2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第2章 函数与导数—函数表示

③待定系数法
当函数f(x)类型确定时,可用待定系数法.如:已知f(x)是 一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x). 解析:因为已知f(x)是一次函数,故可设f(x)=ax+b,从而 根据题意列出恒等式,确定a,b的值.
解:设f(x)=ax+b,
则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b+2a-2b-2ax =ax+b+5a=2x+17, 所以a=2,b=7,所以f(x)=2x+7;
学案1
函数及其表示
1.函数的基本概念 (1)函数定义 设集合A是一个非空的 数集 ,如果按照某种确定
的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x , 在集合 B
中都有 唯一确定 的数f(x)和它对应,那么就称f : A→B
为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x),x∈A .
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(2)函数的定义域、值域
1 1 3 f(t)= · 3 - (2-t)· 2· (2-t)tan60° = 3 (2-t)2; 2 2 2 当t=2时，所截图形即△OAB，f(t)= 3. 3 2 t ，0＜t≤1. 2 综上,f(t)= 3 （2-t）2,1＜t≤2. 3 2 此函数的定义域为(0,2］. 返回目录
数相等的依据.
2.函数的表示法 表示函数的常用方法有: 解析法 、 图象法 和 列表法 . 返回目录
3.映射的概念
设A,B是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都 有唯一确定的元素y与之对应,则称对应f:A→B是集合A 到集合B的一个 映射 .
∴

4a=4
∴
4a+2b=2,

a=1
b=-1,
又f(0)=3 c=3,∴f(x)=x2-x+3. 返回目录
考点四
分段函数 x2,x>0
已知函数f(x)=
(1)画出函数的图象; (2)求f(1),f(-1),f［f(-1)］的值.

1,x=0 1
- x ,x<0.
【分析】考虑特殊函数的图象在某区间内的形状,特 别要注意区间的端点处.
在函数y=f(x),x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的 定义域 ；与x的值相对应的y值叫做函数值， 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 是集合B的子集. .显然,值域 对应法则 . 相同，并
(3)函数的三要素: 定义域 、
(4)相等函数:如果两个函数的
值域
和
பைடு நூலகம்定义域
且 对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函
A到B的映射的是（ C ） A.f:x→x3-1 C.f:x→2x-1 B.f:x→(x-1)2 D.f:x→2x
2

C(由映射的定义知C满足题意.故应选C.)
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考点三
求函数解析式
根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式: (1)
1 2 1 fx x 2 ; x x
4.由映射的定义可以看出,映射是 函数
A,B必须是 非空数集
概念的推
广, 函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合 .
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考点一 函数的概念 下列四组函数中,f(x)与g(x)是否为同一函数,为什么? 1 (1) f(x)=lgx, g(x)= 2 lgx2; (2) f(x)=x, (3) f(x)= a loga x (4) f(x)=lgx-2, g(x)=
x2 ; , g(x)=logaax;
g(x)=lg x .
100
【分析】 判断两个函数是否为同一函数,关键是判 断它们的对应法则、定义域和值域是否分别相同.如果 有一个不同,它们便不是同一函数. 返回目录
【解析】 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)的定义域为(∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数. (2)函数f(x)的值域为(-∞,+∞),g(x)的值域为［0,+∞),值 域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数. (3)因为f(x)=x(x＞0),g(x)=x(x∈R),定义域不同,故f(x) 与g(x)不是同一函数.
联立①②消去f(-x),即得f(x)=-x.
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＊对应演练＊
根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式： x (1) f( +1)=x+2 x ; (2) f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.
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(1)令t= x +1,∴t≥1,x=(t-1)2.
则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, 即f(x)=x2-1,x∈［1,+∞). (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c, 则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.
∴f(x)=x2-4x+8. 解法三:待定系数法. 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则 f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c. ∵f(3x+1)=9x2-6x+5, ∴9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5. 比较两端系数,得 6a+3b=-6 b=-4 a+b+c=5 c=8, ∴f(x)=x2-4x+8. 返回目录
2
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(2)令x-2=t,则x=t+2,代入已知得
f(t)=(t+2)2+3(t+2)+1=t2+7t+11,
所以f(x)=x2+7x+11,x∈R.
1 (3)由已知f(x)+2f x =3x.
x
①
x
以 1 代替①中的x,得f 1 +2f(x)= 3 . 由①②解得f(x)= 2 -x(x≠0).
x 2 x 的定义域为{x|x≤-1或x≥0} , 它们的定义域
不同,所以不是同一函数. (4)∵g(x)=f-1(x)=

x-1,(0<x<1)
x+1,(-1<x<0),
f(x)与g(x)定义域、值域、对应法则分别相同 ，故它 们是同一函数. 返回目录
考点二
映射的概念
下列对应是否为从A到B的映射？
1 (1)A=R，B=R，f:x→y= x 1 ;
(2) A a | a N *, B b | b , n N *, f : a b ; (3)A={x|x≥0},B=R,f:x→y,y2=x; (4)A={平面α内的矩形}，B={平面α内的圆}，f:作矩 形的外接圆.
x
2
x
②
(4)解法一：换元法.令3x+1=t,则x= t - 1 . ∴f(t)=9·
t -1 t -1 -6 +5=t2-2t+1-2t+2+5=t2-4t+8. 3 3
3
∴f(x)=x2-4x+8. 返回目录
解法二:配凑法.
∵f(3x+1)=9x2-6x+5=(3x+1)2-12x+4=(3x+1)2-(3x+1)+8,

9a=9

a=1
【评析】（1）求解析式的目标就是求定义域与值域 中对应元素的对应关系式. (2)换元法求解析式时，要注意换元变量范围应保持 一致.例如:已知f(cosx)=cosx，求f(x).可求得f(x)=x，但 此处应有|x|≤1. (3)求解析式的几种常见方法: ①代入法 即已知f(x),g(x),求f(g(x))用代入法,只需将g(x)替换f(x) 中的x即得; ②换元法 已知f(g(x)),g(x),求f(x)用换元法:g(x)=t,解得x=g-1(t), 然后代入f(g(x))中即得f(t),从而求得f(x).当f(g(x))的表达 式较简单时,可用“配凑法”(其实质是换元素); 返回目录
x-1 (0<x<1),
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(1)两函数的定义域 、值域 、对应法则均相同 ，所以
它们是同一函数. x2 - 1 (2)y= =x+1,但x≠1,而y=x+1中x∈R , 所以它们 x -1 不是同一函数. (3)函数f(x)=
x · x 1 的定义域为{x|x≥0} ; 而函数
g(x)=
函数,注意处理好各段的端点. 返回目录
＊对应演练＊
如图，△OAB是边长为2的正三角形，直线x=t(0≤t≤2)截 这个三角形所得的位于此直线左方的图形的面积为f(t). (1) 求函数y=f(t)的解析式， 并指明它的定义域; (2) 求函数y=f(t)的值域.
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（1）当0＜t≤1时，所截图形是一个直角三角形，其面 1 3 2· 积f(t)= t tan60°= t 2; 2 2 当1＜t＜2时，所截图形是一个四边形 ，它的面积可 由正三角形OAB的面积减去一个直角三角形的面积来计 算，即
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【解析】 (1)分别作出f(x)
在x>0,x=0,x<0段上的图象,
如图所示,作法略. (2)f(1)=12=1,f(-1)==1,f［f(-1)］=f(1)=1. 【评析】分段函数的对应关系是借助于几个不同的表 达式来表示的,处理分段函数的问题时,首先要确定自变量