函数及其表示 (2)
函数及其表示知识点
函数及其表示知识点一、函数的定义和特征在数学中，函数是一种关系，它将一个或多个输入值映射到一个唯一的输出值。
函数通常用字母表示，例如f(x)或g(y)，其中x和y是输入值，f(x)和g(y)是对应的输出。
函数的定义可以用多种方式表达，比如公式、算法或图表。
函数的核心特征是单值性和一对一性。
单值性要求每个输入对应唯一的输出，而一对一性则要求每个输出值只能由一个输入产生。
二、函数的符号表示函数可以用多种符号来表示，最常见的是用函数名和自变量表示函数。
例如，f(x)表示一个以x为自变量的函数。
函数的符号表示还可以用映射符号箭头“→”表示，例如f: x→f(x)。
在离散数学中，函数也可以使用集合的形式表示。
例如，如果定义了一个函数f，将集合A中的元素映射到集合B中的元素，可以用f: A→B表示。
三、函数的图像表示函数的图像是一种常用的表示方式。
通过绘制函数的图像，我们可以直观地了解函数的特点和关系。
函数的图像通常是在笛卡尔坐标系中绘制的。
横轴表示自变量，纵轴表示函数的值。
函数的图像可以是曲线、直线、折线等不同形状。
曲线图像可以反映函数的变化趋势和特征，而直线和折线图像则更加简单明了。
四、函数的性质和分类函数有许多性质和分类。
其中一些重要的性质包括：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能输出值的集合。
2. 奇偶性：如果一个函数满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数；如果满足f(-x) = f(x)，则称其为偶函数。
3. 增减性：函数的增减性描述了函数的单调性。
如果函数在定义域上是递增的，称其为增函数；如果在定义域上是递减的，称其为减函数。
根据函数的具体形式和性质，我们可以将函数进行分类，常见的函数包括：1. 线性函数：形如f(x) = kx + b的函数，其中k和b是常数。
2. 幂函数：形如f(x) = x^a的函数，其中a是常数。
3. 指数函数：形如f(x) = a^x的函数，其中a是常数。
第2章函数及其表示-2021版高三数学(新高考)一轮复习教学课件(45张ppt)
第二章 函数、导数及其应用
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题组三 考题再现 5．(2019·江苏，5 分)函数 y＝ 7＋6x－x2的定义域是____[_－__1_,7_]_______.
[解析] 要使函数有意义，则 7＋6x－x2>0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是 [－1,7]．
第二章 函数、导数及其应用
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[答案] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数 (3)不同函数①②；同一函数③
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第二章 函数、导数及其应用
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1.映射与函数的含义 (1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与 之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓． (2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，且每个象都有 原象，即称为函数． 2．判断两个函数是否相同的方法 (1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同． (2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．
f2：
x
x≤1
y
1
1<x<2 2
x≥2 3
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f3：
第二章 函数、导数及其应用
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[解析] (1)①是映射，也是函数； ②不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”； ③当x＝0时，与其对应的y值不存在．故不是映射，更不是函数； ④是映射，但不是函数，因为集合A不是数集． (2)A图象不满足函数的定义域，不正确；B、C满足函数的定义域以及函数的值 域，正确；D不满足函数的定义，故选B、C． (3)①中f1的定义域为{x|x≠0}，f2的定义域为R，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是 同一函数； ②中f1的定义域为R，f2的定义域为{x|x≥0}，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是同 一函数； ③中f1，f2，f3的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数．
第二章 第一节 函数及其表示
A. 0,
5 2
C. -
1 2
,2
B.[-1,4] D.[-5,5]
(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[- 3, 3],则函数y=f(x)的定义域为
.
答案 (1)C (2)[-1,2]
解析 (1)∵函数y=f(x)的定义域为[-2,3],
∴-2≤2x-1≤3,即- 1 ≤x≤2,
2
即函数y=f(2x-1)的定义域为
x2
D.f(x)=x,g(x)=
x
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4.函数f(x)= 2x -1+ 1 的定义域为 ( C )
x-2
A.[0,2)
B.(2,+∞)
C.[0,2)∪(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
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5.已知f
1 2
x-1=2x-5,且f(a)=6,则a等于
(
A
)
A. 7 B.- 7
|
1 2
a
N*
,B=
b
|
b
1 n
,n
N*
,对应关系f:a→b,b=
1
;
a
③A={x|x≥0},B=R,对应关系f:x→y,y2=x,x∈A,y∈B;
④A={x|x是平面α内的矩形},B={y|y是平面α内的圆},对应关系f:每一个矩形都
对应它的外接圆.
其中是从A到B的映射的为 ( B )
A.①③ C.①④
考点二 函数的定义域
命题方向一 具体函数的定义域 考法一 已知函数解析式,求函数定义域 典例2 (1)函数f(x)= x 1+lg(6-3x)的定义域为 ( C ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.[-1,2) D.[-1,2] (2)(多选)若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则实数m的值可能为
人教B版高中数学必修一 《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT(第2课时函数的表示方法)
3．已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合{1，2，3}， 其函数对应关系如下表：
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则方程 g(f(x))＝x 的解集为________．
解析：当 x＝1 时，f(1)＝2，g(f(1))＝2，不符合题意； 当 x＝2 时，f(2)＝3，g(f(2))＝1，不符合题意； 当 x＝3 时，f(3)＝1，g(f(3))＝3，符合题意． 综上，方程 g(f(x))＝x 的解集为{3}．
函数图像的作法及应用 作出下列函数的图像并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝2x，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]．
【解】 (1)列表：
x
0
1 2
1
3 2
2
y
1
2
3
4
5
当 x∈[0，2]时，图像是直线的一部分，观察图像可知，其值域
为[1，5]．
函数 f(x)的图像如图所示，则 f(x)的定义域是________，值 域是________．
答案：[－1，0)∪(0，2] [－1，1)
函数的三种表示方法 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售 出台数 x(x 为正整数)与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表 法、图像法、解析法表示出来．
2．下表表示函数 y＝f(x)，则 f(x)>x 的整数解的集合是________．
x
0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x<
函数的概念及其表示
函数的概念及其表示一、什么是函数1、函数的定义： 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）。
记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．注意：1) “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”。
2) 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，是一个数；而f()表示的是对应关系。
（用集合关系讲解）2、映射与函数函数的特殊的映射二、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域1、函数是一个整体“y=f(x)，x ∈A ．”表示一个函数。
函数=定义域+对应关系+值域2、比喻理解：定义域f −−→值域 等价于 原材料f −−→产品 一个函数就是一个完整过程，定义域是原材料、对应关系f 是生产设备、值域是生产的产品，而我们是老板，老板刷题就是从三要素出发不断地管理匹配这个生产过程3、举例说明：21,y x x R =+∈问：定义域值域是对应关系是三、求函数定义域.主要题型：偶次方被开方数为非负；分式的分母不为零；零次幂的底数不为零；对数真数大于零；指数对数的底数大于零且不等于1例题讲解：1、1()f x x x =-2、1()11f x x=+ 3、()f x =4、2()ln(1)f x x =- 5、()1f x x =- 四、求函数解析式1、函数的三种表达方法解析式法+图像法+列表法 因此我们可以看出解析式是函数的表达方式之一，也是我们学习过程中接触最多的。
2、函数解析式求法1) 配凑法\由已知条件(())()f g x F x =，可以将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代()g x 例题：已知2222(1))3x f x x ++=-，求()f x 解析式 2) 待定系数法如已知函数类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法例题：已知()f x 是一次函数，且满足3(1)()29f x f x x +-=+，求函数()f x 的解析式3) 换元法若已知(())f g x 的解析式，可用换元法 例题：已知2222(1))3x f x x ++=-，求()f x 解析式 4) 解方程组法已知关于()f x 与1()f x 或者()f x 与()f x 的表达式，可根据条件构造出另外一个等式，组成方程组求解例题：已知()f x +21()f x =3x ，则求()f x 的解析式。
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(4)函数 f(x)＝x－＋x1＋，3，x≤x>1，1 是分段函数．(3)× (4)√
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x2＋1，x≤1，
2．设函数 f(x)＝2x，x>1，
则 f(f(3))＝( )
A.15
B．3
2
13
C.3
D. 9
D [∵f(3)＝23≤1，
∴f(f(3))＝232＋1＝193.]
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20
1．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则给出的下列图形 表示为定义在A上的函数图像的是( )
A
B
C
D
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(2)由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )
x12345
y45321
A.1
B．2
C．4
D．5
(1)D (2)B [(1)A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，
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1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式 表示函数，解析式后不注明定义域即可视为该函数的定义域为使此解 析式有意义的实数集 R 或 R 的子集．
2．作函数图像必须要让作出的图像反映出图像的伸展方向，与 x 轴、y 轴有无交点，图像有无对称性，并标明特殊点．
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[解] (1)列表
x2345 …
y
1
2 3
1 2
2 5
…
当 x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数 y＝2x的一部分，观察图像
可知其值域为(0,1]．
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(2)设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]． 由题意得函数的解析式如下：
函数的表示法
函数的定义 设A、B是非空的数集, 如果按照某都有唯一确定的数 f (x)与 之对应, 那么就把对应关系 f 叫作定义在集合A上的函数.
记作 f：A→B,或 y=f (x), x∈A.
其中x叫做自变量, x的取值范围A叫做函数的定义域, 与x的值相对应的 y [或 f (x)]值叫做函数值, 函数值的集 合｛y |y=f (x), x∈A｝叫做函数的值域.
二、例题与练习：
1.作函数的图像
x, x 0, 例1.请画出下面函数的图像：y x x, x 0.
解： 图像为第一和第二象限的角平分线，如图， y
1 o
1 2
x
x 4, 2 例2.已知函数 f ( x) x 2 x, x 2,
f f (5) f (3) 3 4 1.
( x 1) 2 , x 0, 练习1.已知函数 f ( x ) x 0. x, (2)画出函数的图像. (1)求 f f f 1 的值；
2.求函数的解析式 例3.国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资 如表.画出图像，并写出函数的解析式.
§2.2函数的表示法
一、函数的表示：
把函数的两个变量之间的函数关系, 用一个等式来表示, （1）解析法： 这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.
函数的表示法 （2）列表法： 列出表格来表示两个变量的函数关系. （3）图象法：用函数的图象表示两个变量之间的函数关系.
（1）函数关系清楚. 解析法的优点：（2）给自变量一个值,可求它的函数值. （3）便于研究函数的性质. 列表法的优点：不必计算,查表可得到自变量与函数的对应值. 图象法的优点：直观形象地表示出函数值随自变量的变化规律.
(二)函数定义域值域及表示
函数及其表示【学习重点】 函数的定义域的求法以及函数的表示方法 【学习难点】 函数值域的求法 一、函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)例1 判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？1．3)5)(3(1+-+=x x x y52-=x y2．111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y3．x x f =)( 2)(x x g = 4．x x f =)( 33)(x x F = 5．21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f二、区间的概念及表示法设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． 三、求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 例2 求下列函数的定义域：⑪y =⑫y =（3）xx x x f -+=0)1()( （4）g(x)=211+-++x x例3 求复合函数求定义域记住两句话：地位相同范围相同，定义域是关于x 的。
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教学过程
一、课堂导入
函数的概念、表示方法、分段函数是近几年高考的热点；常和对数、指数函数的性质等相结合考查，有时也会命制新定义问题；题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题的形式出现。
二、复习预习
映射与函数：以考查概念与运算为主，部分涉及新定义运算；定义域、值域、解析式是考查的重点，而且比较稳定，有时结合其它知识点（一本部分内容为背景），分段函数较多、花样翻新；
三、知识讲解
考点1函数与映射的概念
考点2 函数的定义域、值域
在函数()
=，x A
y f x
∈中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值{()|}
∈的集合叫做函数的值域
f x x A
考点3 函数的表示方法与分段函数
表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。
四、例题精析
考点1函数与映射的概念
例1对于实数x,y ，定义运算x*y=ax y(xy 0)x by(xy 0)
+⎧⎨+⎩＞＜，已知1*2=4，-1*1=2，则下列运算结果为
______．(填写所有正确结果的序号)
②
③
④
【规范解答】∵1*2=a+2=4,-1*1=-1+b=2,得a=2,b=3.
∴x*y=2x y(xy 0)x 3y(xy 0)
+⎧⎨+⎩＞＜
②
③
×
④
＝
3×
【总结与反思】函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。
考点2 函数的定义域、值域
例2求函数()
-=2lg x 2x f x ;
(2)已知函数f(2x )的定义域是［-1,1］，求f(x)的定义域；
(3)求下列函数的值域.
①y=x 2+2x,x ∈［0,3］,
②y=log 3x+log x 3-1,
③.-=2x 1y 2
【规范解答】(1)要使该函数有意义，
需要⎧-⎪⎨-⎪⎩2
2x 2x 09x 0＞，＞则有：⎧⎨-⎩x 0x 23x 3＜或＞，＜＜解得:-3＜x ＜0
或2＜x ＜3,所以所求函数的定义域为 (-3,0)∪(2,3).
(2)∵f(2x )的定义域为［-1，1］，即-1≤x ≤1,12∴≤≤x 22，故f(x)的定义域为［1
,22］.
(3)①y=(x+1)2-1在［0,3］上的图象如图所示
,
由图象知：0≤y ≤32+2×3=15,
所以函数y=x 2+2x ，x ∈［0,3］的值域为［0,15］.
②=+-331y log x 1log x
,定义域为(0,1)∪(1,+∞)， 当0＜x ＜1
时，,≤-=-y 13 当x ＞1
时，,≥=y 11 综上可知，其值域为(-∞,-3］∪［1,+∞).
③因为x 2-1≥-1，又y=2x 在R 上为增函数,
∴-=2x 1
y 2≥2-1=12
. 故值域为［12,+∞). 【总结与反思】求抽象函数的定义域：①若已知函数f(x)的定义域为［a,b ］，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 求出.②若已知函数f(g(x))的定义域为［a,b ］，则f(x)的定义域为g(x)在x ∈［a,b ］时的值域.
考点3 函数的表示方法与分段函数
例3我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过5吨时，每吨水费的价格(基本消费价)为1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应缴纳的水费.
【规范解答】设y表示本季度应缴纳的水费(元)，当0＜x≤5时，y=1.3x；当5＜x≤6时，应将x分成两部分：5与(x-5)分别计算，第一部分为基本消费1.3×5，第二部分由基本消费与加价消费组成,即
1.3×(x-5)+1.3(x-5)×200%=3.9x-19.5，
此时y=1.3×5+3.9x-19.5=3.9x-13，
当6＜x≤7时，同理y=6.5x-28.6
综上可知：
1.3,05
3.913,56
6.528.6,67
x x
y x x
x x
<≤⎧
⎪
=-<≤
⎨
⎪-<≤
⎩
.
【总结与反思】计算本季度他应缴纳的水费，应看他的用水量x在何范围内，不同的范围，缴纳的水费不同；可采用分段函数来表示.
课程小结
1、求具体函数y=f(x)的定义域
2、求抽象函数的定义域
3、求简单函数值域的方法
(1)观察法；(2)图象观察法；(3)单调性法；(4)分离常数法；(5)均值不等式法；(6)换元法.
4、分段函数及实际应用题。