嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略-2014年全国大学生数学建模竞赛获奖论文

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）日期： 2014 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘 要本文针对嫦娥三号软着陆全过程进行分析，提出了最优化控制策略的轨道模型，并讨论了模型的灵敏度与误差估计。

对于问题一：利用对称性、相似三角形和能量守恒定律，并且在忽略月球公转、自转的影响及太阳和地球对嫦娥三号产生的引力摄动的条件下，我们得出嫦娥三号卫星在近月点的速度大小为31 1.672510/v m s =⨯，远月点的速度大小为30 1.633410/v m s =⨯，此刻远月点瞬时速度的方向沿卫星运行轨道的切线方向，近月点瞬时速度方向与月心连线成45度角，近月点的坐标为（311.8353×310，-1.0559×310，253.2712×310）（单位：km ）即39.338N ，15.254W ，远月点的坐标为（1865.6×310，325.501×310，-3729.425×310）（单位：km ）即39.338S ，164.746E 。

对于问题二：在忽略月球自转与摄动影响的条件下，引入质量方程，采用常值推力方法，建立了姿态控制的制动力方程，运用Matlab 求出最优的推力为2989N 。

通过对软着陆六个阶段的详细分析，得知在保证安全着陆的情况下可以考虑选择大的发动机推动力以完成软着陆过程。

对于问题三：利用问题二得出的软着陆轨道模型，通过数值方法来改变参数的初值选取。

我们应用Matlab 软件进行计算，对着陆轨道和控制策略之间的敏感性和误差进行分析，结果显示，初值对方程的灵敏度没有太大影响，并且得出了相对较小的误差。

关键词：能量守恒定律 软着陆 质量方程 常值推力方法一、 问题重述嫦娥三号进入着陆准备轨道后在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t （2400kg ），其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N 到7500N 的可调节推力，其比冲为2940m/s ，能够满足调整嫦娥三号速度的控制要求。

在四周安装的姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。

嫦娥三号的预定着陆点为19.51W ，44.12N ，海拔为-2641m 。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。

其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km ，远月点100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共为分主减速阶段，快速调整阶段，粗避障阶段，精避障阶段，缓速下降阶段，自由落体阶段6个阶段。

要求满足每个阶段在关键点所处的状态，尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二、 问题分析2.1对于问题一的分析假设嫦娥三号从距月面100km （远月点）开始变轨到达距月面15km （近月点）的过程中忽略地球，太阳对卫星的引力摄动影响，因此卫星只受到月球对其的引力，所以在此过程中卫星机械能守恒。

利用微元，由开普勒第二定律可知，卫星运行轨道的矢径R 在很短的t 时间内，扫过面积为ΔS ，卫星运行轨道的矢径R 与其运行在这一点的轨道切线方向夹角为α，运行轨道的弧长为ΔR 。

在这段是时间内，扫过面积可以看作为三角形，且相同时间内，扫过的面积相等。

从距月面100km （远月点）处开始进行变轨直到着陆。

要求在此过程中，所耗燃料最优，对速度无特殊要求。

因此，假设在3000m 时（只要合理即可），水平速度x v 与竖直速度y v 相等，即x v = y v 。

2.2对于问题二的分析是相对于硬着陆来说的。

硬着陆就是飞行器在重力作用下不采取任何减速措施，说白了就是掉下来。

这是一种破坏性的着陆方式，一般用在一次性的飞行器上，比如月球探测卫星，完成任务后就扔到月球上去，不用管了。

软着陆就是在落地之前通过制动系统的作用减小垂直速度，使之以一个很小的可以接受的速度落地，就先后以保护飞行器和航天员。

早在20世纪60年代,人类实现了无人和载人月面软着陆。

无人软着陆如苏联的Luna 计划和美国的 Surveyor 计划等,载人软着陆如美国的Apollo 计划。

Apollo 计划开始,后期的月球软着陆计划大都采用从月球停泊轨道下降的这种间接软着陆方式。

从环月停泊轨道开始的软着陆可大致分为两部分: 一部分是轨道转移,另一部分是软着陆下降。

轨道转移主要包括离轨段和霍曼转移段。

嫦娥三号软着路下降过程被细分为6个阶段（主减速阶段，快速调整阶段，粗避障阶段，精避障阶段，缓速下落阶段，自由落体阶段）。

要求实现嫦娥三号的着陆轨道和在6各阶段的最优控制策略，因此我们将6个阶段进行详细分析。

2.3对于问题三的分析影响灵敏度和误差的因素包括包括设备测量误差、初值的选取、推力误差。

此外，还包括忽略月球自转公转，地球引力等环境的干扰。

我们通过改变参量的初值选取，应用matlab 软件进行计算，对着陆轨道和控制策略之间的敏感性和误差进行分析，观察初值的选取和推力误差对灵敏度是否有影响。

三、 模型假设1、忽略月球公转、自转的影响及太阳和地球对嫦娥三号产生的引力摄动。

2、将月球看做一个质量均匀的球体。

3、将嫦娥三号卫星看做一个质量为2.4t 的均匀质点。

4、忽略消耗燃料过程中质量的减少，即质量恒为2.4t 。

5、嫦娥三号在15km 处无竖直分量的速度，即15km 时的速度为水平速度，在3000m 时水平分量x v 与竖直分量y v 相等，着陆器在15000米到3000米做匀减速运动。

四、 符号说明G ：引力常数为6.67428×1110 22/Nm kg M ：中心天体，即月球的质量为7.349×2210kgm ：嫦娥三号的质量2.4t ，即2400kg0g ：月球上的重力加速度为1.62 2/m s 0r ：月球平均半径为1737.013kmh 远：远月点距月面的高度，即100km h 近：近月点距月面的高度，即15km 1h ：主减速段的高度差为15km-3km=12km2h ：快速调整段的高度差为3000m-2400m=600mv 0：嫦娥三号在远月点的速度 v 1：嫦娥三号在近月点的速度v ：3000m 时的速度为57m/s x v ：3000m 时的水平分速度y v ：3000m 时的竖直分速度 2v ：2400m 时的速度a ：嫦娥三号在主减速段的加速度大小 x a ：嫦娥三号在主减速水平分加速度y a ：嫦娥三号在主减速竖直分加速度 1t ：嫦娥三号在主减速段所用的时间2t ：嫦娥三号在快速调整段所用的时间 1F ：2400m —100m 时的推力，加速度为1a ，即粗避段推力产生的加速度3v ：30m 时的速度大小2a ：30m —4m 过程中向下推力产生的加速度4v ：4m 时的速度大小1s ：嫦娥三号在主减速段的水平位移2s ：嫦娥三号在快速调整段的水平位移s ：嫦娥三号15000m~2400m 的水平总位移，即12s s s =+'e：月球的第二偏心率'e =e ：月球的形状扁率为1/963.7256 B ：大地纬度 L ：大地经度r 赤：月球赤道平均半径为1737.646km r 极：月球极区半径为1735.843km C : 近月点关于月球球心O 在OB 上的对称点、CD ：卫星15km~2.4km 的水平位移的投影 AE ：远月点相对于月面的水平位移大小注：其余符号在文本中说明五、模型建立与求解5.1问题一的模型建立与求解:软着陆过程分析图假设嫦娥三号从远月点开始变轨到达近月点的过程中忽略地球，太阳对卫星的引力摄动影响，因此卫星只受到月球对其的引力，所以在此过程中卫星机械能守恒，得到：2201001122GMm GMmmv mv r h r h -=-++远近利用微元，由开普勒第二定律可知，如下图，卫星运行轨道的矢径R 在很短的t ∆时间内，扫过面积为ΔS ，卫星运行轨道的矢径R 与其运行在这一点的轨道切线方向夹角为α，运行轨道的弧长为ΔR 。

在这段是时间内，扫过面积可以看作为三角形，则有：运动分析图1sin 2s R R α∆=∆ 面积速度为：1sin 12sin 2R R s Rv t t αα∆∆==∆∆ 设嫦娥三号绕月飞行的准备着陆轨道的半长轴为a ，半短轴为b ，月球球心到轨道中心的距离为c ，由这段是时间内，扫过面积相等，可得：00110211()()22v r h v r h +=+ （1） 有几何关系可得：0r h a c +=+远，0r h a c +=-近，222a b c =+则22011122GMm GMmmv mv a c a c-=-+-化简得：0v =1v=将分母有理化得：0v =，1v =最终得：10v a cv a c+=- （2）由（1）（2）联立解得：30 1.633410/v m s =⨯，（此刻的瞬时速度沿轨道切线方向，与月球球心连线夹角成90°） 31 1.672510/v m s =⨯，与月球球心成45度角5.1.2 设嫦娥三号在15000m 时无竖直方向的分速度，3000m 时的水平速度和竖直速度相等，即x y v v ==嫦娥三号在主减速段（15000m~3000m 段）的运动路径远远小于月球的平均半径，因此将卫星运动轨迹分解成水平方向运动与竖直方向运动，根据牛顿运动定律与速度计算公式有：3000m 时的速度分解图21011()2y h g a t =+x y v v == 01()x x v v g a t =-+121111x s v t a t =-联立求解得 1310.140s km =嫦娥三号在快速调整段（3000m~2400m 段）：222022()y y v v g a h -=+201()y y v v g a t =++222x x v a s =联立求解得20.30s km =则：12310.440s s s km =+=将降落位置的经纬度转换成大地坐标：cos cos r sin r B x L r B y L Bz ===通过MATLAB 解得到着陆点的坐标为：（1.3953×310，-1.0559×310，238.2712×310）（单位：km ）得出近月点的坐标为（311.8353×310，-1.0559×310，253.2712×310）（单位：km ）即39.338N ，15.254W远月点：由月球与卫星环月轨道相互位置的特点可以知道将远月点与近月点相连接，其连线一定过月球球心。