三方程组及其应用
线性方程组的反问题及其应用
线性方程组的反问题及其应用孙侠沈阳师范大学摘要：线性方程组是我们在解决日常生活问题中常用的一种手段。
线性方程组是指一种方程中所有的未知数都是一次的方程组，即方程的最高次数是一次，比如我们初高中时就学过的二元一次方程组，是最简单的线性方程组了。
所谓反问题，是指已知有一组复数,之后要求构造一个矩阵A ，使其具有某种性质，并且求得的矩阵A 的特征值也恰好是我们之前知道的那组复数。
在本文中，我们通过与线性方程组的反问题相关的两组例题，了解了每道例题的解题方法，以及该问题中涉及到的对于线性方程组反问题的应用，还有一些相关的定理和推论的证明以及应用。
关键词：线性方程组；求解反问题；线性方程组中反问题求解的应用线性方程组是指在方程中，所有的未知数都是一次的方程组，在解决问题所列出的方程组中，未知数的数目可能不止一个，但式子中出现的所有未知量必须都是一次的，即方程的最高次数是一次，比如我们初高中时就学过的二元一次方程组，是最简单的线性方程组了。
线性方程组在代数中，是最简单但是也是最重要的一类方程组，线性方程组是我们在解决日常生活问题中常用的一种手段，许多难解的问题，解法中的式子最后都能化成线性方程组，所以线性方程组对于计算数学是极其重要的。
所谓线性方程组中的反问题，是相对于对应线性方程组的“正问题”而言的。
不过，在代数领域，现在对于线性方程组的研究已经比较深入了，所以一般不把上述我们说的这样简单的反面问题的形式当作线性方程组的反问题来看待。
那么，线性方程组的反问题是什么样的呢？接下来我们来看与线性方程组的反问题相关的两组例题，在每道例题下都有对应的解题方法，以及该问题中涉及到的对于线性方程组反问题的应用，还有一些相关的定理和推论的证明以及应用。
问题1构造一个线性方程组，使该线性方程组的通解为：B0+k1*B1+……+k r*Br 。
相关定理设已知的给定向量线性组合B0+k1*B1+……+k r*Br ，在此向量线性组合中，B1,……,Br 是一组n 维线性无关向量组。
线性方程的解法和实际应用
线性方程的解法和实际应用线性方程是数学中基础而重要的概念，它能够描述许多实际问题，如经济学、物理学、工程学等领域中的实际应用。
本文将介绍线性方程的解法以及其在实际问题中的应用。
一、解线性方程的方法解线性方程是指找到方程的未知数的值，使等式成立。
常见的解线性方程的方法有以下几种：1. 直接解法：对于只有一个未知数的一元线性方程，可以通过移项和化简的方式直接求解。
例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以通过将3移到等号右边，然后将2x = 7 - 3，最后得到x = 2。
2. 代入法：对于一个线性方程组，可以通过代入法来求解。
例如，考虑方程组2x + 3y = 7和3x + 2y = 8，我们可以通过先解其中一个方程得到y的值，然后将其代入另一个方程中求解x的值。
3. 消元法：消元法是一种常见的解线性方程组的方法。
它的基本思想是通过将方程组中的某些方程相加或相减，消去某个未知数，从而简化方程组。
例如，考虑方程组2x + 3y = 7和3x + 2y =8，我们可以通过将方程1乘以2，方程2乘以3，然后相减消去y 的系数，最后解得x的值。
二、线性方程在实际应用中的应用线性方程广泛应用于各个领域，下面将介绍几个实际应用的例子。
1. 经济学中的应用：线性方程可以用来描述供需关系、收益率等经济学中的实际问题。
例如，考虑一个简单的供求方程，供应量为常数A，需求量为Bx，其中x代表价格。
通过解这个线性方程，我们可以确定市场均衡价格，从而分析供需关系对市场的影响。
2. 物理学中的应用：线性方程可以用来描述物体的运动、力学等问题。
例如，通过解一个简单的速度与时间的方程，我们可以确定物体在不同时间的位移，从而描绘物体的运动轨迹。
3. 工程学中的应用：线性方程可以用来解决工程学中的各种实际问题，如电路分析、材料力学等。
例如，通过解一个简单的电阻电流方程，我们可以确定电路中电流的大小，从而分析电路的性能。
总结：线性方程的解法能够描述和解决各种实际问题，是数学中的重要概念。
电磁学中的麦克斯韦方程组及其应用
电磁学中的麦克斯韦方程组及其应用电磁学是自然界中一项非常重要的学科，涵盖了电和磁的交互作用以及它们如何影响物质。
其中，麦克斯韦方程组是电磁学中最为重要的一部分，它描述了电磁场的演化和传播规律。
本文将探讨麦克斯韦方程组及其应用。
一、麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组由四个方程组成，分别是高斯定律、法拉第定律、安培定律及法拉第电磁感应定律。
这四个方程描述了电场和磁场如何相互作用，并控制了电磁波的形成。
高斯定律描述了电场如何与电荷之间的关系。
该定律指出，电场通过一个封闭曲面时，该曲面内的结果等于该区域内所有电荷的代数和除以介电常数。
法拉第定律描述了磁场如何相对于一个变化的电场产生感应。
该定律表明，通过一个可变磁通量的磁场中，会诱导出一个电场。
安培定律描述了电流在空间中如何产生磁场。
该定律说明，通过一个导体的电流在其周围产生一个磁场。
法拉第电磁感应定律描述磁场如何经历变化并如何影响电场。
该定律说明了，变化的磁场会产生一个感应电场。
二、麦克斯韦方程组的应用麦克斯韦方程组的应用广泛，在科学研究、技术开发甚至日常生活中都有其存在。
以下是一些应用案例：1. 电磁波麦克斯韦方程组描述了电场和磁场如何相互作用并控制了电磁波的形成。
电磁波在无线电和通信中扮演着重要角色，其中包括电子邮件、电话和无线电广播。
2. 太阳风暴太阳风暴是太阳磁场和行星磁场之间相互作用的结果。
麦克斯韦方程组在太阳风暴中发挥了重要作用，研究人员使用这些方程式来了解太阳和行星磁场之间的相互作用。
3. 生物医学成像麦克斯韦方程组在医疗成像中也起了重要作用。
医学成像技术依赖于电磁波与身体组织和器官的相互作用，例如X射线和磁共振成像（MRI）。
4. 声学声学中，麦克斯韦方程组用于描述声波的传播规律。
当声波经过介质后，其中的电位和磁场会发生变化，麦克斯韦方程组可以描述这种变化。
总之，麦克斯韦方程组在现代科技和日常生活中都扮演着巨大的角色。
了解这些方程对于我们更好地掌握电磁学知识，理解电场和磁场的本质以及其相互作用都有非常重要的作用。
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
∴原方程组的解为y＝1，将y＝1 代入 2kx－3y＜5 得 2×k×2－3＜5，解得 k＜2.
命题点 2：一次方程(组)的应用(近 3 年考查 15 次)
7．(数学文化)(2021·武汉第 7 题 3 分)我国古代数学名著《九章算术》
中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价
32 人.2 艘大船与 1 艘小船一次共可以满载游客 46 人．则 1 艘大船与 1
艘小船一次共可以满载游客的人数为
( B)
A．30
B．26
C．24
D．22
11．★(2022·武汉第 10 题 3 分)幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛 书》中记载了最早的幻方——九宫格．将 9 个数填入幻方的空格中，要 求每一横行、 每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之和相等，例如图① 就是一个幻方．图②是一个未完成的幻方，则 x 与 y 的和是 ( D ) A．9 B．10 C．11 D．12
14．(2020·仙桃第 12 题 3 分)篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每 队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队 14 场比赛得到 23 分，则该队胜 了__99__场．
15．(2020·黄冈第 19 题 6 分)为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组 织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买 6 盒 羊角春牌绿茶和 4 盒九孔牌藕粉，共需 960 元，如果购买 1 盒羊角春牌 绿茶和 3 盒九孔牌藕粉共需 300 元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔 牌藕粉分别需要多少元？
【分层分析】设购进创意文具袋 x 个，由题干信息①得购进笔记本为
((2x2＋x＋10)个，由题干信息②可列方程为 xx＋＋(2(x2＋x1＋0)1＝0)190.
三元一次方程组的解法代入法集备材料
本节重点难点
重点：三元一次方程组的概念及其代入法解三元一次方程组。
难点：代入消元法解三元一次方程组及其应用。Βιβλιοθήκη 难点：主备人教学设计
个人课堂教学设计
教师修改意见
课前准备：学案、课本、红色笔等
一、导入：(1分钟)
回顾代入法解二元一次方程组：选二元一次方程组中一个方程，用一个未知数去表示另一个未知数，然后代入另一个方程中消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，从而求出二元一次方程组的解。
西城中学初一数学教学设计集体备课
主备人：李东杰审核人：审批人：使用日期2013年3月12日星期二
课题
NO.197.3.1代入法解三元一次方程
课型
新授课
学习目标
1、了解三元一次方程组的有关概念，会解三元一次方程组，体会代入法消元的思路，提高分析能力、计算能力。
2、经过探索三元一次方程组解法的过程，理解代入消元法所体现的划归的思想方法。
小组展示要积极，黑板展示要分层次，书写认真规范，要点拨清楚，声音洪亮，学生进行补充总结
点评小组进行点评，计入小组量化，对于不到位的地方，老师给予点拨和强调。
检测要求：认真思考，灵活运
用，独立完成
学生自己总结，教师补充。
要求：认真思考，灵活运用，
独立完成
留下五分钟学生巩固补充学案
再次强调对———见课件
九、当堂检测：(5分钟)
————见课件（给学生两分钟思考时间）
十、课堂小结：(2分钟)
（有课件提示）
学生（）
1、回扣目标，总结收获
2、评出优秀小组和个人
十一、整理巩固（既是作业）(2分钟)
方程组的解法及其应用
方程组的解法及其应用方程组是代数学中的一个重要概念，它描述的是一组方程，其中每个方程都由一些变量及其对应的常数组成。
解一个方程组就是求出一组满足所有方程的变量值，这组值被称为方程组的解。
一般来说，解方程组的方法可以分为几种，最常用的包括代入法、消元法和矩阵法。
代入法是最简单的一种方法，它的基本思路是将其中一个未知量用另一个未知量的表达式替代，从而将方程组中的未知量数量减少一个。
举个例子，对于下面这组方程组：$$\begin{cases}2x + y = 5\\x - y = 1\end{cases}$$我们可以通过代入法求出它的解。
具体来说，我们可以将其中一个未知量（$y$）用另一个未知量（$x$）的表达式替代，得到：$$\begin{cases}2x + (x - 1) = 5\\x - (x - 1) = 1\end{cases}$$然后通过解这个新的方程组，可以得到$x = 2$和$y = 1$，从而得出原方程组的解为$(2,1)$。
代入法的优点是简单易懂，但是当方程组比较复杂时计算量会变得很大。
消元法是另一种解方程组的常用方法。
它的核心思想是通过一系列变换将方程组化为简单形式，从而可以很容易地求解。
最常用的消元法是高斯消元法，它的步骤如下：1. 将方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数列合并在一起。
对于上面那组方程，可以写为：$$\left[\begin{array}{cc|c}2&1&5\\1&-1&1\end{array}\right]$$2. 对增广矩阵进行变换，目标是将其化为上三角矩阵。
这里的变换包括将某一行乘以一个常数、将某一行加到另一行上、交换两行等等。
具体来说，我们可以先将第二行乘以2，得到：$$\left[\begin{array}{cc|c}2&1&5\\2&-2&2\end{array}\right]$$然后将第二行减去第一行，并将结果放到第二行上：$$\left[\begin{array}{cc|c}2&1&5\\0&-3&-3\end{array}\right]$$这样，我们得到了一个上三角矩阵，其右下角的元素就是方程组的解之一（$-1$）。
线性方程组的解法及其应用
线性方程组的解法及其应用摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.本文综述了几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克拉默法则、广义逆矩阵法、直接三角形法、平方根法、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，广义逆矩阵方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合.关键词:线性方程组解法广义逆矩阵应用实例1. 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.本文主要介绍线性方程组的广义逆矩阵法、追赶法、平方根法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台.文章也给出线性方程组在其他领域中的应用实例，揭示了各学科之间的内通性.首先，我们讨论一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为11112211211222221122,,.n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ()i()i 式中(1,2,,)i x i n =代表未知量，(1,2,,;1,2,,)ij a i s j n ==称为方程组的系数，(1,2,,)j b j n =称为常数项.线性方程组)(i 称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即120s b b b ====.令111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 12s b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()i 可用矩阵乘法表示为AX B =，,,.m n n m A C X C B C ⨯∈∈∈2. 线性方程组的解法2.1 消元法在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用.例 1 解线性方程组123123123123324,32511,23,237.x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩ 解 分别将第一个方程的(-3)倍，(-2)倍和2倍加到第二、三、四个方程上，整理得123232323324,71,555,7 1.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎪⎨-+=-⎪⎪-=⎩将此方程组第二个方程加到第四个方程上，使该方程两边全为零，并将第三个方程的两边乘以15-，得1232323324,71,1.x x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩再将第三个方程的7倍加到第二个方程上，消去第二个方程中的未知量2x ，整理得123233324,1,6 6.x x x x x x +-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩最后解得123(,,)(2,0,1)T T x x x =--.正如消元法是我们接触比较早的，被我们所熟悉的一种方法，在此只给出三元线性方程组的解法，三元以上的方程组的具体理论、性质和解题过程详见参考文献[1]. 2.2 应用克莱姆法则对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有定理1[1] 如果含有n 个方程的n 元线性方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ()ii的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式111212122212det 0n n n n nna a a a a a A a a a =≠，那么线性方程组()ii 有唯一解：det (1,2,,),det j j B x j n A==其中det j B 是把矩阵中第j 列换成线性方程组的常数项12,,,n b b b 所成的矩阵的行列式，即111,111,11222,122,121,1,1det,1,2,,.j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a B j n a a b a a -+-+-+==此外，还可以叙述为，如果含有n 个未知数、n 个方程的线性方程组Ax b =的系数矩阵的行列式det 0A ≠，则线性方程组Ax b =一定有解，且解是唯一的. 例2 解线性方程组12342341242342344,3,31,73 3.x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩ 解 由已知可得系数行列式12341234123401110111111det 16013015352073173148A ---------====≠----,因此线性方程组有唯一解.又因124234143431110311det 128,det 48,1301110137310331B B -------==-==-341244123401310113det 96,det 0.1311130107310733B B ------====--故线性方程组的解为1234(,,,)(8,3,6,0)T T x x x x =-.克莱姆法则主要给出了解与系数的明显关系，但只能应用于系数矩阵的行列式不为零的线性方程组，并且它进行计算是不方便的. 2.5 直接三角分解法[5]设有线性方程组11112211211222221122,,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩或写成矩阵形式Ax b =，其中111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.若A 为非奇异矩阵，且有分解式A LU =，其中U 为上三角矩阵，L 为单位下三角矩阵，即11121212221,1111n n n n n nn u u u l u u A LU l l u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 则线性方程组Ax b =的求解等价于 解以下两个三角方程组：(1)Ly b =，求y ； (2)Ux y =，求x .直接三角形分解法求解线性方程组，基本步骤如下： 第一步： 11,(1,2,,),i i u a i n == 1111,(2,3,,)i i l a u i n ==,计算U 的第r 行，L 的第r 列元素，2,3,,r n =.第二步： 11,(,1,,)r ri ri rk ki k u a l u i r r n -==-=+∑.第三步： 11,(1,,;)r ir ir ik kr rr k l a l u u i r n r n -==(-)=+≠∑.求解Ly b =，Ux y =的计算公式如下：第四步： ()1111,,2,3,.i i i ik k k y b y b l y i n -==⎧⎪⎨=-=⎪⎩∑第五步： 1,(),(1,2,,1).n n nn n i i ik k ii k i x y u x y u x u i n n =+=⎧⎪⎨=-=--⎪⎩∑例5 求解线性方程组1231212321,42,227.x x x x x x x x ++=⎧⎪+=-⎨⎪-++=⎩解 由直接三角分解法第二、三步可得211100211410210012221131004A LU ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 于是线性方程组变为LUx b =，求解线性方程组(1,2,7)T Ly =-，得(1,4,4)T y =--；求解线性方程组(1,4,4)T Ux =--，得(1,2,1)T x =-.2.6 平方根法[7]在许多应用中，欲求解的线性方程组的系数矩阵是对称正定的.所谓平方根法，就是利用对称正定矩阵的三角分解而得到的求解具有对称正定矩阵的线性方程组的一中有效方法，目前在计算机上广泛应用平方根法解此类方程组.定理6[12] 若A 的各阶顺序主子式非零，则A 可以分解为A LDU =，其中L 是单位下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵，D 是对角矩阵，且这种分解是唯一的.定理7[12] 设A 为对称正定矩阵，则存在三角分解T A LL =，其中L 是非奇异下三角形矩阵，且当限定L 的对角线元素为正时，这种分解是唯一的.应用对称正定矩阵的平方根法，可以解具有对称正定系数矩阵的线性方程组Ax b =，具体算法如下：1) 对j =1,2，，n ，计算11221()j jj jj jkk l a l -==-∑，11j ij ij ik jk k l a l l -==-∑(1,,)i j n =+.2) 求解线性方程组Ax b =等价于解两个三角方程组,.TLy b L x y =⎧⎨=⎩ 计算11()i i i ik k ii k y b l y l -==-∑，(i =1,2，，n ), 1()ni i ki kii k i x b lx l =+=-∑，(i n =,1n -,,2,1)，即可.例6 求解线性方程组12341161 4.25 2.750.5.1 2.75 3.5 1.25x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 解 设1111213121222232313233334111 4.25 2.751 2.75 3.5l l l l l l l l l l l l -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 由矩阵乘法得1121223132332,0.5,2,0.5, 1.5, 1.l l l l l l ==-====解下三角方程组123260.520.50.5 1.51 1.25y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得1233,0.5,1,y y y ===-再由123230.520.50.5 1.511Tx x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得线性方程组的解为123(,,)(2,1,1)T T x x x =-.可以用消元法解此方程组,但发现此方程组的系数矩阵为正定矩阵，运用平方根法解这个方程组比较容易，而且理论分析指出，解对称正定方程组的平方根法是一个稳定的算法，其在工程计算中使用比较广泛. 2.7 追赶法[5]在许多实际问题中，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角方程组11112222211111iiii i n n n n n nn n n x k b c x k a b c a b c x k a b c x k a b x k -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 简记作 Ax k =， 其中A 满足下列对角占优条件：(1) 110b c >>;(2) i i i b a c ≥+, i a ,i c 0≠(i =2,3, ,1n -);(3) 0n n b c >>.由系数矩阵A 的特点，可以将A 分解为两个三角矩阵的乘积，即A LU =，其中L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵.求解线性方程组Ax k =等价于解两个三角方程组Ly k =与Ux y =，先后求y 与x ，从而得到以下解三角方程组的追赶法公式：第一步：计算的递推公式111c b β=，1()i i i i i c b a ββ-=-，(2i =，3，，1)n -;第二步：解Ly k =：111y k b =，11()()i i i i i i i y k a y b a β--=--，(2,3,,)i n =;第三步：解Ux y =：n n x y =，1i i i i x y x β+=-，(1,2,,2,1)i n n =--.例7 求解三对角线性方程组123421001131020111200210x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.解 设有三角分解111122222233333344441111b c p q a b c a p q a b c a p q a b a p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 由矩阵乘法易得111,,1,2,3.,2,3,4.i i i ii i i p b q c p i p b a q i -=⎧⎪==⎨⎪=-=⎩ 将已知系数矩阵的元素代人上式有11223342,12,52,25,35,53,73.p q p q p q p ==⎧⎪==⎪⎨==⎪⎪=⎩ 解线性方程组112233441121220p y p y p y p y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得123412,35,73, 2.y y y y ====再解线性方程组111222333441111x y q x y q x y q x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得原线性方程组的为1234(,,,)(0,1,1,2)T T x x x x =-.追赶法是以LU 分解为基础的求解方法，因此它的不足之处是当某个0=k u 时，就不能进行.但是当方程组的系数矩阵A 中有很多零元素时，利用三对角方程组系数矩阵的稀疏性，使零元素不参加运算，可以类似于追赶法来简化计算过程，从而极大地节省了计算量和存储量.这也是追赶法的最大特点.3. 应用举例3.1 线性方程组在解析几何中的应用例8 已知平面上三条不同直线的方程分别为1L ：230ax by c ++=，2L ：230bx cy a ++=，3L ：230cx ay b ++=，试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.证 必要性 设三直线1L ，2L ，3L 交于一点，则线性方程组232323ax by cbx cy a cx ay b +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩ ()iii有惟一解，故系数矩阵222a b A b c c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与增广矩阵232323a b c A b c a c a b --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的秩均为2，于是0A -=，即22223236()()23a bcA bc a a b c a b c ab ac bc ca b--=-=++++----=0,所以0a b c ++=.充分性 由0a b c ++=，则从必要性的证明可知，0A -=，故()3r A -<.由于22222132()2[()]2[()]0224a b ac b a a b b a b b b c =-=-++=-++≠, 故()()2r A r A -==.因此线性方程组()iii 有惟一解，即三直线1L ，2L ，3L 交于一点. 3.2 线性方程组在产品生产量中的应用例9 设有一个经济系统包括3个部门，在某一个生产周期内各部门间的消耗及最终产品如表所示：求各部门的总产品.解 设i x 表示第i 部门的总产品.由已知可以得到线性方程组()I A x y -=，其中0.250.10.1()0.20.20.10.10.10.2ij A a ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0.750.10.10.20.80.10.10.10.8I A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，(245,90,175)T y =. 利用矩阵的初等变换可以求得1126181810()34118198912017116I A -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 所以线性方程组()I A x y -=的解为消耗系数 消耗部门 生产部门123最终产品1 0.25 0.1 0.1 2452 0.2 0.2 0.1 90 30.10.10.21751126181824540010()3411819902508912017116175300x I A y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 4. 结束语本文针对不同的线性方程组给出了一些计算方法，及线性方程组的应用实例.根据线性方程组自身所具有的特点，可以选择相应合适的方法，而对于那些特殊类型的线性方程组的解法，有待进一步的讨论与研究．参考文献：[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编. 高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.105-112.[2] 白梅花. 线性方程组若干应用实例举例[J].科技资讯,2011,(27):200-201.[3] 康道坤，陈劲. 广义逆下线性方程组的解结构及其推广[J].大理学院学报,2011，10(4):7-9. [4] 卢刚.线性代数[M]. 北京：高等教育出版社,2002.64-72.[5] 李庆扬，王能超，易大义. 数值分析[M].4版.武汉：华中科技大学出版社,2006.177-185. [6] 苏育才，姜翠波，张跃辉. 矩阵理论[M].北京：科学出版社,2006.200-206. [7] 首都师范大学数学系组编. 数值分析[M].北京：科学出版社,2000.28-32.[8] 徐仲，张凯院，陆全，等. 矩阵论简明教程[M].2版.北京：科学出版社,2005.141-147. [9] 谢寿才，陈渊. 大学数学[M].北京：科学出版社,2010.37-40.[10] 徐仲，张凯院，陆全. 矩阵论[M].西安：西北工业大学出版社,2002.228-245.[11] 尹钊，钟卫民，赵丽君. 线性方程组的广义逆矩阵解法[J].哈尔滨师范大学自然科学学 报,1999,15(5):21-22. [12] 张明淳. 工程矩阵理论[M].1版.南京：东南大学出版社,1995.172-173.[13] 赵树嫄. 线性代数(经济应用数学基础)[M].4版.北京：中国人民大学出版社,2008.150-157.。
线性方程组的求解及其应用
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线性方程组的求解及其应用
作者：刘从义
来源：《考试周刊》2013年第09期
摘要：线性代数是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于现代科学的许多分支.其核心问题之一就是线性方程组的求解问题.本文首先简要介绍了线性方程组求解的历史，然后给出线性方程组解的结构，重点介绍了解线性方程组的几种方法：消元法和克拉默法则.最后介绍了如何利用Matlab常用电脑软件解线性方程.
关键词：线性方程组消元法克拉默法则 Matlab
1.线性方程组求解的历史
线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术》方程章中已做了比较完整的论述.其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换，从而消去未知量的方法，即高斯消元法.在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的.他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组.麦克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果.克莱姆不久也发表了这个法则.18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了一元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零.
2.线性方程组解的结构。
数学专业论文—线性方程组的求解及其应用
嘉兴学院南湖学院（2011届）本科毕业论文（设计）题目：线性方程组的求解及其应用专业：数学与应用数学班级学号：姓名：指导教师：完成日期： 2011.5.5诚信声明我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得嘉兴学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料．我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信．论文(设计)作者签名：签名日期：年月日授权声明学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文(设计)进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置．论文(设计)作者签名：签名日期：年月日线性方程组的求解及其应用***（**学院）摘要：线性方程组是线性代数中一个最基础的内容，它在科学和工程计算等领域都发挥着重要的作用．本文主要讨论线性方程组解的基本结构，并运用克拉默法则，高斯消元法和追赶法等来求解．另外还研究了它在解析几何，高等代数，运筹学等学科以及其他学科领域中的一些简单的应用．通过线性方程组的求解及其应用，使很多繁琐的问题变得方便快捷．关键词：线性方程组；克拉默法则；高斯消元法；LU分解；应用The Solution of Linear System of Equations and It’s Application***（** University）Abstract：Linear system of equations is one of the most basic content in linearalgebra. It plays an important role in many areas, for example in science and engineering calculation. This article discusses the basic structure solution of linear equations, and use Cramer's rule, Gauss-elimination and chase way to find solutions. In addition, it also examines it’s in analytic geometry, higher algebra, operations research, as well as other areas of some simple applications. By the solution of linear system of equations and it’s application, we can make a lot of complicated problems becoming more convenient.Key words：Linear equations; Cramer's rule; Gauss-elimination; LU-decomposition;Application目录1 引言 (1)2 线性方程组求解 (2)2.1 概念 (2)2.2 解的情况及其通解 (3)2.3 克拉默法则 (5)2.4 高斯消元法 (7)2.5 追赶法 (9)2.5.1 LU分解 (9)2.5.2 追赶法 (10)3 线性方程组的应用 (13)3.1 在解析几何中的应用 (13)3.2 在高等代数中的应用 (13)3.3 在运筹学中的应用 (14)3.4 在化学中的应用 (15)3.5 在经济学中的应用 (16)3.6 在控制科学中的应用 (18)4 结束语 (21)致谢 (22)参考文献 (23)1 引言线性方程组即各个方程关于未知量均为一次的方程组．对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中．线性方程组是线性代数的主要内容，它主要包括线性方程组有解性的判定、线性方程组的求解和线性方程组解的结构等．而且随着现代工业的发展，线性方程组的应用出现在各个领域，伴随着大量方程和多未知数的出现，寻找简便而且准确的求解方法就显得十分重要而且具有现实意义．因此对线性方程组解法的研究就显得十分必要[]1．本文主要内容是讨论了线性方程组解的几种基本情况，以及有不唯一解时的通解表示形式．其次还介绍了线性方程组当解唯一时的三种求解方法，分别是：1、克拉默法则；2、高斯消元法；3、追赶法．另外本文还介绍了线性方程组在高等代数，解析几何，运筹学等数学领域以及在其他学科领域中的一些基本的应用．2 线性方程组求解线性方程组的核心问题是研究它何时有解，以及解是什么．本节主要对线性方程组解的情况进行讨论，给出当解不唯一时通解的表示形式．另外还介绍了几种特殊的线性方程组的求解方法．线性方程组可以分成两类，一类是未知量个数与方程的个数相等，另一类是未知量个数与方程的个数不等．对于前一类特殊的线性方程组，我们可以采用克拉默法则，对于后一种线性方程组我们可以采用高斯消元法．而追赶法是数值计算中解线性方程组的一种直接法，它能在无舍入误差存在的情况下，经过有限步运算即可求得方程组的精确解的算法．2.1 概念错误!未找到引用源。
初三数学总复习数学《方程(组)及不等式(组)教案
12-13下学期初三数学总复习《方程（组）与不等式（组）》主备人：汤恒星本章教学分析一、本章教学目标1、方程（组）、一次方程（组）、一次不等式（组）、分式方程的概念及解法2、用方程（组）解决实际问题二、本章教学重难点重点：目标1,2难点：目标2三、学情分析初三复习阶段，学生对本部分内容有接触，但是遗忘比较多，教师在复习的过程中应加强基本技能的训练，适当加以示范。
四、课时安排（共计10 课时）第1节：2课时第2节：2课时第3节：2课时第4节：2课时测评及讲解：2课时五、章节测试命题人安排：汤恒星第一节 一次方程（组）及其应用（2课时）教学目标：1．方程、一元一次方程、方程的解、一元一次方程的解法；2．二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程的解、二元一次方程的解法、利用方程解决生活中的实际问题3. 用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题；4 数学思想方法：消元教学重难点：教学重点：一元一次方程解法、二元一次方程组的解法、用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题难点：用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题教学过程：一、知识点（1） 方程：含有未知数的等式（2） 等式性质：1、等式两边分别加上或减去一个数字或式子，结果仍然是等式；2、等式两边分别乘以或除以一个不为0的数，结果仍然是等式；（3） 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（4） 一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1（5） 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程为二元一次方程（6） 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组（7） 二元一次方程组的解：一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解，即二元一次方程组中方程的公共解。
（8） 二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是1或-1的情形；（2）加减消元法：多适用于方程组中的两个方程中相同未知数的系数相同或互为相反数的情形（9） 列方程（组）解应用题的一般步骤二、例题精讲例1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+65115y x y x ⎩⎨⎧-=+=+2102y x y x ⎩⎨⎧==+158xy y x ⎩⎨⎧=+=31y x xA. B. C. D.例2．在 中，用x 的代数式表示y ，则y=______________．例3．（1）解方程.x x +--=21152156（2）解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+27271523y x y x 例4．已知a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-=-+02052c b a c b a ，则a ：b ：c= ． 例5．已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值．例6．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费．①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？ ．②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A 度为 ．三、当堂检测1.若关于x 的方程x k =-153的解是x =-3，则k =_________． 2．解下列方程（组）： （1）x x -+=-2114135；（2）⎩⎨⎧=+=+832152y x y x 3．当x =-2时，代数式x bx +-22的值是12，求当x =2时，这个代数式的值．4．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？四、小结（1）方程的相关概念（2）一次方程（组）的解法（3）用一次方程（组）解应用题五、作业：试题研究教学反思：032=-+y x第二节 一元二次方程及其应用（第2课时）教学目标：1．一元二次方程的相关概念及解法；2. 根的判别式、根与系数的关系3. 用一元二次方程解决实际问题教学重难点：教学重点：一元二次方程的相关概念及解法、根的判别式、根与系数的关系、用一元二次方程解决实际问题难点：根的判别式、根与系数的关系、用一元二次方程解决实际问题教学过程：五、 知识点1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax 2+bx +c =0 (a ≠0)2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法3．求根公式：当b 2-4ac ≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根为4．根的判别式： 当b 2-4ac ＞0时，方程有 实数根．当b 2-4ac=0时， 方程有 实数根．当b 2-4ac ＜0时，方程 实数根．5.（1）增长率问题；（2）利润问题二、例题精讲例1．选用合适的方法解下列方程：(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 2+22x=0 例2 ．已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值．例3．用22cm 长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？三、当堂检测一、填空1．下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①02x 3x12=-+ aac b b x 242-±-=②01x 2=+③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤021x x 2432=-- ⑥0x 22x 32=-+2．一元二次方程3x 2=2x 的解是 ．3．一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是 ．4．已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，那么代数式m 2-m = ．5．关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是__________．6．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是 ．三、解下方程：(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x(3)x 2-4x-4=0 (4)x 2+x-1=0四、小结（1）一元二次方程的相关概念及解法；（2）根的判别式及根与系数关系；（3）用一次方程（组）解应用题五、作业：试题研究 教学反思：第三节 分式方程及其应用（2课时）教学目标：1、分式方程的相关概念及解法2. 了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根．3. 列分式方程解决实际问题教学重点：目标1,2,3难点：目标2,3教学过程：一、知识点1.分式方程：分母中含有1个未知数的方程叫做分式方程2.解分式方程的步骤：去分母转化为整式方程，解整式方程，再将整式方程的解代入最公分母中，判断整式方程的解是否为分式方程的增根二、例题精讲例1：（1）013522=--+xx x x （2）41622222-=-+-+-x x x x x 例2 若分式方程xx k x --=+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-2三、当堂检测1.解分式方程． (1)22011x x x -=+- (2) x2)3(x 22x x -=--；(3) 11322x x x -=--- (4)11-x 1x 1x 22=+-- 2. 一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.四、小结（1）解分式方程要注意检验（2）增根是把分式方程转化为整式方程的解五、作业：试题研究教学反思：第四节 一元一次不等式（组）及其应用（2课时） 教学目标：1、 不等式（组）的定义及解法2、 不等式的性质3、 不等式的解集在数轴上表示4、 用不等式解应用题教学重难点：教学重点：目标1,2,3难点：目标4教学过程：一、知识点1.定义：用不等号连接起来的式子2.解集：一个含有未知数的不等式的所有的解的集合3.解集在数轴上表示：（略）4.性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变，即若,b a <则c b c a ±<±（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个整数，不等号的方向不变，即若,b a <且0c >，则bc ac <（或cb c a <） （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个整数，不等号的方向不变，即若,b a <且0c <，则bc ac >（或c b c a >） 二、例题精讲例1.如图所示，O 是原点，实数a 、b 、c 在数轴上对应的点分别为A 、B 、C ，则下列结论错误的是（ ）A. 0b a >-B. 0ab <C. 0b a <+D.例2. 不等式112x ->的解集是（ ） Ａ．12x >- Ｂ．2x >- Ｃ．2x <- Ｄ．12x <- 例3. 把不等式组21123x x +>-⎧⎨+⎩≤的解集表示在数轴上，下列选项正确A ．B ．C ．D ．BA O C 0)c a(b >-1 0 1- 10 1- 1 0 1- 10 1-例4. 不等式组221x x -⎧⎨-<⎩≤的整数解共有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个例6.若关于x 的不等式x －m ≥－1的解集如图所示，则m 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 例7.解不等式组：（1）21113x x x +<⎧⎪⎨-≥⎪⎩ （2）⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+)6(3)4(4,5351x x x x 【当堂检测】1.苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克 元．2. 解不等式723<-x ，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解．3. 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<+--+≥+224313322x x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．4. 我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运y ，求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．四、小结（1）解不等式时左右两边同时乘以负数时，不等号方向要改变（2）列不等式解应用题是要主要“至少、最多、不低于、不大于、高于”等字样的理解五、作业：试题研究教学反思：欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
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三、方程（组）及其应用 郭福林 苏州市相城实验中学 【课标要求】 （1） 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学 模型.
（2） 会解
一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程或一元二次方程的分式方程 （方 程中分式不超过两个）、简单的三元一次方程组、二元二次方程组（一个二元一次方程、一个 二元二次方程）. （3） 理解配方法，会用因式分解法、十字相乘法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二 次方程.
（4） 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
（5） 掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，并能灵活运用.
⑹ 能根据具体问题中的数量关系，列出方程（组） ，解决简单问题. 【课时分布】 方程（组）部分在第一轮复习时大约需要 6个课时.下表为内容及课时安排（仅供参考） 课时数 内 容 1 一兀一次方程、二兀一次方程组、简单的三兀一次方程组 1 一兀二次方程的解法、二兀二次方程组 1 分式方程 1 一兀二次方程根的判别式、一兀二次方程根与系数的关系 2 方程（组）的应用 方程（组）单元测试与评析 【知识回顾】
1、知识脉络
2、基础知识
方程的有关概念含有未知数的等式叫做方程•能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，只含 有一个未知数的方程的解，也叫做根•求方程的解的过程叫做解方程.
④ 二元一次方程组的解法.其基本思想是消元.其基本方法是代入消元法和加减消元法. 三元一次方程（组） ① 含有三个未知数，且未知项的次数都是 1的整式方程，叫做三元一次方程. ② 含有三个未知数，且未知项的次数都是 1,由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做 三元一次方程组. ③ 三元一次方程组的解法.其基本思想仍是消元.其基本方法仍是代入法和加减法. 一元二次方程 ①只含有一个未知数，且未知项的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程.它的一般
形式为ax2 bx c O（a,b,c是已知数，a 0），其中ax2,bx分别叫做二次项，一次项； a,b,c分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项.
② 一元二次方程的解法.其基本思想是降次.其常用方法 ：直接开平方法、配方法、因式分 解法、公式法、十字相乘法.
③ 一元二次方程ax2 bx c 0 （ a,b,c是已知数，a 0 ）的根的判别式
（ b2 4ac）： （i ）当 0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
（ii） 当 0时，一元二次方程有两个相等的实数根；
（iii） 当 0时，一元二次方程没有实数根.
以上结论，反之亦成立.
④ 一元二次方程根与系数的关系 （韦达定理）：若一元二次方程ax2 bx c 0（a,b,c是 b c 已知数，a 0）的两根为x1、x2，则为x2 — ,x1 x2 —. a a
二元二次方程组（一个二元一次方程、一个二元二次方程）
一兀一次方程 ① 只含有一个未知数，且未知项的次数是
是 ax b 0 a 0 • ② 一元一次方程的解法. 二元一次方程（组） ① 含有两个未知数，且未知项的次数都是 ② 由几个方程所组成的一组方程叫做方程组. 的解•求方程组的解的过程叫做解方程组. ③ 含有两个未知数，且未知项的次数都是
二元一次方程组.
1的整式方程叫做一元一次方程， 它的标准形式
1的整式方程，叫做二元一次方程.
方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组
1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做 ① 含有两个未知数，且未知项的最高次数为 2,由这样的几个整式方程所组成的方程组叫 做二元二次方程组． ② 二元二次方程组的解法•其基本思想是消元、降次•其方法主要是代入消元法. 分式方程 ① 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. ② 分式方程的解法. 其基本思想是将分式方程转化为整式方程•其方法是运用等式性质在 方程两边同乘以最简公分母•解分式方程必须要验根. 列方程（组）解应用题的一般步骤：①审清题意；②找出等量关系；③设出直（间）接未 知数；④列出方程（组）：⑤解方程（组）：⑥验方程（组）的根；⑦答出完整的语句. 3、能力要求 例1 解二元一次方程组和三元一次方程组：
1)
2x 3y 16, ①
x 4y 13; ②
3x 2y z 13, ①
2)
x
y 2z 7,
②
2x 3y z 12. ③
【分析】（1）因为方程②中的x的系数为1,所以应把方程②变形为 x 13 4y，然后把它代 入方程①求出y后再求x即可. （2）三个未知数的系数中最简单的系数是 z的系数，故考虑先消去 z，而消去z的方法 有①+③；②+③X 2;①X 2—②，我们选择①+③和②+③X 2，消去同一个未知数 z，就可以 得到关于x与y的二元一次方程组，然后
解此二元一次方程组.
【解】 （1） 由②，得 x 13 4y. ③
将③代入① ,得
213 4y 3y 1 6,
即 5y 10. y 2. ④
将④代入③ ,得
x 5.
所以原方程组 的解是 x 5, y 2.
（2 ［①+③，得5x 5y 25, 即x y 5. ④ 3代入①，得 3 2 2 3 z 13.
z 1. x 2, 所以原方程组的解是 y 3, z 1.
【说明】本题主要考查学生的计算能力•教师在复习时要加强计算能力的培养，为解决综合题 中的计算打好基础•该题体现了化归思想方法•请学生尝试用其它消元方法解这两个方程组， 并进行比较. 例2解一兀二次方程和二兀二次方程组
(1) X2 3x 1 0;
(2) ax b 2 ax b a 0;
(3) 2x y2 6y 11 0,①
x 2y 1 0 . ②
【分析】(1)解一元二次方程应考虑因式分解法，十字相乘法，公式法，配方法等方法•本题 通过尝试，选用公式法较为适宜. (2) 该题的等式两边有相同的式子，应移项后提公因式；而不能直接在等号两边除以 ax b，否则，方程将失根.
(3) 题中方程②是二元一次方程，把它变形为 x 2y 1，并把它代入方程①，可得到关
于y的一兀二次方程. 【解】(1) •••原方程中a 1, b 3, c
2 b 4ac 9 4 1 1 13 0,
：L 2 1 --- b \b2 4ac 3 .13
④与⑤组成方程组, x y 5, 5x 7y 31.
解这个方程组得 x 2, y 3. 2a 把③代入①，得 2 2y 1 y2 6y 11 0, 即y2 10y 9 0. 解之得 y1 9, y2 1
当y1 9时， X1
19
;
当y2 1时， x 3.
x1 19, x2 3, 所以原方程组的解是 y1 9, y2 1.
【说明】本题考查了一元二次方程和二元二次方程组的解法和计算能力；该题不但考查了数学 的转化(消元、降次)思想，而且还沟通了二次函数中的问题，如：求抛物线与 x轴的交点坐 标、直线与抛物线的交点坐标等问题. 例3解分式方程：
【分析】在确定最简公分母前一般先把方程中各分式的分子分母按未知数 最简公分母是 x 2 , (2)的最简公分母是 x 1 x 1 •分式方程可转化为一元一次方程 或一兀二次方程. 1 x 1
【解】(1)原方程变形为丄」 3. x 2 x 2
3 13 3 .. 13
(2)移项, 提取公因式， 得 ax b 0 或 ax b 1
a 0, b b 1 x1 , X
2
a a
(3)由②，得
1 x 2y 1.
ax b ax b 1 0.
(1) (2)
1
x 2 6 x2 1
1 x 2 x 3
x 1
3；
x降幕排列，(1 )的
XX
2 解这个方程得 x 2.
检验：把x 2代入最简公分母，得 x 2 0. ••• x 2是原方程的增根.
所以原方程无解.
(2)原方程变形为
整理得 x2 3x 4 0. 解这个方程得 x1 4, x2 1. 经检验，冷 4是原方程的根；X2 1是原方程的增根. 所以原方程的根是 x 4 • 【说明】解分式方程的关键在于确定正确的最简公分母和检验•值得注意的是在去分母时不要 遗漏没有分母的项.该题考查了化归思想，教学时应将这种数学思想渗透给学生.
例4已知：x1, x2是关于x的方程4x2 3m 5 x 6m2 0的两个实数根，且 — — X2 2
求m的值.
【分析】题中有条件： x1, x
2是方程的两根；对此条件的联想：根的定义，根的判别式，根
与系数的关系等；题中要求 m的值，应列出关于 m的关系式.
故 3m 5 3m X1 X2 , X-!
4 2
X1 3 3m2 c X1 3
-,X1 X2 o, — —
方程两边同乘以最简公分母 x 1 x 1，约去分母，得 6 3x1 1. 【解】因X", x2是关于x的方程 4x2 3m 5 x 6m2 0
的两个实数根,
设 x1 3k, x2 2k,所以 3k 2k 3k 2k
3m 5
4 c 2 3m