一次函数与一次方程、一次不等式同步练习(含答案)
19-2-3 一次函数与方程、不等式同步训练 人教版数学八年级下册
19.2.3一次函数与方程、不等式同步训练一、单选题1．若直线y＝﹣2x﹣4与直线y＝4x＋b的交点在第二象限，则b的取值范围是（）A．﹣4＜b＜8B．﹣4＜b＜0C．b＞8D．﹣2≤b≤82．一次函数的图象交x轴于（2，0），交y轴于（0，3），当函数值大于0时，x的取值范围是（）A．x>2B．x<2C．x>3D．x<33．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b经过A，B两点，若点B的坐标为(3，0)，则不等式ax+b>0的解是（）A．x>0B．x>3C．x<0D．x<34．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x−2与y=kx+b(k<0)相交于点M，点M的纵坐标为1，则关于x的不等式x−2≤kx+b的解集是（）A．x≤1B．x<3C．x≤3D．x<15．用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（）．A ．{y =−x +2y =2x −1B ．{y =2x −1y =32x −12C ．{y =2x −1y =−32x +52D ．{y =−x +2y =32x −126．如图，直线y =kx +b 经过点A(−1，m)和点B(−2，0)，直线y =2x 过点A ，则不等式2x <kx +b <0的解集为（ ）A ．x <−2B ．−2<x <−1C ．−2<x <0D ．−1<x <07．如图，直线y =k 1x +b 1与x 轴交于点(-4，0)，直线y =k 2x +b 2与x 轴交于点(3，0)，则不等式组{k 1x +b 1>0k 2x +b 2>0的解集是（ ）A ．x >−4B ．x <3C ．-4<x <3D ．x <−4或x >38．已知一次函数y =kx +b 的图象如图所示，当x ＜1时，y 的取值范围是（ ）A．－2＜y＜0B．－4＜y＜0C．y＜－2D．y＜－4二、填空题9．已知方程kx＋b＝0的解为x＝3，那么直线y＝kx＋b与x轴的交点坐标为_____ 10．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，请写出x−1图像上和谐点的坐标：__________．函数y＝3411．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为________．12．一次函数y=mx-n（m，n为常数）的图象如图所示，则不等式mx-n≥0的解集是______________．x+b的图像交于点P．下面有四个结13．如图，已知正比例函数y1=ax与一次函数y2=12论：①a<0；①b<0；①当x>0时，y1>0；①当x<−2时，y1>y2．其中正确的是______．（填序号）14．如图，已知一次函数y=mx+n的图像经过点P(−2,3)，则关于x的不等式mx−m+n< 3的解集为_______．三、解答题15．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+10与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直x交于点A，点M是y轴上的一个动点，设M(0,m).线y=12（1）若MA+MB的值最小，求m的值；（2）若直线AM将△ACO分割成两个等腰三角形，请求出m的值，并说明理由.16．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），与x轴交于点B，与正比例函数y＝3x的图象交于点C，点C的横坐标为1．（1）求AB的函数表达式；S△BOC，求点D的坐标．（2）若点D在y轴负半轴，且满足S△COD＝1317．如图，直线l1的函数解析式为y=−2x+4，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．(1)求直线l2的函数解析式；(2)求△ADC的面积；(3)在直线l2上是否存在点P，使得△ADP面积是△ADC面积的2倍？如果存在，请求出P坐标；如果不存在，请说明理由．18．已知直线y=kx+b经过点B（1，4），且与直线y=﹣x﹣11平行．（1）求直线AB的解析式并求出点C的坐标；（2）根据图象，写出关于x的不等式0＜2x﹣4＜kx+b的解集；（3）现有一点P在直线AB上，过点P作PQ①y轴交直线y=2x﹣4于点Q，若线段PQ的长为3，求P点坐标．。
上海徐汇中学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试(含答案解析)
一、选择题1．已知0x >，0y >，且1x y xy +=-，则（ ）A ．xy 的最大值为3+B ．xy 的最大值为6C ．2x y +的最小值为3+D ．2x y +的最小值为72．已知0a >，0b >，若不等式122m a b a b+≥+恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．73．已知12x >，则2321x x +-的最小值是（ ）A ．32B 32C 2D ．324．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y->D ．ln x +ln y >05．当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．8m ≤B ．8m <C ．8m ≥D ．8m >6．若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（ ） A ．4- B ．14 C ．10- D ．107．若不等式2210ax ax ++>对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)0,1B ．[)0,+∞C ．(](),01,-∞+∞ D ．()0,18．下列命题正确的是（ ） A ．若a bc c>，则a b > B ．若22a b >，则a b >C ．若2211a b>，则a b < D <a b <9．若a ，b 为正实数，直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直，则ab 的最大值为（ ）A ．32B ．98C ．94D ．410．已知m ，0n >，4121m n+=+，则m n +的最小值为（ ）A ．72B ．7C ．8D ．411．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞12．设a 为正实数，数列{}n a 满足1a a =，()142n n na a n N a *+=+-∈，则（ ） A ．任意0a >，存在2n >，使得2n a < B ．存在0a >，存在2n >，使得1n n a a +< C ．任意0a >，存在*m N ∈，使得mn a a <D ．存在0a >，存在*m N ∈，使得n n m a a +=二、填空题13．已知0,0,4a b a b >>+=，则411a b ++的最小值为__________. 14．设函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，若关于x 的不等式()06f x x ≤≤-+的解集为[]{}2,36⋃，则b a -=__________．15．已知3x <，则函数4()3f x x x =+-的最大值是________. 16．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的最小值为_________.17．若不等式256x xt <--对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数t 的取值范围是______.18．已知函数()21f x ax a =+-的图象恒过定A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0m n ⋅>，则12m n+的最小值为____ 19．若正数a ，b 满足2ab =，则11112M a b=+++的最小值为________. 20．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120,ABC ABC ∠=︒∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则9a c +的最小值为________．参考答案三、解答题21．设函数2()(,)f x x ax b a b R =-+∈.（1）若2a =，求函数|()|y f x =在区间[0,3]上的最大值；（2）试判断：是否存在实数a ，b ，使得当,][0x b ∈时，2()6f x ≤≤恒成立，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．已知集合{}2430A x x x =-+≤，B =______.若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，给出如下三个条件：①{}1x a x a -≤≤，②{}2x a x a ≤≤+，③{}3x ≤≤.请从中任选一个补充到横线上.若问题中的a 存在，求出a 的取值范围.23．已知函数()24ax ax b f x =-+．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,b ，求a ，b 的值； （2）当3b a =时，求关于x 的不等式()0f x <的解集．24．已知函数212()log (1)f x x =+，26()g x x ax =-+.（1）若()g x 为偶函数，求a 的值并写出()g x 的增区间；（2）若关于x 的不等式()0<g x 的解集为{}23x x <<，当1x >时，求()1g x x -的最小值；（3）对任意的1[1,)x ∈+∞，2[2,4]x ∈-，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.25．已知关于x 的不等式()22600kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集是{3x x <-或}2x >-，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围； （3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．26．若关于x 的不等式（1－a ）x 2－4x ＋6<0的解集是x| x<－3或x> 1}． （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式2x 2＋（2－a ）x －a>0．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】利用公式x y +≥，将等式转化为不等式，求xy 的范围；由条件转化为11x y x +=-，代入2x y +后，利用基本不等式求最小值. 【详解】0,0x y >>，x y +≥1xy ∴-≥210-≥，10x y xy +=->1>1t =>，即2210t t --≥，解得：1t ≥或1t ≤1≥，(213xy ≥=+，所以xy 的最小值是3+AB 不正确；10,0,1011x x y x y xy y x x +>>+=-⇒=>⇒>- ()11222222121111x x x y x x x x x x +-++=+=+=-+++---()2213371x x =-++≥=-，当()2211x x -=-时，即2x =时等号成立，所以2x y +的最小值是7，故D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查根据条件等式，利用基本不等式求最值，条件等式除了基本变形，同时也需注意变量的范围，比如本题中的1,1xy x >>等条件.2．C解析：C 【分析】由已知可得()122m a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，即求()122a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值，由基本不等式可得答案. 【详解】因为0a >，0b >，则()122m a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，所以()1242448b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+⎪⎝⎭， 当且仅当4b aa b=即2b a =等号成立，要使不等式恒成立，所以8m ≤所以实数m 的最大值为8. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．D解析：D 【分析】由2111333311212222x x x x x x ⎛⎫+=+=-++⎪-⎝⎭--，利用均值不等式可得答案. 【详解】21113333331121222222x x x x x x ⎛⎫+=+=-++≥= ⎪-⎝⎭-- 当且仅当113122x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭-,即12x = 时，取得等号. 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.4．A解析：A 【分析】结合选项逐个分析，可选出答案. 【详解】结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析： 对于选项A ，0x y ->，110y x x y xy--=<，故A 正确；对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002x y -=π-π=->，故B 不正确； 对于选项C ，110y xx y xy--=<，故C 错误； 对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确. 故选A. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.5．A解析：A 【分析】 由题可得444444x x x x +=-++--，且40x ->，利用基本不等式解答即可． 【详解】解：∵4x >，∴40x ->，∴44444844x x x x +=-++≥=-- 当且仅当444x x -=-，即6x =时取等号， ∵当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立， ∴只需min 484m x x ⎛⎫≤+= ⎪-⎝⎭．∴m 的取值范围为：(8],-∞． 故选A ． 【点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出444444x x x x +=-++--，属于一般题．6．C解析：C 【分析】由题意可知方程220ax bx ++=的根为11,23-，结合根与系数的关系得出12,2a b =-=-，从而得出-a b 的值.【详解】由题意可知方程220ax bx ++=的根为11,23- 由根与系数的关系可知，11112,2323b a a-+=--⨯= 解得12,2a b =-=- 即12210a b -=-+=- 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据一元二次不等式的解集求参数的值，属于中档题.7．A解析：A 【分析】设函数()221f x ax ax =++，把不等式2210ax ax ++>在x ∈R 上恒成立，转化为()0f x >对于x R ∀∈恒成立，结合函数的性质，即可求解.【详解】解：设函数()221f x ax ax =++，则不等式2210ax ax ++>在x ∈R 上恒成立，即()0f x >对于x R ∀∈恒成立， 当0a =时，()10f x =>，显然成立； 当0a ≠时，要使()0f x >在x ∈R 上恒成立，需函数()221f x ax ax =++开口向上，且与x 轴没有交点，即2(2)410a a a >⎧⎨∆=-⨯⨯<⎩，解得01a <<， 综上知，实数a 的取值范围为[0,1). 故选：A. 【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与计算能力.8．D解析：D 【分析】A 项中，需要看分母的正负；B 项和C 项中，已知两个数平方的大小只能比较出两个数绝对值的大小. 【详解】A 项中，若0c <，则有a b <，故A 项错误；B 项中，若22a b >，则a b >，故B 项错误；C 项中，若2211a b>则22a b <即a b <，故C 项错误；D <定有a b <，故D 项正确.故选：D 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式，属于基础题.9．B解析：B 【分析】由两直线垂直求出23a b +=，再利用基本不等式求出ab 的最大值． 【详解】解：由直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直 所以22(23)0b a +-= 即23a b +=又a 、b 为正实数，所以2a b +≥即229224a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a 34=，b 32=时取“＝”；所以ab 的最大值为98． 故选：B 【点睛】本题主要考查了由直线垂直求参数，基本不等式求最值的应用，属于中档题.10．A解析：A 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 【详解】 ∵m ，0n >，4121m n+=+， ∴()()4111411911554122122n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫++=+++⨯=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当411n m m n +=+且4121m n+=+，即2m =，32n =时取等号， 故m n +的最小值72.故选：A. 【点睛】本题主要考查了均值不等式求最值，“1”的变形使用，属于中档题.11．C解析：C 【分析】由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出240a -=或2400a ⎧-<⎨∆<⎩，在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知，关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .（1）当240a -=，即2a =±．当2a =时，不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；（2）当240a -≠，即2a ≠±时．关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦．故选C ． 【点睛】本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.12．D解析：D 【分析】对于选项A ，2n ≥时，2n a ≥，所以该选项不正确；对于选项B ，证明+1n n a a ≥，所以该选项不正确；对于选项C ，令2,a =所以2n a =，所以该选项不正确；对于选项D ，令2a =.所以2n a =，所以该选项正确.【详解】对于选项A ，因为0,a >所以24222a a a =+-≥=，依次类推得到0n a >， 所以2n ≥时，114222n n n a a a --=+-≥=，所以不存在2n ≥，使得2n a <，所以该选项错误；对于选项B ,由已知得+142n n n a a a =+-，所以+1n na a =2421n n a a +-，设11(0)2n t t a =<≤，所以+1n n a a =22134214()144t t t -+=-+≤，所以+1n n a a ≤，所以不存在2n ≥，使得+1n n a a <，所以该选项错误； 对于选项C ，因为0,a >所以242a a a =+-，令242a a a a=+-=，所以2a =.所以2n a =，所以任意0a >，存在*m N ∈，总有mn a a <不正确，所以该选项不正确；对于选项D ，因为0,a >所以242a a a =+-，令242a a a a=+-=，所以2a =.所以2n a =，所以存在0a >，存在*m N ∈，使得n n m a a +=，所以该选项正确.故选：D. 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查数列单调性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【分析】由可得则展开后利用基本不等式求解即可【详解】当且仅当即时等号成立故的最小值为故答案为：【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正（即条件要求中字母解析：95【分析】由4a b +=，可得(1)5a b ++= ，则()411111154a b a b a b ⎛⎫+=+++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】4,(1)5a b a b +=∴++=，414114(1)14(19[(1)]5251151555b a b a b a b a b a b a ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=+++⋅=++⋅⋅=⎢⎥ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 当且仅当4(1)1b a a b +=+，即102,33a b ==时等号成立， 故411a b ++的最小值为95.故答案为：95. 【点睛】 方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.14．【分析】根据不等式的解集可得为对应方程的根分析两个不等式对应方程的根即可得解【详解】由于满足即可得所以所以方程的两根分别为而可化为即所以方程的两根分别为且不等式的解集为所以解得则因此故答案为：【点睛 解析：27【分析】根据不等式的解集可得2、3、6为对应方程的根，分析两个不等式对应方程的根，即可得解.【详解】由于6x =满足()060f ≤≤，即()63660f a b =++=，可得636b a =--， 所以，()()()263666f x x ax a x x a =+--=-++， 所以，方程()0f x =的两根分别为6、6a --，而()6f x x ≤-+可化为()()21670x a x a ++-+≤，即()()670x x a -++≤， 所以，方程()6f x x =-+的两根分别为6、7a --，76a a --<--，且不等式()06f x x ≤≤-+的解集为[]{}2,36⋃，所以，6372a a --=⎧⎨--=⎩，解得9a =-，则18b =，因此，27b a -=. 故答案为：27.【点睛】关键点点睛：本题主要考查一元二次不等式与方程之间的关系，即不等式解集的端点即为对应方程的根，本题在理解2、3、6分别为方程()()660x x a -++=、()()670x x a -++=的根，而两方程含有公共根6，进而可得出关于实数a 的等式，即可求解.15．【分析】配凑成再用利用均值不等式直接求解【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为:【点睛】此题考查利用基本不等式求最值属于基础题方法点睛：均值不等式成立的3个条件一正二定三相等一正：的范围要为正 解析：1-【分析】配凑成()4()333f x x x ⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦，再用利用均值不等式直接求解．【详解】因为3x <，所以()()43333413f x x x ⎡⎤=--+≤-=-=-⎢⎥-⎣⎦.当且仅当43=3x x --，即1x =时等号成立，故答案为: 1-【点睛】 此题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.方法点睛：均值不等式a b +≥成立的3个条件“一正、二定、三相等”．一正：,a b 的范围要为正值二定：当,a b 为大于零的变量，那么a b +、最值．三相等：验证均值不等式在给定的范围内能否满足取等号的条件．16．9【分析】将分式展开利用基本不等式求解即可【详解】又x ＋2y ＝4即当且仅当等号成立故原式故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值考查等价变换思想与求解能力注意等号成立条件解析：9 【分析】 将分式展开，利用基本不等式求解即可【详解】(4)(2)82416161x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+又x ＋2y ＝4≥即2xy ≤，当且仅当2,1x y ==等号成立，故原式9≥故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件 17．【分析】整理已知条件得到对于恒成立利用二次函数的特点求解范围即可【详解】由得则对于恒成立令则；令则；综上：故答案为：【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式属于中档题解析：57,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】整理已知条件得到2211010x xt x xt ⎧+-<⎨-+<⎩对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，利用二次函数的特点求解范围即可.【详解】由256x xt <--， 得22265565xt x x xt x -<-⇒-<-<-， 则2211010x xt x xt ⎧+-<⎨-+<⎩对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 令()211f x x xt =+-， 则()431072272202t f t t f ⎧⎧⎛⎫<⎪<⎪⎪ ⎪⇒⇒<⎝⎭⎨⎨⎪⎪<<⎩⎪⎩； 令()21g x x xt =-+， 则()51052252202t g t t g ⎧⎧⎛⎫>⎪<⎪⎪ ⎪⇒⇒>⎝⎭⎨⎨⎪⎪><⎩⎪⎩； 综上：5722t <<. 故答案为：57,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式.属于中档题.18．【分析】先求得函数的图象恒过定点代入直线的方程得到再结合基本不等式即可求解【详解】由题意函数可得函数的图象恒过定点又由点在直线上可得则又因为则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】本 解析：8【分析】先求得函数()y f x =的图象恒过定点(2,1)A --，代入直线的方程，得到21m n +=，再结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，函数()21(2)1f x ax a a x =+-=+-，可得函数()y f x =的图象恒过定点(2,1)A --，又由点(2,1)A --在直线10mx ny ++=上，可得210m n --+=，则21m n +=， 又因为0m n ⋅>，则0m n>，所以12124()(2)448n m m n m n m n m n +=++=++≥=，当且仅当122n m ==时，等号成立， 因此，12m n+的最小值为8. 故答案为：8.【点睛】本题主要利用基本不等式求最值问题，同时考查函数的图象过定点问题的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，准确运算时解答的关键，着重考查推理与运算能力.19．【分析】求出设（当且仅当时成立）求出的最小值即可【详解】解：设（当且仅当时成立）的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式的性质考查转化思想属于中档题 解析：23【分析】 求出23154a M a a =-++，设254445259a a N a a a a a++==+++=（当且仅当2a =时“=”成立），求出M 的最小值即可．【详解】 解：2ab =，0a >，0b >，2b a ∴=， 21111114311411211414541a a M a b a a a a a a a a∴=+=+=+=+-=-++++++++++，设254445259a a N a a a a a ++==+++=（当且仅当2a =时“=”成立）， 1109N ∴<，1303N--<，23113N -<， 11112M a b ∴=+++的最小值为23， 故答案为：23． 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题．20．【分析】先根据三角形面积关系列等量关系再根据基本不等式求最值【详解】因为所以因此当且仅当即时取等号即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式利用基本不等式求最值考查综合分析求解能力属中档题 解析：16【分析】先根据三角形面积关系列,a c 等量关系，再根据基本不等式求最值.【详解】因为ABC ABD BDC SS S =+, 所以11111sin1201sin 601sin 601222ac a c a c=⨯⨯+⨯⨯∴+=因此1199(9)()101016c a a c a c a c a c +=++=++≥+= 当且仅当911,1c a a c a c =+=即44,3a c ==时取等号 即9a c +的最小值为16故答案为：16【点睛】本题考查三角形面积公式、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无。
(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知a >0，b >0，a +b =1，则下列等式可能成立的是（ ） A ．221a b += B ．1ab = C ．212a b +=D ．2212a b -=2．若正数a ，b 满足1a >，1b >，且3a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．9D ．163．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0B ．3C ．94D ．14．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41x 1y++的最小值为( ) A ．447B ．275 C ．143D ．925．已知正实数,a b 满足1a b +=，则11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是（ ） A ．112B ．5C ．222+D ．32+6．当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．8m ≤B ．8m <C ．8m ≥D ．8m >7．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．218．若实数,x y 满足0xy >，则的最大值为（ ） A ．22B ．22+C ．422+D ．422- 9．已知1x >，则41x x +-的最小值为 A ．3B ．4C ．5D ．610．若a ，b 为正实数，直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直，则ab 的最大值为（ ）A ．32B ．98C ．94D ．411．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞12．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知6B π=且1ABC S =△，则2a c ac a c+-+的最小值（ ） A ．12B ．2C ．14D ．4二、填空题13．对于实数m ，若两函数()f x ，()g x 满足：①[,)x m ∀∈+∞，()0f x <或()0<g x ；②(,]x m ∃∈-∞，()()0f x g x <，则称函数()f x 和()g x 互为“m 相异”函数.若2()1f x ax ax =+-和()1g x x =-互为“1相异”函数，则实数a 的取值范围是___________.14．已知正数,x y 满足10xy y -+=，则4y x+的最小值为___________． 15．已知函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________. 16．设函数4()f x x x=-对任意[2,)x ∈+∞，()()0f ax af x +<恒成立，则实数a 的取值范围是____________.17．若1a 2-<<，21b -<<，则-a b 的取值范围是 ．18．若关于x 的不等式2410x x m -+->的区间[]1,4内有解，则实数m 的取值范围为______．19．设2020a b +=，0b >，则当a =____________时，12020a a b+取得最小值.20．已知函数3()3f x x x =-，若对任意的实数x ，不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立，则实数t 的取值范围__________．三、解答题21．已知二次函数()f x 满足(1)8f -=且(0)(4)3f f == （1）求()f x 的解析式；（2）若[],1x t t ∈+，试求()y f x =的最小值.22．已知a 、b 都是正实数，且.bb a a=- （1）求证:a >1； （2）求b 的最小值.23．已知命题p ：方程240x mx ++=无实数根：命题q ：不等式()2310x m x +-+>在x ∈R 上恒成立.（1）如果命题p 是假命题，请求出实数m 的取值范围；（2）如果命题p q ∨为真命题，且命题p q ∧为假命题，请求出实数m 的取值范围.24．解下列不等式： （1）2340x x -->； （2）122x x -≤+．25．已知二次函数()f x 满足()01f =，()()125f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）若[]3,1x ∈-，若()25f x m m ≤-恒成立，求实数m 的取值范围.26．若关于x 的不等式（1－a ）x 2－4x ＋6<0的解集是x| x<－3或x> 1}． （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式2x 2＋（2－a ）x －a>0．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据已知条件由2()2a b ab +≤可求出2212a b +≥，又由完全平方公式可得221a b +<，即可判断A 、B ；由已知条件可知01b <<，则2b b >，因此22212a b a b +>+≥，可判断C ；由平方差公式可得12a b -=，与1a b +=联立可求出满足条件的a 、b ，故D 可能成立.001a b a b >>+=，，2222211()21212()12()222a b a b a b ab ab +∴+=+-=-≥-⋅=-⨯=， 当且仅当12a b ==时等号成立， 又0ab >，222()2121b a b a ab a b +=+-=-<∴，22112a b ≤+<∴，则221a b +=不可能成立； 2211()()224a b ab ≤==+，当且仅当12a b ==时等号成立，故1ab =不可能成立；001a b a b >>+=，，，01b ∴<<，2b b ∴>，22212b a b a +>+≥∴（由A 可知），则212a b +=不可能成立； ()()2212a b a b a b a b -=+-=-=，联立112a b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得31,44a b ==，满足条件，D 成立. 故选：D2．C解析：C 【分析】由等式3a b +=可以得到111a b -+-=，由1411a b +--乘以111a b -+-=所求得式子和基本不等式进行求解即可. 【详解】由3a b +=，可得111a b -+-=，10,10a b ->->， 所以()141414(1)511111111a b a a b b a b a b --⎛⎫+=+=++ ⎪------⎝⎭-+-59≥+= 当且仅当12(1)b a -=-，即54,33b a ==时等号成立. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题注意观察待求式的分母，1,1a b --，结合已知条件，可变形为关于分母的式子111a b -+-=，这样就转化为“1”的常规技巧的应用.3．D【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x =+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴2211434432?xy xy x y zx xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.4．D解析：D 【分析】将1x y +=变成12x y ++=，可得41141121x y x y x y ⎛⎫+++=⋅+ ⎪++⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可． 【详解】0x ，0y >，1x y +=，12x y ∴++=，(41141141191451212122x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++=⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(当且仅当13x =，23y =取等号)，故选D ． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.5．C解析：C 【分析】将原式变形为()2211b a b b a b ab++⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：()222111b a b b b a b ab ab+++⎛⎫+== ⎪⎝⎭)()222222222a abab b a ab ababab++++==≥=，当且仅当a =时取等号，即2a =1b =时等号成立，故选：C ． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题.6．A解析：A 【分析】 由题可得444444x x x x +=-++--，且40x ->，利用基本不等式解答即可． 【详解】解：∵4x >，∴40x ->，∴44444844x x x x +=-++≥=-- 当且仅当444x x -=-，即6x =时取等号， ∵当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立， ∴只需min484m x x ⎛⎫≤+= ⎪-⎝⎭． ∴m 的取值范围为：(8],-∞． 故选A ． 【点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出444444x x x x +=-++--，属于一般题．7．A解析：A 【详解】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．8．D解析：D 【解析】试题分析：由实数,x y 满足0xy >，，设{2m x y n x y=+=+，解得2{x m ny n m =-=-，则2222224()424222x y m n n m n m n mx y x y m n m n m n--+=+=-+≤-⋅=-++，当且仅当2n mm n=，及2n m =时等号成立，所以的最大值为422-，故选D.考点：基本不等式的应用.9．C解析：C 【分析】由1x >，得10x ->，则441111x x x x +=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】由题意，因为1x >，则10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-时，即3x =时取等号，所以41x x +-的最小值为5，故选C ． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．B解析：B 【分析】由两直线垂直求出23a b +=，再利用基本不等式求出ab 的最大值． 【详解】解：由直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直 所以22(23)0b a +-= 即23a b +=又a 、b 为正实数，所以2a b +≥即229224a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a 34=，b 32=时取“＝”；所以ab 的最大值为98． 故选：B 【点睛】本题主要考查了由直线垂直求参数，基本不等式求最值的应用，属于中档题.11．C解析：C 【分析】由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出240a -=或2400a ⎧-<⎨∆<⎩，在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知，关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .（1）当240a -=，即2a =±．当2a =时，不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；（2）当240a -≠，即2a ≠±时．关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦．故选C ．【点睛】本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.12．A解析：A 【分析】由已知条件和三角形的面积公式得4ac =，再根据基本不等式可得+4a c ≥，令24a c y a c +=-+，+a c t =，24t y t =-（4t ≥），由此函数的单调性可得选项. 【详解】 由已知6B π=且1ABC S =△，得1sin 126ac π=，解得4ac =， 所以2+42a c ac ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，即+4a c ≥，当且仅当a c =时取等号， 所以224a c a c ac a c a c ++-=-++，令24a c y a c +=-+，+a c t =，则24t y t =-（4t ≥），而24t y t =-在[)4+∞，单调递增，所以24214442t y t =-≥-=，所以2a c ac a c+-+的最小值为12. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形的面积公式，基本不等式的应用，以及运用函数的单调性求最值的问题，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据两个函数互为相异函数可得有恒成立且在上有解利用参变分离先讨论前者再结合二次函数的图象和性质可得所求的取值范围【详解】因为当时当时当时结合互为相异函数故有恒成立且在上有解先考虑有恒成立则在 解析：(),4-∞-【分析】根据两个函数互为“1相异”函数可得[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，且()0f x >在(),1-∞上有解，利用参变分离先讨论前者，再结合二次函数的图象和性质可得所求的取值范围. 【详解】因为当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，当1x <时，()0g x <， 结合()(),f x g x 互为“1相异”函数，故[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，且()0f x >在(),1-∞上有解. 先考虑[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，则210ax ax 在[1,)+∞上恒成立，故2+1a x x<在[1,)+∞上恒成立， 因为22+x x ≥，故2+1102x x <≤，故0a ≤. 再考虑()0f x >在(),1-∞上有解，若0a =，则()10f x =-<，故()0f x >在(),1-∞上无解， 若0a <，()f x 的对称轴为12x =-，且开口向下，由()0f x >在(),1-∞上有解可得240a a ∆=+>， 故4a或0a >（舍）.故实数a 的取值范围是(),4-∞-， 故答案为：(),4-∞-. 【点睛】方法点睛：对于新定义背景下的函数性质的讨论，一般是先根据定义得到含参数的函数的性质，对于不等式的恒成立或有解问题，可优先考虑参变分离的方法，也可以结合函数图象的性质处理.14．9【分析】由已知条件得出将代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】因为正数满足所以即所以当且仅当即时等号成立故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条解析：9【分析】 由已知条件得出11x y +=，将代数式1x y +与4y x+相乘，展开后利用基本不等式可求得4y x+的最小值. 【详解】因为正数,x y 满足10xy y -+=， 所以1xy y +=，即11x y+=，所以4144()()559y x y xy x y x xy +=++=++≥+=， 当且仅当2xy =，即3y =，23x =时，等号成立. 故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】因为函数的定义域为即不等式恒成立需按二次项系数：为零与不为零分类讨论当系数不为零时只需让系数大于零且根的判别式小于零解此不等式组即可求出的取值范围【详解】∵函数的定义域为∴对于任意恒有①若则 解析：2(,)[2,)3-∞⋃+∞ 【分析】因为函数的定义域为R ，即不等式22(32)(2)10m m x m x -++-+>恒成立，需按二次项系数：232m m -+为零与不为零，分类讨论，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零，解此不等式组，即可求出m 的取值范围.【详解】∵ 函数()f x 的定义域为R ，∴ 对于任意x ∈R ，恒有22(32)(2)10m m x m x -++-+>，① 若2320m m -+=，则2m =或1，当1m =时，不等式即为101x x -+>⇒<，不符合题意，当2m =时，不等式即为10>，符合题意，∴ 2m =符合题意；② 若2320m m -+≠，由题意得()22232024(32)0m m m m m ⎧-+>⎪⎨∆=---+<⎪⎩， 解得：2m >或23m <； 综上可得，m 的取值范围是2m ≥或23m <． 故答案为：2(,)[2,)3-∞⋃+∞.【点睛】关键点睛：本题主要考查二次不等式的恒成立问题．讨论二次项系数为零与不为零，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零是解决本题的关键. 16．【分析】由题意可得在恒成立运用参数分离和讨论结合恒成立思想和不等式的解法即可得到所求范围【详解】函数对任意恒成立即有即有在恒成立当时由于不满足题意；当时由于可得解得或即有成立则的取值范围是故答案为： 解析：(,1)-∞-【分析】 由题意可得212ax a a<+在[2，)+∞恒成立，运用参数分离和讨论0a >，0a <，结合恒成立思想和不等式的解法，即可得到所求范围．【详解】 函数4()f x x x =-，对任意[2x ∈，)+∞，()()0f ax af x +<恒成立， 即有440a ax ax ax x-+-<， 即有212ax a a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭在[2，)+∞恒成立， 当0a >时，22121x a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，不满足题意； 当0a <时，22121x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，可得21214a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 解得1a >或1a <-，即有1a <-成立．则a 的取值范围是(,1)-∞-．故答案为：(,1)-∞-．【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．17．(-24)【分析】根据条件得到的范围然后与的范围相加得到的取值范围【详解】因为所以而所以故答案为【点睛】本题考查不等式的基本性质属于简单题 解析：(-2,4)【分析】根据条件，得到b -的范围，然后与a 的范围相加，得到-a b 的取值范围.【详解】因为21b -<<，所以12b -<-<而1a 2-<<所以24a b -<-<故答案为()2,4-.【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于简单题.18．【分析】不等式在区间内有解等价于然后求出的值域即可【详解】不等式在区间内有解等价于因为函数在上单调递减在单调递增所以的值域为所以故答案为：【点睛】本题考查的是不等式存在性问题考查了学生对基本方法的掌 解析：(],1-∞【分析】不等式2410x x m -+->在区间[]1,4内有解等价于()2max 4+1x x m ≤-，然后求出()24+1f x x x =-的值域即可.【详解】不等式2410x x m -+->在区间[]1,4内有解等价于()2max 4+1x x m ≤-，因为函数()24+1f x x x =-在()1,2上单调递减，在()2,4单调递增，()()()12,23,41f f f =-=-=，所以()f x 的值域为[]31-，，所以1m ≤， 故答案为：(],1-∞.【点睛】本题考查的是不等式存在性问题，考查了学生对基本方法的掌握情况，属于中档题. 19．【分析】根据题中所给的式子结合已知条件将式子进行整理结合绝对值的意义以及基本不等式求得结果【详解】由已知有：当且仅当时等号成立即故答案为：【点睛】该题考查的是有关求最值的问题涉及到的知识点有基本不等解析：20202019-【分析】 根据题中所给的式子，结合已知条件，将式子进行整理，结合绝对值的意义以及基本不等式求得结果.【详解】由已知有：22212020202020202020a a a a b a b a b a b a a b++=+=++212020≥-+ 221140392202020202020=-+⨯=， 当且仅当0a <，22020a b a b=时，等号成立. 即222202020192020a a b ⇒=-=. 故答案为：20202019-. 【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有基本不等式，属于简单题目. 20．【分析】代入函数解析式可得不等式等价于任意的实数恒成立利用判别式小于0即可求解【详解】不等式恒成立即恒成立整理得恒成立可知则任意的实数恒成立解得（舍去）或实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查一 解析：()4,+∞【分析】代入函数解析式可得不等式等价于223340x tx t 任意的实数x 恒成立，利用判别式小于0即可求解.【详解】 3()3f x x x =-，不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立，即()()3333x t x t x x t +-+>-+恒成立，整理得2233340tx t x t t 恒成立，可知0t >，则223340x tx t 任意的实数x 恒成立，2234340t t ，解得4t <-（舍去）或4t >， ∴实数t 的取值范围是()4,+∞.故答案为：()4,+∞.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立，属于基础题.三、解答题21．（1）2()43f x x x =-+；（2）2min243,2()1,122,1t t t f x t t t t ⎧-+≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩. 【分析】（1）设二次函数()f x 的解析式为：2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(1)8f -=、(0)(4)3f f ==列方程组即可求出,,a b c 得值进而可得()f x 的解析式；（2）由（1）知2()43f x x x =-+，对称轴为2x =，分情况讨论对称轴和区间的关系即可求解.【详解】（1）设二次函数()f x 的解析式为：2()(0)f x ax bx c a =++≠，因为(1)8f -=，且(0)(4)3f f ==，则有813416433a b c a c b a b c c -+==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩， 于是二次函数解析式为：2()43f x x x =-+（2）由（1）知2()43f x x x =-+，对称轴为2x =，若2t ≥，则()f x 在[],1t t +上单调递增，所以2min ()()43f x f t t t ==-+； 若12t +≤，即1t ≤时，()f x 在[],1t t +上单调递减，所以22min ()(1)(1)4(1)32f x f t t t t t =+=+-++=-； 若21t t <<+，即12t <<时，2min ()(2)24231f x f ==-⨯+=-综上，2min243,2()1,122,1t t t f x t t t t ⎧-+≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩【点睛】 方法点睛：求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出()f x ，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式求()f x 的解析式的问题，令()g x t =，解出x ，然后代入()f g x ⎡⎤⎣⎦中即可求得()f t ，从而求得()f x ，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将()f g x ⎡⎤⎣⎦右端的代数式配凑成关于()g x 的形式，进而求出()f x 的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解. 22．无23．无24．无25．无26．无。
宁波市必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试(含答案解析)
一、选择题1．设实数x 满足0x >，函数4231y x x =+++的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．1D ．62．已知关于x 的不等式210mx mx ++>恒成立，则m 的取值范围为（ ）．A ．()0,4B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(](),04,-∞⋃+∞3．下列函数中，最大值为12的是（ ）A ．22116y x x=+B ．yC ．241x y x =+D ．()422y x x x =+>-+ 4．若正数a ，b 满足1a >，1b >，且3a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．9D ．165．在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，不等式2410mx x -+<有解，则m 的取值范围为（ ）A ．4m ≤B ．74m <C ．4m <D ．3m <6．对于任意实数x ，不等式210ax ax -+>恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,4B ．[)0,4C ．(][),04,-∞+∞ D ．()(),04,-∞+∞7．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙预测说：我不会获奖，丙获奖 丙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A ．甲和丁 B ．乙和丁 C ．乙和丙 D ．甲和丙8．下列命题中是真命题的是（ ）A ．y =的最小值为2；B ．当a ＞0，b ＞0时，114a b++； C ．若a 2+b 2=2，则a +b 的最大值为2；D ．若正数a ，b 满足2,a b +=则11+4+22a b +的最小值为12.9．已知A 、B 、C 为ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tan 2tan B A =，则11tan tan B C+的最小值为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．110．若不等式2210ax ax ++>对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．[)0,+∞C ．(](),01,-∞+∞ D ．()0,111．已知01a <<，1b >，则下列不等式中成立的是（ ）A ．4aba b a b+<+ B 2aba b<+C <D ．a b +12．已知不等式1()⎛⎫++ ⎪⎝⎭a x y x y ≥4对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．6二、填空题13．已知0,0,4a b a b >>+=，则411a b ++的最小值为__________. 14．已知函数()243()46,,f x mx m tm x tm t m R =+-++∈，若[2,3]m ∃∈，使得对123,,,22t t x m t m x m m ⎡⎤⎡⎤∀∈++∀∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦均有()()12f x f x ≤，则正数t 的最小值为__________15．若a ，b 为实数，且12,12a b ≤≤≤≤，则21a b ab+的最小值是________． 16．已知0x >，0y >，22x y +=，则223524x y x yxy+++的最小值为______.17．已知实数0a >，0b >是2a 与2b 的等比中项，则13a b+的最小值是______. 18．若不等式256x xt <--对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数t 的取值范围是______.19．已知32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________.20．若正数a ，b 满足2ab =，则11112M a b=+++的最小值为________. 三、解答题21．某工厂进行废气回收再利用，把二氧化硫转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为2150400004y x x =-+，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的月平均处理成本最低？（2）该工厂每月进行废气回收再利用能否获利？如果获利，求月最大利润；如果不获利，求月最大亏损额.22．已知0,0x y >>，且440x y +=. （1）求xy 的最大值； （2）求11x y+的最小值.23．已知函数()24ax ax b f x =-+．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,b ，求a ，b 的值； （2）当3b a =时，求关于x 的不等式()0f x <的解集．24．已知函数()|21||2|f x x x =---，M 为不等式()1f x <-的解集. （1）求M ；（2）当,a b M ∈且1a b +=时，4a b tab +≥恒成立，求t 的最大值.25．已知函数()22f x x ax =-，x ∈R ，a R ∈.()1当1a =时，求满足()0f x <的x 的取值范围； ()2解关于x 的不等式()23f x a <；()3若对于任意的()2,x ∈+∞，()1f x >均成立，求a 的取值范围．26．已知ABC 内接于O ，AB c =，BC a =，=CA b ，O 的半径为r .（1）若230OA OB OC ++=，试求BOC ∠的大小；（2）若A 为动点，60BAC ∠=︒，AO OC OB λμ=+，试求λμ+的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】将函数变形为()43111y x x =++-+，再根据基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：由题意0x >，所以10x +>， 所以()4423231311y x x x x =++=++-+++()4311111x x =++-≥=+，当且仅当()4311x x +=+，即103x =->时等号成立，所以函数4231y x x =+++的最小值为1. 故选：A ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方2．B解析：B 【分析】分0m =和0m ≠两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】因为关于x 的不等式210mx mx ++>恒成立，分以下两种情况讨论： （1）当0m =时，可得10>，合乎题意；（2）当0m ≠时，则有240m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得04m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)0,4. 故选：B. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩； ②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩； ③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩. 3．C解析：C 【分析】 用排除法求解． 【详解】由于20x >，因此22116y x x=+无最大值，A 错；[0,1]y =，最小值为0，最大值为1，B 错； 2x >-，20x +>，42y x x =++无最大值，D 错， 只有C 正确、 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最大值．对于单选题可以从简单入手，利用排除法确定正确选项．实际上C 可以用基本不等式求解：24()1x f x x =+，0x =时，(0)0f =，0x ≠时，221()1f x x x =+， 而2212x x +≥，当且仅当1x =±时等号成立，∴10()2f x <≤，综上有()f x 的值域是1[0,]2，最大值为12． 4．C解析：C 【分析】由等式3a b +=可以得到111a b -+-=，由1411a b +--乘以111a b -+-=所求得式子和基本不等式进行求解即可. 【详解】由3a b +=，可得111a b -+-=，10,10a b ->->， 所以()141414(1)511111111a b a a b b a b a b --⎛⎫+=+=++ ⎪------⎝⎭-+-59≥+= 当且仅当12(1)b a -=-，即54,33b a ==时等号成立. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题注意观察待求式的分母，1,1a b --，结合已知条件，可变形为关于分母的式子111a b -+-=，这样就转化为“1”的常规技巧的应用.5．C解析：C 【分析】令()241f x mx x =-+，对二次项系数m 分三种情况讨论，再对二次函数的对称轴分类讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可； 【详解】解：令()241f x mx x =-+当0m =时，原不等式为410x -+<，解得14x >，满足条件； 当0m <时，函数的对称轴为20x m =<，要使不等式2410mx x -+<在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，只需()20f <，即4700m m -<⎧⎨<⎩解得0m <当0m >时，函数的对称轴为20x m =>，要使不等式2410mx x -+<在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，当2103m <<，即6m >时，只需103f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即110936m m ⎧-<⎪⎨⎪>⎩无解； 当22m >，即01m <<时，只需()20f <，即47001m m -<⎧⎨<<⎩解得01m <<；当1223m ≤≤，即16m ≤≤时，只需20f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即481016m m m ⎧-+<⎪⎨⎪≤≤⎩解得14m ≤<；综上可得4m < 故选：C 【点睛】本题考查一元二次不等式的解，一元二次方程根的分布问题，解答的关键是对对称轴即二次项系数分类讨论，分别求出各种情况的参数的取值范围，最后取并集；6．B解析：B 【分析】讨论0a =和0a ≠情况，再根据一元二次不等式与二次函数的关系，解不等式得解. 【详解】 关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立，当0a =时，10>恒成立，满足题意当0a ≠时，即函数()21f x ax ax =-+恒在x 轴上方即可，所以00a >⎧⎨∆<⎩，即2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<，所以实数a 的取值范围是[0,4).故选：B 【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.7．B解析：B 【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断 【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁 答案选B【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证8．B解析：BCD【分析】利用基本不等式分别判断A、B、D选项，C选项可设,a bαα==，利用三角函数的值域求范围.【详解】A选项，222x+≥0 >，∴2y=≥==，即221x+=±时成立，又222x≥+，故A错；B选项，当a＞0，b＞0时，1124a b+++≥⨯=，当且仅当1a b=⎧=，即1a b==时等号成立，B正确；C选项，设,a bαα==，则2sin24a bπααα⎛⎫+==+≤⎪⎝⎭，C正确；D选项，2a b+=，()212192a b⎡⎤⎛⎫∴+++=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()121252229291111++4+22442+2242a b a baba ba b⎛⎫+⎪⎡⎤+⎛⎫⎛⎫+++=⨯++⎪⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝=+⎣+⎭⎦ ⎪⎝⎭251942⎛≥⨯+=⎝⎭，当且仅当122422aba b++=++且2a b+=时等号成立，解得1a b==，故D正确.故选：BCD【点睛】本题考查基本不等式的应用、利用三角函数的值域求范围，注意取等号的条件，属于中档题.9．C解析：C 【分析】将11tan tan B C +化为关于tan A 的式子，然后利用基本不等式可以求出最小值. 【详解】在ABC 中，()tan tan C A B =-+，111111tan tan tan tan tan tan tan tan tan A BB C B A B B A B，tan 2tan B A =，211tan tan 112tan 12tan tan tan tan 2tan 3tan 6tan 3A B AAB A B A AA ,角A 为锐角,tan 0A ∴>，12tan 12tan 226tan 36tan 33A AA A ， 当且仅当12tan 6tan 3A A ，即1tan 2A =时，等号成立，∴11tan tan B C +的最小值为23. 故选：C. 【点睛】本题考查三角形中角的互化，和的正切公式的应用，以及利用基本不等式求最值，属于中档题.10．A解析：A 【分析】设函数()221f x ax ax =++，把不等式2210ax ax ++>在x ∈R 上恒成立，转化为()0f x >对于x R ∀∈恒成立，结合函数的性质，即可求解.【详解】解：设函数()221f x ax ax =++，则不等式2210ax ax ++>在x ∈R 上恒成立，即()0f x >对于x R ∀∈恒成立， 当0a =时，()10f x =>，显然成立； 当0a ≠时，要使()0f x >在x ∈R 上恒成立，需函数()221f x ax ax =++开口向上，且与x 轴没有交点，即20(2)410a a a >⎧⎨∆=-⨯⨯<⎩，解得01a <<， 综上知，实数a 的取值范围为[0,1).故选：A. 【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与计算能力.11．D解析：D 【分析】本题先根据完全平方公式与基本不等式得到()22224a b a ab b ab +=++>，所以排除选项A2211aba b a b>=++，所以排除选项B ；接着根据基本>=，所以排除选项C ；最后根据基本不等式得到选项D 正确. 【详解】解：对于选项A ：因为01a <<，1b >，所以()22224a b a ab b ab +=++>，故选项A 错误；对于选项B 2211aba b a b>=++，故选项B 错误；对于选项C>=C 错误；对于选项D ：()22222222a b a ab b a b +>++=+， 所以a b +<，故选项D 正确. 故选：D . 【点评】本题考查基本不等式的应用、学生的运算能力和转换能力，是基础题.12．A解析：A 【分析】()()11a y axx y a x y x y ⎛⎫++=+++⎪⎝⎭,然后利用基本不等式求最小值，即可得到a 的取值范围.【详解】()()11a y ax x y a x y x y ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭,0,0,0a x y >>>())21111y ax a a a x y ∴+++≥++=++=根据题意可知)214≥ ，解得1a ≥， a ∴的最小值是1故选：A【点睛】本题考查了基本不等式求最小值，属于中档题，意在考查转化与化归的能力，以及计算求解能力.二、填空题13．【分析】由可得则展开后利用基本不等式求解即可【详解】当且仅当即时等号成立故的最小值为故答案为：【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正（即条件要求中字母 解析：95【分析】由4a b +=，可得(1)5a b ++= ，则()411111154a b a b a b ⎛⎫+=+++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可.【详解】 4,(1)5a b a b +=∴++=，414114(1)14(19[(1)]5251151555b a b a b a b a b a b a ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=+++⋅=++⋅⋅=⎢⎥ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦，当且仅当4(1)1b a a b +=+，即102,33a b ==时等号成立， 故411a b ++的最小值为95. 故答案为：95. 【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.14．【分析】根据二次函数的性质结合存在任意的性质构造法换元法对钩函数的性质进行求解即可【详解】函数的对称轴为：要想对均有只需成立化简得：设令显然当时函数是单调递增函数故因此有显然该函数在单调递减函数故因 解析：10321【分析】根据二次函数的性质，结合存在、任意的性质、构造法、换元法、对钩函数的性质进行求解即可.【详解】函数()243()46f x mx m tm x tm =+-++的对称轴为：4342m tm x m -+=-， 要想对123,,,22t t x m t m x m m ⎡⎤⎡⎤∀∈++∀∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦均有()()12f x f x ≤，[2,3]m ∈ 只需43433441()()()2222m tm m tm m t m t m m -+-++--≤--+成立， 化简得：423242m m t m m ++≥-，设42324()2m m g m m m++=-，[2,3]m ∈， 242234224()22m m m m g m m m m m++++==--，令2a m m =-，显然当[2,3]m ∈时，函数2a m m =-是单调递增函数，故7[1,]3a ∈， 因此有266()a h a a a a+==+，7[1,]3a ∈，显然该函数在7[1,]3t ∈单调递减函数， 故min 7103()()321h a h ==，因此要想423242m m t m m++≥-在[2,3]m ∈有解，只需10321t ≥. 故答案为：10321【点睛】 关键点睛：解决本题的关键是根据二次函数的性质得到43433441()()()2222m tm m tm m t m t m m -+-++--≤--+这个不等式，然后运用构造函数进行求解.15．【分析】利用基本不等式得到通过求出进而求解【详解】由得又因为所以当时此时成立可得时满足条件所以的最小值是；故答案为：【点睛】关键点睛：解题的关键在于基本不等式后得到的求最值得到进而求解解析：2【分析】利用基本不等式，得到21a b ab +≥=，通过求出min2⎡=⎢⎣，进而求解【详解】由12,12a b ≤≤≤≤得，21a b ab +≥=，又因为12b ≤≤，所以，当2b =时，min2⎡=⎢⎣，此时21a b ab =成立，可得，2a b =，a =2b =时，满足条件，所以，21a b ab +的最小值是2；故答案为：2【点睛】关键点睛：解题的关键在于基本不等式后得到的min2⎡=⎢⎣，进而求解16．16【分析】由条件可知则原式变形为展开后利用基本不等式求最小值【详解】原式；当且仅当即时取等所以的最小值为16故答案为：16【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合1的妙用利用基本不等式求最值解析：16【分析】 由条件可知()1212x y +=，则原式变形为()1243522x y x y y x y x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，展开后，利用基本不等式求最小值.【详解】 原式()124493524162x y x y x y y x y x y x⎛⎫=++++=++≥ ⎪⎝⎭； 当且仅当23x y =即67x =，47y =时取等. 所以223524x y x y xy+++的最小值为16. 故答案为：16【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合 “1”的妙用，利用基本不等式求最值.17．【分析】由是与的等比中项求得化简结合基本不等式即可求解【详解】由题意实数是与的等比中项可得得所以当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值以及等比中项公解析：4+【分析】2a 与2b 的等比中项，求得1a b +=，化简13133()()4b a a b a b a b a b+=++=++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，实数0a >，0b >2a 与2b 的等比中项，可得2222a b a b +=⨯=，得1a b +=，所以13133()()44b a a b a b a b a b +=++=++≥+=当且仅当3b a a b =时，即a b ==所以13a b+的最小值是4+.故答案为：4+【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题.18．【分析】整理已知条件得到对于恒成立利用二次函数的特点求解范围即可【详解】由得则对于恒成立令则；令则；综上：故答案为：【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式属于中档题 解析：57,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】整理已知条件得到2211010x xt x xt ⎧+-<⎨-+<⎩对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，利用二次函数的特点求解范围即可.【详解】 由256x xt <--， 得22265565xt x x xt x -<-⇒-<-<-，则2211010x xt x xt ⎧+-<⎨-+<⎩对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 令()211f x x xt =+-， 则()431072272202t f t t f ⎧⎧⎛⎫<⎪<⎪⎪ ⎪⇒⇒<⎝⎭⎨⎨⎪⎪<<⎩⎪⎩； 令()21g x x xt =-+， 则()51052252202t g t t g ⎧⎧⎛⎫>⎪<⎪⎪ ⎪⇒⇒>⎝⎭⎨⎨⎪⎪><⎩⎪⎩； 综上：5722t <<. 故答案为：57,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式.属于中档题.19．【分析】由题意可得利用基本不等式可求得的最小值由此可求得实数的取值范围【详解】由于不等式对任意实数恒成立则由基本不等式可得当且仅当时即当时等号成立所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查利解析：(),1-∞【分析】由题意可得3231x x k -<+⋅-，利用基本不等式可求得3231x x -+⋅-的最小值，由此可求得实数k 的取值范围.【详解】由于不等式32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则3231x x k -<+⋅-，由基本不等式可得323111x x -+⋅-≥=，当且仅当323x x -=⋅时，即当31log 22x =时，等号成立，所以，1k <， 因此，实数k的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.【点睛】本题考查利用基本不等式求解不等式恒成立问题，考查参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】求出设（当且仅当时成立）求出的最小值即可【详解】解：设（当且仅当时成立）的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式的性质考查转化思想属于中档题 解析：23【分析】 求出23154a M a a =-++，设254445259a a N a a a a a++==+++=（当且仅当2a =时“=”成立），求出M 的最小值即可．【详解】 解：2ab =，0a >，0b >，2b a ∴=， 21111114311411211414541a a M a b a a a a a a a a∴=+=+=+=+-=-++++++++++，设254445259a a N a a a a a ++==+++=（当且仅当2a =时“=”成立）， 1109N ∴<，1303N--<，23113N -<， 11112M a b ∴=+++的最小值为23， 故答案为：23． 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无。
北师大版八年级下册2.5 一元一次不等式和一次函数培优拔尖同步习题(附答案)
2.5 一元一次不等式与一次函数培优拔尖同步习题一．选择题（共6小题）1．如图，直线y＝kx﹣b与横轴、纵轴的交点分别是（m，0），（0，n），则关于x的不等式kx﹣b≥0的解集为（）A．x≥m B．x≤m C．x≥n D．x≤n2．如图，函数y＝ax+4和y＝2x的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＞2x的解集为（）A．x B．x＜3 C．x D．x＞33．在平面直角坐标系中，若直线y＝x+n与直线y＝mx+6（m、n为常数，m＜0）相交于点P（3，5），则关于x的不等式x+n+1＜mx+7的解集是（）A．x＜3 B．x＜4 C．x＞4 D．x＞64．同一直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与正比例函数y2＝k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是（）A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣25．如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，1），则关于x的不等式x+m ＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．如图，正比例函数y1＝ax与一次函数y2＝x+b的图象交于点P．下面四个结论：①a ＜0；②b＜0；③不等式ax＞x+b的解集是x＜﹣2；④当x＞0时，y1y2＞0．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．①③二．填空题（共7小题）7．如图是函数y＝kx+b的图象，它与x轴的交点坐标是（﹣3，0），则方程kx+b＝0的解是，不等式kx+b＞0的解集是．8．函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式y1＞y2的解集为．9．若直线l1：y1＝k1x+b1经过点（0，3），l2：y2＝k2x+b2经过点（3，1），且l1与l2关于x轴对称，则关于x的不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集为．10．如图，直线y＝kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，则不等式﹣2＜kx+b＜1的解集为．11．如图所示，函数y2＝ax+b和y1＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是．12．已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤x+4，x、y为整数，符合上述条件的点P共有个．13．对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b 时，min{a，b}＝a．例如：min＝{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为．三．解答题（共7小题）14．已知直线y＝kx+b经过点A（5，0）B（1，4），并与直线y＝2x﹣4相交于点C，求关于x的不等式2x﹣4＜kx+b的正整数解．15．已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．（1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围．（2）当x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出k的取值范围．16．（1）画出一次函数y＝﹣3x+6的图象；（2）利用（1）中的图象求：①方程﹣3x+6＝0的解；②不等式﹣3x+6＜0的解集；③当x＜0时，直接写出y的取值范围．17．如图，直线l1：y1＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A、点B，与直线l2：y2＝x交于点C（2，2）．（1）若y1＜y2，请直接写出x的取值范围；（2）点P在直线l1：y1＝﹣x+b上，且△OPC的面积为3，求点P的坐标？18．已知点A（6，6）在直线l1：y＝kx﹣3上，（1）直线l1解析式为；（2）画出该一次函数的图象；（3）将直线l1向上平移5个单位长度得到直线l2，l2与x轴的交点C的坐标为；（4）直线l2与直线OA相交于点B，B点坐标为；（5）三角形ABC的面积为；（6）由图象可知不等式kx﹣3＜x的解集为．19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．（1）求k、b的值；（2）请直接写出不等式kx+b﹣3x＞0的解集．（3）若点D在y轴上，且满足S△BCD＝2S△BOC，求点D的坐标．20．如图，直线y1＝﹣x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y2＝x交于点E，点E的横坐标为3．（1）直接写出b值：；（2）当x取何值时，0＜y1≤y2？（3）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y1＝﹣x+b交于点C，与直线y2＝x交于点D，若CD＝2OB，求m的值．参考答案一．选择题（共6小题）1．【解答】解：∵要求kx﹣b≥0的解集，∴从图象上可以看出等y＞0时，x≥m．故选：A．2．【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），∴2m＝3，解得：m＝，∴A（，3），∴不等式ax+4＞2x的解集为x＜．故选：A．3．【解答】解：∵直线y＝x+n从左向右逐渐上升，直线y＝mx+6（m、n为常数，m＜0）从左向右逐渐下降，且两直线相交于点P（3，5）∴当x＜3时，x+n＜mx+6，∴x+n+1＜mx+7．故选：A．4．【解答】解：当x≤﹣2时，直线l1：y1＝k1x+b1都在直线l2：y2＝k2x的上方，即y1≥y2．故选：A．5．【解答】解：∵直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，1），∴根据图象可知：关于x的不等式x+m＞kx﹣1的解集是x＞﹣1，在数轴上表示为：，故选：B．6．【解答】解：因为正比例函数y1＝ax经过二、四象限，所以a＜0，①正确；一次函数y2＝x+b经过一、二、三象限，所以b＞0，②错误；由图象可得：不等式ax＞x+b的解集是x＜﹣2，③正确；当x＞0时，y1y2＜0，④错误；故选：D．二．填空题（共7小题）7．【解答】解：∵函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（﹣3，0），∴方程kx+b＝0的解是x＝﹣3，不等式kx+b＞0的解集是x＜﹣3．故答案为x＝﹣3；x＝﹣3．8．【解答】解：由图可得，当x＞2时，k1x+b1＞k2x+b2，所以不等式y1＞y2的解集为x＞2．故答案为：x＞2．9．【解答】解：依题意得：直线l1：y1＝k1x+b1经过点（0，3），（3，﹣1），则．解得．故直线l1：y1＝x+3．所以，直线l2：y2＝x﹣3．由k1x+b1＞k2x+b2的得到：x+3＞x﹣3．解得x＜．故答案是：x＜．10．【解答】解：由题意可得：一次函数图象在y＝1的下方时x＜2，在y＝﹣2的上方时x ＞﹣1，∴关于x的不等式﹣2＜kx+b＜1的解集是﹣1＜x＜2故答案为：﹣1＜x＜2．11．【解答】解：∵函数y＝ax+b和y＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点，∴根据图象可以看出，当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或x＜﹣1，故答案为：x＜﹣1或x＞2．12．【解答】解：∵已知点P（x，y）位于第二象限，∴x＜0，y＞0，又∵y≤x+4，∴0＜y＜4，x＜0，又∵x、y为整数，∴当y＝1时，x可取﹣3，﹣2，﹣1，当y＝2时，x可取﹣1，﹣2，当y＝3时，x可取﹣1．则P坐标为（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣3，1）共6个．故答案为：613．【解答】解：由题意得：，解得：，当2x﹣1≥﹣x+3时，x≥，∴当x≥时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝﹣x+3，由图象可知：此时该函数的最大值为；当2x﹣1≤﹣x+3时，x≤，∴当x≤时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝2x﹣1，由图象可知：此时该函数的最大值为；综上所述，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}的最大值是当x＝所对应的y的值，如图所示，当x＝时，y＝，故答案为：．三．解答题（共7小题）14．【解答】解：∵直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），∴，解得，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+5；∵若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，∴．解得，∴点C（3，2）；根据图象可得：关于x的不等式2x﹣4＜kx+b的解集为：x＜3，∴关于x的不等式2x﹣4＜kx+b的正整数解是1，2．15．【解答】解：（1）k＝﹣2时，y1＝﹣2x+2，根据题意得﹣2x+2＞x﹣3，解得x＜；（2）当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，把（1，﹣2）代入y1＝kx+2得k+2＝﹣2，解得k＝﹣4，当﹣4≤k＜0时，y1＞y2；当0＜k≤1时，y1＞y2．所以k的范围为﹣4≤k≤1且k≠0．16．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝6；当y＝0时，x＝2．即该直线经过点（0，6）和（2，0），其图象如图所示：；（2）①由于一次函数y＝﹣3x+6的图象与x轴的交点坐标是（2，0），所以方程﹣3x+6＝0的解是x＝2；②由一次函数y＝﹣3x+6的图象知，不等式﹣3x+6＜0的解集是x＞2；③由一次函数y＝﹣3x+6的图象，当x＜0时，y＞6．17．【解答】解：（1）∵直线l1：y1＝﹣x+b与直线l2：y2＝x交于点C（2，2），∴当y1＜y2时，x＞2；（2）将（2，2）代入y1＝﹣x+b，得b＝3，∴y1＝﹣x+3，∴A（6，0），B（0，3），∴S△BOC＝×3×2＝3，当点P与点B重合时，△OPC的面积为3，此时，P（0，3）；当点P在射线CA上时，点C为PB的中点，设点P的坐标为（a，b），则＝2，＝2，解得a＝4，b＝1，∴P（4，1），综上所述，点P的坐标为（0，3）或（4，1）．18．【解答】解：（1）∵点A（6，6）在直线l1：y＝kx﹣3上，∴6＝6k﹣3，即k＝，∴直线l1解析式为：；故答案为：；（2）令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝2；函数图象如图：（3）将直线l1向上平移5个单位长度得到直线l2，则l2的解析式为y＝x+2，当y＝0时，0＝x+2，解得x＝﹣，∴；故答案为：；（4）由题可得，直线OA的解析式为y＝x，解方程组，可得，∴B（﹣4，﹣4）；故答案为：（﹣4，﹣4）；（5）由A（6，6），B（﹣4，﹣4），，可得S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝××（6+4）＝；故答案为：；（6）由图象可知不等式kx﹣3＜x的解集为：x＜6．故答案为：x＜6．19．【解答】解：（1）当x＝1时，y＝3x＝3，∴点C的坐标为（1，3）．将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y＝kx+b，得：解得：；（2）由kx+b﹣3x＞0，得kx+b＞3x，∵点C的横坐标为1，∴x＜1；（3）由（1）直线AB：y＝﹣x+4当y＝0时，有﹣x+4＝0，解得：x＝4，∴点B的坐标为（4，0）．设点D的坐标为（0，m），∴直线DB：y＝，过点C作CE∥y轴，交BD于点E，则E（1，），∴CE＝|3﹣|∴S△BCD＝S△CED+S△CEB＝＝|3﹣|×4＝2|3﹣|．∵S△BCD＝2S△BOC，即2|3﹣|＝×4×3×2，解得：m＝﹣4或12，∴点D的坐标为D（0，﹣4）或D（0，12）．20．【解答】解：（1）点E在直线y2＝x上，点E的横坐标为3．∴E（3，3）代入直线y1＝﹣x+b得，b＝4，故答案为：4．（2）直线y1＝﹣x+4得与x轴交点A的坐标为（12，0），由图象可知：当0＜y1≤y2时，相应的x的值为：3≤x＜12．（3）当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），即：OB＝4，∴CD＝2OB＝8，∵点C在直线y1＝﹣x+4上，点D在直线y2＝x上，∴（﹣x+4 ）﹣x＝8或x﹣（﹣x+4 ）＝8，解得：x＝﹣3或x＝9，即：m＝﹣3或m＝9．答：m的值为﹣3或9．。
初中数学试题分类汇编：一次函数与方程、不等式综合训练1(选择 附答案)
初中数学试题分类汇编：一次函数与方程、不等式综合训练1（选择附答案）1．若函数y=kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式kx﹣b＞0的解集为()A．x＜2 B．x＞2 C．x＜4 D．x＞42．若直线l1经过点（﹣1，0），l2经过点（2，2），且l1与l2关于直线x＝1对称，则l1和l2的交点坐标为（）A．（1，4）B．（1，2）C．（1，0）D．（1，3）3．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（）A．x＞32B．x＜32C．x＞3 D．x＜34．在同一直角坐标系内，若直线y=2x-1与直线y=-2x+m的交点在第四象限，则m的取值范围是（）A．m＞—1 B．m＜1 C．—1＜m＜1 D．—1≤m≤1 5．如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m ＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（）7．如图，直线y 1＝kx+2与直线y 2＝mx 相交于点P(1，m)，则不等式mx ＜kx+2的解集是（ ）A ．x ＜0B ．x ＜1C ．0＜x ＜1D ．x ＞18．若以二元一次方程x +2y ﹣b=0的解为坐标的点（x ，y ）都在直线y=﹣12x+b ﹣l 上，则常数b=（ ）A ．12B ．2C ．﹣1D ．19．如图，直线y ＝kx ＋b (k ≠0)经过点(－1，3)，则不等式kx ＋b ≥3解集为（ ）A ．x ≤－1B ．x ≥－1C ．x ≤3D ．x ≥310．如图，直线y=ax+b 过点A （0，2）和点B （﹣3，0），则方程ax+b=0的解是（ ）A ．x=2B ．x=0C ．x=﹣1D ．x=﹣311．如图所示，函数1y x =和21433y x =+的图象相交于（–1，1），（2，2）两点．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）12．如图所示，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（3 2，3），则关于x的不等式2x≥ax+4的解集为（）A．x≤32B．x≤3C．x≥32D．x≥313．直线y=kx+b（k＜0）与x轴交于点（3，0），关于x的不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＜3 B．x＞3 C．x＞0 D．x＜014．如图,一次函数11y k x b=+,的图象1l与22y k x b=+的图象2l相交于点P,则方程组111222y k x by k x b=+⎧⎨=+⎩的解是（）A．23xy=-⎧⎨=⎩B．32xy=⎧⎨=-⎩C．23xy=⎧⎨=⎩D．23xy=-⎧⎨=-⎩15．一次函数y kx b=+（0k≠）的图象如图所示，则关于x的不等式0kx b+>的解集为（）A．1x>-B．1x<-C．2x>D．0x>16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，如果一个点的坐标可以用来表示关于x ，x 的二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解，那么这个点是A ．MB ．NC ．ED ．F17．若直线y=－2x －4与直线y=4x ＋b 的交点在第三象限，则b 的取值范围是（ ） A ．－4<b<8 B ．－4<b<0 C ．b<－4或b>8 D ．－4≤6≤818．直线y kx b =+与y mx =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x 的不等式kx b mx +≤的解集为（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ≥﹣1D ．x ＜﹣119．如图，已知一次函数y=k x+b 的图象与x 轴，y 轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①关于x 的方程0kx b +=的解为2x =；②关于x 的方程3kx b +=的解为0x =；③当2x >时，0y <；④当0x <时，3y <．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④20．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线y ＝3x 和直线y ＝ax +b 交于点（1，3），根据图象分析，方程3x ＝ax +b 的解为（ ）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣321．如图，在同一直角坐标系中作出一次函数1y k x =与2y k x b =+的图象， 则二元一次方程组21y k x b y k x =+⎧⎨=⎩的解是（ ）A ．20x y =-⎧⎨=⎩B ．20x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =⎧⎨=-⎩D ．12x y =⎧⎨=⎩22．如图所示，一次函数y =kx +b （k 、b 为常数，且k ≠0）与正比例函数y =ax （a 为常数，且a ≠0）相交于点P ，则不等式kx +b ＞ax 的解集是（ ）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞2D ．x ＜223．已知点A （-1，3），点B （-1，-4），若常数a 使得一次函数y =ax +1与线段AB 有交点，且使得关于x 的不等式组45(3)65425x x a ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-<-⎪⎩无解，则所有满足条件的整数a 的个数为（ ）24．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图所示，有下列结论:①0a >；②0k >；③当4x <时,kx b x a +>+其中正确的结论有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个25．如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于A(m ，3),则不等式2x ax+4<的解集为（ ）A ．3x 2>B ．x 3>C ．3x 2<D ．x 3<26．如图，直线与y 轴交于点（0，3）、与x 轴交于点（a ，0），当a 满足时，k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．27．一次函数y 1＝kx +b 与y 2＝x +a 的图象如下图所示，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③b ＞0；④当x ＜3时，y 1＜y 2；其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28．观察图中的函数图象，则关于的不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．29．已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当2x <时，y 的取值范围是( )A ．4y <-B ．40y -<<C ．2y <D ．0y <30．一次函数1y ax b 与2y cx d =+ 的图象如图所示，下列说法：①0ab ＜ ；②函数y ax d =+ 不经过第一象限；③不等式ax b cx d ++＞ 的解集是3x ＜ ；④()13a c db -=- ．其中正确的个数有( )A ．4B ．3C ．2D ．1参考答案1．A【解析】【分析】观察函数图象得到即可．【详解】由图象可得：当2x <时，函数y kx b =-的图象在x 轴的上方，所以关于x 的不等式0kx b ->的解集是2x <，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．2．A【解析】【分析】根据对称的性质得出两个点关于直线x ＝1对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出交点坐标即可．【详解】解：∵直线l 1经过点（﹣1，0），l 2经过点（2，2），关于直线x ＝1对称，∴点（﹣1，0）关于直线x ＝1对称点为（3，0），点（2，2）关于直线x ＝1对称点为（0，2），∴直线l 1经过点（﹣1，0），（0，2），l 2经过点（2，2），（3，0），∴直线l 1的解析式为：y ＝2x+2，直线l 2的解析式为：y ＝﹣2x+6，解方程组2226y x y x =+⎧⎨=-+⎩得，14x y =⎧⎨=⎩∴l 1和l 2的交点坐标为（1，4），故选：A ．【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出l 1与l 2的交点坐标为l 1与l 2与y 轴的交点是解题关键．3．B【解析】【分析】根据点A的坐标找出b值，令一次函数解析式中y=0求出x值，从而找出点B的坐标，观察函数图象，找出在x轴上方的函数图象，由此即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），∴b＝3，令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝32，∴点B（32，0）．观察函数图象，发现：当x＜32时，一次函数图象在x轴上方，∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜32．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键．4．C【解析】【分析】联立两直线的解析式求出交点坐标，再根据交点在第四象限列出不等式组求解即可．【详解】解：联立方程组212y xy x m=-⎧⎨=-+⎩，解得：1412mxmy+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∵交点在第四象限，∴1412mm+⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，解得：11m-<<．故选：C．【点睛】本题考查了两直线的交点和一元一次不等式组的解法，属于常考题型，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活应用．5．D【解析】【分析】利用函数图象,找出直线y=x+m在直线y=kx-1的下方所对应的自变量的范围即可【详解】解析根据图象得,当x<-1时,x+m<kx-1故选D【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集和一次函数与ー元一次不等式，解题关键在于判定函数图象的位置关系6．D【解析】试题分析：∵B点在正比例函数y=2x的图象上，横坐标为1，∴y=2×1=2，∴B（1，2），设一次函数解析式为：y=kx+b，∵过点A的一次函数的图象过点A（0，3），与正比例函数y=2x的图象相交于点B（1，2），∴可得出方程组，解得，则这个一次函数的解析式为y=﹣x+3．故选D．考点：1.待定系数法求一次函数解析式2.两条直线相交或平行问题．7．B【解析】【分析】根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案．【详解】解：∵直线y1＝kx+2与直线y2＝mx相交于点P（1，m），∴不等式mx＜kx+2的解集是x＜1，故选：B．【点睛】本题考查了对一次函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．8．B【解析】【分析】直线解析式乘以2后和方程联立解答即可．【详解】因为以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=﹣12x+b﹣l上，直线解析式乘以2得2y=﹣x+2b﹣2，变形为：x+2y﹣2b+2=0，所以﹣b=﹣2b+2，解得：b=2，故选B．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是直线解析式乘以2后和方程联立解答．9．B【解析】【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．【详解】解：观察图象知：当1x -时，3kx b +，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大．10．D【解析】∵方程ax +b =0的解是直线y =ax +b 与x 轴的交点横坐标，∴方程ax +b =0的解是x =-3.故选D.11．B【解析】试题解析：当x≥0时，y 1=x ，又21433y x =+， ∵两直线的交点为（2，2），∴当x ＜0时，y 1=-x ，又21433y x =+， ∵两直线的交点为（-1，1），由图象可知：当y 1＞y 2时x 的取值范围为：x ＜-1或x ＞2．故选B ．12．C【解析】【分析】根据函数的图象即可写出不等式的解集．【详解】解：已知函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（32，3），根据函数图象可以看出，当x＝32时，2x＝ax+4；当x＞32时，2x＞ax+4；当x＜32时，2x＜ax+4；故关于x的不等式2x≥ax+4的解集为32x ．故选择C．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图像及交点坐标，判断关于x的不等式的解集是解答本题的关键．13．A【解析】【分析】由图知：一次函数与x轴的交点横坐标为3，且函数值y随自变量x的增大而减小，根据图形可判断出解集．【详解】解：直线y=kx+b（k＜0）与x轴交于点（3，0），当x=3时，y=0，函数值y随x的增大而减小；根据y随x的增大而减小，因而关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜3．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由于任何一元一次不等式都可以转化的ax+b＞0或ax+b＜0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．14．A【解析】【分析】根据图象求出交点P的坐标，根据点P的坐标即可得出答案．【详解】解：∵由图象可知：一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2的交点P的坐标是（-2，3），∴方程组111222y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是23x y =-⎧⎨=⎩， 故选A.【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．15．A【解析】【分析】直接从一次函数的图象上即可得到答案.【详解】解：由题图可知，当x ＞﹣1时，y=kx b +＞0，则不等式0kx b +>的解集为1x >-.故选A.【点睛】本题主要考查一次函数与不等式，解此题的关键在于从一次函数的图象上获取信息. 16．C【解析】【分析】本题可以通过直线与方程的关系得到两直线都过定点E ，得到本题结论．【详解】解：两直线都过定点E ，所以点E 表示关于x 、y 的二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解，故选C ．【点睛】本题考查的是直线与方程的关系，还可以用解方程组的方法加以解决．【解析】【分析】联立y=－2x－4和y=4x＋b，求解得交点坐标，x和y的值都用b来表示，再根据交点坐标在第三象限表明x、y都小于0，即可求得b的取值范围：【详解】解：由244y xy x b=--⎧⎨=+⎩解得4683bxby+⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∵交点在第三象限，∴4683bb+⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，解得48 bb>-⎧⎨<⎩∴－4＜b＜8．故选A．18．C【解析】【分析】根据函数图象交点左侧直线y=kx+b图象在直线y=mx图象的下面，即可得出不等式kx+b≤mx 的解集．【详解】解：由图可知，在x≥-1时，直线y=mx在直线y=kx+b上方，关于x的不等式kx+b≤mx的解是x≥-1．故选：C．本题考查了一次函数与一元一次不等式：观察函数图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．也考查了数形结合的思想．19．A【解析】【分析】根据一次函数的性质及一次函数与一元一次方程的关系对各结论逐一判断即可得答案.【详解】∵一次函数y=k x+b 的图象与x 轴，y 轴分别交于点（2，0），点（0，3），∴x=2时，y=0，x=0时，y=3，∴关于x 的方程0kx b +=的解为2x =；关于x 的方程3kx b +=的解为0x =， ∴①②正确，由图象可知：x>2时，y<0，故③正确，x<0时，y>3，故④错误，综上所述：正确的结论有①②③，故选A.【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及一次函数与一元一次方程的关系，利用数形结合的思想是解题关键.20．A【解析】【分析】根据方程的解即为函数图象的交点横坐标解答．【详解】解：∵直线y ＝3x 和直线y ＝ax +b 交于点（1，3）∴方程3x ＝ax +b 的解为x ＝1．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组21．D【解析】【分析】观察图象，直接根据两直线的交点坐标写出方程组的解，即可作答．【详解】解：由题图可知：一次函数1y k x =与2y k x b =+的图象交于(1，2)，所以方程组21y k x b y k x =+⎧⎨=⎩的解是：12x y =⎧⎨=⎩； 故选：D ．【点睛】函数1y k x =与2y k x b =+的交点坐标就是方程组21y k x b y k x =+⎧⎨=⎩的解，明确此知识点是解题的关键．22．D【解析】分析：以函数的交点为分界线，然后看谁的图像在上面就是谁大．详解：根据函数图像可得：当x ＞2时，kx+b ＜ax ，故选C ．点睛：本题主要考查的是不等式与函数之间的关系，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是看懂函数图像．23．D【解析】【分析】根据一次函数y=ax+1与线段AB 有交点，求得-2≤a≤5，且a≠0，再解不等式组得18525x x a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜ ，由题意得a≤4，据此a 的值为-2，-1，1，2，3，4，即可得整数a 的个数．【详解】解：把点A （﹣1，3）代入y ＝ax +1得，3＝﹣a +1，解得a ＝﹣2，把点B （﹣1，﹣4）代入y ＝ax +1得，﹣4＝﹣a +1，解得a ＝5，∵一次函数y ＝ax +1与线段AB 有交点，∴﹣2≤a ≤5，且a ≠0， 解不等式组45365425x x a ⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪--⎪⎩＜ 得18525x x a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜ ， ∵不等式组无解，∴a ﹣25 ≤185， 解得：a ≤4，则所有满足条件的整数a 有：﹣2，﹣1，1，2，3，4．故选D ．【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．24．B【解析】【分析】利用一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解：①∵2y x a =+的图象与y 轴的交点在负半轴上，∴a ＜0，故①错误；②∵1y kx b =+的图象从左向右呈下降趋势，∴k ＜0，故②错误；③两函数图象的交点横坐标为4，当x ＜4时，1y kx b =+ 在2y x a =+的图象的上方，即y 1＞y 2，故③正确；故选：B.【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标．利用数形结合是解题的关键.25．C【解析】【分析】【详解】解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），∴3=2m，解得m=32．∴点A的坐标是（32，3）．∵当3x2<时，y=2x的图象在y=ax+4的图象的下方，∴不等式2x＜ax+4的解集为3x2 <．故选C．26．C【解析】【分析】【详解】解：把点（0，3）（a，0）代入，得b=3．则a=，∵，∴，解得：k≥1．故选C．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，属于综合题，难度不大．27．B【解析】【分析】根据一次函数12,y kx b y x a =+=+的图象及性质逐一分析可得答案．【详解】解：根据图象1y kx b =+经过第一、二、四象限，∴k ＜0，b ＞0， 故①③正确；∵2y x a =+与y 轴负半轴相交，∴a ＜0， 故②错误；当x ＜3时，图象1y 在2y 的上方，所以：当x ＜3时，1y ＞2y ，故④错误．所以正确的有①③共2个．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数与不等式的关系，准确识图并熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．28．D【解析】【分析】根据图象得出两图象的交点坐标是（1，2）和当x ＜1时，ax ＜bx+c ，推出x ＜1时，ax ＜bx+c ，即可得到答案．【详解】解：由图象可知，两图象的交点坐标是（1，2），当x ＞1时，ax ＞bx+c ，∴关于x 的不等式ax-bx ＞c 的解集为x ＞1．故选：D ．【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系的理解和掌握，能根据图象得出正确结论是解此题的关键．29．D【解析】观察图象得到直线与x轴的交点坐标为（2，0），且图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，所以当x＜2时，y＜0．【详解】解：∵一次函数y＝kx＋b与x轴的交点坐标为（2，0），且图象经过第一、三象限，∴y随x的增大而增大，∴当x＜2时，y＜0．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）的图象为直线，当k ＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y 随x的增大而减小.30．A【解析】【分析】仔细观察图象：①a的正负看函数y1＝ax＋b图象从左向右成何趋势，b的正负看函数y1＝ax＋b图象与y轴交点即可；②c的正负看函数y2＝cx＋d从左向右成何趋势，d的正负看函数y2＝cx＋d与y轴的交点坐标；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；④看两直线都在x轴上方的自变量的取值范围．【详解】由图象可得：a＜0，b＞0，c＞0，d＜0，∴ab＜0，故①正确；函数y＝ax＋d的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②正确，由图象可得当x＜3时，一次函数y1＝ax＋b图象在y2＝cx＋d的图象上方，∴ax＋b＞cx＋d的解集是x＜3，故③正确；∵一次函数y1＝ax＋b与y2＝cx＋d的图象的交点的横坐标为3，∴3a＋b＝3c＋d∴3a−3c＝d−b，∴a−c＝13（d−b），故④正确，【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．。
(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测题(有答案解析)
一、选择题1．已知,,(0,)x y t ∈+∞，且11tx y+=， A ．当2t =时，当且仅当2x y ==时，2x y +有最小值 B ．当8t =时，当且仅当253x y ==时，2x y +的最小值为25 C ．若2x y +的最小值为9，则t 的值为2 D ．若2x y +的最小值为25，则t 的值为6 2．已知正数x ，y 满足2021x y xy +=，则2120x y+的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．小明从甲地到乙地前后半程的速度分别为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则下列不正确的是（ ） A ．a v ab <<B ．222a b v +< C ．2a bab v +<<D ．2abv a b=+ 4．若,a b 为实数，且2a b +=，且33a b +的最小值为（ ） A ．18B ．6C ．23D ．4235．若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（ ） A ．4-B ．14C ．10-D ．106．如图，在ABC 中，23BD BC =，E 为线段AD 上的动点，且CE xCA yCB =+，则13x y+的最小值为（ ）A ．16B ．15C ．12D ．107．已知a ＜b ＜0，c ＞d ＞0，则下列结论正确的是（ ） A ．ac ＞bdB ．a +d ＞b +cC ．a d ＜b cD ．a 2＜b 28．若对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ＞15 C ．a ＜15D ．a ≤159．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,3-B ．[]2,6-C ．[]6,2-D ．[]3,4-10．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞11．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知6B π=且1ABC S =△，则2a c ac a c+-+的最小值（ ） A ．12B ．2C ．14D ．412．集合{}2230A x x x =--≤，{}1B x x =>，则A B =（ ）.A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,-+∞D ．()1,+∞二、填空题13．已知正数,x y 满足10xy y -+=，则4y x+的最小值为___________． 14．若a ，b 为实数，且12,12a b ≤≤≤≤，则21a b ab+的最小值是________． 15．已知3x <，则函数4()3f x x x =+-的最大值是________. 16．已知正实数m ，n 满足119222m n m n +++=，则2m n +的最小值是_______． 17．若1a 2-<<，21b -<<，则-a b 的取值范围是 ．18．设A .B 分别为双曲线22221x y a b-=（a >0，b >0）的左.右顶点，P 是双曲线上不同于A .B的一点，直线AP .BP 的斜率分别为m .n ，则当3b a 取最小值时，双曲线的离心率为__________.19．已知关于x 的不等式()()22454130m m x m x +---+>对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为_____________.20．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120,ABC ABC ∠=︒∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则9a c +的最小值为________．参考答案三、解答题21．已知命题1:(2,),242x p x m x ∀∈+∞+-，命题:q 方程221213x ym +=+表示焦点在x 轴上的椭圆．（1）若p 为真，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，求实数m 的取值范围．22．设全集U =R ，集合2A={x|x -4x-12<0}，B={x|(x-a)(x-2a)<0}． （1）当a=1时，求集合UA B ⋂；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．23．已知函数()22f x x ax =-，x ∈R ，a R ∈.()1当1a =时，求满足()0f x <的x 的取值范围； ()2解关于x 的不等式()23f x a <；()3若对于任意的()2,x ∈+∞，()1f x >均成立，求a 的取值范围．24．（1）已知01x <<，求函数()(33)f x x x =-的最大值： （2）已知关于x 的不等式210ax bx a +-<的解集为122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a ，b 的值.25．解关于x 的不等式-2≤2x +x -2≤426．已知ABC 内接于O ，AB c =，BC a =，=CA b ，O 的半径为r .（1）若230OA OB OC ++=，试求BOC ∠的大小；（2）若A 为动点，60BAC ∠=︒，AO OC OB λμ=+，试求λμ+的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 当2t =时，121x y +=，()1222x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可判断A ；当当8t =时，181x y +=，()2812x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可判断B ；()1221212122x y x y t t t x y x t y tx y ⎛⎫+=++=+++≥++=++ ⎪⎝⎭分别令129t ++=和1225t ++=即可求出t 的值，可判断选项C 、D ，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：当2t =时，121x y+=， ()122225259x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12122x y y x xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3x y ==时等号成立，所以3x y ==时，2x y +有最小值，故选项A 不正确； 对于选项B ：当8t =时，181x y+=， ()188222171725x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当18128x y y x xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以510x y =⎧⎨=⎩时，2x y +有最小值，故选项B 不正确；对于选项C ：()12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++⎪⎝⎭12t =++129t ++=即0==即2t =，当且仅当12122x y y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3x y ==时等号成立，所以2t =，故选项C 正确；对于选项D ：()12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++⎪⎝⎭12t =++1225t ++=即0==，即8t =，当且仅当12128x y y xxy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以8t =，故选项D 不正确；故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．C解析：C 【分析】由已知得20211y x +=，再202121202120x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，运用基本不等式可得选项． 【详解】由2021x y xy +=得20211y x+=，2021202122224212021202120x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当20212120x y y x=且20211y x +=，即42,40x y ==.时，等号成立. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．C解析：C 【分析】根据题意，求得v ，结合基本不等式即可比较大小. 【详解】设甲、乙两地之间的距离为2s ，则全程所需的时间为s s a b+， 22s abv s s a b a b∴==++，故D 正确；0b a >>2a b+<，2ab v a b ∴=<=+C 错误；又22222a b ab a b v a b a b +⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭=<=<++B 正确； 22220ab ab a a a v a a a b a b a b---=-=>=+++，v a ∴>，则a v <<A 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：由基本不等式可得22ab a b a b +≤≤≤+等式比较大小，属中档题.4．B解析：B 【分析】根据基本不等式可知33a b +≥，结合条件求解出33a b +的最小值. 【详解】因为233236a b ab++≥=⋅=，取等号时1a b ==，所以33a b +的最小值为6， 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．C解析：C 【分析】由题意可知方程220ax bx ++=的根为11,23-，结合根与系数的关系得出12,2a b =-=-，从而得出-a b 的值.【详解】由题意可知方程220ax bx ++=的根为11,23- 由根与系数的关系可知，11112,2323b a a-+=--⨯=解得12,2a b =-=-即12210a b -=-+=- 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据一元二次不等式的解集求参数的值，属于中档题.6．A解析：A 【分析】由已知可得A ，D ，E 三点共线，结合平面向量基本定理可得31x y +=，0x >，0y >，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 解：∵23BD BC =， ∴3CB CD =，3CE xCA yCB xCA yCD =+=+，因为A ，D ，E 共线，所以31x y +=，则()3313333101016x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+.当且仅当33y x x y =且31x y +=即14x y ==时取等号， 故选：A.【点睛】本题主要考查三点共线的向量表示，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．C解析：C 【分析】取特殊值判断ABD ，根据不等式的性质判断C. 【详解】对A 项，当2,1,2,1a b c d =-=-==时，41ac bd -=<=-，则A 错误； 对B 项，当2,1,2,1a b c d =-=-==时，1a d b c +=+=-，则B 错误； 对C 项，0c d >>，11d c ∴>，又0a b <<，0a b ∴->->，则11a b d c-⋅>-⋅，即a d ＜bc，则C 正确； 对D 项，当2,1a b =-=-时，2241a b =>=，则D 错误； 故选：C 【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否正确，属于中档题.8．A解析：A 【分析】由于x ＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x ，再求出左侧最大值即可求解. 【详解】由题：对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，即对于任意的x ＞0，不等式113ax x≤++恒成立，根据基本不等式：10,335x x x >++≥+=，当且仅当1x =时，取得等号， 所以113x x++的最大值为15， 所以15a ≥. 故选：A【点睛】此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.9．C解析：C 【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围． 【详解】 解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab∴，∴112ab． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab++恒成立， 即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．10．C解析：C 【分析】由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出240a -=或2400a ⎧-<⎨∆<⎩，在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知，关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .（1）当240a -=，即2a =±．当2a =时，不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；（2）当240a -≠，即2a ≠±时．关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦．故选C ． 【点睛】本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.11．A解析：A 【分析】由已知条件和三角形的面积公式得4ac =，再根据基本不等式可得+4a c ≥，令24a c y a c +=-+，+a c t =，24t y t =-（4t ≥），由此函数的单调性可得选项. 【详解】 由已知6B π=且1ABC S =△，得1sin 126ac π=，解得4ac =， 所以2+42a c ac ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，即+4a c ≥，当且仅当a c =时取等号， 所以224a c a c ac a c a c ++-=-++，令24a c y a c +=-+，+a c t =，则24t y t =-（4t ≥），而24t y t =-在[)4+∞，单调递增，所以24214442t y t =-≥-=，所以2a c ac a c+-+的最小值为12. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形的面积公式，基本不等式的应用，以及运用函数的单调性求最值的问题，属于中档题.12．B解析：B 【分析】求得集合{}|13A x x =-≤≤，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2230|13A x x x x x =--≤=-≤≤，{}1B x x =>，根据集合交集的概念及运算，可得{}(]|131,3AB x x =<≤=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合A ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．9【分析】由已知条件得出将代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】因为正数满足所以即所以当且仅当即时等号成立故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条解析：9 【分析】 由已知条件得出11x y +=，将代数式1x y +与4y x+相乘，展开后利用基本不等式可求得4y x +的最小值. 【详解】因为正数,x y 满足10xy y -+=， 所以1xy y +=，即11x y+=，所以4144()()559y x y xy x y x xy +=++=++≥+=， 当且仅当2xy =，即3y =，23x =时，等号成立. 故答案为：9 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】利用基本不等式得到通过求出进而求解【详解】由得又因为所以当时此时成立可得时满足条件所以的最小值是；故答案为：【点睛】关键点睛：解题的关键在于基本不等式后得到的求最值得到进而求解解析：2【分析】利用基本不等式，得到21a b ab +≥=，通过求出min⎡=⎢⎣求解 【详解】由12,12a b ≤≤≤≤得，21a b ab +≥=，又因为12b ≤≤，所以，当2b =时，min⎡=⎢⎣21a b ab =成立，可得，2a b =，a =2b =时，满足条件，所以，21a b ab +的最小值是2；故答案为：2【点睛】关键点睛：解题的关键在于基本不等式后得到的min2⎡=⎢⎣，进而求解15．【分析】配凑成再用利用均值不等式直接求解【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为:【点睛】此题考查利用基本不等式求最值属于基础题方法点睛：均值不等式成立的3个条件一正二定三相等一正：的范围要为正 解析：1-【分析】配凑成()4()333f x x x ⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦，再用利用均值不等式直接求解． 【详解】 因为3x <，所以()()43333413f x x x ⎡⎤=--+≤-=-=-⎢⎥-⎣⎦.当且仅当43=3x x --，即1x =时等号成立， 故答案为: 1- 【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.方法点睛：均值不等式a b +≥成立的3个条件“一正、二定、三相等”． 一正：,a b 的范围要为正值二定：当,a b 为大于零的变量，那么a b +、最值．三相等：验证均值不等式在给定的范围内能否满足取等号的条件．16．【分析】利用基本不等式可求得再结合可得从而可求出的取值范围即可得到的最小值【详解】由题意当且仅当时等号成立又所以令则解得所以即的最小值是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值解题关键是解析：32【分析】()1112222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式，可求得()119222m n m n ⎛⎫++≥⎪⎝⎭，再结合()119222m n m n +=-+，可得()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的取值范围，即可得到2m n +的最小值. 【详解】由题意，()11155922222222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭，当且仅当n mm n=时，等号成立， 又()119222m n m n +=-+，所以()()()1199222222m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤++=+-+≥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2m n t +=，则9922t t ⎛⎫-≥⎪⎝⎭，解得332t ≤≤，所以32,32m n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即2m n +的最小值是32. 故答案为：32. 【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值，解题关键是利用基本不等式求出()119222m n m n ⎛⎫++≥⎪⎝⎭，再根据()119222m n m n ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，可得到只包含2m n +的关系式()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.17．(-24)【分析】根据条件得到的范围然后与的范围相加得到的取值范围【详解】因为所以而所以故答案为【点睛】本题考查不等式的基本性质属于简单题解析：(-2,4)【分析】根据条件，得到b -的范围，然后与a 的范围相加，得到-a b 的取值范围. 【详解】 因为21b -<<， 所以12b -<-< 而1a 2-<< 所以24a b -<-< 故答案为()2,4-. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于简单题.18．【分析】先根据点的关系确定mn 再根据基本不等式确定最小值最后根据最小值取法确定双曲线的离心率【详解】设则因此当且仅当时取等号所以离心率是故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单解析：3【分析】先根据点的关系确定mn ，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线的离心率. 【详解】设11(,)P x y ，则 22111222111y y y b mn x a x a x a a=⋅==+--，因此3b a+3b a a b =+≥= 当且仅当3a b 时取等号,所以离心率是3c e a ===.【点睛】本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单综合问题，属于基础题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：c e a ===3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.19．【分析】分和两种情况讨论结合题可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】当时可得或①当时可得合乎题意；②当时可得解得不合乎题意；当时由题意可得解得综上所述实数的取值范围是故答案为：【点 解析：1,19【分析】分2450m m +-=和2450m m +-≠两种情况讨论，结合题可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】当2450m m +-=时，可得1m =或5m =-. ①当1m =时，可得30>，合乎题意；②当5m =-时，可得2430x +>，解得18x >-，不合乎题意；当2450m m +-≠时，由题意可得()()22245016112450m m m m m ⎧+->⎪⎨∆=--+-<⎪⎩，解得119m <<.综上所述，实数m 的取值范围是1,19. 故答案为：1,19. 【点睛】本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】先根据三角形面积关系列等量关系再根据基本不等式求最值【详解】因为所以因此当且仅当即时取等号即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式利用基本不等式求最值考查综合分析求解能力属中档题 解析：16【分析】先根据三角形面积关系列,a c 等量关系，再根据基本不等式求最值. 【详解】 因为ABCABDBDCS SS=+,所以11111sin1201sin 601sin 601222aca c a c=⨯⨯+⨯⨯∴+= 因此1199(9)()101016c a a c a c a c a c +=++=++≥+= 当且仅当911,1c a a c a c =+=即44,3a c ==时取等号 即9a c +的最小值为16 故答案为：16 【点睛】本题考查三角形面积公式、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）(,2]-∞；（2）(,1](2,)-∞+∞．【分析】（1）求出1242xx +-在(2,)+∞上的最小值后可得m 的范围； （2）求出命题q 为真时m 的范围，由p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，知,p q 一真一假，由此可求得m 的范围． 【详解】 （1）若p 为真，则1242xm x +-， 而1121121224224224x x x x x -+=++=---， 当且仅当12242x x -=-，即3x =时等号成立； 故2m ，即实数m 的取值范围为(,2]-∞；（2）若q 为真，则213m +>，故1m ； 若p 真q 假，则21m m ⎧⎨⎩，，则1m ， 若p 假q 真，则21m m >⎧⎨>⎩，，则2m >，综上所述，实数m 的取值范围为(,1](2,)-∞+∞．【点睛】方法点睛：本题考查由命题的真假求参数，考查复合命题的真假判断．掌握复合命题的真值表是解题关键．复合命题的真值表：22．无 23．无 24．无25．无26．无。
上海民办民一中学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试题(含答案解析)
一、选择题1．已知,,(0,)x y t ∈+∞，且11tx y+=， A ．当2t =时，当且仅当2x y ==时，2x y +有最小值 B ．当8t =时，当且仅当253x y ==时，2x y +的最小值为25 C ．若2x y +的最小值为9，则t 的值为2 D ．若2x y +的最小值为25，则t 的值为62．已知(1,0),(1,0)A B -，点M 是曲线x =上异于B 的任意一点，令,MAB MBA αβ∠=∠=，则下列式子中最大的是（ ）A ．|tan tan |αβ⋅B ．|tan tan |αβ+C ．|tan tan |αβ-D ．tan tan αβ3．当104x <<时，不等式11014m x x+-≥-恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．104．若直线220ax by +-=(),a b R +∈平分圆222460xy x y +---=，则21a b+的最小值是（ ）.A ．1B ．5C ．D ．3+5．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．216．下列结论不正确的是（ ） A ．若a b >，0c >，则ac bc > B ．若a b >，0c >，则c ca b> C ．若a b >，则a c b c +>+D ．若a b >，则a c b c ->-7．若任意取[]1,1x ∈-，关于x 的不等式()2220x mx m ++-≤成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．⎣⎦B ．⎣⎦C ．⎣⎦D ．⎣⎦8．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )A ． 1B ．1C ． 2D ．29．若关于x 的不等式20x px q ++<的解集为{|23}x x <<，则关于x 的不等式22028x px qx x ++>--的解集是（ ） A ．()2,3 B ．()(),24,-∞-+∞C ．()()2,23,4-D ．()()(),22,34,-∞-+∞10．若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(),2-∞-，关于x 的不等式201ax bxx +>+的解集为( )A ．(,1)(1,2)-∞-⋃B ．(1,0)(2,)-+∞C ．(,1)(0,2)-∞-⋃D ．(0,1)(2,)+∞11．集合{}2230A x x x =--≤，{}1B x x =>，则A B =（ ）.A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,-+∞D ．()1,+∞12．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x y xy+的最小值为（ ）A ．3-B ．1C 1D 1参考答案二、填空题13．已知函数()243()46,,f x mx m tm x tm t m R =+-++∈，若[2,3]m ∃∈，使得对123,,,22t t x m t m x m m ⎡⎤⎡⎤∀∈++∀∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦均有()()12f x f x ≤，则正数t 的最小值为__________14．已知正实数a ，b 满足21ab a b ++=，则188a b a b+++的取值范围为_________． 15．已知0,0x y >>，且1x y ⋅=，则11422x y x y+++的最小值为______________________16．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元，购买3支康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是______________ 17．已知()4xx e e f x =+，若正数(),a b a b ≠满足()()f a f b =，则ln 2ln 2a b+的取值范围为__________. 18．下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；②等差数列{}n a 中，12a =，1a ，3a ，4a 成等比数列，则公差为12-； ③已知0a >，0b >，1a b +=，则23a b+的最小值为526+； ④在ABC 中，若222sin sin sin A B C <+，则ABC 为锐角三角形. 其中正确命题的序号是_____________.（把你认为正确命题的序号都填上） 19．已知0a >，0b >，若不等式212m a b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为______． 20．如图：已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树_________米时，看A 、B 的视角最大．三、解答题21．已知命题1:(2,),242x p x m x ∀∈+∞+-，命题:q 方程221213x ym +=+表示焦点在x 轴上的椭圆．（1）若p 为真，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，求实数m 的取值范围．22．二次函数2()21(0)f x ax ax b a =-++>在区间[]0,3上有最大值4，最小值0. （1）求函数()f x 的解析式； （2）设()4()f x x g x x -=，若()0g x mx -≤在1,77x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，求m 的取值范围.23．2018年是中国改革开放40周年，改革开放40年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔，气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌.40年来，我们始终坚持保护环境和节约资源坚持推进生态文明建设某市政府也越来越重视生态系统的重建和维护.若已知该市财政下拨了100（百万元）专款，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：15010xy x=+.处理污染项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.2y x =.（1）设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），则两个生态维护项目五年内带来的收益总和为y （单位：百万元），写出y 关于x 的关系式；（2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代、利在千秋，试求出y 的最大值，并求出此时对两个生态维护项目的投资分别为多少百万元.24．（Ⅰ）已知不等式220(2)x ax a a -+->>的解集为12(,)(,)x x -∞+∞，求12121x x x x ++的最小值． （Ⅱ）若正数a b c 、、满足2a b c ++=，求证：2222b c a a b c++≥．25．若不等式240ax bx -+≤的解集为{}12x x ≤≤ （1）求,a b 值 （2）求不等式111bx ax +<-的解集.26．设函数()21f x mx mx =--.（1）若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求m 的取值范围； （2）若对于[1,3]x ∈，()1f x m x >-+-恒成立，求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 当2t =时，121x y +=，()1222x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可判断A ；当当8t =时，181x y +=，()2812x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可判断B ；()1221212122x y x y t t t x y x t y tx y ⎛⎫+=++=+++≥++=++ ⎪⎝⎭分别令129t ++=和1225t ++=即可求出t 的值，可判断选项C 、D ，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：当2t =时，121x y+=，()122225259x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12122x y y x xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3x y ==时等号成立，所以3x y ==时，2x y +有最小值，故选项A 不正确； 对于选项B ：当8t =时，181x y+=， ()188222171725x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当18128x y y x xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以510x y =⎧⎨=⎩时，2x y +有最小值，故选项B 不正确；对于选项C ：()12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++⎪⎝⎭12t =++129t ++=即0==即2t =，当且仅当12122x y y x xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3x y ==时等号成立，所以2t =，故选项C 正确；对于选项D ：()12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++⎪⎝⎭12t =++1225t ++=即0==，即8t =，当且仅当12128x y y x xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以8t =，故选项D 不正确；故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．C解析：C 【分析】化简曲线为221(1)x y x -=≥，易知该曲线为双曲线，分别计算选项的取值范围，即可得答案； 【详解】设直线MA ，MB 的斜率分别为12,k k ，11(,)M x y ，则12tan ,tan k k αβ==-， 对A ，1111|tan tan |||111y yx x αβ⋅=⋅=+-； 对B ，C ，tan 0,tan 0αβ><，∴|tan tan |αβ->|tan tan |αβ+，1|tan tan ||tan |2tan αβαα-=+≥， 对D ，1k 小于双曲线渐近线的斜率，∴2tan tan 1tan ααβ=<， ∴|tan tan |αβ-最大，故选：C. 【点睛】通过将斜率转化为直线倾斜角的正切值，再结合基本不等式是求解的关键.3．C解析：C 【分析】 分离参数化为41414m x x≤+-恒成立，再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解. 【详解】不等式11014m x x+-≥-恒成立化为41414m x x ≤+-恒成立， 因为104x <<，所以140x ->，所以()4141414414414x x x x x x ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭44(14)5144x x x x -=++-5≥+549=+=，当且仅当44(14)144x x x x -=-，即16x =时，等号成立.所以9m ≤，所以m 的最大值为9. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方4．D解析：D 【分析】根据条件可知直线过圆心，求解出,a b 的关系式，利用常数代换法以及基本不等式求解出21a b +的最小值. 【详解】因为直线220ax by +-=(),a b R+∈平分圆222460xy x y +---=，所以直线220ax by +-=过圆心，又因为圆的方程()()221211x y -+-=，所以圆心为()1,2，所以222a b +=，即1a b +=，所以()21212333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=++≥+=+ ⎪⎝⎭取等号时222a b =即a =，此时21a b ==，故选：D. 【点睛】本题考查圆的对称性与基本不等式的综合应用，其中涉及到利用常数代换法求解最小值，对学生的理解与计算能力要求较高，难度一般.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.5．A解析：A 【详解】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P（，4)，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．6．B解析：B 【分析】根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A 正确.对于B 选项，若2,1,1a b c ===，则c ca b<，故B 选项错误.对于C 、D 选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C 、D 正确.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题. 7．A解析：A 【分析】由已知结合二次函数的性质及特殊点所对应的函数值的正负即可求解【详解】解：令()22()2,[1,1]f x x mx m x =++-∈-，由题意得22(1)120(1)120f m m f m m ⎧-=-+-≤⎪⎨=++-≤⎪⎩，解得1122m -+≤≤， 故选：A 【点睛】此题考查了二次不等式在闭区间上恒成立问题的求解，二次函数性质的应用，属于中档题8．D解析：D 【解析】由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－ ∵a 、b 、c >0.∴(a ＋c )·(a ＋b )≤22b c 2a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，∴2a ＋b ＋c＝1)＝－2. 故选D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误9．D解析：D 【分析】根据关于x 的不等式20x px q ++<的解集为{|23}x x <<，利用韦达定理得到5,6p q =-=，则不等式22028x px q x x ++>--转化为 2256028x x x x -+>--，再利用穿根法求解.【详解】因为关于x 的不等式20x px q ++<的解集为{|23}x x <<， 所以由韦达定理得：5,6p q =-=，所以22028x px q x x ++>--，即为2256028x x x x -+>--，即为()()()()23042x x x x -->-+，即为()()()()23420x x x x ---+>用穿根法得不等式的解集为：()()(),22,34,-∞-+∞，故选：D 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集的应用以及穿根法求高次不等式，属于中档题.10．C解析：C 【分析】根据不等式及解集,可得2b a =-,将不等式201ax bxx +>+化简后,结合穿根法即可求得解集.【详解】关于x 的不等式0ax b ->变形可得ax b >,因为其解集为(),2-∞- 所以0a <,且2ba=- 关于x 的不等式201ax bxx +>+变形可得201b a x x a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>+ 即()2120a x x x >+-,所以()120ax x x >+-因为0a <,不等式可化为()120x x x <+- 可化为()()210x x x -+< 利用穿根法可得1x <-或02x << 即()(),10,2x ∈-∞-⋃ 故选:C 【点睛】本题考查了含参数的不等式解法,注意不等式的符号变化,属于中档题.11．B解析：B 【分析】求得集合{}|13A x x =-≤≤，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2230|13A x x x x x =--≤=-≤≤，{}1B x x =>，根据集合交集的概念及运算，可得{}(]|131,3A B x x =<≤=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合A ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．B解析：B 【分析】把要求的式子变形为21x y y x++，再利用基本不等式求得它的最小值． 【详解】已知0x >，0y >，23x y +=，则22223(2)2221211x y x x y y x xy y x y x yxy xy xy y x y x+++++===+++=，当且仅当222x y = 时，即当3x =-，且y ，等号成立，故23x y xy+的最小值为1+故选：B ． 【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】根据二次函数的性质结合存在任意的性质构造法换元法对钩函数的性质进行求解即可【详解】函数的对称轴为：要想对均有只需成立化简得：设令显然当时函数是单调递增函数故因此有显然该函数在单调递减函数故因 解析：10321【分析】根据二次函数的性质，结合存在、任意的性质、构造法、换元法、对钩函数的性质进行求解即可. 【详解】函数()243()46f x mx m tm x tm =+-++的对称轴为：4342m tm x m-+=-，要想对123,,,22t t x m t m x m m ⎡⎤⎡⎤∀∈++∀∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦均有()()12f x f x ≤，[2,3]m ∈ 只需43433441()()()2222m tm m tm m t m t m m -+-++--≤--+成立，化简得：423242m m t m m ++≥-，设42324()2m m g m m m++=-，[2,3]m ∈，242234224()22m m m m g m m m m m++++==--，令2a m m =-，显然当[2,3]m ∈时，函数2a m m =-是单调递增函数，故7[1,]3a ∈，因此有266()a h a a a a+==+，7[1,]3a ∈，显然该函数在7[1,]3t ∈单调递减函数，故min7103()()321h a h ==，因此要想423242m m t m m ++≥-在[2,3]m ∈有解，只需10321t ≥. 故答案为：10321【点睛】关键点睛：解决本题的关键是根据二次函数的性质得到43433441()()()2222m tm m tm m t m t m m -+-++--≤--+这个不等式，然后运用构造函数进行求解.14．【分析】先根据正实数ab 满足找到ab 的关系及ab 的范围然后把通换元法转化为函数求值域【详解】由得∴且∵∴∴∴则令则在上递减（因为）∴令则∴=在上单增∴故答案为：(69)【点睛】利用基本不等式求最值时 解析：()6,9【分析】先根据正实数a ，b 满足21ab a b ++=找到a ，b 的关系及a ，b 的范围，然后把188a b a b+++通换元法转化为函数求值域． 【详解】由21ab a b ++=得21ab a b ++=，∴121ab a -=+，且(1)(2)3a b ++=． ∵0,0a b >>，∴120a ->，∴12a <∴102a <<．则3321311a b a a a a +=+-=++-++， 令31,1,2u a u ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭则33a b u u+=+-在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，（因为32<），∴112a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，．令=+t a b ，则112t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， ∴188a b a b +++=18t t +在112⎛⎫⎪⎝⎭，上单增， ∴()1886,9a b a b++∈+． 故答案为：(6,9)． 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．15．【分析】由代入化简为利用基本不等式即可求解【详解】因为且所以当且仅当即或时等号成立则的最小值为故答案为：【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题其中解答中熟记基本不等式的使用条件一解析：【分析】 由1x y ⋅=，代入11422x y x y +++化简为+y 42x x y++，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为0,0x y >>，且1x y ⋅=，所以1144222x y x y x y x y+++=+≥++当且仅当42x y x y+=+，即1,1x y ==或1,1y x ==时等号成立，则11422x y x y+++的最小值为，故答案为：【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，以及合理应用“1”的代换求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．A>B 【分析】设每支支玫瑰x 元每支康乃馨y 元则由题意可得：代入可得：根据不等式性质联立即可得解【详解】设每支支玫瑰x 元每支康乃馨y 元则由题意可得：代入可得：根据不等式性质可得：而可得故故答案为：【点解析：A >B【分析】设每支支玫瑰x 元，每支康乃馨y 元，则2,3x A y B ==，由题意可得：284522x y x y +>⎧⎨+<⎩，代入可得：8352223B A B A ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，根据不等式性质，联立即可得解. 【详解】设每支支玫瑰x 元，每支康乃馨y 元， 则2,3x A y B ==， 由题意可得：284522x y x y +>⎧⎨+<⎩，代入可得：8352223B A B A ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，根据不等式性质可得：6B <，而83BA >-，可得6A >, 故A B >，故答案为：A B >. 【点睛】本题考查了利用不等式解决实际问题，考查了不等式性质，同时考查了转化思想和计算能力，属于中档题.17．【分析】根据可得代入利用基本不等式可求解【详解】由可知即故即则故答案为：【点睛】本题考查由函数关系得参数关系考查根据基本不等式求最值属于中档题 解析：()2,+∞【分析】根据()()f a f b =可得2ln 2a b +=，代入ln 2ln 2a b+，利用基本不等式可求解. 【详解】由()()f a f b =可知44aba be e e e +=+，即()4441aba b a b a be e e e e e e+⎛⎫-+-=--= ⎪⎝⎭()40a ba b a b e e e e ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 故4a b e +=，即2ln 2a b +=，则ln 2ln 21222b a a b a b ⎛⎫+=++> ⎪⎝⎭. 故答案为：()2,+∞. 【点睛】本题考查由函数关系得参数关系，考查根据基本不等式求最值，属于中档题.18．①③【分析】①根据四种命题及其相互关系进行判断；②求得公差进行判断；③利用基本不等式求得最值进行判断；④利用特殊值进行判断【详解】①由于逆命题和否命题互为逆否命题真假性相同所以一个命题的逆命题为真则解析：①③ 【分析】①根据四种命题及其相互关系进行判断；②求得公差进行判断；③利用基本不等式求得最值进行判断；④利用特殊值进行判断. 【详解】①，由于逆命题和否命题互为逆否命题，真假性相同，所以一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真.所以①正确.②，等差数列{}n a 中，12a =，1a ，3a ，4a 成等比数列，2314a a a =⋅，即()()211123a d a a d +=⋅+，()()222223d d +=⨯+，220d d +=，解得0d =或12d =-，所以②错误.③，()232323555b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭23b aa b=，即2,3a b ==.所以③正确. ④，设,24B AC ππ===，则22213sin ,sin sin 22A B C =+=，满足222sin sin sin A B C <+，但三角形ABC 不是锐角三角形，所以④错误.故答案为：①③ 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比中项的性质，考查三角形形状的判断，考查四种命题及其相互关系，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.19．9【分析】将题目所给不等式分离常数利用基本不等式求得的最大值【详解】由得恒成立而故所以的最大值为【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略考查利用基本不等式求最值考查化归与转化的数学思想方法属于解析：9.【分析】将题目所给不等式分离常数m，利用基本不等式求得m的最大值.【详解】由212m a b a b +≥+得()212m a ba b⎛⎫≤++⎪⎝⎭恒成立，而()212225a ba ba b b a⎛⎫++=++⎪⎝⎭2252549a bb a≥+⋅=+=，故9m≤，所以m的最大值为9.【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．6【分析】过点作设根据已知中树顶距地面米树上另一点距地面米人眼离地面米我们易求出即的表达式进而根据基本不等式求出的范围及取最大值时的值进而得到答案【详解】如图过点作则设由图可知：当且仅当时等号成立即解析：6【分析】过点C作CD AB⊥，设CD x=，根据已知中树顶A距地面212米，树上另一点B距地面112米，人眼C离地面32米．我们易求出tan ACB∠，即tan()ACD BCD∠-∠的表达式，进而根据基本不等式，求出tan ACB∠的范围及tan ACB∠取最大值时x的值，进而得到答案．【详解】如图，过点C作CD AB⊥，则213922AD=-=，113422BD=-=，设CD x=，由图可知：94tan tan555 tan tan()94361tan?tan26121?ACD BCD x xACB ACD BCDACD BCD xx x x-∠-∠∠=∠-∠====+∠∠⨯++，当且仅当6x =时，等号成立．即6x =时，tan ACB ∠有最大值，此时ACB ∠最大. 故答案为： 6 【点睛】本题考查的知识点是三角函数的实际应用，两角差的正切公式，及基本不等式，其中构造适当的三角形，将问题转化为一个三角函数问题是解答本题的关键．三、解答题21．（1）(,2]-∞；（2）(,1](2,)-∞+∞．【分析】（1）求出1242xx +-在(2,)+∞上的最小值后可得m 的范围； （2）求出命题q 为真时m 的范围，由p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，知,p q 一真一假，由此可求得m 的范围． 【详解】 （1）若p 为真，则1242xm x +-， 而1121121224224224x x x x x -+=++=---， 当且仅当12242x x -=-，即3x =时等号成立； 故2m ，即实数m 的取值范围为(,2]-∞；（2）若q 为真，则213m +>，故1m ； 若p 真q 假，则21m m ⎧⎨⎩，，则1m ， 若p 假q 真，则21m m >⎧⎨>⎩，，则2m >，综上所述，实数m 的取值范围为(,1](2,)-∞+∞．【点睛】方法点睛：本题考查由命题的真假求参数，考查复合命题的真假判断．掌握复合命题的真值表是解题关键．复合命题的真值表：22．无23．无24．无25．无26．无。
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一次函数与一元一次方程同步练习
1．直线y=3x+9与x轴的交点是（ ） A．（0，-3） B．（-3，0） C．（0，3） D．（0，-3） 2．直线y=kx+3与x轴的交点是（1，0），则k的值是（ ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 3．已知直线y=kx+b与直线y=3x-1交于y轴同一点，则b的值是（ ） A．1 B．-1 C．13 D．-13 4．已知直线AB∥x轴，且点A的坐标是（-1，1），则直线y=x与直线AB的交点是（ ） A．（1，1） B．（-1，-1） C．（1，-1） D．（-1，1） 5．直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0的解，则a•的值是______． 6．已知直线y=2x+8与x轴和y轴的交点的坐标分别是_______、_______．•与两条坐标轴围成的三角形的面积是__________． 7．已知关于x的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n与x•轴的交点坐标是________． 8．方程3x+2=8的解是__________，则函数y=3x+2在自变量x等于_________•时的函数值是8． 9．用作图象的方法解方程2x+3=9 10．弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所示，请判断不挂物体时弹簧的长度是多少？ 11．有一个一次函数的图象，可心和黄瑶分别说出了它的两个特征． 可心：图象与x轴交于点（6，0）。 黄瑶：图象与x轴、y轴围成的三角形的面积是9。
你知道这个一次函数的关系式吗？
一次函数与一次方程、一次不等式同步练习
1.函数y=kx+b，当12x时，y<0，则k与b的关系是（ ）
A．2b>k B．2b
2. 在函数14xy中，若y的值不小于0．则x( )
A．x≤4 B．x≥4 C．x≤-4 D．x≥-4
3. 无论m为何实数，直线y=x+2m与y=－x+4的交点不可能在( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4. 若函数132yx，2115yx，且12yyy，则y的值是13时，x的值是 ．
5. 当x=2时，函数y=kx+10与y=3x+3k的值相等，则k的值是 ．
6. 函数4233yx与函数342xy的交点坐标为____．
7. .函数y=12x-3与x轴交点的横坐标为（ ）．
A．-3 B．6 C．3 D．-68．
8.当x 时，函数y=2x+3的值大于0．
9.对于函数y=-x+4，当x>-2时，y的取值范围是（ ）．
ｌ１ A．y<4 B．y>4 C．y>6 D．y<6 10.已知函数y1=3x+5，y2=2x-1，当x 时，有y1＜y2． 11.已知y1=x-5，y2=2x+1．当y1>y2时，x的取值范围是（ ）． A．x>5 B．x<12 C．x<-6 D．x>-6 12.如图，直线y=kx+b与x轴交于点A（-4，0），则当y>0时，x的取值范围是（ • ） A．x>-4 B．x>0 C．x<-4 D．x<0 第12题 第13题 13．已知一次函数y=kx+b的图像，如图所示，当x<0时，y的取值范围是（ •） A．y>0 B．y<0 C．-2
２
1
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:52lyx
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:23lyx