2020届高中数学一轮复习人教B版9.7 离散型随机变量及其分布列 学案Word版

第七节 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．(2)理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．知识点一 离散型随机变量分布列 1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：有时也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．(2)分布列的性质①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n .②∑ni ＝1p i ＝1. 易误提醒 (1)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．(2)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．[自测练习]1．设随机变量X 的分布列如下：则p 为( ) A.16 B.13 C.23D.12解析：由16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝13.答案：B2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)＝________.解析：由分布列的性质知12a ＋22a ＋32a ＝1，∴a ＝3，∴P (X ＝2)＝22a ＝13.答案：13知识点二 常见的离散型随机变量的分布列 1．两点分布列若随机变量X p ＝P (X ＝1)为成功概率．2．超几何分布列在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.易误提醒 对m ＝min{M ，n }的理解易忽视其含义如下：m 为k 的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即n ≤M 时，k (抽取的样本中次品的件数)的最大值为m ＝n ；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即n >M 时，k 的最大值为m ＝M .[自测练习]3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13D.23解析：由已知得X 的所有可能取值为0,1，且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)， 由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，得P (X ＝0)＝13.答案：C考点一 离散型随机变量分布列的性质|1．已知随机变量X 的概率分布如下：A.239B.2310C.139 D.1310 解析：由离散型随机变量分布列的性质可知23＋232＋233＋…＋239＋m ＝1，∴m ＝1－⎝⎛⎭⎫23＋232＋233＋…＋239 ＝1－2·13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1391－13＝⎝⎛⎭⎫139＝139.答案：C2．若随机变量X 的分布列为( )则当P (X <a )＝A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2]D ．(1,2)解析：由随机变量X 的分布列知：P (X <－1)＝0.1，P (X <0)＝0.3，P (X <1)＝0.5，P (X <2)＝0.8，则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．答案：C(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．考点二 离散型随机变量分布列的求法|(2018·高考四川卷)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛．设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．[解] (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．代表队中的学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100. 因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，X 的可能取值为1,2,3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.所以X 的分布列为X123P15 35 15因此，X 的数学期望为E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.离散型随机变量分布列步骤(1)找出随机变量X 的所有可能取值x i (i ＝1,2,3，…，n )． (2)求出各取值的概率P (X ＝x i )＝p i .(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．1．某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望． 解：(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票．∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响， ∵P (A )＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫231＋C 33⎝⎛⎭⎫133＝727.(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133＝127；P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫132＝627；P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫131＝1227；P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827. 因此X 的分布列为X1231127 627 1227 827E (X )＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×827＝2.考点三 超几何分布|(2018·南昌模拟)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．(1)求所选3人中恰有一名男生的概率； (2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．[解] (1)所选3人中恰有一名男生的概率P ＝C 25C 14C 39＝1021.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 35C 39＝542，P (ξ＝1)＝C 25C 14C 39＝1021，P (ξ＝2)＝C 15C 24C 39＝514，P (ξ＝3)＝C 34C 39＝121.∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P5421021514121对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．2．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列．解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12(n －6)n (n －1)， 则12(n －6)n (n －1)≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16，故n 的最大值为16. (2)由题意得，ξ的可能取值为0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 26C 212＝522，P (ξ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (ξ＝2)＝C 26C 212＝522，ξ的分布列为23.忽视分布列性质致误【典例】 随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c d 的取值范围是________． [解析] 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13.所以P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13，此即公差d 的取值范围．[答案] 23 ⎣⎡⎦⎤－13，13 [易误点评] 求解易忽视a ，b ，c 因大于或等于0而致误．[防范措施] 利用分布列的性质解决问题时要注意每一变量对应的概率值0≤P i ≤1. [跟踪练习] 设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q ＝________；P (X ≤解析：由分布列的性质得：⎩⎪⎨⎪⎧0≤q 2≤1，①0≤1－q ≤1，②0≤52q －1≤1，③q 2＋(1－q )＋⎝⎛⎭⎫52q －1＝1，④由①②③，得25≤q ≤45.由④，得q 2＋32q －1＝0，即⎝⎛⎭⎫q －12(q ＋2)＝0，解得q ＝12或q ＝－2(舍去)．故q ＝12. 由分布列可知X 的可能取值只有1,2,3，故P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝q 2＋(1－q )＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫1－12＝34.答案：12 34A 组 考点能力演练1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( )A ．5B ．9C ．10D ．25解析：X 的所有可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10共9个． 答案：B2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3,4)，则P (2<X ≤4)等于( )A.910B.710C.35D.12解析：由分布列的性质，12a ＋22a ＋32a ＋42a ＝1，则a ＝5.∴P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝310＋410＝710. 答案：B3．在15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，k ＝4.答案：C4．(2018·厦门质检)设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k(k ＝1,2,3)，则m 的值为( )A.1738B.2738C.1719D.2719解析：由分布列的性质得P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝m ×23＋m ⎝⎛⎭⎫232＋m ×⎝⎛⎭⎫233＝38m 27＝1.∴m ＝2738.答案：B5．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是( ) A ．P (ξ＝3) B ．P (ξ≥2) C ．P (ξ≤3)D ．P (ξ＝2)解析：依题意知，(n －m )A 2mA 3n 是取了3次，所以取出白球应为2个． 答案：D6．设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)＝解析：由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，p (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.答案：5127．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为________．解析：事件“X ＝4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220.答案：272208．若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于________． 解析：由分布列性质可有：P (x 1≤ξ≤x 2)＝P (ξ≤x 2)＋P (ξ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．答案：1－(α＋β)9．(2018·大连质检)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y 的分布列． 解：(1)由题意知X 的可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－23＝19， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×23＝718， P (X ＝2)＝12×13×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×23＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×23＝718， P (X ＝3)＝12×13×23＝19.∴X 的分布列为(2)该高中得分η的可能取值为6,9,12,15. P (η＝6)＝19，P (η＝9)＝718，P (η＝12)＝718，P (η＝15)＝19，该高中得分η的分布列为10.(2018·开封模拟)厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x 、y 的含量(单位：mg)，下表是乙厂的5件产品测量数据.(1)(2)当产品中微量元素x 、y 满足x ≥175，y ≥75时，该产品为优质品，试估计乙厂生产的优质品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，求抽取的3件产品中优质品数ξ的分布列． 解：(1)设乙厂生产的产品为m 件，依题意得1498＝5m ，∴m ＝35.(2)∵上述样本数据中满足x ≥175且y ≥75的只有2件， ∴估计乙厂生产的优质品为35×25＝14(件)．(3)依题意，ξ可取0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 33C 35＝110，P (ξ＝1)＝C 23C 12C 35＝610，P (ξ＝2)＝C 13C 22C 35＝310.∴ξ的分布列为：1．(2018·高考天津卷改编)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列． 解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13C 27＋C 03C 37C 310＝4960.所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3. P (X ＝k )＝C k 4·C3－k 6C 310(k ＝0,1,2,3)． 所以，随机变量X 的分布列是2.(2018·10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列．解：(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上可知，X 的分布列为。