新古典增长模型

索洛－斯旺模型）索洛－斯旺模型是哈罗德―多马模型的发展，发展点是改变了的生产函数，改为可以平滑替代的生产函数，又称为新古典增长模型。

（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（二）稳定状态（三）动态分析（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（1.分析目的：新古典增长理论分析资本积累、人口增长及技术进步对经济增长的作用，着重分析储蓄对资本存量变化的影响，揭示经济长期增长的产出水平和资本水平实现稳态均衡的条件，以及如何从当时的状态向稳态均衡状态调整。

2.模型的假设索洛－斯旺模型保留了哈罗德―多马模型的假设，不同之处两点，生产函数不同，资本折旧率不再是0。

（1）新古典生产函数假定 ①新古典生产函数的性质：),(L K F Y =，有连续的一阶和二阶导数。

ⅰ各要素的边际产出大于0且递减，即一阶导数大于0二阶导数小于0 20,0F F K K∂∂<>∂∂ 3.1a 20,0F F L L∂∂><∂∂ 3.1b ⅱ规模报酬不变，即生产函数有一次齐次性).(),(L K F L K F λλλ=，0 λ成立)()1,()1,/(),(k f L k F L L K F L L K F Y ⋅=⋅=⋅== 3.2显然L K k /=为人均资本 令L Y y /=，人均产出，则3.2式为)(k f y =ⅲ稻田条件（Inada Conditions ）资本（或劳动）趋向于0时，其边际产出趋向于无穷大。

资本（或劳动）趋向于∞时，其边际产出趋向于零。

0→k ，∞→∂∂K F 3.3a0→L ，∞→∂∂KF 3.3b上两式可写成∞==→→L L k k F F lim lim 00 ∞→k ，0→∂∂K F∞→L ，0→∂∂K F上两式可写成0lim lim ==∞→∞→L L k k F F ②固定折旧比例假定假设资本以一个固定比例折旧，0δ>，为常数，如总资本为K ，则折旧为K δ。

当t 时投资为)(t I ，则)(t I 不能全部形成新资本，一部分必须补偿折旧，所以资本存量的增量K ∆为：K L K sF K sY K I K δδδ-=-=-=),( 3.4内生变量为)()()()()()(tItCtStLtKtY、、、、、。

外生变量为n s、、 。

（二）稳定状态（二）稳定状态1.基本微分方程2.相位图3.稳定状态4.资本积累的黄金法则1.基本微分方程增长率，其是各变量对时间的变化率。

即利用模型描述主要经济行为或经济关系时，通常采用微分方程或微分方程组。

增长模型的微分方程一般是从模型的生产函数、家庭、厂商在储蓄、消费、投资等方面的行为方程导出的，分析加上初始条件、资源或信贷约束，决定了经济中各变量随时间变化的路径和增长的性质，因此被称为模型的基本微分方程。

是经济增长模型的核心部分。

对3.4式K L K sF K δ-=),( ，两边除以Lk k sf k L K F s L K L L K sF L Kδδδ-=-⋅=-=)()1,/(//),(/ 3.53.5式中除了人均资本变量外还存在K即资本总量对时间的导数,调整K 试图得到一个统一的变量k ，对k 展开。

nk L K LK L L L K L K L L K dt L K d k -=⋅-=-==///)/(2 （L L n / =） 因此nk k L K += /，代入3.5式k k sf nk k δ-=+)(k n k sf k )()(δ+-= 3.63.6式为基本微分方程。

式中，δ、、n s 为外生变量，因此k 只取决于k ，其意义为人均资本增量只取决于人均资本存量。

式中δ+n 为人均资本的有效折旧率。

2.相位图相位图（phase diagram ）反映人均资本和人均产出等之间的关系的坐标图。

对基本微分方程进行图解分析。

①是否存在稳定状态的静态分析。

②是否具有向稳定状态的收敛性，向稳定状态收敛速度以及向稳定增长路径等的转型动态（transitional dynamics ）分析。

3.6式：k n k sf k )()(δ+-= 描述的经济系统。

ABC Ekn)(δ+)(kf)(ksfkLY/)0(k*k图3.1 索洛―斯旺模型相位图3.稳定状态稳定状态即经济中各变量即保持匀速增长（包括增长为0）的均衡。

①设初始状态资本存量为)0(k 。

则)(k f 曲线上的A 点到横轴的垂直距离)0(k A ⋅为此时的人均产出。

)(k sf 曲线上的B 点到横轴的垂直距离)0(k B ⋅为此时的人均储蓄。

AB 为人均消费k n )(δ+线上的C 点到横轴的垂直距离)0(k C ⋅为有效折旧。

(0)B k ⋅>)0(k C ⋅，BC 为新增资本3.6式k n k sf k )()(δ+-= ，人均资本上升会引起其他人均变量复杂变化②如果资本存量处于*k 位置 在*k k =处 k n k sf )()(δ+=，即 **)()(k n k sf δ+= 3.7此时0=k，*k k =③根据稳定状态的定义0=kk n k sf k )()(δ+-= 3.6两边同除k /()/()k k sf k k n δ=-+根据稳定状态定义，k k / 必须等于常数因为δ、、n s 为常数，所以kk f /)(也必须是常数,k k f /)(对时间的导数为k k f kk k k k f k k f k k k k f dt k k f d /)(/)(')()(']/)([2⋅-⋅=⋅-⋅⋅= =k kk k f k k f k k f k f k k ⋅'⋅--=-=}/)]()({[]/)()('[该式中的)()(k f k k f '⋅-为劳动的边际产出，根据假设它必须为正，所以0=ka.当k 处于*k 时，0=k，人均资本不变b.人均产出常数==)(**k f yc.人均消费常数=⋅-=)()1(**k f s c d.人均储蓄常数=⋅=)(*k f s S 人均数量固定，相对应的总量呢？因为0)(/)(/***=+-=δn k k sf k k所以δ+=n k k sf **/)(，**)()(ksn k f ⋅+=δ，s n 、、δ为外生变量常数。

***)()1()()1(ksn s k f s c ⋅+⋅-=⋅-=δ ***)()()(kn k sn s k f s S ⋅+=⋅+⋅=⋅=δδ2()0Kd K LK K K L k n dt L L L L==-=-⋅=，得n K K=/ ，C L 、同样都以人口增长速率n 增长。

人均产出不变，总收入相同于人口的增长率而增长。

④以生产函数的位置和形式变化反映的技术水平变化，储蓄率s 的变化，人口增长率n 的变化以及折旧率δ变化对稳定状态各变量人均值的水平都有影响。

例如生产函数上移，s 增大都会使)(k sf 曲线上移，从而导致*k 右移。

4.资本积累的黄金法则①对于给定的生产函数n 和δ值，存在唯一的对应的每个储蓄率s ，存在)(**s k k =，且0/)(*ds k d 。

稳定状态的人均消费为)]([)1(**s k f s c ⋅-=，根据 3.6式k n k sf k )()(δ+-=)()()]([***s k n s k f c ⋅+-=δ 3.8得到图当s水平比较低时，s↑→*c↑当s水平比较高时，s↑→*c↓当对s的导数为0时，即'**[()()]/0f k n dk dsδ-+=，*cgcgss图3.2 资本积累的黄金法则*c最大。

②*/0dk ds >*cg s *c gg k s k =)(*()g f k n δ'=+3.9式被称为“资本积累的黄金律”。

人均资本的边际产出与有效折旧率相等，因此人均产出、人均资本、人均消费都能保持不变的水平。

则人均消费的最大数量为g c 。

（三）动态分析（三）动态分析1.动态过程2.经济的收敛性3.收敛速度1.动态过程该模型在描述经济动态变动过程方面是有意义的。

它可以反映人均收入如何向稳定状态水平或其他经济的人均收入水平收敛。

考察 /()/()kk k sf k k n γδ==-+ 3.10人均资本的增长率k γ等于人均资本的储蓄k k sf /)(与有效折旧δ+n 之差。

用图表示（1）稳定状态的确定。

索洛―斯旺模型具有新古典函数的资本报酬递减的特征，①人均资本储蓄()/f k k 是k 的递减函数，向右下方倾1k*k2k2k γ<10kγδ+nk k sf /)(图3.5索洛—斯旺模型动态图斜。

又因s 是常数，k k sf /)(也是k的递减函数,如图所示。

当0→k 时，∞→k k sf /)(∞→k 时，0/)(→k k sf②第二项δ+n 有效折旧率，为常数是一条水平线。

③k γ人均资本增长率，为图中曲线k k sf /)(与水平直线δ+n 之间的距离。

④曲线k k sf /)(与水平直线δ+n 有唯一的交点*k ，*k是稳定状态的人均资本。

（2)稳定状态的动态分析①当*k k 时, k k sf /)(位于δ+n 之上()/()0k sf k k n γδ=-+>k 随时间上升（因为大于人口增加和折旧，所以人均资本1k*k2k2k γ<10kγδ+nk k sf /)(图3.4索洛—斯旺模型动态图必然上升），但k γ逐步下降，且当*kk →*时，0→k γ经济渐近趋向于稳定状态。

②当*k k 时, k k sf /)(位于δ+n 下方 ()/()0k sf k k n γδ=-+<k 随时间下降（因为不能弥补因人口增加和折旧所造成的原有的人均资本量水平，所以人均资本必然下降）k γ逐步上升,且当*k k →时，0→kγ经济趋向稳定状态。

2. 经济的收敛性前面谈到索洛—斯旺模型描述的经济具有收敛性，定量描述为（1）定量描述kk k f k f s k k ]/)()([-'=∂∂γ )(/)(δγ+-=n k k sf kkk k f k f s k k sf k k f s k n k k sf k k ]/)()([)()()](/)([2-'=-'=∂+-∂=∂∂δγ 由于式子中00 k s ，，而0/)()( k k f k f -'因为资本报酬递减，资本的边际产出始终小于资本的平均产出，所以0kk γ∂<∂，即k γ是k的减函数。

具有不同资本存量水平的经济之间有趋同的趋势。

（2）条件收敛的分析（政策试验，变化s ）①穷国 初始条件p k )0( kP γkR γδ+n()/R s f k kk k f s P /)(P k )0( *P kR k )0(*R kk图4.6 条件收敛富国 初始条件R k )0(R p k k )0()0(②生产函数相同 ③平均储蓄曲线 穷国 k k f s P /)( 富国 k k f s R /)( ④相同的δ+n⑤两国的稳定状态点为*pk 和*Rk⑥增长率穷国 )(/)(δγ+-=n k k f s p kP富国 )(/)(δγ+-=n k k f s R kR⑦增长速度取决于)0(k 到*k 的距离，距离越大，增长率越大，因此本例中富国的增长率大于穷国的增长率。