历年高考数学试题(极坐标与参数方程)

历年高考数学试题极坐标、参数方程与不等式选讲1．（直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲线⎩⎨⎧=+=θθsin cos 3:1y x C（θ为参数）和曲线1:2=ρC 上，则AB 的最小值为________.2．若不等式a x x ≥-++21对任意R x ∈恒成立，则a 的取值范围是___。

3．如图，,,90B D AE BC ACD ∠=∠⊥∠=，且6,4,12AB AC AD ===，则BE =42。

4．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (3sin x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为(cos sin )10,ρθθ-+=则1C 与2C 的交点个数为 ．5．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧==θθχsin cos 5y （0θ≤<π）和⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 245（t R ∈），它们的交点坐标为 。

6．如图3，AB,CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于与AB 的中点P ，PD=23a，30OAP ∠=°，则CP= 。

7．在极坐标系（ρ,θ）（02θπ≤≤）中，曲线ρ=2sin θ与cos 1ρθ=-的交点的极坐标为 。

8．如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，CD=2．E,F 分别为AD ，BC 上点，且EF=3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为 。

9．已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，则r =________.10．在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 。

11．若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-⋃+∞ 。

12．直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为 3 。

13.在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 。

14.设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为 。

16.如图2，,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =，AD BC ⊥,垂足为D, BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 。

17.已知两面线参数方程分别为5cos (0)sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩ 和25()4x t t R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________.18．如图4，过圆O 外一点p 分别作圆的切线和割线交圆于A ,B ，且PB =7，C 是圆上一点使得BC =5，∠BAC =∠APB , 则AB = 。

19．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合． （I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； （II ）设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．20．已知函数)(x f =|x -2||-x -5|． （I ）证明：3-≤)(x f ≤3；（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．21．如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合。

已知AE 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根。

（Ⅰ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（Ⅱ）若90A ∠=︒，且4,6m n ==，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径。

22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .23．设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集 （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值。

24．如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ．（I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合． （I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； （II ）设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．26．若曲线的极坐标方程为θθρcos 4sin 2+=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则改曲线的直角坐标方程为 .27．对于实数x ，y ，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值为 . 28．设矩阵 00a M b ⎛⎫=⎪⎝⎭（其中a ＞0，b ＞0）. （I ）若a=2，b=3，求矩阵M 的逆矩阵M -1；（II ）若曲线C ：x 2+y 2=1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ’：1y 4x22=+，求a ，b 的值. 29．在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为sin x ay a⎧=⎪⎨=⎪⎩.（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，2π），判断点P 与直线l 的位置关系； （II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 30．设不等式11-x 2＜的解集为M.（I ）求集合M ；（II ）若a ，b ∈M ，试比较ab+1与a+b 的大小.31．如图：已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于 E 点，证明： （Ⅰ）ACE ∠=BCD ∠。

（Ⅱ）2BC =BE x CD 。

32．已知直线1C ：{ {t 为参数}。

图2C ：{ {θ为参数} （Ⅰ）当a=3π时，求1C 与2C 的交点坐标： （Ⅱ）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A 、P 为OA 的中点，当a 变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

33．设函数142)(+-=x x f 。

y=tsina X=cos θ y=sin θ（Ⅰ）画出函数)(x f y =的图像：（Ⅱ）若不等式ax x f ≤)(的解集非空，求n 的取值范围34．不等式213x -<的解集为 .35．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝ cm.36．参数方程cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）化成普通方程为 .37．已知P 为半圆cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ≤≤）上的点，点A 的坐标为(10)，，O 为坐标原点，点M在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3π。

（Ⅰ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的坐标； （Ⅱ）求直线AM 的参数方程（38．已知a b c 、、均为正数，证明：2222111()63a b c a b c+++++≥，并确定a b c 、、为何值时，等号成立。

39．AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA=DC ，求证：AB=2BC 。

40．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。

设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。

41．在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值。

42．设a 、b 是非负实数，求证：3322()a b ab a b +≥+。

43．如图，已经圆上的弧，过C 点的圆切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（Ⅰ）∠ACE =∠BCD ； （Ⅱ）BC 2=BF ×CD 。

44．已知直线C 1x 1t cos sin y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），C 2x cos sin y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），（Ⅰ）当α=3π时，求C 1与C 2的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

45．不等式x 323x +--≥的解集为{}1x x ≥46．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC,BC 的长分别为3cm,4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD DA =16947．已知圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα⎧=⎨=+⎩（a 为参数）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标系为__(-1,1).(1,1)_____48．如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E （I ）证明：ABE ∆ADC ∆ （II ）若ABC ∆的面积AE AD S ⋅=21，求BAC ∠的大小。