用放缩法证明不等式
2022年 《用“放缩法”证明不等式的基本方法》优秀教案
用“放缩法〞证明不等式的根本方法近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。
特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法〞证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和根本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能表达出创造性。
“放缩法〞它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。
因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否那么就不能同向传递。
下面结合一些高考试题，例谈“放缩〞的根本策略，期望对读者能有所帮助。
1、添加或舍弃一些正项〔或负项〕例1、求证：证明：假设多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。
由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，到达证明的目的。
此题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简2、先放缩再求和〔或先求和再放缩〕例2、函数f〔〕=，求证：f〔1〕f〔2〕…f〔n〕>n证明：由fn= =1-得f〔1〕f〔2〕…f〔n〕>此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和假设分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。
如需放大，那么只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，那么只要把分子缩小或分母放大即可。
3、先放缩，后裂项〔或先裂项再放缩〕例3、a=n ，求证：错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!、n是正整n数，且1＜i≤m＜n1证明：n i A＜m i A；2证明：1m n＞1n m证明：1对于1＜i≤m，且A =m·…·m－i1，，由于m＜n，对于整数=1，2，…，i－1，有，所以2由二项式定理有：1m n=1C m C m2…C m n，1n m=1C n C n2…C n m，由1知m i A＞n i A 1＜i≤m＜n ，而C=∴m i C i n＞n i C i m1＜m＜n∴m0C=n0C=1，m C=n C=m·n，m2C＞n2C，…，m m C＞n m C，m m1C＞0，…，m n C＞0，∴1C m C m2…C m n＞1C n C2m n2…C n m，即1m n＞1n m成立以上介绍了用“放缩法〞证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。
不等式证明放缩法
不等式证明放缩法下面以一些常见的不等式为例，介绍不等式证明的放缩法。
1.形式：对于给定的不等式，我们希望通过放缩法证明其成立。
假设不等式是要证明的命题P，即P成立。
我们可以找到一个等价命题Q，使得Q更容易证明，即P等价于Q。
2.推论：通过利用已知的数学性质和常见的数学不等关系，我们可以推出不等式的一些性质和结构。
这些推论可以是基本的数学定理、常见的不等式性质或者已知的不等关系。
3.放缩：利用推论中得到的性质，我们可以对给定的不等式进行放缩处理。
放缩的目的是使得式子更容易处理，并且逼近或者确切地表示给定的不等式。
常见的放缩方法包括乘法放缩、加法放缩以及函数放缩等。
4.确定条件：在放缩过程中，我们需要确定一些条件以保证放缩后的不等式仍然成立。
这些条件可以是已知的数学性质、函数的性质以及数学不等式的性质等。
5.证明：最后，我们通过利用放缩后的不等式和确定的条件，进行形式上的证明。
证明可以是直接的运算、利用已知不等式或者使用归纳法等。
下面我们以一些例子来具体说明不等式证明的放缩法。
例一：证明对于任意的正实数a，b，c成立(a+b)(b+c)(c+a) ≥8abc。
解：假设P为要证明的不等式，即P:(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。
针对P进行放缩如下：(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc≥ 3√(abc) * 3√(a²b²c²) - abc (根据均值不等式)= 3√(abc * a²b²c²) - abc≥ 3√(8a⁻²b⁻²c⁻²abc * a²b²c²) - abc (由调和-几何均值不等式得到)= 6abc - abc= 5abc.所以P成立。
例二：证明对于任意的正实数x。
解：假设P为要证明的不等式。
针对P进行放缩如下：1/x+1/(1-x)=(1-x+x)/x(1-x)=1/x(1-x)≥1/(1/4)所以P成立。
放缩法证明不等式
用放缩法证明不等式放缩法是不等式证明中一种常用的方法，但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。
因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。
要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。
常用的放缩技巧还有：ab （1）若（2）（3）若则（4）（5）（6）或（7）等.例1 （海南理11）若求证：证明：因为所以因为［因为（放大），所以又所以是增函数］，所以，所以练习1.求证： 2. 求证：例2 （贵州省理21）若求证：证明：因为而所以所以同理可证（当且仅当时，取等号）。
练习3.已知求证：练习4.已知,求证：分析由可想到二项式系数的和为，由可想到二项式定理，利用放缩法把转化成构造出二项式定理公式，从而得出结论。
例3 证明分析左式很难求和，可将右式拆成n项相加的形式，然后证明右式各项分别大于左式各项，叠加得出结论。
注：放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。
常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。
证明总之，如何确定放缩的尺度，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。
但是，只要抓住了欲证命题的特点，勤于观察和思考，许多问题都能迎刃而解。
练习5.求证：分析左式是n个因式连乘的形式，应把各因式化为分式，通过放缩，使之能交替消项，达到化简的目的。
由于右式是，因此所放缩后的因式应与有关。
练习6.已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证：练习7.求证：练习8. 求证：练习9. 求证练习10.已知,a b R∈，求证：|||||| 1||1||1|| a b a ba b a b+≤+++++1.证明：因为所以左边因为99＜100（放大）＜所以2.证明：（因为）［又因为（放大）］，所以所以3.证明：因为4.证明设且。
对任意，有将上述各式叠加：6.不妨设据三角形三边关系定理有：便得所以原不等式成立。
7.因为又所以原不等式成立。
利用放缩法证明数列型不等式
利用放缩法证明数列型不等式教学目标：知识与技能：利用裂项求和，等比数列求和，二项式定理结合放缩法证明常规数列型不等式； 过程与方法：通过本节的学习，掌握利用放缩法证明常规数列型不等式；情感、态度与价值观：通过实例探究放缩法解决数列型不等式的过程，体会知识间的相互联系的观点，提高思维能力.教学重、难点：1．掌握证明数列型不等式的四种放缩技巧。
2．体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。
教学过程：一、高考背景：压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。
而处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。
但近几年的广东高考对数列的考查难度有所降低，对放缩法的要求上回归到常规题型中。
二、常见放缩方法：1.裂项放缩{}{}.1:n ,)1(1.1<+=n n n n n S S a n n a a 求证，项和为的前且的通项公式为已知数列例小结:可求和先求和，先裂项后放缩。
{}{}.2:n ,1.12<=n n n n n S S a na a 求证，项和为的前且的通项公式为已知数列变式小结:不能求和先放缩，后裂项求和，再放缩。
47)2013(2<n S 上，同广东变式？小结:放大不宜过大，缩小不宜过小，把握放缩的“度”。
2．等比放缩例2【2012广东】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n n n a a 231n -=的通项公式为 证明：对一切正整数n ，有23<n S小结:先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。
3.二项式定理放缩（例2）三、课堂总结：常用的三种放缩技巧：（1）裂项放缩：能求和先求和，再放缩；否则，先放缩为可裂项形式，后求和。
（2）等比放缩：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。
（3）二项式定理放缩：与指数有关的数列型不等式。
导数的应用-切线放缩证明不等式
单切线放缩
例1.求证:当x>0时，1+2x<e2x
例1：
单切线放缩
例2：
注：（1）该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反
的问题（拆成两个函数）； ----数形结合
（2）两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础。引入
一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传
递性即可；
明.
小结
1.切线放缩法实质是以直（切线）代曲（原函数）；
2.切线放缩法中常用的两个定理必须先证明后使用；
3.证明流程为：求切线—构造差函数—证明差函数恒正
（负）--原不等式成立．
4.对于较为简单的导数试题，往往只涉及到一次切线放缩，
但是有些压轴试题涉及到两次不同的切线放缩．
----以直代曲
（3）难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板.
单切线放缩
例3：
略，
注：含参函数有时需要根据函数特征将原函数进行适当放缩.
单切线放缩
例4：
注：复杂形式的函数需要将函数适当转化后再进行放缩.
双切线放缩
例5：
a>1
注：含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数, )，
告知方程f(x)=b有两个实根，要证明两个实根之差小于
(或大于)某个表达式．求解策略是画出f(x)的图象，并
求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线
方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直
线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上
方或下方，进而对, 作出放大或者缩小，从而实现证
导数的应用
--切线放缩法证明不等式
复习引入：曲线在某一点处的切线的定义
放缩法证明不等式例析
放缩法证明不等式例析放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，特别是高考压轴题中常出现可用放缩法证明的不等式与数列的综合题,掌握了用放缩法证明不等式的技巧就简单多了。
放缩法必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论中提炼，常用的放缩方法有增项，减项，利用分式的性质，利用不等式的性质，利用函数的性质进行放缩等。
一、分式放缩为同分母对于分式不等式，如果分母不统一，可以考虑将分式中的分母放缩为相同分母，再进行合理的计算和推理，从而可以快速证明不等式。
例1．已知a，b，c，d∈r+，s= + + + ，求证：1左边，当n=2时，不等式成立.（2）假设当n=k（k≥2，k∈n+）时，不等式成立，即1+ + +…+ （n∈n+，n>1）证明：∵［1+ 1+ …1+ 2］=（）2（）2… 2> ××…×=∴［1+ 1+ …1+ 2］> > （n∈n+，n>1）四、和与积的相互放缩由于均值不等式体现了和与积的不等关系的相互转换，因此常常利用均值不等式进行不等式中和与积的相互放缩。
例4．已知：数列an中，an= + ++…，求证：ann时， sm-snn时，sm-sn=an+1+an+2+…+am≤an+1+an+2+…+am≤ + +…+ = = ［1- m-n］1）.证明：∵ 0∴sn+1>sn当n≥3时，sn≥s3=4 + + >4 + +=sn=4 + +…+ <4［ + + + +…］①=4 + + -= - <故当n≥3且n∈n+时，有 < + +…+ < .注：在①式处构造了递推关系式 < ，并且保留和不变，其余项放大，最终凑到目标.八、利用不等式的性质放缩例8．设数列an满足an+1=an2-nan+1（n∈n+）.（1）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an一个通项公式.（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1且 n∈n+，有：①an≥n+2；② + +……≤ .（1）解：易得a2=3，a3=4，a4=5，由此猜想 an的一个通项公式为an=n+1（n∈n+）.（2）证明：①令bk=ak-（k+2），即ak=bk+k+2，代入递推式，有bk+1+k+3=（bk+k+2）（bk+k+2-k）+1，即bk+1=bk2+（k+4）bk+k+2，又b1=a1-3≥0，∴bn≥b1≥0（n∈n+）即an-（n+2）≥0，故an≥n+2②由an+1=an（an-n）+1及①，对k≥2，有ak=ak-1（ak-1-k+1）+1≥ak-1（k-1+2-k+1）+1=2ak-1+1∴ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1（a1+1）-1∴≤·（k≥2）∴≤ += ≤≤ =（作者单位山东省章丘市第五中学）“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以pdf格式阅读”。
8放缩法证明不等式
例3 求证：
（2 n 1 1） 1 1 1 1 2 n(n N题的关键是对通项
1
的适当放缩.
注意到:
n
Q n 1 n n 1(n 1)
2 1 2 n 1 n n n n 1
小结作业 放缩法：对不等式中的有关式子 进行适当的放缩实现证明的方法。
课后作业：
选修4－5 不等式选讲 第二讲 证明不等式的基本方法
放缩法
例1 若a, b, c, dR+，求证：
1 a b c d 2 abd bca cdb dac
【方法小结】 放缩法
证明不等式时，通过把不等式中的某些部 分的值适当放大或缩小，简化不等式，从 而达到证明的目地. 例如： 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小) 此法的依据就是不等式性质定理2(传递性)
例2 已知a, b是实数，求证：
|ab| |a| |b| 1 | a b | 1 | a | 1 | b |
【思路分析】 设法沟通|a+b|与|a|、|b|的关系，联想 到绝对值不等式,只需证明下面的不等式
成立即可: | a b | | a | | b | 1 | a b | 1 | a | | b |
放缩法证明数列不等式的基本策略
放缩法证明数列不等式的基本策略放缩法是一种常用的证明数列不等式的有效策略，其基本理论为：当一个数列满足某一条件时，如果从这个数列中选定两个数来构造一
个新的数列，使新的数列也满足这个条件时，这种方法就是放缩法。
借助放缩法，我们可以轻松地证明数组的不等式。
步骤如下：
首先，我们从一个原始数列开始，要求这个数列满足某一条件。
其次，从这个原始数列中选定两个数a和b，令a<b，则定义一个新的，数列为(a+b,a,b)。
第三，我们应用原始数列的某一不等式在新的数列上，也就是说把不等式看作是满足a<b的数列(a+b,a,b)上的一个性质，要求它仍然适用于这个新数列。
第四，假设不等式对原始数列不适用，那么就不可能满足上述性质的要求；反之，如果不等式对原始数列适用，那么我们也可以证明它对新的数列也适用。
第五，此时得出的结
论是：如果某一不等式对原始数列不适用，那么就不可能满足上述性
质的要求；反之，如果原始数列本身就满足某一不等式，那么就可以
说明它也适用于新的数列。
最后，这就是放缩法用来证明数组的不等
式的基本策略。
放缩法不仅可以证明数列的不等式，而且在众多领域也有着广泛的应用，比如在几何几何推理中研究几何不等式，在运筹学中研究多项式不等式等。
通过放缩法，我们可以得到复杂的不等式的证明，从而更加有效地研究出数学不等式，给数学研究者提供了更多的研究思路。
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WORD文档 专业资料 利用放缩法证明数列型不等式 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法： 放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法
主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。
例 1 设数列 a 的前 n项的和 n 4 1 2 n 1 S a 2 ，n 1,2,3, 。设 n n 3 3 3 T
n
n 2
S n
，n 1,2,3, ，证明：
i n 1 3 T 。
i 2
证明：易得 S n
2
3 n 1 n
(2 1)(2 1),
n 3 2 3 1 1
T ( ) ，
n n 1 n n n 1 2 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1
n n 3 1 1 3 1 1 1 1 1 1
T ( ) ( ) i i i 1 1 2 2 3 n n 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 i 1
i 1
3 1 1 3 = 1 1
( )
n 2 2 1 2 1 2
点评： 此题的关键是将 n 2 n 1 n (2 1)(2 1) 裂项成 1 1 n n ，然后再求和，即可达到目标。 1 2 1 2 1
（2）先放缩通项，然后将其裂成 n(n 3) 项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例 2 已知数列 { a } 和{bn } 满足 a1 2, an 1 an (an 1 1) ， bn an 1 ，数列 {bn} 的前 n 和为 Sn ， n
T S S ； （I）求证：
n 2n n
S
T T ； （II ）求证：当 n 2 时，
2
n 1 n n
7n 11 12 。
证明：（I） T T
n 1 n
1 1 1 1 1 1
( ) n 2 n 3 2n 2 n 1 n 2 2n 1 1 1 2n 1 2n 2 n 1 1
(2n 1)(2 n 2) 0 ∴Tn 1 Tn ．
（II ） n 2, S S S S S S S S n n n n n 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 T T T T S n n 1 2 2 1 1
2 2 WORD文档 专业资料 由（I）可知 T 递增，从而
n
1 7
T T T ，又
1 1 2
T , S 1,T ，
2n 2n 1 2 2 2 12
7 1 7n 11 S T T T T S 2 1 1
(n 1)T T S (n 1) 1
2n 2n 2n 1 2 2 1 1 12 2 12
即当 n 2时， S n 2
7n 11 12 。
点评： 此题 （II ）充分利用 （I）的结论， T 递增，将 n S 裂成 2n S S S S S S S 的
2n 2n 2n 2 n 1 1 2 2 1 1 WORD文档
专业资料 和，从而找到了解题的突破口。 2、迭乘放缩法： 放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式
问题。
* 例 3 已知数列 an 的首项为 a1 3,点 an ,an 1 在直线 3x y 0(n N ) 上。
若 3 * c log a 2(n N ), 证明对任意的 n 3 n * n N ，不等式
1 1 1 3 (1 )(1+ ) (1+ ) 3n 1
c c c 1 2 n
恒成立．
证明： c 3n 2 ，
n
1 3n 1 3n 1 3n 3n 1 3n 1 3 3 (1+ ) ( )
c 3n 2 3n 2 3n 1 3n 3n 2 n
所以 1 1 1 4 7 3n 1
3 [(1 )(1+ ) (1+ )] 3n 1
c c c 1 4 3n 2 1 2 n
即 1 1 1
3 (1 )(1+ ) (1+ ) 3n 1
c c c 1 2 n
。
点评： 此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。 1 3n 1 3 3 (1+ ) ( )
可以看成是三个假分式的乘积， 保持其中一项不变， 另两项假分数分子分母同时加 1，加 c 3n 2 n
2，则积变小， 3n 1 3n 1 3n 3n 1 3n 1 3 ( ) 3n 2 3n 2 3n 1 3n 3n 2 ，而通项式为 3n 1 { } 3n 2
的数列在迭乘时刚好相消，
从而达到目标。 3、迭代放缩法： 通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。
1 1 例 4 已知数列 { x } 满足， 1 1 x , x , n N * n n 2 1 x n ，证明： 1 2 n 1 | x x | ( ) 。
n 1 n 6 5
证明： 当 n 1时， 1 | x x | | x x | ，结论成立。
n 1 n 2 1 6
当 n 2 时，易知 0 x 1,1 x 2, x
n 1 n 1 n
1 1
1 x 2 n 1
1 5 (1 x )(1 x ) (1 )(1 x ) 2 x n n 1 n 1 n 1 1 x 2
n 1 1 1 | x x |
n n 1 | x x | | |
n 1 n 1 x 1 x (1 x )(1 x )
n n 1 n n 1
2 2 2 1 2 2 n 1 n 1 | x x | ( ) | x x | ( ) | x x | ( )
n n 1 n n 1 2 1 5 5 5 6 5
点评： 此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。 4、等比公式放缩法： 先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。 WORD文档 专业资料 例 5 已知数列 a 的各项均为正数， 且满足
n
a 1 2a
n 1 n a 2, (n N ),
1 a 1 a
n n 1
记 2 b a a ，数列 bn
n n n
的前 n 项和为 xn ，且
1
f ( x ) x ．
n n 2
（I）数列 b 和 an 的通项公式；
n WORD文档
专业资料 （II ）求证： n 1 f ( x ) f (x ) f (x ) n 1 2 n 2 f (x ) f ( x ) f (x ) 2 2 3 n 1
(n N ) ．
n 略解：（I） b 2 ，
n
n 2 1 1 2
n a ， f (x ) 2 1。
n n 2
证明：（II ） n n f (x ) 2 1 2 1 1
n n 1 f (x ) 2 1 2
n 1
n 1 2(2 )
2
, f (x ) f (x ) f (x ) n 1 2 n f (x ) f (x ) f (x ) 2 2 3 n 1
．
n f (x ) 2 1 1 1
n n 1 n 1 f (x ) 2 1 2 2(2 1)
n 1
1 1 1 1 n 1 n 1 n 1 2 2 (2 2) 2 2 ,
f (x ) f ( x ) f (x ) n 1 1 1 n 1 1 n 1 n 1 2 ( )= (1 )
2 3 n 1 n f (x ) f (x ) f (x ) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 n 1
∴ n 1 f (x ) f (x ) f (x ) n 1 2 n 2 f (x ) f (x ) f ( x ) 2 2 3 n 1
．
反思： 右边是 n 2 ，感觉是 n 个 1 2 的和，而中间刚好是 n 项，所以利用
n 2 1 1
n ；左边是 1 2 1 2
n 1 2 不能用
同样的方式来实现，想到 n 1 n 1 ( f (n))( f (n) 0) ，试着考虑将 2 2 2 n 2 1 n 1 2 1 缩小成 1 2 c ({ c } 是等比数
n n
列），从而找到了此题的突破口。 5、二项式定理放缩法： 在证明与指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特别有效。二项式
定理放缩法有两种常见类型： （1）部分二项式定理放缩法： 即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。
例 6 已知数列 { a } 满足
a a
1 (a 2) ，a
1
n n
(4n 6)a 4n 10 n 2n 1
（n N ）．
（Ⅰ）证明数列 a 2 n 2n 1
是等比数列，并求出通项 an ；
（Ⅱ） 如果 a 1时，设数列 { an } 的前 n 项和为 S
，试求出 S
n ，并证明当 n 3 时，有
n
1 1 1 1
S S S 3 4 n 10 ．
(a 2)( 2n 1) n 1
略解： 2 2
a （
n 3
* n n N ）， 则 S (2n 1)(2 1)．
n