑
y =0
N −1
⎤ f ( x, y ) exp[− j2πvy / N ]⎥ ⎦