第九章 晶体结构4-2011
4晶体对称性
T=ua
2011年11月22日
同步辐射应用基础
11
在平面点阵中，选择任意一点阵点作为原点，连 接两个相邻的点阵点间的矢量作为单位矢量a，再 选择另一个和 a 不平行的矢量作为b。
矢量r，并将 r 用a、b、c表示：
r = ua + vb + wc
该点阵点的指标为uvw。下图示出了点阵点为231 及相关的 r。
2011年11月22日
同步辐射应用基础
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1.4.2直线点阵指标［uvw］
晶体点阵中每一组直线点阵的取向，用记号［ uvw ］
表示，直线点阵［ uvw ］的取向与矢量ua+vb+wc
国家同步辐射实验室 2011年研究生课程 《同步辐射应用基础》(2011年11月17&22日)
4. Ｘ射线衍射基本原理 晶体对称性
潘国强
中国科学技术大学
国家同步辐射实验室
2011年11月22日
同步辐射应用基础
1
主
要 内
晶体结构对称性
容 X射线运动学理论
X射线动力学理论（简介）
2011年11月22日
2011年11月22日
同步辐射应用基础
9
根据晶体结构，结构基元和点阵间的关系，可
以简单的将晶体结构用下式示意的表示： 晶体结构＝点阵+结构基元
2011年11月22日
同步辐射应用基础
10
1.3 点阵单位
根据点阵的性质，把分布在同一直线上的点叫作 直线点阵；把分布在同一平面上的点叫作平面点阵； 分布在三维空间的点阵叫作空间点阵。
晶体结构的二维图示法 物理学
本科毕业论文题目：晶体结构的二维图示法学院：物理与电子科学学院班级：08级物理1班姓名：指导教师：职称：完成日期：2012 年 05 月 04 日晶体结构的二维图示法摘要：在固体物理学中，我们常常需要绘制许多晶格结构图像。
与绘制三维图像相比，通过绘制晶体晶格结构的二维图像的方法，可以迅速、简单地做出晶格结构图像，直观、易理解。
本文首先介绍了晶体结构类型，并且一一做出其二维图示，突出展现了二维图示法在日常固体物理作图中的优势，最后利用二维图示法分析了铜的对称操作、金刚石结构的螺旋轴对称操作，进行了总结。
关键字:固体物理；晶格结构；二维；图示法；金刚石结构目录引言 (1)1 晶格结构的主要类型 (1)1.1 晶格结构的定义 (1)1.2 晶格结构的主要类型及其三维图示 (2)1.3 晶格结构三维图示法的利弊 (4)2 晶格结构的二维图示法 (4)2.1 晶格结构的二维图示法的描述 (4)2.2 常见晶格结构的二维图示法 (5)2.3晶格结构的二维图示法的优势 (7)3 二维图示的应用 (7)3.1 分析的单价金属铜的对称操作 (8)3.2 解释金刚石晶格结构的螺旋轴 (9)4综述 (10)参考文献 (11)引言固体物理学涉及的内容在现代科学技术中有着巨大的作用，可以说近七十多年类社会的空前重大的科技进步离不开固体物理学科领域的发展。
比如固体物理学使人们对固体的认识由表及里，由宏观到微观，由定性到定量，由现象到本质有了质的飞跃。
例如：固体电子态理论（能带论）中对导体、半导体、绝缘体、半金属等的解释，以锗、硅等半导体材料制成半导体器件带动了集成电路、无线电子技术、计算机技术、自动控制技术空前的革新；研究出适应特殊环境特殊合金、人造金刚石，以及新的存储技术，光线通信技术等等。
因此固体物理学不仅是物理类专业, 而且电子学、材料科学类等许多专业都开设了这门课程]1[。
固体物理学中常常需要绘制许多晶格结构图像，通常的画法是三维的，这样的图像直观、大方、生动、但是手绘出一个晶格结构的三维图像需要较长的时间，比较繁琐，很难做到美观的效果，并且对于晶格的对称操作、晶格点阵参数的判断比较困难，尤其是金刚石结构。
晶体结构的衍射理论
上讲回顾：晶体结构的衍射理论•衍射极大条件，仅是必要条件*Bragg定律*von Laue方程•能否观察到衍射极大*与几何结构因子有关*消光条件，两类消光http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构的实验观测1http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构的实验观测2→视野拓展→由von Lauer 条件看B 区边界•Brillioun 区边界面上的任何矢量都满足衍射极大这个条件→重要性质*在电子受原子作用时(因而有晶格也因而存在B 区边界)，电子受边界的散射，连续能级会形成一个能隙→在某些能量区域内，电子不允许存在*物理原因：电子波函数受Brillioun 区边界反射，反射波与行进波迭加，形成驻波！在边界上，原来自由电子在空间均匀分布的平面波（|exp(ikx)|2=常数），形成驻波(sin kx , cos kx )，能量分裂，受原子核吸引而驻其周围的能量低，受原子核排斥而驻原子核之间的能量高，中间留下一段能量空白，电子不允许具有这种能量！kxi e e kx e e ikxikx ikx ikx sin 2 ,cos 2=-=+--本讲目的•实验上如何观测晶体结构？http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构的实验观测3第11讲、晶体结构的实验观测1.晶体结构衍射实验*原理：Ewald球*方法：von Laue方法、转动晶体法2.晶体结构其他实验方法*倒空间：电子衍射，中子衍射*实空间：FIM，STM*计算机（模拟）实验http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构的实验观测41、晶体衍射实验方法•原理*Ewald球构造法•实验*von Laue方法*转动单晶法http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构的实验观测5Ewald construction 反射球•衍射斑点与衍射条件*可根据观察到的斑点与结构推断晶体结构*理解衍射方法原理•CO= 2π/λ，入射方向，在C以CO为半径作圆，球面上的倒格点P满足衍射条件，将产生衍射，在PC方向可得衍射极大*K的两端都是倒格点ocphttp://10.107.0.68/~jgche/晶体结构的实验观测62、其他晶体结构实验方法•倒空间*电子衍射*中子衍射•实空间观察原子的位置*显微镜？晶格典型间隔 10-10米*FIM（场离子显微镜）*STM（扫描隧道显微镜）http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构的实验观测9http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构的实验观测11清洁Ni(111)表面和吸附H 后的LEED 图样•左图清洁Ni(111)表面。
第一讲、第二讲：空间点阵、晶格、晶胞、对称性
1.2.3晶体的微观对称性
例2、 m3m点群中，萤石和金刚石结构如何区别
� Fm������������m
CaF2
金刚石
Fd3m
1.2.3晶体的微观对称性
d hkl = 1 / g hkl
• 复习倒易点阵相关知识！
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第一章：晶体物理学基础
本章内容
1. 1 晶体的结构概述 1. 2 宏观对称要素和点群 1. 3 坐标变换 1. 4 张量及其基本运算 1. 5 初识晶体物理性质的各向异性 1. 6 诺埃曼原理 1. 7 张量的变换方法
布拉非群、布拉菲格子（Bravais Lattice）
• 既含点对称操作又含平移操作的群被称为布拉菲群。 • 从一个给定点经过布拉菲群导出的无限点阵是布拉菲点阵。 • 满足一下条件的格子成为布拉菲格子：通过对该格子的重复，可以 填满整个空间。（The Bravais lattice are the distinct lattice types which when repeated can fill the whole space.）
金刚石的微观结构理解
移动1/4的体对角线 关注 晶胞 内的 原子
移动后，金刚石中两个面心立方各自的宏观对称要素将不再交与一点。 （可以对称心为例来查看）
1.2.3晶体的微观对称性
金刚石的微观结构理解
由于晶格的滑移，原本的宏观对称面似乎消失了
d（dimand）滑移面
0 1/2 0 1/2 3/4 0 1/4 1/2 3/4 0 1/4 0 1/2
材料物理化学-第九章 固态相变
湖南工学院
四、按动力学分类 若按动力学特征进行分类，固态相变中的扩散型相变可分为： (1)脱溶转变，这是由亚稳定的过饱和固溶体转变为一个稳定的或亚稳定的 脱溶物和一个更稳定的固溶体，可以表示为： 。 (2)共析转变，共析转变是指一个亚稳相由其它两个更稳定相的混合物所代 替，其反应可以表示为：
2
1 / T2ຫໍສະໝຸດ P 2 / T
2
P
； ；
2
1 / T P 2 / T P
2
（9－2）
上面一组式子也可以写成：
材料物理化学
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1 2 ； S 1 S 2 ；V 1 V 2 ； C P 1 C P 2 ； 1 2 ； 1
间的界面能。通常是以低指数的、原子密度大的匹配较好的晶面彼此平行，构成 确定位向关系的界面。通常，当相界面为共格或半共格时，新相与母相必定有位 向关系；如果没有确定的位向关系，则两相的界面肯定是非共格的。 (8)为了维持共格;新相往往在母相的一定晶面上开始形成。这也是降低界面 能的又一结果。 应特别指出，温度越低时，固态相变的上述特点越显著。 二、马氏体转变 马氏体(Martensite)是在钢淬火时得到的一种高硬度产物的名称， 马氏体转变 是固态相变的基本形式之一。在许多金属、固溶体和化合物中可观察到马氏体转 变。 一个晶体在外加应力的作用下通过晶体的一个分立体积的剪切作用以极迅速 的速率而进行的相变称为马氏体转变。这种转变在热力学和动力学上都有其特
材料物理化学
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1 2
1 / T P 1
2 / T
P
（9－1）
固体物理(胡安)课后答案
第 晶体的结构及其对称性1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问它是简单还是复式格子。
为什么？作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。
解：石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。
因为如图点A 和点B 的格点在晶格结构中所处的地位不同，并不完全等价，平移A →B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。
1.2在正交直角坐标系中，若矢量k l j l i l R l 321++=，错误！未找到引用源。
i，j，k 为单位向量。
错误！未找到引用源。
为整数。
问下列情况属于什么点阵？（a ）当i l为全奇或全偶时； （b ）当i l之和为偶数时。
解： 112233123l R l a l a l a l i l j l k=++=++ 错误！未找到引用源。
()...2,1,0,,321±±=l l l当l 为全奇或全偶时为面心立方结构点阵，当321l l l ++错误！未找到引用源。
之和为偶数时是面心立方结构 1.3 在上题中若=++321l l l 错误！未找到引用源。
奇数位上有负离子，=++321l l l 错误！未找到引用源。
偶数位上有正离子，问这一离子晶体属于什么结构？解：是离子晶体，属于氯化钠结构。
1.4 （a ）分别证明，面心立方（fcc ）和体心立方（bcc ）点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等，对fcc 为错误！未找到引用源。
，对bcc 为错误！未找到引用源。
（b ）在金刚石结构中，作任意原子与其四个最近邻原子的连线。
证明任意两条线之间夹角θ均为'1cos 109273arc ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ '1cos 109273arc ⎛⎫-= ⎪⎝⎭解:（1）对于面心立方()12a a j k =+ 错误！未找到引用源。
()22a a i k =+ ()32a a i j =+13222a a a a === ()1212121602a a COS a a a a ⋅⋅===()2323231602a a COS a a a a ⋅⋅===()1360COS a a ⋅=（2）对于体心立方()12a a i j k =-++ ()22a a i j k =-+ ()32a a i j k =+-12332a a a a === ()12'12121129273a a COS a a a a ⋅⋅==-=()'1313131129273a a COS a a a a ⋅⋅==-=()'2312927COS a a ⋅=（3）对于金刚石晶胞()134a i j k η=++()234a i j k η=--()2212122122314934a COS a ηηηηηη-⋅⋅===-错误！未找到引用源。
第九章电子衍射
点阵面与倒易矢量的关系
020
120
220
b
110
210
a
010
110
210
b*
G*(110)
G * (210)
100
200
000
a*
四、倒易点阵应用举例
1.点阵面间距
d
=
1 G*
G*
=
abc v
(
H2 a2
sin2α+
K2 b2
sin2β
+
L2 c2
sin2γ
+
2HK
cosαcosβ ab
-
cosγ
⎡u ⎢⎢v
⎤ ⎥ ⎥
=
⎡a ⎢⎢b
⋅ ⋅
a a
a⋅b b⋅b
a ⋅ c⎤－1 ⎡H⎤
b ⋅ c⎥⎥
⎢⎢K
⎥ ⎥
⎡u ⎤ ⎡ a2
⎢ ⎢
v
⎥ ⎥
=
⎢⎢bacosγ
⎢⎣w⎥⎦ ⎢⎣cacosβ
abcosγ b2
cbcosα
accosβ ⎤－1 ⎡H⎤ bccosα⎥⎥ ⎢⎢K⎥⎥
c2 ⎥⎦ ⎢⎣ L ⎥⎦
R = Ua + Vb + Wc G* = (Ha* + Kb* + Lc* )
G* ⋅ R = (Ha* + Kb* + Lc* ) ⋅ (Ua + Vb + Wc) = HU + KV + LW = 0
HU + KV + LW = 0
结
束
“倒易了”
3.厄瓦尔德作图法
1/λ
Gr ∗ (HKL)
配合物晶体场理论2011
(2) 金属离子d轨道的主量子数
在同一副族不同过渡系的金属的对应配合物中，分裂 能值随着d轨道主量子数的增加而增大。当由第一过渡系到 第二过渡系再到第三过渡系、分裂能依次递增40～50 %和 20～25 %。这是由于4d轨道在空间的伸展较3d轨道远，5d 轨道在空间的伸展又比4d轨道远，因而易受到配体场的强 烈作用之故。
dxy dxz dyz
t2
4Dq
△t＝(4/9)△o
6Dq
dz2 dx2－y2
e
球形场
四面体场
由于在四面体场中，这两组轨道都在一定程度下避开了 配体、没有像八面体中d轨道与配体迎头相撞的情况，可以预 料分裂能△t将小于△o，计算表明 △t＝(4/9)△o 同样，根据重心守恒原理可以求出t2及e轨道的相对能量: △t＝E(t2)－E(e)＝(4/9)△o 解得： E(t2)＝1.78 Dq E(e)＝－2.67 Dq 3E(t2)＋2 E(e)＝0
如, Fe3＋(d5)在八面体场中可能有两种电子排布
① t2g3eg2, 相对于未分裂的d轨道的能量值为 CFSE①＝3×(－4 Dq)＋2×6 Dq＝0 ② t2g5eg0, CFSE②＝5×(－4 Dq)＋2 P＝－20 Dq＋2 P
八面体场的LFSE
d
n
d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 d 8 d 9 d 10 d
I－＜Br－＜OCrO32－＜Cl－≈SCN－＜N3－＜(EtO)2PS2－＜F－＜ SSO32－＜(NH2)2CO＜OCO22－＜OCO2R－＜ONO－≈OH－＜ OSO32－＜ONO2－＜O2CCO22－＜H2O＜NCS－＜H2NCH2COO－ ≈edta4－＜py≈NH3≈PR3＜en＜SO32－＜NH2OH＜NO2－≈bipy ≈bipy≈phen＜H－＜CH3－≈C6H5－＜C5H5－＜CN－≈CO＜P(OR)3
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11. 萤石(CaF2)型晶体
F作简单立方堆积，Ca相间填充于其正方体空隙，空隙利用率50％。 (Ca位于立方面心晶胞的顶点和全部面心，F位于四条体对角线的1/4和3/4 处) F有2套等同点，Ca有1套等同点， 面心立方晶格, 结构基元：CaF2 一个晶胞中有4个Ca，8个F， 其坐标分别为： Ca：(0,0,0), (1/2,0,1/2),(0,1/2,1/2),(1/2,1/2,0) F: (1/4,1/4,1/4),(3/4,3/4,3/4), (3/4,1/4,3/4),(3/4,3/4,1/4), (1/4,3/4,3/4),(1/4,1/4,3/4), (1/4,3/4,1/4),(3/4,1/4,1/4)
12. 金红石(TiO2)型晶体
O近似按六方密堆积，Ti填充于其八面体（非正八面 体）空隙 简单四方晶格 Ti有2套等同点，O有4套等同点， 结构基元：Ti2O4 一个晶胞中有2个Ti，4个O， 其坐标分别为：
Ti：(0,0,0), (1/2,1/2,1/2) O: (x,x,0),(1-x,1-x,0),
例12. 25℃下，测得立方硅晶体的a=543.1066 pm，密度为
2.328992 g·cm-3，已知它属金刚石型结构，Si相对原子质量 为28.08541，求阿伏加德罗常数值。
解：立方硅晶体具有立方面心的点阵型式，每个晶胞中含 有8个硅原子，设阿伏加德罗常数用NA表示，则有下列关 系式：
硅晶体密度＝一个晶胞中硅原子的质量 晶胞体积
(1/2,0,1/2) (1/2,1/2,0)
立
方
F
2. -Fe铜型（A2）晶体
Fe原子按A2堆积(体心立方堆积)
1套等同点
晶
结构基元：Fe
胞
每个原子的配位数8
每个晶胞中有2个Fe原子， 其坐标分别为：
(0,0,0) (1/2,1/2,1/2)
立
方
I
3. Mg型（A3）晶体
晶胞
Mg原子按A3堆积(六方最密堆积)
(2/3,1/3,0),(1/3,2/3,1/2)
6. NaCl型晶体
Cl作立方密堆积，Na填充其正八面体空隙，空隙利用率 100％， （晶胞中Cl占据全部顶点和面心的位置，Cl占据体心和 全部棱心位置）,Na、Cl的配位数均为6。 2套等同点，属于立方面心晶格，。 结构基元：NaCl 属于六方面心点阵型式 一个晶胞中有4NaCl， 其坐标分别为： Cl：(0,0,0), (1/2,1/2,0),(1/2,0,1/2),(0,1/2,1/2) Na：(0,0,1/2),(0,1/2,0),(1/2,0,0),(1/2,1/2,1/2)
(1/2+x,1/2-x,1/2),(1/2-x,1/2+x,1/2) x0.31
Zn: (0,0,3/8), (1/3,2/3,7/8)
10. 红镍矿（NiAs）型晶体 As作六方密堆积，Ni填充其正八面体空隙 Ni、As的配位数均为6, Ni，As各有2套等同点，属于六方简单晶格, 结构基元：Ni2As2 一个晶胞中有2个NiAs， 其坐标分别为： As：(0,0,0), (1/3,2/3,1/2),
7. CsCl型晶体
Cl作简单立方堆积，Na填充其正立方体空隙，空隙利用 率100％， （晶胞中Cl占据顶点位置，Cs占据体心位置）, Cs、Cl的配位数均为8, 2套等同点，属于简单立方晶格, 结构基元：CsCl 一个晶胞中有一个CsCl， 其坐标分别为： Cl：(0,0,0) Cs: (1/2,1/2,1/2)
§ 9.9 典型的晶体结构
晶体中等同点的套数 结构基元的化学式 配位数 所属点阵型式 晶胞常数 晶胞中个原子的分数坐标
1. Cu型（A1）晶体
Cu原子按A1堆积
1套等同点
晶
每个原子的配位数12
胞
结构基元：Cu
每个晶胞中有4个Cu原子，
其坐标分别为：
(0,0,0) (1/2,1/2,0)
8. 闪锌矿（立方ZnS）型晶体
S作面心立方堆积，Zn相间填充于其正四面体空隙，空隙利用率50％， （晶胞中S占据顶点和全部面心位置，Cs位于晶胞体对角线1/4处）,
Zn、S的配位数均为4,
Zn， S各有1套等同点，属于面心立方晶格, 结构基元：ZnS
一个晶胞中有4个ZnS， 其坐标分别为：
S：(0,0,0), (1/2,1/2,0), (1/2,0,1/2),(0,1/2,1/2)
Zn: (1/4,1/4,1/4),(1/4,3/4,3/4), (3/4,1/4,3/4),(3/4,3/4,1/4)
ZnS晶胞
9.纤锌矿（六方ZnS）型晶体 S作六方密堆积，Zn相间填充于其正四面体空隙，空 隙利用率50％， Zn、S的配位数均为4, Zn， S各有2套等同点，属于六方简单晶格, 结构基元：ZnS 一个晶胞中有2个ZnS， 其坐标分别为： S：(0,0,0), (1/3,2/3,1/2),
2套等同点
每个原子的配位数12
结构基元：Mg2 每个晶胞中有2个Mg原子，
其坐标分别为：
(0,0,0)， (1/3,2/3,1/2)
或
(0,0,0)，(2/3,12/3,1/2)
六方P
4. 金刚石型晶体(A4型)
C原子的配位数为4， 2套等同点 结构基元：C2 属于立方面心晶格 每个晶胞中有8个C原子， 其坐标分别为： (0,0,0), (1/2,1/2,0), (1/2,0,1/2),(0,1/2,1/2), (1/4,1/4,1/4),(1/4,3/4,3/4), (3/4,1/4,3/4),(3/4,3/4,1/4)
例11. 求金刚石型堆积（A4堆积）的
空间利用率。(P244, 9.39)
堆积原子的半径为r，晶胞边长为a
体对角线 3a 8r （晶胞内C原子位于体对
角线1/4处）
空间间利用率 Vatoms Vcell
8Leabharlann 4 πr3 3 a332 πr3 3 83 r 3
3π 16
34.01%
33
＝
8个 28.08541g mol-1
NA个 mol-1 (543.1066 1010cm)3
2.328922 g cm3
NA
8 28.08541 2.328922 (543.10661010cm)3
6.021023
5. 石墨型晶体(A9型) 层状结构，同一层内C原子的配位数为3， 4套等同点, 结构基元：C4 六方简单格子 每个晶胞中有4个C原子， 其坐标分别为：(0,0,0), (0,0,1/2),