高三数学复习模拟高考测试(4)
陕西省汉中市2024高三冲刺(高考数学)统编版模拟(提分卷)完整试卷
陕西省汉中市2024高三冲刺（高考数学）统编版模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题的展开式中的系数为（ ）A．B．C ．14D ．49第(2)题已知数列的通项为，其中t 为正常数，记为数列的前n 项和，则下列说法不正确的是（ ）A ．∃常数m 使得对于均有是的充要条件B ．是的充分不必要条件C ．对于，均满足是的必要不充分条件D ．对于，均满足是的充分不必要条件第(3)题函数恰有两个整数解，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．第(4)题设函数是定义在区间上的函数，是函数的导函数，，则不等式的解集是A．B．C．D．第(5)题已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．第(6)题已知直线是曲线的切线，则（ ）A ．或1B ．或2C ．或D ．或1第(7)题已知函数，（是自然对数的底数），若对，，使得成立，则正数的最小值为A．B ．1C．D．第(8)题，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，下列结论正确的是（ ）A ．若，则有2个零点B ．若，则有3个零点C ．存在负数，使得只有1个零点D ．存在负数，使得有3个零点第(2)题已知向量，则下列结论正确的是（ ）A．当时，B ．当时，向量与向量的夹角为锐角C ．存在，使得D．若，则第(3)题已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是( )A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数和标准差分别作为、的近似值，其中样本标准差的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程的概率为________.（参考数据：若随机变量，则，，）第(2)题已知圆，点P为直线上的一个动点，过点P向圆C引两条切线，为切点，则直线AB经过的定点的坐标为______.第(3)题已知圆经过直线与圆的交点，且圆的圆心在直线上，则圆的标准方程为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”数列．(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；(2)若函数有三个零点，其中．证明：数列为“对数凹性”数列；(3)若数列的各项均为正数，，记的前n项和为，，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得．证明：数列为“对数凹性”数列．第(2)题在中，分别为角的对边，且，的面积.(1)求；(2)若，且，求的值.第(3)题如图所示，抛物线上点到焦点的距离为4，是抛物线上的动点，过点的切线交轴于点，以为圆心的圆与直线及直线分别相切于､两点，且直线与轴的正半轴交于点.（1）求证：；（2）求的最小值.第(4)题已知椭圆：的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）设不过点的直线与相交于两点，直线分别与轴交于，两点，若，证明直线的斜率是定值，并求出该定值．第(5)题已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列；（2）设，求数列的前项和.。
淮阴中学高三数学高考模拟试题4
淮阴中学数学高考模拟试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）“2x >”是“24x >”的（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2）已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，2313a a +=，那么则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）已知函数()f x 对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图像为（A ）（B ）（C ） （D ） （4）已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0P A P BP C ++=，且AB AC mAP +=，那么实数m 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为 A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤（6）已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为 （A ）51- （B ）57（C ）57-（D ）43 （7）已知函数31)21()(x x f x-=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（A ）)31,0( （B ）)21,31( （C ）)32,21( （D ）)1,32(（8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（A ） 33- （B ）323- （C ）36- （D ）340 50 60 70 80 90 体重(kg) 频率A第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
陕西省榆林市2023届高三下学期第四次模拟考试 数学(理) PDF版含解析
绝密★启用前榆林市2022～2023年度第四次模拟考试数学试题(理科)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(杨宪伟老师工作坊)集合P ＝{－2，2}，集合Q ＝{－1，0，2，3}，则P ∪Q ＝()(A)[－2，3](C){2}(B){－2，－1，0，2，3}(D){－2，－1，0，3}2．(杨宪伟老师工作坊)复数z ＝(1－i)(3＋i)，则复数z 在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3．(杨宪伟老师工作坊)双曲线y 28－x 26＝1的一条渐近线方程为()(A)3x －4y ＝0(B)4x －3y ＝0(C)3x ＋2y ＝0(D)2x －3y ＝04．(杨宪伟老师工作坊)若tan(α＋π4)＝15，则tan α＝()(A)－23(B)23(C)－13(D)135．(杨宪伟老师工作坊)若函数f (x )＝x 2－e －ax (a ∈R )，若f (x )的图象在x ＝0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则a ＝()(A)12(B)2(C)±2(D)±126．(杨宪伟老师工作坊)将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π20个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，所得图象的一条对称轴为x ＝()(A)π80(B)π60(C)π40(D)π207．(杨宪伟老师工作坊)已知a ＝log 32，b ＝0.30.5，c ＝0.5－0.4，则()(A)c＜b＜a(B)c＜a＜b(C)a＜b＜c(D)b＜c＜a 8．(杨宪伟老师工作坊)(5x2＋8x)9的展开式中含x3项的系数为()(A)C69·53·86(B)C59·54·85(C)C79·52·87(D)C49·55·84 9．(杨宪伟老师工作坊)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，CD的中点，则异面直线MN与BC1所成角的余弦值为()(A)36(B)34(C)33(D)3210．(杨宪伟老师工作坊)某学校举行了一次航天知识竞赛活动，经过班级初选后一共100名学生参加学校决赛，把他们的成绩(满分100分)分成[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]共五组，并得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40．分析样本数据后，发现学生的竞赛分数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差．若某学生的成绩高于79.9即给该学生颁发优胜奖杯，则估计此次竞赛获得优秀奖杯的人数为(结果根据四舍五入保留到整数位)()参考数据：随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0. 9545，119≈10.9．(A)15(B)16(C)34(D)3511．(杨宪伟老师工作坊)已知球O的内接三棱锥P－ABC的体积为6，且PA，PB，PC的长分别为6，3，2，则三棱锥A－BOC的体积为()(A)2(B3(C)4(D)612．(杨宪伟老师工作坊)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且g(x)＝2f(x＋1)－2，2f(x)＋g(x－3)＝2．若y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(1)＝3，现有四个结论：①g(0)＝4；②4为g(x)的周期；③g(x)的图象关于点(2，0)对称；④g(3)＝0．其中结论正确的编号为()(A)②③④(B)①③④(C)①②④(D)①②③第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(杨宪伟老师工作坊)已知向量a＝(3，2)，b＝(λ，－4)，若a⊥(a－b)，则λ＝▲．14．(杨宪伟老师工作坊)中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．张三和李四下棋，张三获胜的概率是13，和棋的概率是14，则张三不输的概率为．15．(杨宪伟老师工作坊)已知抛物线C：y2＝4x的顶点为O，经过过点A，且F为抛物线C 的焦点，若|AF|＝3|OF|，则△OAF的面积为．16．(杨宪伟老师工作坊)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝2sin B，则A＝▲．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知等差数列{a n}中，a1＋a5＝7，a6＝132．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{1a n a n＋1}的前n项和为S n．18．(杨宪伟老师工作坊)(12分)推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．某社区开展有关垃圾分类的知识测试．已知测试中有A，B两组题，每组都有4道题目，甲对A组其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道题做对的概率为23，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为14．甲对B组每道题做对的概率为0.6，甲可以选择从A组中任选2道题或从B组中任选2道题．(1)若甲选择从A组中任选2道题，设X表示甲答对题目的个数，求X的分布列和期望；(2)以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题．19．(杨宪伟老师工作坊)(12分)在如图所示的三棱锥D－ABC中，已知AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，2AB＝AC＝AD＝4，E为AB的中点，F为AC的中点，G为CD的中点．(1)证明：AD ∥平面EFG ．(2)求平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值．20．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ax ＋2a 2ln x ，a ≠0．(1)讨论f (x )的单调区间；(2)若f (x )有3个零点，求a 的取值范围．21．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为34，左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为27．(1)求椭圆C 的方程．(2)P 为第一象限内椭圆C 上一点，直线PF 1，PF 2与直线x ＝5分别交于A ，B 两点，记△PAB 和△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝913，求|AB |．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂22．(杨宪伟老师工作坊)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ＋y ＝5，圆M 以(3，0)为圆心且与l 相切．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆M 的极坐标方程；(2)若射线θ＝α(0＜α＜π2，ρ＞0)与圆M 交于点A ，B 两点，且1|OA |＋1|OB |＝17，求直线AB 的直角坐标方程．23．(杨宪伟老师工作坊)[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋2|的最小值为M ．(1)解关于x 的不等式f (x )＜M ＋|2x ＋2|；(2)若正数a ，b 满足a 2＋2b 2＝M ，求2a ＋b 的最大值．榆林市2022～2023年度第四次模拟考试数学试题解析(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(杨宪伟老师工作坊)集合P ＝{－2，2}，集合Q ＝{－1，0，2，3}，则P ∪Q ＝()(A)[－2，3](C){2}(B){－2，－1，0，2，3}(D){－2，－1，0，3}【答案】B【解析】因为集合P ＝{－2，2}，集合Q ＝{－1，0，2，3}，所以P ∪Q ＝{－2，－1，0，2，3}，故选(B)．2．(杨宪伟老师工作坊)复数z ＝(1－i)(3＋i)，则复数z 在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【答案】D【解析】因为z ＝(1－i)(3＋i)＝4－2i ，所以复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选(D)．3．(杨宪伟老师工作坊)双曲线y 28－x 26＝1的一条渐近线方程为()(A)3x －4y ＝0(B)4x －3y ＝0(C)3x ＋2y ＝0(D)2x －3y ＝0【答案】D【解析】令y 28－x 26＝0，可得：2x ±3y ＝0，故选(D)．4．(杨宪伟老师工作坊)若tan(α＋π4)＝15，则tan α＝()(A)－23(B)23(C)－13(D)13【答案】A 【解析】解法1：因为tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝15，所以tan α＝－23，故选(A)．解法2：tan α＝tan(α＋π4－π4)＝tan(α＋π4)－tanπ41＋tan(α＋π4)tanπ4＝－23，故选(A)．5．(杨宪伟老师工作坊)若函数f (x )＝x 2－e －ax (a ∈R )，若f (x )的图象在x ＝0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则a ＝()(A)12(B)2(C)±2(D)±12【答案】D【解析】f (x )＝x 2－e －ax ，f'(x )＝2x ＋a e －ax ，所以f'(0)＝a ，f (0)＝－1，f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝ax －1，所以该切线与坐标轴围成三角形的面积12×1×1|a |＝1，解得：a ＝±12，故选(D)．6．(杨宪伟老师工作坊)将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π20个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，所得图象的一条对称轴为x ＝()(A)π80(B)π60(C)π40(D)π20【答案】C 【解析】解法1：将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π20个单位长度，得到的是函数y ＝cos2(x －π20)＝cos(2x －π10)，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12，得到的是函数y ＝cos(4x －π10)，令4x －π10kπ(k ∈Z)，解得：x ＝π40＋kπ4(k ∈Z)，故选(C)．解法2：函数y ＝cos2x 的一条对称轴为x ＝0，将其向右平移π20个单位长度，再将横坐标缩小到原来的12，可得：x ＝π40，故选(C)．7．(杨宪伟老师工作坊)已知a ＝log 32，b ＝0.30.5，c ＝0.5－0.4，则()(A)c ＜b ＜a (B)c ＜a ＜b(C)a ＜b ＜c(D)b ＜c ＜a【答案】C【解析】因为a ＝log 32∈(0，0.5)，b ＝0.30.5∈(0.5，1)，c ＝0.5－0.4∈(1，2)，所以a ＜b ＜c ，故选(C)．8．(杨宪伟老师工作坊)(5x 2＋8x)9的展开式中含x 3项的系数为()(A)C69·53·86(B)C59·54·85(C)C79·52·87(D)C49·55·84【答案】B【解析】(5x2＋8x)9的展开式中含x3项为C59(5x2)4(8x)5＝C59·54·85x3，故选(B)．9．(杨宪伟老师工作坊)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，CD的中点，则异面直线MN与BC1所成角的余弦值为()(A)36(B)34(C)33(D)32【答案】A【解析】取B1C1的中点E，连结ME，EN，则平面ME∥CC1，所以∠EMN即为异面直线MN与BC1所成角，在△EMN中，MN＝EN＝6，ME＝2，cos∠EMN＝ME2MN＝36，故选(A)．10．(杨宪伟老师工作坊)某学校举行了一次航天知识竞赛活动，经过班级初选后一共100名学生参加学校决赛，把他们的成绩(满分100分)分成[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]共五组，并得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40．分析样本数据后，发现学生的竞赛分数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差．若某学生的成绩高于79.9即给该学生颁发优胜奖杯，则估计此次竞赛获得优秀奖杯的人数为(结果根据四舍五入保留到整数位)()参考数据：随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0. 9545，119≈10.9．(A)15(B)16(C)34(D)35【答案】B【解析】由题意：第三组的频率为0.4，第四组的频率为0.15，所以μ＝50×0.1＋60×0.25＋70×0.4＋80×0.15＋90×0.1＝69；σ2＝(50－69)2×0.1＋(60－69)2×0.25＋(70－69)2×0.4＋(80－69)2×0.15＋(90－69)2×0.1＝119，σ≈10.9，P (X ＞79.9)＝1－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)2≈0.15865，此次竞赛获得优秀奖杯的人数为：100×0.15865≈16，故选(B)．11．(杨宪伟老师工作坊)已知球O 的内接三棱锥P －ABC 的体积为6，且PA ，PB ，PC 的长分别为6，3，2，则三棱锥A －BOC 的体积为()(A)2(B3(C)4(D)6【答案】B【解析】V P －ABC ＝V C －P AB ≤13×12×PA ×PB ×PC ＝6，所以PA ，PB ，PC 互相垂直，而O 为三棱锥P －ABC V A －BOC ＝V O －ABC ＝12V D －ABC ＝12V P －ABC ＝3，故选(B)．12．(杨宪伟老师工作坊)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且g (x )＝2f (x ＋1)－2，2f (x )＋g (x －3)＝2．若y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且f (1)＝3，现有四个结论：①g (0)＝4；②4为g (x )的周期；③g (x )的图象关于点(2，0)对称；④g (3)＝0．其中结论正确的编号为()(A)②③④(B)①③④(C)①②④(D)①②③【答案】C【解析】因为f (x )，g (x )的定义域均为R ，g (x )＝2f (x ＋1)－2，f (1)＝3，所以g (0)＝2f (1)－2＝4，①正确；又因为2f (x )＋g (x －3)＝2，所以2f (x ＋1)＋g (x －2)＝2，g (x )＝－g (x －2)，即：g (x )＝g (x －4)，故4为g (x )的周期，②正确；因为y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，2f (x )＋g (x －3)＝2，所以g (x －3)＝g (x ＋1)关于直线x ＝1对称，g (x )关于直线x ＝2对称，③错误；而g (3)＝－g (1)＝g (1)，所以g (3)＝g (1)＝0，④正确，故选(C)．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(杨宪伟老师工作坊)已知向量a ＝(3，2)，b ＝(λ，－4)，若a ⊥(a －b )，则λ＝▲．【答案】7【解析】因为a ⊥(a －b )，所以(a －b )•a ＝0，即：a •b ＝a 2，3λ－8＝13，λ＝7．14．(杨宪伟老师工作坊)中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．张三和李四下棋，张三获胜的概率是13，和棋的概率是14，则张三不输的概率为．【答案】712【解析】P ＝13＋14＝712．15．(杨宪伟老师工作坊)已知抛物线C ：y 2＝4x 的顶点为O ，经过过点A ，且F 为抛物线C 的焦点，若|AF |＝3|OF |，则△OAF 的面积为．【答案】2【解析】设A (x 0，y 0)，则|AF |＝x 0＋1＝3|OF |＝3，x 0＝2，|y 0|＝22，故△OAF 的面积＝12|y 0|＝2．16．(杨宪伟老师工作坊)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝2sin B ，则A ＝▲．【答案】2π3【解析】因为sin C ＝2sin B ，所以c ＝2b ，又因为a 2－b 2＝3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2bc －3bc2bc＝－12，A ＝2π3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝7，a 6＝132．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为S n ．【解析】(1)因为a 1＋a 5＝2a 3＝7，所以a 3＝72，而a 6＝132，所以{a n }的公差d ＝a 6－a 36－3＝1，a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n ＋12；(2)1a n a n ＋1＝4(2n ＋1)(2n ＋3)＝2(12n ＋1－12n ＋3)，S n ＝2(13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3)＝2(13－12n ＋3)＝4n6n ＋9．18．(杨宪伟老师工作坊)(12分)推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．某社区开展有关垃圾分类的知识测试．已知测试中有A ，B 两组题，每组都有4道题目，甲对A 组其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道题做对的概率为23，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为14．甲对B 组每道题做对的概率为0.6，甲可以选择从A 组中任选2道题或从B 组中任选2道题．(1)若甲选择从A 组中任选2道题，设X 表示甲答对题目的个数，求X 的分布列和期望；(2)以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题．【解析】(1)记甲选择从A 组中任选2道题，选到的2道题都有思路为事件M ，只有1道题有思路为事件N ，则P (M )＝C 23C 24＝12，P (N )＝12．X 的可能取值为0，1，2．P (X ＝0)＝12×(1－23)2＋12×(1－23)×(1－14)＝1372；P (X ＝1)＝12×C 12×(1－23)×23＋12×[23×(1－14)＋(1－23)×14]＝3772；P (X ＝2)＝12×(23)2＋12×23×14＝1136；X 的分布列为：X 012P137237721136EX ＝0×1372＋1×3772＋2×1136＝98．(2)设甲从B 组中任选2道题作答，答对题目数量为Y ，则Y ～B (2，0.6)，EY ＝2×0.6＝1.2＞EX ＝98，故甲应该选择B 组题答题．19．(杨宪伟老师工作坊)(12分)在如图所示的三棱锥D －ABC 中，已知AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，2AB ＝AC ＝AD ＝4，E 为AB 的中点，F 为AC 的中点，G 为CD 的中点．(1)证明：AD ∥平面EFG ．(2)求平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值．【解析】(1)因为F 为AC 的中点，G 为CD 的中点，所以AD ∥GF ，又因为AD ⊄平面EFG ，GF ⊂平面EFG ，所以AD ∥平面EFG ；(2)解法1：以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B (2，0，0)，D (0，0，4)，C (0，4，0)，BC →＝(－2，4，0)，DC →＝(0，4，－4)，EF →＝(－1，2，0)，FG →＝(0，0，2)，设平面BCD 的法向量为n →＝(x ，y ，z )•BC →＝0•DC →＝0x ＋2y ＝0－z ＝0，令y ＝1，则n →＝(2，1，1)，设平面EFG 的法向量为m →＝(x 1，y 1，z 1)，•EF →＝0•FG →＝0x 1＋2y 1＝01＝0，令y 1＝1，则m →＝(2，1，0)，cos<m →，n →>＝m →•n →|m →||n →|＝306，故平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值为306．解法2：取BD 的中点H ，连结EH ，GH ，过点A 作AM ⊥BC 于M ，交EF 于N ，连结DM 交GH 于O ，连结ON ，则H ∈平面EFG ，因为AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，所以AD ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，而AM ⊥BC ，所以BC ⊥平面ADM ，又因为BC ∥GH ，所以GH ⊥平面ADM ，而平面EFG ∩平面BCD ＝GH ，所以∠MON 平即为面BCD 与平面EFG 所成角，由(1)可得：AD ∥平面EFG ，平面EFG ∩平面ADM ＝ON ，所以AD ∥ON ，∠MON ＝∠ADM ．而AM ＝AB •AC BC ＝455，DM ＝AM 2＋AD 2＝4305，cos ∠ADM ＝AD DM ＝306，故平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值为306．20．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ax ＋2a 2ln x ，a ≠0．(1)讨论f (x )的单调区间；(2)若f (x )有3个零点，求a 的取值范围．【解析】(1)因为f (x )＝12x 2－3ax ＋2a 2ln x ，所以f'(x )＝(x －a )(x －2a )x ，而a ≠0，所以当a ＞0时，f (x )的增区间为(0，a )和(2a ，＋∞)，减区间为(a ，2a )；当a ＜0时，f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间；(2)因为f (x )有3个零点，所以a ＞0，f (a )＝2a 2(ln a －54)＞0，f (2a )＝2a 2(ln2a －2)＜0，解得：e 54＜a ＜e 22，此时f (1)＝12－3a ＜0，f (6a )＝2a 2ln6a ＞0，f (x )在(1，a )、(a ，2a )和(2a ，6a )各有1个零点，共有3个零点，满足题意，所以a 的取值范围为(e 54，e 22)．21．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为34，左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为27．(1)求椭圆C 的方程．(2)P 为第一象限内椭圆C 上一点，直线PF 1，PF 2与直线x ＝5分别交于A ，B 两点，记△PAB 和△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝913，求|AB |．【解析】(1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－7a 2＝916，所以a 2＝16，b 2＝7，C 的方程为：x 216＋y 27＝1．(2)F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设P (x 0，y 0)(0＜x 0＜4且x 0≠3)，S 1S 2＝|PA |·|PB ||PF 1|·|PF 2|＝5－x 0x 0＋3·5－x 0|x 0－3|＝913，当x 0＜3时，(5－x 0)29－x 20＞1不成立，3＜x 0＜4时，(5－x 0)2x 20－9＝913，解得：x 0＝72，|y 0|＝1058，此时S 1＝12|AB |(5－x 0)＝34|AB |＝913S 2＝913×3|y 0|，故|AB |＝910526．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(杨宪伟老师工作坊)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ＋y ＝5，圆M 以(3，0)为圆心且与l 相切．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆M 的极坐标方程；(2)若射线θ＝α(0＜α＜π2，ρ＞0)与圆M 交于点A ，B 两点，且1|OA |＋1|OB |＝17，求直线AB 的直角坐标方程．【解析】(1)圆M 的半径r ＝|3＋0－5|12＋12＝2，设P (ρ，θ)为圆M 上的任意一点，则在△OPM中，由余弦定理可得：2＝ρ2＋9－6ρcos θ，即：ρ2－6ρcos θ＋7＝0，故圆M 的极坐标方程为：ρ2－6ρcos θ＋7＝0；(2)令θ＝α，可得：ρ2－6ρcos α＋7＝0，1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝6cos α7＝17，解得：cos α＝16，而0＜α＜π2，故tan α＝35，直线AB 的直角坐标方程为y ＝35x ．23．(杨宪伟老师工作坊)[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋2|的最小值为M ．(1)解关于x 的不等式f (x )＜M ＋|2x ＋2|；(2)若正数a ，b 满足a 2＋2b 2＝M ，求2a ＋b 的最大值．【解析】(1)f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|(2x －1)－(2x ＋2)|＝3，当x ＝－1时可取等号，故M ＝3，不等式f (x )＜M ＋|2x ＋2|等价于|2x －1|＜3，解得：－1＜x ＜2，故原不等式的解集为(－1，2)；(2)由柯西不等式可得：(a 2＋2b 2)[22＋(22)2]≥(2a ＋b )2，即：2a ＋b ≤362，当且仅当a ＝4b ＝263时取等号，故2a ＋b 的最大值为263．。
2024年华南师大附中高三数学4月高考模拟练习卷附答案解析
2024年华南师大附中高三数学4月高考模拟练习卷2024.04一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合1{03},lg 2A xx B x x ⎧⎫=<<=<⎨⎩⎭∣，则（）A ．AB ⊆B ．B A ⊆C ．A B ⋂=∅D ．A B = R2．在等差数列{}n a 中，若25192228a a a a +++=，则12a =（）A ．45B ．6C ．7D ．83．81x ⎫+⎪⎭的展开式中4x -的系数为（）A ．70B ．56C ．28D ．84．设x ∈R ，向量()(),1,1,2a x b ==- ，且a b ⊥ ，则cos ,a b a -= （）A ．5B ．5C ．10D ．25．已知抛物线2:2C y px =的焦点为()1,0F ，准线为,l P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点,Q PQF 为等边三角形，过PQ 的中点M 作直线MR //QF ，交x 轴于R 点，则直线MR 的方程为（）A 0y +-=B 0y +-=C ．x -=D ．0x -=6．若将函数()2sin f x x =的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()1g x =-在[)0,π内有两个不同的解,αβ，则()sin αβ+=（）A ．14-B ．14C ．22D ．22-7．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()2,2f x f x f x =--+为偶函数，当[]1,2x ∈时，()2f x ax b =+，若()()036f f +=，则253f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．329B ．113C ．43-D ．179-8．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为1，现有一个动平面α，且α 平面1A BD ，当平面α截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为S ，周长为l ，则（）A ．S 不为定值，l 为定值B ．S 为定值，l 不为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．如图所示，已知三棱锥D ABC -的外接球的半径为3,O 为球心，F 为ABD △的外心，E 为线段AB 的中点，若π2,,6AB AC BC ADB ∠=⊥=，则（）A ．线段FA 的长度为2B ．球心O 到平面ABD 的距离为2C ．球心O 到直线AB 的距离为D ．直线OE 与平面ABD 10．下列命题正确的是（）A ．:p “α是第二象限角或第三象限角”，:q “cos 0α<”，则p 是q 的充分不必要条件B ．若α2=C ．在ABC 中，若tan tan 1A B ⋅>，则ABC 为锐角三角形D ．已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5cos23α=，则35tan 2α=11．已知双曲线222:1(0),3x y E b F b-=>为其右焦点，点F 到渐近线的距离为1，平行四边形ABCD 的顶点在双曲线E 上，点F 在平行四边形ABCD 的边上，则（）A ．bB ．AF CF -=C ．若平行四边形ABCD 各边所在直线的斜率均存在，则其值均不为D ．四边形ABCD 的面积ABCD S ≥三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设复数z 的共轭复数为z ，若13i 2z z -=-，则z =.13．“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于1810-秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子･天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.（参考数据：光速为8310⨯米/秒，lg20.3,lg30.48≈≈）14．若0x >，关于x 的不等式22ln 41ea x xa x x ≥-+恒成立，则正实数a 的最大值为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且4cos cos cos a B b C c B -=.(1)求cos B 的值；(2)若ABC b =ABC 的周长.16．如图所示，圆台12O O 的轴截面11A ACC 为等腰梯形，111224,AC AA AC B ===为底面圆周上异于,A C 的点，且,AB BC P =是线段BC 的中点.(1)求证：1C P //平面1A AB .(2)求平面1A AB 与平面1C CB 夹角的余弦值.17．已知函数()()e ,xf x x kx k =-∈R .(1)当0k =时，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在()0,∞+上仅有两个零点，求实数k 的取值范围.18．已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G 是1EB 的中点，且121EB GB ⋅= .(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.19．卡塔尔世界杯小组赛阶段，每个小组4支球队循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分．每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛．若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛．假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例：若B ，C ，D 三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）．已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立．(1)若A 球队在小组赛的3场比赛中胜1场，负2场，求其最终出线的概率．(2)已知该小组的前三场比赛结果如下：A 与B 比赛，B 胜；C 与D 比赛，D 胜；A 与C 比赛，A 胜．设小组赛阶段A ，D 球队的积分之和为X ，求X 的分布列及期望．1．A【分析】先化简集合B ，再根据集合间关系判断.【详解】由1lg 2x <，得0x <<{0B x x =<<∣，所以A B ⊆.故选：A.2．C【分析】利用等差数列的性质求解.【详解】因为()()25192222251912428a a a a a a a a a +++=+++==，所以127a =.故选：C.3．B【分析】利用81x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式84318C (08,N)r r r T x r r -+≤≤∈=，即可求出结果.【详解】因为81x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为8483188(0C )1C 8,N rrr r rr T r xx r --+⎛⎫==≤≤ ⎝∈⎪⎭，令8443r -=-，解得=5r，故81x ⎫⎪⎭的展开式中41x 的系数为58C 56=，故选：B.4．D【分析】由向量垂直得2x =，再利用向量夹角的坐标运算求解cos ,a b a -即可.【详解】因为()(),1,1,2a x b ==-，又a b ⊥，所以20x -=，得到2x =，所以()2,1a = ，得到()1,3a b -= ，所以()cos ,a b a a b a a b a -⋅-=-22=.故选：D 5．B【分析】设直线l 与x 轴交于点H ，连接,MF QF，说明QHMF 为矩形，得(1,M ，求得MR的斜率为，直线方程可求.【详解】设直线l 与x 轴交于点H ，连接,MF QF ，因为焦点()1,0F ，所以抛物线的方程为24y x =，准线为=1x -，则2,FH PF PQ ==，因为PQF △是等边三角形，PQ 的中点为M ，则,MF PQ MF x ⊥⊥轴，所以准线为//l MF ，QHMF 为矩形，则2FH MQ ==，故PQF △是边长为4的等边三角形，易知60,PFQ PFR QFH MF ∠=∠=∠==(1,M .因为MR //QF，所以直线MR 的斜率为,直线MR0y +-=.故选：B6．D【分析】由三角函数的伸缩和平移变化得到()π2sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据条件得到5π4αβ+=，即可求出结果.【详解】由函数()2sin f x x =的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数π2sin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数()π2sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，因为[)0,πx ∈，所以ππ9π2,444x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，由()1g x =-，可得π1sin 242x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以ππ3π222442αβ+++=⨯，得到5π4αβ+=，所以()5π2sin sin 42αβ+==-，故选：D.7．A【分析】先根据条件确定函数的对称性和周期性，再利用待定系数法列方程组求出()2f x ax b =+，进而利用对称性和周期性求253f ⎛⎫⎪⎝⎭即可.【详解】因为()()=2f x f x --①，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称.因为()2f x +为偶函数，所以()()22f x f x -+=+②，则函数()f x 的图象关于直线2x =对称.由①②得()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，故()f x 的周期为4，所以25118333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由()()11f x f x -+=-+，令0x =，得()10f =，即0a b +=③，已知()()036f f +=，由函数()f x 的图象关于直线2x =对称，得()()310f f ==.又函数()f x 的图象关于点()1,0对称，得()()02f f =-所以()()()0326f f f +=-=，即()26f =-，所以46a b +=-④，联立③④解得2a =-，2b =，故当[]1,2x ∈时，()222f x x =-+.由()f x 的图象关于点()1,0对称，可得13f ⎛⎫⎪⎝⎭2553222339f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--⨯+=⎢⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选：A.8．A【分析】利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，可知截面边数最多时为六边形.如图所示，可计算出周长为定值，计算正三角形1A DB 的面积和截而为正六边形时的截面面积通过比较即可得答案.【详解】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，与面1A DB 平行的面且截面是六边形时满足条件，如图所示，正方体边长为1，即//EF 1A B设1EFA B λ=，则1111B E B E A B λ==，)111111,1A E NEEF NE B D A B λλ∴==-∴+-，∴六边形的周长l 为定值正三角形1A DB 的面积为12 当,,,,,M N E F G H 均为中点时，六边形的边长相等即截面为正六边形时截面面积最大，此时NG ,截面面积为2211sin606622⨯⨯⨯=⨯=⎝⎭⎝⎭∴截面从1A DB 平移到11B CD 的过程中，截面面积的变化过程是由小到大，再由大到小，故可得周长l 为定值，面积S 不为定值.故选：A 9．ACD【分析】对于ABC ，根据三棱锥外接球的概念、结构特征和球的截面性质以及已知条件研究判断即可；对于D ，根据球的截面性质找到直线OE 与平面ABD 所成的角即可计算求解.【详解】对于A ，在ABD △中，F 为ABD △的外心，π2,6AB ADB ∠==，则222sin30FA FB FD ====，故A 正确；对于B 、C ，连接OE ，EF ，OF ，则由三棱锥D ABC -的外接球的半径为3以及球的截面性质可得：球心O 到平面ABD 的距离为OF ==B 错误；由E 为AB 的中点，知OE AB ⊥，1EA EB ==，所以OE ===C 正确；由球的截面性质OF ⊥平面,DAB EF ⊂平面DAB ，所以OF EF ⊥，且EF 为OE 在面DAB 上的射影，所以OEF ∠为直线OE 与平面ABD 所成角，且Rt OEF △中，sin4OF OEF OE ∠===，故D 正确.故选：ACD.10．ACD【分析】对A ，根据充分，必要条件的概念判断；对B ，利用二倍角余弦公式化简求解；对C ，将条件式切化弦结合三角变换求解判断；对D ，利用二倍角余弦公式化简条件式，再弦化切求解.【详解】对于A ，若α是第二象限角或第三象限角，则cos 0α<.若cos 0α<，取π,cos 10αα==-<，此时α不是第二象限角或第三象限角，则p 是q 的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，由于α为第一象限角，则cos 0,sin 0αα>>，=B 错误；对于C ，在ABC 中，若sin sin tan tan 1cos cos A B A B A B ⋅⋅=>⋅，则sin sin cos cos 0cos cos A B A BA B⋅-⋅>⋅，所以()cos cos 0cos cos cos cos A B CA B A B-+=>⋅⋅，故cos cos cos 0A B C ⋅⋅>，所以cos 0,cos 0,cos 0A B C >>>，故ABC 为锐角三角形，故C 正确；对于D，由222222cos sin 1tan cos2cos sin 1tan 3ααααααα--===++，所以2233tan αα-=，则22(3tan 4α-=，由π0,4α⎛⎫∈⎪⎝⎭，知3tan 2α=，故D 正确.故选：ACD.11．BCD【分析】由点到线的距离判断A ，由对称性结合双曲线定义判断B ，由渐近线性质判断C ，联立直线与双曲线，表示面积利用函数单调性求得范围判断D.【详解】对A ，易知渐近线方程为0bx ±=，焦点F 坐标为)，点F1=，故1,A b =项错误；对B ，若F '为双曲线的左焦点，又点F 在平行四边形ABCD 上，则根据对称性知点F '也在平行四边形ABCD 上，且AF CF '=，所以||||||||||||2AF CF AF AF a -=-=='B 项正确；对C ，由双曲线2213x y -=的渐近线方程为33y x =±，若平行四边形ABCD各边所在直线的斜率均存在，当其值为3±时，则平行四边形ABCD 各对应边所在直线与双曲线不可能有四个交点，故C 项正确；对D，如上图，设直线:2,CD x ty t =+<<联立双曲线方程得()223410t y ty -++=，且()2Δ1210t =+>，所以2241,33C D C Dt y y y y t t +=-=--，则)2213t CD t +==-，由对称性知(),C C A x y --，则点A 到直线CD的距离d ==，所以ABCD S d CD =⋅[)1,2m =，则4ABCD S m m==-又()4f m m m=-在[)1,2m ∈上单调递减，故ABCD S 在[)1,2m ∈上单调递增，所以ABCD S ≥D 项正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的几何性质，关键是利用对称性解决B ，合理表示面积结合函数单调性求得面积范围.12【分析】设()i ,z a b a b =+∈R ，代入已知式利用复数相等的定义求得,a b ，得z ，再由复数模的概念求得结论．【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-.因为13i 2z z -=-，所以13i 3i a b -=+，所以1,33,a b =⎧⎨=-⎩解得1,1,a b =⎧⎨=-⎩所以1i z =-，所以z =.．13．31【分析】依题意可得尺子经过n 天后，剩余的长度()12nf n ⎛⎫= ⎪⎝⎭米，结合对数运算可得结果.【详解】依题意，光在2“阿托秒”内走的距离为18810210310610--⨯⨯⨯=⨯米，经过n 天后，剩余的长度()12n f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭米，由()10610f n -<⨯，得1016102n-⎛⎫<⨯ ⎪⎝⎭，两边同时取对数，得()()()101012lg 61010lg2lg310lg6100.78log 61030.731lg2lg20.3lg 2n --⨯-+-->⨯===≈≈，而*N n ∈，则31n =，所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走的距离.故答案为：31.14．2e【分析】先将不等式同构变形为ln 2e 2ln 41a x x a x x -≥-+，构造函数()e 21t g t t =--，求导判单调性转化为解不等式()f x ≤0或()0f x t ≥，令()ln 2f x a x x =-，求导求得最大值小于等于0即可求解.【详解】22ln 41eax x a x x ≥-+，即ln 2e 2ln 41a x x a x x -≥-+，令()ln 2f x a x x =-，则()()e 210f x f x --≥.设()e 21t g t t =--，其中()t f x =，则()e 2t g t '=-，令()0g t '=，得ln2t =，所以当ln2t <时，()()0,g t g t '<单调递减，当ln2t >时，()()0,g t g t '>单调递增，所以()min ()ln212ln20g t g ==-<，又()()200,2e 50g g ==->，所以存在()0ln2,2t ∈，使得()00g t =，所以若()0g t ≥，则0t ≤或0t t ≥，即()f x ≤0或()0f x t ≥恒成立，当(),x f x ∞∞→+→+，故()0f x t ≥不可能，()22,0a a x f x x x x-=-'=>，所以在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()()0,f x f x '>单调递增，在,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上，()()0,f x f x '<单调递减，所以max ()ln 22a a f x f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以只有ln 02a a a -≤才能满足要求，即ln 102a a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，又0a >，解得02e a <≤，所以正实数a 的最大值为2e .故答案为：2e【点睛】方法点睛：函数隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数.第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.15．(1)1cos 4B =(2)+【分析】（1）利用正弦定理将条件式边化角，化简求出cos B ；（2）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解出,a c 的值，从而求出ABC 周长.【详解】（1）因为4cos cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得4sin cos sin cos sin cos A B B C C B -=，所以()()4sin cos sin cos sin cos sin sin πsin A B B C C B B C A A =+=+=-=，因为0πA <<，所以sin 0A ≠，所以1cos 4B =.（2）由（1）易知sin B =，因为1sin 2ABC S ac B == 所以12ac =，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-.又因为b =，所以代入得2224a c +=，所以222()2242120a c a c ac -=+-=-⨯=，所以a c =.又因为12ac =，所以a c ==所以ABC 的周长为.16．(1)证明见解析(2)17【分析】（1）取AB 的中点H ，连接1,A H PH ，证明四边形11A C PH 为平行四边形，进而得1C P //1A H ，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用平面夹角公式求解.【详解】（1）取AB 的中点H ，连接1,A H PH ，如图所示，因为P 为BC 的中点，所以PH //1,2AC PH AC =.在等腰梯形11A ACC 中，11A C //111,2AC A C AC =，所以HP //1111,A C HP A C =，所以四边形11A C PH 为平行四边形，所以1C P //1A H ，又1A H ⊂平面11,A AB C P ⊄平面1A AB ，所以1C P //平面1A AB .（2）因为,AB BC =故2O B AC ⊥，以直线22,O A O B ，21O O 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形11A ACC 中，111224AC AA A C ===，此梯形的高为h =因为11111,2A C AC A C =//AC ，则()()(()210,0,0,2,0,0,,0,2,0,O A A B ()(12,0,0,1,0,C C --，所以11(1,(2,2,0),(2,2,0),(1,2,BC BC AB A B =--=--=-=- .设平面1A AB 的法向量为(),,m x y z =，则220,20,x y x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，得31,1,3m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面1C CB 的法向量为(),,n a b c = ，则20,220,a b a b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩令a =1)n =- .设平面1A AB 与平面1C CB 的夹角为θ，则1cos cos ,7m n m n m nθ⋅=== .17．(1)极小值为1e -，无极大值(2)()e,+∞【分析】（1）求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；（2）把原函数有两个零点转化为()e x g x kx =-在()0,∞+上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.【详解】（1）当0k =时，()e (x f x x x =∈R ），所以()()1e x f x x ='+，令()0f x '=，则=1x -，x(),1∞--1-()1,∞-+()f x '-0+()f x 单调递减极小值单调递增所以()1min 1()1e ef x f -=-=-=-，所以()f x 的极小值为1e -，无极大值.（2）函数()()e x f x x kx =-在()0,∞+上仅有两个零点，令()e x g x kx =-，则问题等价于()g x 在()0,∞+上仅有两个零点，易知()e x g x k '=-，因为()0,x ∞∈+，所以e 1x >.①当(],1k ∈-∞时，()0g x '>在()0,∞+上恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01g x g >=，所以()g x 在()0,∞+上没有零点，不符合题意；②当()1,k ∞∈+时，令()0g x '=，得ln x k =，所以在()0,ln k 上，()0g x '<，在()ln ,k ∞+上，()0g x '>，所以()g x 在()0,ln k 上单调递减，在(ln ,)+∞k 上单调递增，所以()g x 的最小值为()ln ln g k k k k =-⋅.因为()g x 在()0,∞+上有两个零点，所以()ln ln 0g k k k k =-⋅<，所以e k >.因为()()()222010,ln ln 2ln g g k k k k k k k =>=-⋅=-，令()2ln h x x x =-，则()221x h x x x '-=-=，所以在()0,2上，()0h x '<，在()2,∞+上，()0h x '>，所以()h x 在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以()222ln2lne ln40h x ≥-=->，所以()()2ln 2ln 0g k k k k =->，所以当e k >时，()g x 在()0,ln k 和(ln ,)+∞k 内各有一个零点，即当e k >时，()g x 在()0,∞+上仅有两个零点.综上，实数k 的取值范围是()e,∞+.【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：（1）确定()f x 的定义域.（2）计算导数()f x '.（3）求出()0f x '=的根.（4）用()0f x '=的根将()f x 的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内()f x '的符号，进而确定()f x 的单调区间.()0f x '>，则()f x 在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；()0f x '<，则()f x 在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.18．(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点,P Q 的坐标，进而证得线段PQ 的中点为定点.【详解】（1）由题可得()28,,0a E a = ，()()120,,0,B b B b -，1EB ∴的中点为,22a b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221233(,)1,2,2222a b a b EB GB a b b ⎛⎫⋅=-⋅--=-=∴= ⎝⎭ 故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()4y k x =+，由()224182y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222214326480k x k x k +++-=，由()()422Δ10244146480k k k =-+->，得2111,422k k <-<<.设()(),,,M M N N M x y N x y ，则222232648,1414M N M N k k x x x x k k -+=-=++，依题意可知直线,MA NA 的斜率存在，直线MA 的方程为()1122M M y y x x ++=++，令4x =-，得()2442422M M M M P M M k x x y x y x x -+-----==++()()()2184212424221222M MM M M k x k k x k k k x x x ------+--+===---+++，同理可求得42212Q N k y k x +=---+，()N 4242114242422222P Q M N M k k y y k k k x x x x ⎛⎫++∴+=----=---++ ⎪++++⎝⎭()()4424224M N M N M N x x k k x x x x ++=---+⋅+++()22222232414424242(42)064832241414k k k k k k k k k k -++=---+⋅=--++=⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭，∴线段PQ 的中点为定点()4,0-.【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.19．(1)281(2)分布列见解析，10【分析】（1）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜1场，负2场，则A 球队参与的3场比赛中，A 球队和其余两队胜，另一队负，然后获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论即可求；（2）分情况讨论小组赛阶段A ，D 球队的积分之和，并求出概率，进而写出分布列，求出期望.【详解】（1）不妨假设A 球队参与的3场比赛结果为A 与B 比赛，B 胜；A 与C 比赛，C 胜；A 与D 比赛，A 胜．此时，A ，B ，C 各积3分，D 积0分．在剩下的三场比赛中：若B 与C 比赛平局，则B ，C 积分各加1分，都高于A 的积分，A 淘汰．若B 与D 比赛平局，C 与D 比赛的结果无论如何，都有两队的积分高于A ，A 淘汰．若C 与D 比赛平局，同理可得A 一定会淘汰．综上，若要A 出线，剩下的三场比赛不可能出现平局．若B 与C 比赛，B 胜；B 与D 比赛，B 胜；C 与D 比赛，D 胜，则B 出线，A ，C ，D 争夺第二名，A 出线的概率为11111333381⨯⨯⨯=．若B 与C 比赛，C 胜；B 与D 比赛，D 胜；C 与D 比赛，C 胜，则C 出线，A ，B ，D 争夺第二名，A 出线的概率为11111333381⨯⨯⨯=．其他情况A 均淘汰．故A 最终出线的概率为112818181+=．（2）前三场比赛中A ，D 球队的积分之和为6．剩下的三场比赛为A 与D 比赛，B 与D 比赛，B 与C 比赛，其中B 与C 比赛的结果与A ，D 球队的积分之和无关．若A 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为3，B 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为3，则12X =，其概率为212339⨯=．若A 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为3，B 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为1，则10X =，其概率为212339⨯=．若A 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为3，B 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为0，则9X =，其概率为212339⨯=．若A 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为2，B 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为3，则11X =，其概率为131139⨯=．若A 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为2，B 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为1，则9X =，其概率为131139⨯=．若A 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为2，B 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为0，则8X =，其概率为131139⨯=．X 的分布列为X89101112P 1913291929()11212891011121093999E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】关键点睛：本题关键是根据比赛规则讨论各队得分情况，分类求解，注意各种情况考虑全面.。
2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解
2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(四)高三数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（四）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<答案：A根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 解：∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 点评：本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-答案：B根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 解：z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+，解得221y x =+. 故选：B. 点评：本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 3．“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 解：∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选：A. 点评：本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.4．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1 B ．7C ．1D ．1或7答案：C根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 解：由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 105AB AC BAC AB AC⋅∠===. ∴解得1λ=. 故选：C. 点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.5．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有下述四个结论： （1）焦距长约为300公里； （2）长轴长约为3988公里； （3）两焦点坐标约为()150,0±； （4）离心率约为75994． 其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B根据椭圆形轨道，设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，先求得月球的半径r ，再根据近月点与月球表面距离为100公里，有100a c r -=+，远月点与月球表面距离为400公里，有400a c r +=+，然后两式联立求解. 解：设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，依题意可得月球半径约为1347617382⨯=， 所以1001738183840017382138a c a c -=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1988150a c =⎧⎨=⎩所以离心率150751988994c e a ===，可知结论（1）（4）正确，（2）错误； 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以（3）错误． 故选：B 点评：本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题. 6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，且321c b -=，则cos C （）A ．12-B ．3C ．12D 6 答案：A根据1a =，321c b -=，由正弦定理边化为角得到3sin 2sin sin C B A -=，由A B C π++=，得到()3sin 2sin sin C A C A -+=，再根据6A π=求解.解：由321c b -=，得32c b a -=，即3sin 2sin sin C B A -=， 所以()3sin 2sin sin C A C A -+=， 而6A π=，所以3sin 2sin sin 66C C ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即3113sin 2sin cos 222C C C ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得1cos 2C =-． 故选：A 点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 解：∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--，()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 点评：本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.8．设x ，y 满足约束条件2010x y x y x m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值大于17，则实数m 的取值范围为（） A ．()4,+∞ B ．13,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()6,+∞D ．()5,+∞答案：D先作出不等式组表示的平面区域，然后平移直线l ：20x y +=，当直线l 在y 轴上的截距最大时，z 取得最大值求解. 解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出直线l ：20x y +=，并平移，当直线l 经过点(),2m m +时，直线在y 轴上的截距最大，z 取得最大值， 因为2z x y =+的最大值大于17， 所以2217m m ++>，解得5m >． 故选：D 点评：本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的方法的能力，属于基础题. 9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成．而这七块板可拼成许多图形，人物、动物、建筑物等，在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧图谱》．若用七巧板（图1为正方形），拼成一只雄鸡（图2），在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡头或鸡尾（阴影部分）的概率为A ．112B ．18C ．14D ．316答案：D这是一个几何概型模型，设包含7块板的正方形边长为4，求得正方形的面积，即为雄鸡的面积，然后求得雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和，代入公式求解. 解：设包含7块板的正方形边长为4，正方形的面积为4416⨯=， 则雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和为1212132⨯⨯+⨯=， 在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡几头或鸡尾（阴影部分）的概率为316p． 故选：D 点评：本题主要考查几何概型的概率，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题.10．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 答案：C设AE BF a ==，13B EBF EBFV S B B '-'=⨯⨯，利用基本不等式，确定点E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解.设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFaa V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 9322222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=--⎪⎝⎭，()3,3,0AC =-， 所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 点评：本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.11．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④答案：B 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证. 解： ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即=1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈， 当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．故选：B 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.12．如图，在ABC 中，AB 4=，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且4DE =，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC 的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且C 、D 在直线AB 的同侧，在移动过程中，当CA CD +取得最小值时，ABC 的面积为（）A ．12524-B ．6512-C ．12518-D ．658-答案：A以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线长定理，得到C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线在第一象限部分，然后利用直线段最短，得到点C 的位置，再求三角形的面积. 解： 如图，以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0A -，()2,0B ，()0,4D ，设ABC 的内切圆分别切BC 、AC 、AB 于F ，G ，H 点，∵3124CA CB AG BF AH HB -=-=-=-=<，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的第一象限部分，且1a =，2c =，2223b c a =-=，∴C 的轨迹方程为()220,03y x x y ->>．∵2CA CB -=，∴2CA CB =+，∴2CA CD CB CD +=++， 则当点C 为线段BD 与双曲线在第一象限的交点时，CA CD +最小， 如图所示：线段BD 的方程为()4202y x x =-≤≤，将其代入22330x y --=，得216190x x -+=，解得835x =+835x =-，∴426512y x =-=， ∴()835,6512C -． ∴ABC 的面积为()146512125242⨯⨯=． 故选：A 点评：本题主要考查双曲线的定义，圆的切线长定理以及三角形的面积，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题13．若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()()5f f -=__________． 答案：1利用分段函数，先求()5f -，再求()()5f f -的值.解： ∵()()()5130f f f -=-==，∴()()()()5041ff f f -===．故答案为：1 点评：本题主要考查分段函数求函数值问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为45-，则实数a =__________． 答案：13利用通项公式得到()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()23236633x C x a C x ⋅-⋅，再根据系数为45-，建立方程求解.解：因为()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()()232336633135540x C x a C x a x ⋅-⋅=-，∴13554045a -=-，解得13a =． 故答案为：13点评：本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.答案：323π 根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积. 解：由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为：323π. 点评：本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.16．若函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为__________． 答案：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭由函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则()ln 40f x x ax '=-=有两个不同的根，转化为方程ln 4x a x =有两个不同解，即函数()g x ln 4xx=的图象与直线y a =有两个公共点求解.解：由()ln 40f x x ax '=-=，得ln 4xa x=， 记()ln 4x g x x =，则()21ln 4xg x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． 又∵()14g e e=，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →． 因为函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点， 所以方程ln 4xa x=有两个不同的解， 即函数()g x 的图象与直线y a =有两个公共点， 故实数a 的取值范围为10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭点评：本题主要考查导数与函数的极值点以及导数与函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17．在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小. 答案：（1）见解析；（2）23π（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 解：（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥， ∴BE ⊥平面DGEF ， ∴BE FG ⊥，由题意可得2FG FE ==， ∴222FG FE GE +=，∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=， ∴FG ⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--，()1,1,1FB =-，()0,1,1FE =-.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩，令11x =，()1,0,1n =，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==，∴1cos<,222n m n m n m⋅>===⨯⋅，由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23π. 点评：本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.18．在等差数列{}n a 中，12a =，35730a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n a an b =+，当*n N ∈时，1n n b b λ+>，求实数λ的取值范围．答案：（1）2n a n =（2）实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（1）根据12a =，35730a a a ++=，利用“1,a d ”法求解.（2）由（1）得到2349n naa n n nb =+=+，将()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，转化为5419nλ<⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立求解. 解：（1）在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，∴510a =，所以{}n a 的公差51251a a d -==-， ∴()112n a a n d n =+-=． （2）∵2349n naa n n nb =+=+，∴()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，即4499595444949419n n n n n n n n λ⨯+⨯⨯<=+=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立， 又∵55974441341199n+≥+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴9713λ<，即实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．点评：本题主要考查等差数列的基本运算以及有关数列的不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，的距离小1.（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.答案：（1）28x y =；（2）13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4AB mk =，结合点()P m n ,满足()()22221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.解：（1）设点(),M x y ，∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴11y +=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立()28y k x m n x y⎧=-+⎨=⎩，化简可得28880x kx km n -+-=，∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=，122n k k =. 由28x y =，求得导函数4xy '=， ∴114x k =，2211128x y k ==，2222228x y k ==，∴222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()22221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤，∴13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.20．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 答案：（1）0.4；（2）1127；（3）应选择方案()a ，理由见解析 （1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 解：（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05，∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234ii =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈，方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩，，，，，所以随机变量1Y 的分布列为()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.∵()()21EY E Y >，∴建议骑手应选择方案()a . 点评：本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.21．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m 的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.答案：（1）1；（2）见解析（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值； （2）由（1）可知当0x >时，()ln1x x +<，当02x π<<时，sin x x <，因而()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而不等式可证明. 解：（1）∵函数()f x 在()0+∞，上单调递减， ∴()101mf x x'=-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，上恒成立， ∴1m ，又∵函数()g x 在02，上单调递增，∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02，上恒成立，m 1≥，∴综上可知，1m =.（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，上为减函数，()sin g x x x =-在02，上为增函数，而()()00,00f g ==，∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <. ∴()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sinsin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()()()2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 点评：本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a -+=，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线6πθ=与l 的交点为M ，与曲线C 的交点为A ，B ，且4OA OB OM +=，求实数a 的值．答案：（1）l ：cos sin 0a ρθρθ-+=，C ：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）12a =- （1）先消去参数得到C 的普通方程，然后利用cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入，得到直线和曲线C 的极坐标方程.（2）在极坐标系中，设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，然后利用韦达定理求解.解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程0x y a -+=中，得到直线l 的极坐标方程为cos sin 0a ρθρθ-+=；曲线C 的普通方程为()()22224x y -+-=，即224440x y x y +--+=， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）在极坐标系中，可设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得()2240ρρ-+=，∴232ρρ+=，∵4OA OB OM +=，∴1ρ=即1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入cos sin 0a ρθρθ-+=，得()111sin cos 222a ρθθ=-=⨯=-． 点评：本题主要考查参数方程，普通法方程极坐标方程间的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知不等式112x x ++-≤的解集为{}x a x b ≤≤．（1）求实数a 、b 的值；（2）设0m >，0n >，且满足122a b m n-=，求证：1212m n ++-≥． 答案：（1）1a =-，1b =（2）见解析（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）由（1）得到1122m n+=，利用三角不等式转化为1212m n m n ++-≥+，再利用基本不等式求解.解：（1）原不等式等价于①122x x <-⎧⎨-≤⎩，∴x ∈∅； ②1122x -≤≤⎧⎨≤⎩，∴11x -≤≤； ③122x x >⎧⎨≤⎩，∴x ∈∅． 所以原不等式的解集为{}11x x -≤≤，∴1a =-，1b =．（2）∵122a b m n -=，∴1122m n+=， ∴()()1211212m n m n m n ++-≥++-=+()111122222222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22n m m n =，即1m =，12n =时取等号， ∴1212m n ++-≥．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法以及三角不等式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2024届高三数学模拟检测(江苏专用,2024新题型)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试
高三数学（江苏专用）
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
所成角的大小．
分）某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和
预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件
1 4，
4
()
5 P B=．
的值，并判断A与B是否为独立事件；
为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为
．为提高检验结论的可靠性，
的把握认为学习兴趣与主动预习有关，试确定
)，其中n a b c d
=+++．。
湖南省永州市2024高三冲刺(高考数学)部编版测试(备考卷)完整试卷
湖南省永州市2024高三冲刺（高考数学）部编版测试(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若，则的大小关系为（）A．B．C．D．第(2)题若tan+ =4,则sin2=A．B．C．D．第(3)题在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，则（）A．B．C．D．第(4)题曲线关于（）A．直线成轴对称B ．直线成轴对称C．点成中心对称D．点成中心对称第(5)题已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，且，则（）A．B．C．D．第(6)题设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（）．A．①、②都正确B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确D．①、②都不正确第(7)题根据变量与的对应关系（如表），求得关于的线性回归方程为，则表中的值为（）2456830405070A．60B．55C．50D．45第(8)题在△ABC中，，，D是AC边的中点，点E满足，则与的夹角为（）A．60°B．75°C．90°D．120°二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在正方体中，，，则（）A．为钝角B．C．平面D．直线与平面所成角的正弦值为第(2)题如图，在已知直四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，M，N，P分别是BC，，，的中点，以下说法正确的是（）A．若，，则B．C．平面D．若，则平面平面第(3)题函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（）A．函数为奇函数B．函数的最小正周期为C．函数的图象的对称轴为直线D．函数的单调递增区间为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若角的终边过点，则的值为_____________.第(2)题已知，，是与的等比中项，则的最小值为__________．第(3)题若为函数的反函数，则的值域是__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为等比数列{}的，，；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列的，，．第一列第二列第三列第一行147第二行369第三行258(1)请写出数列{}，{}的一个通项公式；(2)若数列{}单调递增，设，数列{}的前n项和为．求证：．第(2)题已知是实常数，．(1)当时，求函数的单调增区间；(2)是否存在，使得是与有关的常数函数，求出所有满足条件的，若不存在，说明理由第(3)题为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面发展的素质教育理念，某中学组织同学们进行了引体向上测试，茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学单位时间内引体向上的次数，乙组记录中有一个数据模糊，在图中以X表示．(1)如果，求乙组同学单位时间内引体向上次数的平均数和方差；(2)如果，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学单位时间内引体向上次数和为18的概率．第(4)题在面积为的中，，.（1）求的长；（2）求的值.第(5)题甲学校某次学科竞赛后，将参赛考生的竞赛成绩整理得到如下频率分布直方图(1)求这些参赛考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点值作代表）；(2)若竞赛成绩排在前16%的考生能进入复赛，试估计进入复赛的分数线.。
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2008-2009学年第一学期期末复习测试（4）一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 命题“03,2>+-∈∀x x R x ”的否定是__________________________2. 双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为__________________ .3.(文) 若x x f cos sin )(+=α,则=+)(')(ααf f _________ (理)设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则ϕ=__________4. 把一根匀均匀木棒随机地按任意点拆成两段,则“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”5. (文)(理) 设)0()(2≠+=a c ax x f .若100()()f x dx f x =⎰,)10(0≤≤x ,则0x =_____6已知函数)(x f 是定义在R 上的可导函数,若'0()3f x =-，则当0→h时,→--+hh x f h x f )()(00 __________ 7．函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是8. 右边的伪代码，对,,,],3,3[M y m R M m x ≤≤∈∃-∈∀ 则m M -的最小值为_________9. (文)若函数2)()(c x x x f -=在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________(理)已知向量)0,1,3(-=a ，)0,23,21(=b ， 若存在不同时为0的实数k 和t ，使,,)3(2t k t +-=-+=且,⊥则函数()k f t =的单调递减区间为_________________10．已 知 )2,1(,,=i c b a i i i 均 为 非 零 实 数，集 合 A ＝{}01121=++c x b x a x ， B ＝{}02222=++c x b x a x ，则“212121c c b b a a ==”是“A ＝B ”的______________ 条件 11．若数据n x x x ,,,21 的方差为3,数据b ax b ax b ax n +++,,,21 的标准差为32,则实数a 的值为________12. 如果以原点为圆心的圆经过双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的顶点，并且被双曲线的右准线分成弧长之比为3:1的两段弧，则双曲线的离心率为________13. 在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是____ 14. 酒杯的形状为倒立的圆锥,杯深cm 8,上口宽cm 6,水以s cm /203的流量倒入杯中,当水深为cm 4时,水升高的瞬时变化率为______________ 二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15． 已知p ：,0922<+-a x x q ：22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩ 且⌝p 是⌝q 的充分条件,求实数a 的取值范围.16． 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M (1,324), N ( －223,2)两点. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上是否存在点P(x,y)，使P 到定点A(a,0)（其中0＜a ＜3）的距离的最小值为１？若存在，求出a 的值及P 点的坐标；若不存在，请给予证明．17. 已知一线段的长度为10⑴任取一点将线段分成两段，求两段的差的绝对值在][8,6间的概率 ⑵任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．18．（文）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.(1) (2) 请根据上表提供的数据，求出生产能耗y 与产量x 之间的相关系数,如果具有线性相关关系,求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+； (3) 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5。
参考公式：线性相关系数公式：21211)()())((∑∑∑===----=ni ini ini i iy yx xy y x xr用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆ, ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-==--∑∑) （理）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1．（1）求二面角A －DF －B 的大小；（2）在线段AC 上找一点P ，使PF 与CB 所成的角为600，试确定点P 的位置．（3）在线段EF 上是否存在一点M ,使得CM ∥平面BDF 如果存在,求出点M 的位置,如果不存在,说明理由!A BCDEF19 在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在他们之间的此岸边合建一个污水处理厂C ，从污水处理厂到甲厂和乙厂的铺设的排污管道费用分别为每千米3a 元和5a 元，记铺设管道的总费用为y 元。
（1）按下列要求建立函数关系式：①设BCD θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数； ②设CD x =（km ），将y 表示成x 的函数；（2）请你选用（1使铺设的污水管道的总费用最少。
20． 已知定义在R 上的奇函数()3224f x ax bx cx d =-++ （a b c d R ∈、、、），当1x = 时，()f x 取极小值.23-（1）求a b c d 、、、的值；（2）当[,]11x ∈-时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论.（3）求证:对]2,2[,21-∈∀x x ,都有34)()(21≤-x f x f刘国钧中学2008-2009学年第一学期期末复习测试（4）参考答案一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分 1．03,2≤+-∈∃x x R x ; 2. ;2x y ±= 3. αcos ; 4. 32; 5. (文)%95; (理) ;33 6. ;6- 7.;36+π8. ;6 9. （文）;6 （理）);1,0(),0,1(-10. 既不充分也不必要 11.;2± 12.;2 13.;103 14.s cm /980π 二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 解由 x 2-4x+3<0 得 1<x<3 即2<x<3x 2-6x+8<0 2<x<4∴q:2<x<3设A=｛x ︱p ｝=｛x ︱2x 2-9x+a<0｝ B=｛x ︱q ｝=｛x ︱2<x<3｝ ⌝p ⇒⌝q, ∴ q ⇒p ∴B ⊆A 即2<x<3满足不等式 2x 2-9x+a<0 ∴2<x<3满足不等式 a<9x-2x 2∵当2<x<3时，9x-2x 2=-2(x 2-29x+1681-1681) =-2(x-49)2+881的值大于9且小于等于881，即9<9x-2x 2≤881∴a≤9方法二:设2()29f x x x a =-+当23x <<时，()0f x <(2)0(3)3f f ≤⎧∴⎨≤⎩ 即109a a ≤⎧⎨≤⎩ 9a ∴≤ 16．解：（Ⅰ）设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n,＞0且m ≠n ) ………………………2分∵椭圆过M,N 两点，∴m+,1932=n 1229=+n m ………………………………4分 ∴m=41,91=n ……………………………………………………………………6分 ∴椭圆方程为 14922=+y x ……………………………………………………………7分（Ⅱ）设存在点P(x,y)满足题设条件，∴|AP|=(x-a)2+y 2 ,又14922=+y x ,∴y 2=4(1 -92x ),∴|AP|=(x-a)2+ 4(1 -92x )=95(x-59a)2+4-54a 2(|x|≤3)，……………………………10分 若时，即350,359≤≤＜a a |AP|的最小值为4-54a 2，依题意， 4-54a 2=1 ，∴a=215±⎥⎦⎤ ⎝⎛∉35,0;……………………………………………………12分 若,359〉a 即335＜a＜时，当x=3时, |AP|2的最小值为（3-a ）2,（3-a ）2=1,∴a=2,此时点P 的坐标是（3，0） .………………………………………………………………15分 故当a=2时，存在这样的点P 满足条件，P 点的坐标是（3，0）。
……………………………16分 18．（2）经计算 442114.5, 3.5,86,66.5ii i i i x y xx y ======∑∑∴ 266.54 4.5 3.5ˆ0.7864 4.5b -⨯⨯==-⨯ ˆ 3.50.7 4.50.35a =-⨯= ∴ ˆ0.70.35yx =+ （3）当100x =时，ˆ70.35y=，降低了标准煤9070.3519.65-=吨 19．解法一：设∠BCD=θ,则BC=θsin 40,CD=40cot θ,(0＜θ＜2π),∴AC=50－40cot θ 设总的水管费用为f(θ),依题意，有f(θ)=3a(50－40·cot θ)+5a ·θsin 40=150a+40a ·θθsin cos 35-∴f ′(θ)=40a ·θθθθθθθ22sin cos 5340sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(-⋅='⋅--⋅'-a令f ′(θ)=0,得cos θ=53根据问题的实际意义，当cos θ=53时，函数取得最小值，此时sin θ=54,∴cot θ=43,∴AC=50－40cot θ=20(km),即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.解法二：根据题意知，只有点C 在线段AD 上某一适当位置，才能使总运费最省， 设C 点距D 点x km,则∵BD=40,AC=50－x,∴BC=222240+=+x CD BD又设总的水管费用为y 元，依题意有： y=30(5a －x)+5a 2240+x (0＜x ＜50) y ′=－3a+22405+x ax ,令y ′=0,解得x=30在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50－x=20(km)∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.20．解（1）∵函数()f x 图象关于原点对称，∴对任意实数()()x f x f x -=-有，∴32322424ax bx cx d ax bx cx d ---+=-+--，即220bx d -=恒成立∴0,0b d == …………4分 ∴,3)(',)(23c ax x f cx ax x f +=+=，∵1x =时，()f x 取极小值23-,∴2303a c a c +=+=-且，解得1,31-==c a ………8分 （2）当[1,1]x ∈-时，图象上不存在这样的两点使结论成立. …………10分假设图象上存在两点),(),,(2211y x B y x A ，使得过此两点处的切线互相垂直， 则由,1)('2-=x x f 知两点处的切线斜率分别为,1211-=x k ,1222-=x k且2212(1)(1)1x x -⋅-=-…………（*） …………13分1x 、2[1,1]x ∈-，2222121210,10,(1)(1)0x x x x ∴-≤-≤∴-⋅-≥此与（*）相矛盾，故假设不成立. ………………16分。