《应用统计学》第九章：相关分析与回归分析
统计学原理第九章相关与回归分析.2021完整版PPT
相关表
将现象之间的相互关系，用
表格的形式来反映。
STAT
简单 相关表
适用于所观察的样本单位数 较少，不需要分组的情况
分组 相关表
适用于所观察的样本单位数 较多标志变异又较复杂，需 要分组的情况
简单相关表
八个同类工业企业的月产量与生产费用STAT
企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8
STAT
|r|=0 表示不存在线性关系；
|r|＝1 表示完全线性相关；
0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：
|r| < 0.4 为低度线性相关；
0.4≤ |r| ＜0.7为显著性线性相关；
0.7≤|r| ＜1.0为高度显著性线性相关。
判定系数
是相关系数的平方，用 r 2 表
示；用来衡量回归方程对y的
STAT
函数关系 指现象间所具有的严格的确定性 的依存关系
相关关系
指客观现象间确实存在，但数量 上不是严格对应的依存关系
函数关系和相关关系的联系和区别
➢二者在一定条件下可以相互转化。有些函STAT
数关系的变量间，由于有测量误差及各种随 机因素的干扰，可表现为相关关系；对具有 相关关系的变量有深刻了解之后，相关关系 有可能转化为函数关系。
STAT 65～70 fY
600～650
11
550～600
12
3
500～550
21
3
450～500
151
7
400～450
22
4
350～400
0
300～350 2
2
fX 2 2 3 5 4 3 1 20
相关图
应用统计学 第九章 回归分析
1 的置信水平下，可以认为总体上两个变量之间是线性相关的。如果 | t | t/2 ，则表明相关
系数 在统计上是不显著的，也就是说在 1 的置信水平下，不能认为总体上两个变量之间是
线性相关的。
由表9-1中的样本数据所计算出来的样本相关系数为： r 0.945 。在 0.05 的显著性
水平上进行相关系数显著性检验的步骤如下。
析
度的线性相关关系；而当 0.75 | r |1 时，则认为变量间的线性相关关系很强。
20
第一节 相关分析概述
第 九 章
三、相关系数的显著性检验
回
归 分
若总体中两个变量的全部取值已知，则可以根据总体的数据计算出两个变量之间相关系数
析
的理论真值。但这在现实中是做不到的，也就是说，两变量之间总体上的相关系数的理论真
关联起来，估计出不同收入水平居民家庭的“平均每户每月日用杂货支出”，这才符合分析报告
写作的要求。“每月日用杂货支出”与“月收入”两变量的样本数据如表9-1所示。
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相关分析概 回归模型与
述
回归方程
若总体相关系数等于零，则与样本相关系数有关的上述t统计量的值就不应过大或过小，
回 归
因为t统计量过大或过小都是总体上两个变量之间具备线性相关关系的证据。因此，给定一个
分 析
显著性水平 ，就可以在自由度为 n 2 的t分布下，确定衡量这个t统计量的值过大或过小的
一个标准，即临界值 t /2 。如果 | t | t/2 ，则表明相关系数r在统计上是显著的，也就是说在
相关与回归分析
相关与回归分析相关与回归分析是统计学中常用的方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
通过这种分析方法，我们可以了解这些变量之间的相互作用、依赖程度以及预测未来可能的变化。
一、相关分析相关分析是一种用来衡量两个变量之间相关程度的方法。
通常情况下，我们可以通过计算相关系数来确定变量之间的关联程度，最常见的相关系数是皮尔逊相关系数。
皮尔逊相关系数的取值范围为-1到1之间，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示不相关。
通过计算样本数据的皮尔逊相关系数，我们可以得出结论，判断变量之间的关系是正相关还是负相关。
相关分析的应用非常广泛，可以用在市场调研、经济预测、医学研究等领域。
例如，在市场调研中，我们可以通过相关分析来了解广告投放与销售额之间的关系，进而优化广告策略。
二、回归分析回归分析是一种通过建立数学模型来研究自变量与因变量之间关系的方法。
回归分析主要用于预测与解释因变量的变化。
在回归分析中，根据自变量的类型，可以分为线性回归和非线性回归。
1. 线性回归线性回归是指自变量与因变量之间存在线性关系的回归模型。
线性回归模型可以用直线方程来表示，即y = a + bx。
其中，a表示截距，b表示斜率，x表示自变量，y表示因变量。
线性回归分析可以用于预测未来的趋势，以及通过自变量来解释因变量的变化。
在金融领域中，我们经常使用线性回归来预测股票价格的变化。
2. 非线性回归非线性回归是指自变量与因变量之间存在非线性关系的回归模型。
与线性回归不同，非线性回归的数学模型一般无法用简单的直线方程表示。
非线性回归分析可以用来研究自变量与因变量之间的复杂关系。
例如，在生物学研究中，我们可以使用非线性回归来研究温度与生物体生长速度之间的关系。
三、相关与回归分析实例为了更好地理解相关与回归分析的应用，我们来看一个实例。
假设我们有一份房屋销售数据，其中包括房屋面积、售价以及地理位置等信息。
我们可以使用相关与回归分析来探索这些变量之间的关系。
相关分析与回归分析的基本原理
相关分析与回归分析的基本原理1. 引言相关分析与回归分析是统计学中常用的两种数据分析方法，它们可以帮助研究者理解变量之间的关系，并根据这些关系进行预测。
本文将介绍相关分析和回归分析的基本原理，包括其定义、应用场景以及计算方法。
2. 相关分析2.1 定义相关分析是一种用来研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
它通过计算相关系数来衡量变量之间的相关性。
相关系数的取值范围为-1到1，其中-1表示完全的负相关，1表示完全的正相关，0表示无相关关系。
2.2 应用场景相关分析可应用于许多领域，如市场研究、医学研究、金融分析等。
例如，在市场研究中，我们可以使用相关分析来研究产品销量与广告投入之间的关系，了解其相关性，并根据相关性进行决策。
2.3 计算方法计算两个变量之间的相关系数可以使用皮尔逊相关系数或斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于连续变量，而斯皮尔曼相关系数适用于有序变量或非线性关系。
3. 回归分析3.1 定义回归分析是一种用来研究变量之间关系的统计方法，其基本思想是通过构建适当的数学模型来描述一个或多个自变量对因变量的影响。
回归分析可以帮助预测未来的观察值，并理解变量之间的因果关系。
3.2 应用场景回归分析可以应用于各种预测和建模的场景。
例如，在金融领域，回归分析可以用来预测股票价格的变动，了解影响股价的各种因素，并根据这些因素进行投资决策。
3.3 计算方法回归分析通常使用最小二乘法来拟合变量间的线性关系。
在回归分析中，自变量可以是单个变量或多个变量，而因变量是需要预测或解释的变量。
通过最小化残差平方和，可以得到最佳拟合的回归模型。
4. 相关分析与回归分析的联系与区别4.1 联系相关分析和回归分析都是用来研究变量之间关系的统计方法，它们都可以帮助研究者理解变量之间的相关性和影响程度。
4.2 区别相关分析主要关注变量之间的相关性，通过计算相关系数来衡量相关性的强度和方向；而回归分析则更加关注自变量对因变量的影响程度和预测能力，适用于建立因果关系和预测模型。
应用统计学教案相关与回归分析
应用统计学教案相关与回归分析教案章节一：相关性概念教学目标：1. 理解相关性的概念。
2. 掌握相关系数的使用和计算。
教学内容：1. 相关性的定义和类型。
2. 相关系数的概念和计算方法。
3. 相关系数的解读和应用。
教学活动：1. 引入相关性的概念，通过实例讲解相关性的不同类型。
2. 讲解相关系数的定义和计算方法，通过实际数据进行演示。
3. 练习计算相关系数，并解读和应用相关系数的结果。
教学资源：1. 相关性概念的实例和数据。
2. 相关系数计算的软件或工具。
教学评估：1. 学生参与课堂讨论和实例分析的情况。
2. 学生完成相关系数计算和解读练习的情况。
教案章节二：回归分析基础教学目标：1. 理解回归分析的概念和目的。
教学内容：1. 回归分析的概念和目的。
2. 线性回归模型的定义和建立方法。
3. 线性回归模型的应用和解释。
教学活动：1. 引入回归分析的概念和目的，通过实例讲解回归分析的应用。
2. 讲解线性回归模型的定义和建立方法，通过实际数据进行演示。
3. 练习建立线性回归模型，并解释和应用回归模型的结果。
教学资源：1. 回归分析的实例和数据。
2. 线性回归模型计算的软件或工具。
教学评估：1. 学生参与课堂讨论和实例分析的情况。
2. 学生完成线性回归模型建立和解释练习的情况。
教案章节三：回归分析进阶教学目标：1. 理解多元线性回归模型的概念和应用。
2. 掌握多元线性回归模型的建立和解释。
教学内容：1. 多元线性回归模型的概念和应用。
2. 多元线性回归模型的建立方法。
教学活动：1. 引入多元线性回归模型的概念和应用，通过实例讲解多元线性回归模型的应用。
2. 讲解多元线性回归模型的建立方法，通过实际数据进行演示。
3. 练习建立多元线性回归模型，并解释和评估回归模型的结果。
教学资源：1. 多元线性回归模型的实例和数据。
2. 多元线性回归模型计算的软件或工具。
教学评估：1. 学生参与课堂讨论和实例分析的情况。
2. 学生完成多元线性回归模型建立和解释练习的情况。
统计学+第九章相关与回归分析
第一节
相关分析概述
一、相关关系的概念
变量之间的依存关系有两种不同的 类型：
函数关系
相关关系
函数关系是指变量之间存在着严格 的数量依存关系。在这种关系中， 当一个或几个变量取一定的值时， 另一个变量有确定值与之相对应， 并且这种关系可以用一个数学表达 式反映出来。
相关关系是指变量之间存在的不确定 的依存关系。在这种关系中，当一个 或几个相互联系的变量取一定的值时 ，与之相对应的变量会有多个数值， 表现出不确定，然而它仍按某种规律 在一定的范围内变化。 在相关关系中，变量之间的联系 有两种情况： 一种是变量之间存在着一定的因 果关系。 另一种是两个变量之间只存在相 互联系而不存在明显的因果关系。
0 1 0 1
2
解此正规方程组，则得参数β0、β1的估 计值b0、b1：
b1 ( x x )( y y ) n xy x y n x ( x ) (x x)
2 2 2
b0
y x b y b x n
1
n
1
b1
n xy x y n x ( x )
x y
xy
N
（二）相关系数的密切程度 相关系数的取值范围:
1 r 1
1 r 0 表明两个变量为负相关 0 r 1 表明两个变量为正相关 r 1 表明两个变量完全线性相关 r 0 表明两个变量之间无线性相关
第三节 一元线性回归分析
一、回归分析的概念
回归一词，是英国统计学家高尔顿（ Francis Galton）1889年在研究祖先与 后代的身高之间的相互关系，发表关于 遗传论文时首先应用的名词，高尔顿研 究出，当父母亲特别高或特别矮时，儿 女的身高则是趋向于他家族人（祖父， 叔父，伯父„„）身高的平均数，即儿 女身高有返归于家族高度的趋势，也就 是回归于一般平均高度。高尔顿称这种 趋势为回归原理。这是回归在遗传上的 含义。
统计学(本科)教学课件第九章相关分析和回归分析
（二）相关表 将相关变量的观察值依次对应排列而形成的统计表
称为相关表。 1.简单相关表 2.分组相关表 （三）相关图 （四）相关系数
四、相关分析的主要内容
(1)分析现象之间是否存在相关关系 并确定其相关形式；
(2)研究现象间相关关系的密切程度； (3)建立回归模型； (4)分析因变量估计值误差的程度；
第九章 相关分析和回归分析
第一节 相关分析 第二节 回归分析
第一节 相关分析
一、相关关系的含义 客观世界中，任何事物或现象都不是孤立存
在的，它总是和其他事物或现象相互联系、 相互制约的，事物之间的依存关系，根据其 相互依存和制约的程度不同可以概括为以下 两种：确定性的数量关系（函数关系）和随 机性的数量关系（相关关系）：
对现象间存在的相关关系可从不同角度进行 分类:
1.按相关因素多少分为单相关和复相关； 2.按相关的表现形式分为线性相关和非线性
相关； 3.按相关的方向分为正相关和负相关； 4.按相关的程度分为完全相关、不相关和不
完全相关；
三、相关关系的判断
(一)定性判断 通过对这种质的规定性的认识，即定性认识，来判断一个事
步骤
（一）建立回归方程； （二）利用回归方程进行预测； （三）估计标准误差；
第二节 回归分析
一、回归分析的概念
回归分析是指对具有相关关系的现象， 根据其相关形态，选择一个合适的数 学模型(回归方程)，用来近似地表示 两个变量之间平均变化关系，并利用 这种关系进行推算和预测的一种统计 分析方法。
二、回归分析与相关分析的关系
1.两者的区别 (1)相关分析的两个变量的地位对等，不做因果变
(2)回归分析是相关分析的延续。相关分析 仅仅帮助我们认识了两变量之间的相关方 向和程度。而回归分析则是在此基础上将 两变量相关关系的方向和形态，以近似的 数学模型描绘出来，然后用此模型指导我 们进行线性回归模型是根据两变量的相关 方向和线性形态拟合地反映两个变量之 间平均变化关系的标准直线。当两变量 之间为单向因果关系时，线性回归模型 为=a+bx；当两变量之间互为因果关系 时，线性回归模型有两个：一是yx型， 即=a+bx；另一是xy型，即=c+dy。
统计学中的相关分析与回归分析
统计学中的相关分析与回归分析统计学中的相关分析与回归分析是两种重要的数据分析方法。
它们帮助研究人员理解和解释变量之间的关系，并预测未来的趋势。
在本文中，我们将深入探讨相关分析和回归分析的定义、应用和原理。
第一部分：相关分析相关分析是用来衡量和评估两个或更多变量之间相互关系的统计方法。
通过相关系数来量化这种关系的强度和方向。
相关系数的取值范围在-1到+1之间，其中-1表示完全负相关，+1表示完全正相关，0表示没有相关性。
相关分析通常用于发现变量之间的线性关系。
例如，研究人员想要了解身高和体重之间的关系。
通过相关分析，他们可以确定是否存在正相关关系，即身高越高，体重越重。
相关分析还可以帮助确定不同变量对某一结果变量的影响程度。
第二部分：回归分析回归分析是一种通过建立数学模型来预测和解释变量之间关系的方法。
它可以用来预测因变量的值，并了解自变量对因变量的影响程度。
回归分析可分为简单回归和多元回归两种类型。
简单回归分析适用于只有一个自变量和一个因变量的情况。
例如，研究人员想要预测一个人的体重，他们可以使用身高作为自变量。
通过建立线性回归模型，他们可以得到身高对体重的影响，从而预测一个人的体重。
多元回归分析适用于有多个自变量和一个因变量的情况。
例如，研究人员想要了解影响一个城市房价的因素，他们可以考虑多个自变量，如房屋面积、地理位置、房龄等。
通过建立多元回归模型，他们可以确定每个因素对房价的影响程度，并进行预测。
第三部分：相关分析与回归分析的应用相关分析和回归分析在各个领域都有广泛的应用。
在医学研究中，相关分析可以帮助确定两个疾病之间的关联性，并为疾病的预防和治疗提供依据。
回归分析可以用来预测患者的生存率或疾病的发展趋势。
在经济学中，相关分析可以用来研究经济变量之间的关系，如GDP 与通货膨胀率之间的关系。
回归分析可以用来预测经济增长率，并评估政治和经济因素对经济发展的影响。
在市场营销中，相关分析可以帮助企业了解产品销售和广告投放之间的关系，并制定有效的市场推广策略。
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确定性依存关系
不确定（随机性）依存关系
【专栏】对象之间有相关关系即为因果关系吗？
二、相关关系的种类
按相关关系涉及的因素多少可以分为单相关、复 相关和偏相关
按相关关系的表现形态可分为直线相关和曲线相 关
按相关关系的变化方向可分为正相关和负相关 按相关关系的相关程度可分为完全相关、不相关
和不完全相关
点预测 当给定x=x0时，利用样本回归方程，可以 求出相应的样本拟合值；点估计的优点是 当给定x0时，就能确切地给出预测值
区间预测
当数据来自小样本n≤30时，可以构造t统计量， 服从自由度为n-2的t分布，给定显著性水平α， 则实际值y0的置信区间：
_
_
y0 t /2 (n - 2)Syx
(x0 - x)2
_
(x - x)2
y0 y0 Z /2Syx
1 1 n
(x0 - x)2
_
(x - x)2
【举例】对该地区社会商品零售额进行区间预测 返回
第四节 多元线性回归分析
一、多元线性回归的理论模型 假定因变量y与n个解释变量x1，x2，…xn 具有线性相关关系，则多元线性回归的理 论模型可表示为：
自由度为n-2，得到临界值 • 统计决策
参数的显著性检验(t检验)
t检验：是对回归系数的显著性检验
t 1 1
S
～t(n-2)
β1
t检验的基本步骤
• 提出假设 • 构造t检验统计量，并由样本数据计算t检验值 • 根据显著性水平α，查t分布表，得到临界值 • 统计决策
回归总体线性的显著性检验 （F检验）
回归的统计检验
离差平方和的分解 TSS=RSS+ESS
拟合优度检验(判决系数R2)
R2
回归平方和 总离差平方和
ESS TSS
估计标准误差
Syx
(y - y)2 n-2
相关性检验(r检验)
相关系数计算
r R2
检验的步骤
• 根据公式计算相关系数r值 • 根据给定的显著性水平α，查相关系数检验表，
关键概念
相关分析、相关系数、回归方程、 统计检验
第一节 相关分析概述
一、相关关系的概念
在现实生活中存在许多社会经济现象，它们之间 相互依存、相互制约，彼此之间构成相互联系的 整体。
现象之间的联系表现为变量之间的依存关系，而 这种依存关系有两种不同的类型：一是函数关系， 二是相关关系。
时间序列的作用
二、散点图
散点图又称相关图，它是以直角坐标系的横轴代 表变量x，纵轴代表变量y，将变量间相对变量数 值用坐标点的形式描绘出来，用于反映两变量相 关关系的图形，比相关表更为直观地表明了两变 量之间的相关关系。
三、相关关系
相关系数是度量两个变量之间线性相关的方向和 强度的测度，常用的度量指标是皮尔逊(Pearson) 相关系数
动比例，而不表示变动的密切程度。 在回归分析中，估计参数的有效性应进行
显著性检验
返回
案例分析
【案例】预测大学足球比赛的获胜得分差额
分析：可以“比赛获胜得分的差值 ”为因 变量，相关影响因素为自变量，建立多元 回归方程，并通过方程，分析大学足球赛 获胜的原因及进行相关预测
返回
1 1 n
(x0 - x)2
_
(x- x)2
y0 y0 t /2 (n - 2)Syx
1 1 n
(x0 - x)2
_
(x- x)2
区间预测
当数据来自大样本n＞30时，可以构造Z统计量，服从 标准正态分布，给定显著性水平α，则实际值y0的置信
区间
_
_
y0 Z / 2Syx
1 1 n
y 0 1x1 ... nxn
二、多元线性回归方程的估计与检验
多元回归方程估计的检验包括拟合优度检验(R2检 验)、相关系数检验(r检验)、总体方程的显著性 检验(F检验)及回归方程的参数检验(t检验)，其 基本思想与一元回归方程的检验类似
在实际统计工作中，通常使用计算机来处理，常 用的经济计量软件有eviews、stata、spss等
描述社会经济现象的发展状况和结果 研究社会经济现象的发展速度、发展趋势，
探索现象发展变化的规律，并据以进行统 计预测 利用不同的但有互相联系的数列进行对比 分析或相关分析，以分析现象之间发展变 化的相互依存关系
图9-1 函数关系与相关关系示意图
函数关系
相关关系 因果关系 互为因果关系 共变关系
应用统计学
编 著 陈在余 陶应虎
第9章 相关分析与回归分析
➢ 1.1 相关分析概述 ➢ 1.2 相关关系的测定 ➢ 1.3 一元线性回归分析 ➢ 1.4 多元线性回归分析 ➢ 案例分析
学习目标与关键概念
学习目标
1、了解相关关系的概念及种类、相关分析的概念和内容 2、重点掌握简单相关系数的计算方法 3、掌握回归分析的概念及建立线性回归方程的方法 4、掌握相关参数的统计检验，能对统计软件回归计算的结 果做出正确的解释。
F检验是对回归总体线性关系是否显著的一种假设 检验
_
F＝ （y y）2 / k ～F（k，n k 1） (y - y)2 /(n - k -1)
F检验的基本步骤
• 提出假设 • 构造F检验统计量，并由样本数据计算F检验值 • 根据显著性水平α，查F分布表，得到临界值 • 统计决策
四、一元线性回Байду номын сангаас方程的预测
【举例】建立某地区机电行业的销售额与汽车产量、建 筑业生产的线性回归方程，并进行统计检验及预测
三、曲线回归的线性化
多项式曲线方程 双曲线函数方程 指数函数方程 对数函数方程 S曲线回归方程
【举例】用最小二乘法模拟某省第三产业的C-D生产 函数的回归方程
四、应用回归分析应注意的几个问题
在定性基础上进行定量分析 回归系数只说明因变量与自变量之间的变
一、一元线性回归理论模型
一元线性回归模型是用于分析一个自变量x 与一个因变量y之间线性关系的数学方程， 在变量x与y的直角坐标平面上，可以绘制 散点图，可以看出所有的散点大致呈线性 关系
y 0 1x
二、普通最小二乘估计OLS
普通最小二乘法基本思想是：因变量实际 观察值y与因变量的估计值的离差平方和 (也称为残差平方和)最小，即这是一条最为 接近真实直线的模拟直线。
min
e2
2
(y - y) min
y
-
(β0
β1
x)
2
普通最小二乘法估计
正规方程的回归系数的估计值
__
__
1
(x - x)(y-
__
(x - x)2
y)
nxy xy nx2 (x)2
y
x __
__
0 n b1 n y b1 x
【举例】根据某地区居民货币收入和社会商品零售额的资 料，建立两个变量的回归方程
普通最小二乘法估计
实际工作中，如果样本量很大，计算也很 麻烦，一般常用统计软件如eviews、spss、 stata等进行模拟估计，可直接得出输出结 果
【举例】eviews统计软件应用：根据某地区居民货币收入 和社会商品零售额的资料，模拟回归方程
三、一元线性回归的统计检验
统计检验包括线性关系检验和回归系数检验， 具体包括拟合优度检验、参数显著性检验以及 回归总体线性的显著性检验
返回
第二节 相关关系的测定
一、相关表
简单相关表
指资料未经分组，将某一变量按其变量值的大小 顺序排列，然后再将与其相关的另一变量的对应 值进行排列所形成的表格。
【举例】对10家企业的年销售收入和广告费支出进 行调查，请编制简单相关表。
分组相关表
• 单变量分组相关表 • 双变量分组相关表
【举例】女大学生身高与体重的关系
r 2 xy x y
__
__
(x - x)(y- y)
__
__
(x - x)2 (y- y)2
【专栏】在相关分析中，定性分析或经济理论分析重要吗?
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第三节 一元线性回归分析
回归分析实质就是通过建立数学方程，研究因变 量与自变量之间的变动关系，如果分析一个自变 量与一个因变量的线性关系，称为一元线性回归 分析，如果分析两个或两个以上的自变量与一个 因变量的线性关系，则称为多元线性回归。
【专栏】真实相关与虚假相关
三、相关分析与回归分析
相关分析是研究两个或两个以上变量之间的相关 方向和相关密切程度的统计分析方法，回归分析 是对具有相关关系的变量之间的数量变化的一般 关系进行测定，确定一个合适的回归方程，据以
进行估计或预测的统计方法 。
相关分析与回归分析的联系与区别
描述的方式不同 变量的地位不同 描述的内容不同