8-6 二阶常系数线性微分方程

y = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx)
E-mail: xuxin@
例3 求解方程 y''6y'+13y=0. 解:特征方程是 r2 6r + 13 = 0. 其根 r1,2=3±2i为一对共轭复根 为一对共轭复根, ± 为一对共轭复根 故所求通解为
y = e (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
(2)
E-mail: xuxin@
叠加原理 是齐次方程(1)的两个解 的两个解, 如果 y1, y2是齐次方程 的两个解 则 (i) (ii) 证: y = y1+ y2 也是 的解 也是(1)的解 的解. y = ky1也是 的解 也是(1)的解 的解.
(i) 因 Ln(y1) = 0, Ln(y2) = 0, 所以, 所以 Ln(y) = Ln(y1) + Ln(y2) = 0. 的解. 即 y 是 (1) 的解 同理可证(ii). 同理可证
E-mail: xuxin@
定理2指出了二阶非齐次线性方程的通解的结构: 定理2指出了二阶非齐次线性方程的通解的结构: 非齐次线性方程的通解由两部分组成: 非齐次线性方程的通解由两部分组成 一部分是对应的齐次方程的通解, 一部分是对应的齐次方程的通解, 另一部分是非齐次方程自身的特解. 另一部分是非齐次方程自身的特解.
E-mail: xuxin@
定理1指出了二阶线性齐次方程的通解的结构: 定理1指出了二阶线性齐次方程的通解的结构: 通解是两个线性无关的特解的线性组合; 通解是两个线性无关的特解的线性组合; 容易验证: 容易验证: y1 = cos x, y2 = sin x 是二阶齐次线性方程 y′′ + y = 0 的两个特解,且线性无关; 的两个特解,且线性无关; 的通解为: 所以 y′′ + y = 0的通解为:
特征根 两个不等的实根r 两个不等的实根 1, r2 两个相等的实根r 两个相等的实根 1=r2=r 一对共轭复根r 一对共轭复根 1,2=α ±β i (β ≠ 0) 方程的通解
y = C1er1x + C2er2x
y = (C1 + C2 x)erx
y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x)
E-mail: xuxin@
定理3 定理
* * 设y1 , y2分别是方程
L (y) = f1 (x) 和L (y) = f2 (x) 的解, 的解
* * 则y1 + y2是方程
L (y) = f1 (x) + f2 (x)
的解. 的解
E-mail: xuxin@
y = C1 + C2 x + e (C3 cos 2x + C4 sin 2x).
x
E-mail: xuxin@
对应的线性无关的特解
y = erx
y1 = erx , y2 = xerx , …, yk = x k 1e rx ,
y2 = eαx sin βx (β ≠0) y1 = e cos β x ,
αx
y1 = e αx cos β x ,
y 2 = xy1 ,
αx
…,
yk = x
k 1
y1 ,
y k +1 = e sin βx,
y k + 2 = xy k +1 , …, y 2 k = x k 1 y k +1
E-mail: xuxin@
例4 求解方程 y(4) 2y''' + 5y'' = 0. 解:特征方程为 r42r3+5r2=0. 其根为r 其根为 1= r2=0, r3,4=1±2i. ± 对应线性无关的特解为 y1=1, y2=x, y3=excos2x, y4= exsin2x, 故所求通解为
y(n) + P y(n1) ++ P 1 y′ + P y = f ( x) 1 n n
二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y′′ + py′ + qy = 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
(1)
y′′ + py′ + qy = f (x)
二阶
y′′ + py′ + qy = 0
(1) 由定理1可知,只要找出( 由定理1可知,只要找出(1)的两个线性无关的 便可得方程( 便可得方程 特解 y1,y2,便可得方程(1)的通解 y=C1y1+C2y2 设想(1)有形式解 为什么?) 设想 有形式解 y = erx (为什么 为什么
E-mail: xuxin@
E-mail: xuxin@
一,函数的线性无(相)关定义 函数的线性无(
设 y1= y1(x), y2= y2(x),, yn= yn(x)是一组定义 是一组定义 在区间I上的函数 如果存在n个不全为零的常数 上的函数, 在区间 上的函数,如果存在 个不全为零的常数 k1 , k2 , , kn , 使得x∈I, 恒成立 使得 ∈
知 u′′ = 0, 取 u(x) = x, 则 y2 = xe r x ,
1
得齐次方程的通解为
y = (C1 + C2 x)e ;
rx 1
E-mail: xuxin@
例2 求解方程 4y'' + 12y' + 9y = 0. 解:特征方程是 4r2 +12r + 9 = 0. 此方程有二重实根
容易验证: 容易验证:设
y1 = xe + e , y2 = xe + e , y3 = xe + e e
x 2x x x 2x
x
x
是某二阶非齐次线性方程的解,求该方程的通解. 是某二阶非齐次线性方程的解,求该方程的通解. 解 Y = y1 y2 ,Y2 = y1 y3 1
Y e2x + ex 又 1 = 2x x 不恒为常数 Y2 e e
E-mail: xuxin@
(ii) = 0, r1= r2( = r) 一特解为 y1 =
e ,
1
r1 x
设另一特解为 y2 = u( x )e r x ,
′ ′ 代入原方程并化简, 将 y2 ,y2 ,y2′ 代入原方程并化简,
′′ + ( 2r1 + p )u′ + ( r12 + pr1 + q )u = 0, u
y = C1 cos x + C2 sin x
E-mail: xuxin@
定理 2 的解, 的解, 设 y*是方程 的解 y 是(1)的解 则 是方程(2)的解 的解
y* +y
也是(2)的解 也是 的解. 的解 证: L (y*+y ) = L (y*) + L (y ) = L (y*) = f (x)
E-mail: xuxin@
上述方法可推广到解 n 阶常系数齐次线性方 程的情形, 程的情形 此时特征方程为
rn + p1rn1 ++ pn1r + pn = 0
其特征方程的根对应微分方程的解的情况如 下表
E-mail: xuxin@
特征根 (1) 单实根 r (2) k重实根 r (3)一对单复根 r 1 ,2 = α ± β i (4)一对k重复根 r=α±βi (β ≠0)
(1)的通解为 的通解为
y = C1e r x + C2e r x
1 2
E-mail: xuxin@
的通解. 例1. 求解方程 y''y' 6y = 0 的通解 解:特征方程是 r2 r 6 = 0 其根r 是两个相异实根, 其根 1=3, r2= 2是两个相异实根 故所求通解为 是两个相异实根 y = C1e3x + C2e2x.
E-mail: xuxin@
§6 二阶常系数线性微分方程
高阶线性微分方程在实际问题中应用比较多, 高阶线性微分方程在实际问题中应用比较多, 本节以讨论二阶线性微分方程为主, 本节以讨论二阶线性微分方程为主,所得的结果 可以推广到二阶以上的线性微分方程. 可以推广到二阶以上的线性微分3; kn yn = 0
则称y 则称 1 , y2 , , yn ,是线性相关的. 是线性相关的 线性无关的 否则称它们是线性无关 否则称它们是线性无关的.
E-mail: xuxin@
例1. sin2x, cos2x, 1 在R上线性相关 上线性相关. 上线性相关 因 sin2x + cos2x – 1 = 0 例2. 1, x, x2, , xn-1, 在R上线性无关 上线性无关. 上线性无关 证: 若k0 , k1, , kn-1, 使 k0 + k1x + + kn-1 x n–1 = 0 上成立, 在R上成立 必有 0 = k1 = = kn-1 = 0. 上成立 必有k
3x
E-mail: xuxin@
求二阶常系数齐次线性微分方程通解步骤: 求二阶常系数齐次线性微分方程通解步骤:
2 Step1:写出方程(1)的特征方程 λ + pλ + q = 0 :写出方程( ) Step2:求出特征方程的两个根 1, r2 :求出特征方程的两个根r
Step3:根据(3)的两个根的不同情况,按照下 :根据( )的两个根的不同情况, 表写出方程( )的通解: 表写出方程(1)的通解:
3 r1 = r2 = . 2 故所求通解为
y = (C1 + C2 x)e
3 x 2
.
E-mail: xuxin@