高三数学一轮复习 不等式(Ⅳ)单元练习题
数学高考一轮复习基本不等式专项练习(带解析)
数学高考一轮复习基本不等式专项练习（带解析）学习数学能够让我们的思维更清晰，我们在摸索和解决问题的时候，条理更清晰。
小编预备了差不多不等式专项练习，期望你喜爱。
1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
高考数学一轮复习《不等式的性质》综合复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《不等式的性质》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．已知01,0a b <<<，则下列大小关系正确的是（ ） A ．21ab a b << B ．21ab a b << C ．21ab a b << D ．21a b ab <<2．如果a bc c>，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．22ac bc >B ．a b >C ．a c b c ->-D ．ac bc >3．如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（ ） A ．若a >b ，则11a b <B ．若a >b ，则22ac bc >C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd4．若a >b ，c >d ，则下列不等式中一定正确的是（ ） A ．a d b c +>+ B ．a d b c ->- C ．ad bc >D ．a b d c> 5．若,R a b ∈，下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22a b > B ．R c ∈，若a b >，则22ac bc > C ．若33a b ->-，则a b <D ．0a ≠，0b ≠，若a b >，则11a b <6．已知,a b R ∈且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（ ）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]7．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b<B ．ac bc >C ．()20a b c -≥D ．b c ba c a+>+ 8．设a ，b ∈R ，0a b <<，则（ ） A ．22a b <B ．b a a b> C ．11a b a>- D ．2ab b >9．若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤10．设0a b <<，给出下列四个结论：①a b ab +<；②23a b <；③22a b <；④a a b b <.其中正确的结论的序号为（ ） A ．①②B ．①④C ．②③④D ．①②③11．若向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最大的是（ ） A ．a b ⋅B ．b c ⋅C ．a c ⋅D ．不能确定12．已知0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．n 0()l a b ->B2C ．a b b a >D ．114a b+>二、填空题13．已知25,21a b a b ≤+≤-≤-≤，则3a b -的取值范围是___________.14．若2312a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____． 15．已知12,03a b ≤≤≤≤，则2+a b 的取值范围为__________． 16．若23a -<<，12b <<，则2a b -的取值范围是____________．三、解答题17．比较（x －2）（x －4）与（x －1）（x －5）的大小关系．18．求解下列问题：(1)已知a ∈R ，比较()()37a a ++和()()46a a ++的大小； (2)已知0x y <<，比较1x与1y 的大小.19．（1）已知022a b <-<，123a b <+<，求a b +的取值范围； （2）已知x ，y ，z 都是正数，求证：222x y z xy xz yz ++≥++．20．对于四个正数m n p q 、、、，若满足mq np <，则称有序数对(),m n 是(),p q 的“下位序列”． (1)对于2、3、7、11，有序数对()3,11是()2,7的“下位序列”吗？请简单说明理由；(2)设a b a d 、、、均为正数，且(),a b 是(),c d 的“下位序列”，试判断a c a c b d b d ++、、之间的大小关系．21．请选择适当的方法证明. (1)已知0a >，0b >，且ab ，证明：3322a b a b ab +>+；(2)已知x ∈R ，22a x =-，23b x =-+，证明：a ，b 中至少有一个不小于0.22．已知关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为A ，集合(2,3)B =． (1)若A B ⊆，求实数a 的取值范围； (2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围．23．求证下列问题：(1)已知a b c ，，均为正数，求证:bc ac aba b c++a b c ≥++. (2)已知0xy >，求证: 11x y>的充要条件是x y <.24．已知定义在R 的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足：()()3x f x g x +=． (1)求(),()f x g x ，并证明：22()()(2)f x g x f x +=；(2)若存在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式2(2)2()10f x ag x ++≤成立，求实数a 的取值范围。
2020年高考数学一轮复习考点题型课下层级训练04一元二次不等式及其解法(含解析)
课下层级训练(四) 一元二次不等式及其解法[A 级 基础强化训练]1．(2019·山东济南检测)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )A ．A ∩B ＝∅B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B 【答案】B [集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R .]2．(2019·广东汕头联考)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －2x ≤0，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( ) A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{1}D ．{1，2，3} 【答案】A [∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －2x ≤0＝{x |0＜x ≤2}，∴A ∩B ＝{1，2}．] 3．(2019·山东淄博检测)已知不等式x 2－3x ＜0的解集是A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，那么a ＝( )A ．－2B ．1C ．－1D ．2 【答案】A [解不等式x 2－3x ＜0，得A ＝{x |0＜x ＜3}，解不等式x 2＋x －6＜0，得B ＝{x |－3＜x ＜2}，又不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ＝{x |0＜x ＜2}，由根与系数的关系得－a ＝0＋2，解得a ＝－2.]4．若不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )【答案】B [由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－c a＝－2，解得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94，结合图象知选B ．] 5．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A ．(3，4)B ．(－2，－1)∪(3，4)C ．(3，4]D ．[－2，－1)∪(3，4] 【答案】D [由题意得，原不等式化为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时，解得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2，3，则3＜a ≤4；当a ＜1时，解得a ＜x ＜1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a ＜－1，故a ∈[－2，－1)∪(3，4]．]6．(2019·江西九江模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6) 【答案】A [不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.]7．(2019·山东潍坊检测)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2，3)，则a ＋b 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C [∵x ⊗y ＝x (1－y )，∴(x －a )⊗(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )(x －b －1)＜0.∵不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2，3)，∴x ＝2和x ＝3是方程(x －a )(x －b －1)＝0的根，即x 1＝a 或x 2＝1＋b ，∴x 1＋x 2＝a ＋b ＋1＝2＋3，∴a ＋b ＝4.] 8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________. 【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ a <x <1a [原不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1，得a <1a ，∴a <x <1a .] 9．(2019·山东泰安模拟)若关于x 的不等式x －a x －b ＞0(a ，b ∈R )的解集为(－∞，1)∪(4，＋∞)，则a ＋b ＝__________.【答案】5 [若关于x 的不等式x －a x －b＞0(a ，b ∈R )的解集为(－∞，1)∪(4，＋∞)，则a ＝1，b ＝4，或a ＝4，b ＝1，则a ＋b ＝5.] 10．若不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________.【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞) [∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.][B 级 能力提升训练]11．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间 【答案】C [设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．]12．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4，1]B ．[－4，3]C ．[1，3]D ．[－1，3] 【答案】B [原不等式可化为(x －a )(x －1) ≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.]13．(2019·山东东营月考)已知定义域为R 的函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(1，7)，则实数c 的值为________.【答案】9 [∵函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，∴函数f (x )的最小值为0，即Δ＝a 2－4b ＝0，∴b ＝14a 2. 又∵关于x 的不等式f (x )＜c 可化成x 2＋ax ＋b －c ＜0，即x 2＋ax ＋14a 2－c ＜0， 且不等式f (x )＜c 的解集为(1，7)，∴方程x 2＋ax ＋14a 2－c ＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝7， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋7＝－a ，1×7＝14a 2－c ，解得c ＝9.] 14．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值．【答案】解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1，3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋3＝a 6－a 3，－1×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧ a ＝3±3，b ＝－3.15．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.【答案】解 (1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1， 综上，a 的取值范围是[0，1]．(2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋12＋1－a ， ∵a >0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意，得1－a ＝22，∴a ＝12.∴x 2－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12<0，即(2x ＋1)(2x －3)<0，－12<x <32.故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 32.。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 4 基本不等式
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结4基本不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1.了解基本不等式的证明过程2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题1．若0<a<12，则a(1－2a)的最大值是()A．18B．14C．12D．1答案 A解析由0<a<12，得1－2a>0，则a(1－2a)＝12·2a(1－2a)≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a＋（1－2a）22＝18，当且仅当a＝14时取等号．故选A.2．已知m>0，n>0，2m＋n＝1，则14m＋2n的最小值为()A．4 B．22C．92D．16答案 C解析 由于m >0，n >0，2m ＋n ＝1，则14m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2n ＝52＋n 4m ＋4m n ≥52＋2n 4m ·4m n ＝92，当且仅当n ＝23，m ＝16时取等号．故选C. 3．设x ＞0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1 D ．32 答案 A解析 由于x >0，则y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数y 的最小值为0.故选A.4．已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥n2a ＋b 恒成立，则n 的最大值为( )A ．9B ．12C ．16D ．20 答案 A解析 因为a >0，b >0，所以2a ＋b >0，2a ＋1b ≥n 2a ＋b⇒(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ≥n ，(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2a b ＋2b a ≥5＋22a b ·2b a ＝9(当且仅当a ＝b 时，取等号)，要想不等式2a ＋1b≥n2a ＋b恒成立，只需n ≤9，即n 的最大值为9.故选A. 5．若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A ．4 B ．42 C ．2 D ．2 2解析∵3x＋2y＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥223x·22y＝223x＋2y＝4，当且仅当3x＝2y，即x＝13，y＝12时等号成立，∴8x＋4y的最小值为4.故选A.6．已知向量a＝(1，x－1)，b＝(y，2)，其中x>0，y>0.若a⊥b，则xy的最大值为()A．14B．12C．1 D．2答案 B解析因为a＝(1，x－1)，b＝(y，2)，a⊥b，所以a·b＝y＋2(x－1)＝0，即2x＋y＝2．又因为x>0，y>0，所以2x＋y≥22xy，当且仅当x＝12，y＝1时等号成立，即22xy≤2，所以xy≤12，所以当且仅当x＝12，y＝1时，xy取到最大值，最大值为12.故选B.7．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a2＋b2的最小值为()A．2 B．22C．4 D．4 2 答案 C解析∵a>0，b>0，∴1a ＋1b＝ab≥21ab，∴ab≥2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，∴a2＋b2≥2ab≥4，当且仅当a＝b＝2时等号成立．综上，a2＋b2的最小值为4.故选C.8．已知函数f(x)＝cosπx(0<x<2)，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则1a＋4b的最小值为()A．92B．9 C．18 D．36解析函数f(x)＝cosπx(0<x<2)的图象的对称轴为直线x＝1.因为a≠b，且f(a)＝f(b)，所以a＋b＝2，所以1a ＋4b＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋4b(a＋b)×12＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋ba＋4ab≥12×⎝⎛⎭⎪⎫5＋2ba·4ab＝92，当且仅当a＝23，b＝43时取等号，故1a＋4b的最小值为92.故选A.9．(多选)设x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，S＝x＋y，P＝xy，以下四个命题中正确的是()A．若P＝1，则S有最小值2 B．若S＋P＝3，则P有最大值1C．若S＝2P，则S有最小值4 D．若S＋P＝3，则S有最大值2答案AB解析对于A，若xy＝1，则S＝x＋y≥2xy＝2(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故A 正确；对于B，若x＋y＋xy＝3，则3＝x＋y＋xy≥2xy＋xy，解得0<xy≤1(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故B正确；对于C，若x＋y＝2xy，则x＋y＝2xy≤（x＋y）22，可得x＋y≥2(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故C错误；对于D，若x＋y＋xy＝3，则3＝x＋y＋xy≤x＋y＋（x＋y）24，解得x＋y≥2(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故D错误．10．(多选)下列说法正确的是()A．x＋1x(x＞0)的最小值是2 B．x2＋2x2＋2的最小值是 2C．x2＋5x2＋4的最小值是2 D．2－3x－4x的最大值是2－4 3解析 当x ＞0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，A 正确；∵x 2≥0，∴x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，B 正确；x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，令t ＝x 2＋4，则t ∈[2，＋∞)，∵y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥2＋12＝52，即x 2＋5x 2＋4≥52，C 错误；当x ＜0时，2－3x －4x 无最大值，D 错误．故选AB.11．若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值为________． 答案 4解析 ∵正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，∴x ＋2y ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0.设x ＋2y ＝t ＞0，∴t ＋14t 2－8≥0，∴t 2＋4t －32≥0，即(t ＋8)(t －4)≥0，∴t ≥4，即x ＋2y ≥4，当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值为4.12．正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝2a 1，且a 6＝a 5＋2a 4，则m ＋n ＝________，1m ＋9n 的最小值是________．答案 4 4解析 由于数列{a n }是正项等比数列，由a 6＝a 5＋2a 4得q 2＝q ＋2，解得q ＝2(负根舍去).由a m a n ＝2a 1，得2m ＋n －2＝22，m ＋n ＝4.故1m ＋9n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋9n (m ＋n )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9＋n m ＋9m n ≥14⎝⎛⎭⎪⎫10＋2n m ·9m n ＝14×(10＋6)＝4，当且仅当m ＝1，n ＝3时，1m ＋9n取得最小值4.二、高考小题13．(2022·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是()A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋4 |sin x|C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋4 ln x答案 C解析对于A，因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且y min＝3，所以A不符合题意；对于B，因为y＝|sin x|＋4|sin x|≥2|sin x|·4|sin x|＝4，所以y≥4，当且仅当|sin x|＝4|sin x|，即|sin x|＝2时取等号，但是根据正弦函数的性质可知|sin x|＝2不可能成立，因此可知y>4，所以B不符合题意；对于C，因为y＝2x＋22－x ≥22x·22－x＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，x＝1时取等号，所以y min＝4，所以C符合题意；对于D，当0<x<1时，ln x<0，y＝ln x＋4ln x<0，所以D不符合题意．14．(2022·浙江高考)已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三个值中，大于12的个数的最大值是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sinα，cos β，sin β，cos γ，sin γ，cosα均为正数．由基本不等式可知sin αcos β≤sin2α＋cos2β2，sinβcos γ≤sin2β＋cos2γ2，sinγcosα≤sin 2γ＋cos 2α2.三式相加可得sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α≤32，当且仅当sin α＝cos β，sin β＝cos γ，sin γ＝cos α，即α＝β＝γ＝π4时取等号，因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α＜32，所以这三个值不会都大于12.若取α＝π6，β＝π3，γ＝π4，则sin π6cos π3＝12×12＝14＜12，sin π3cos π4＝32×22＝64＞24＝12，sin π4cos π6＝22×32＝64＞12，所以这三个值中大于12的个数的最大值为2.故选C.15．(2022·上海高考)下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2≤2ab B ．a 2＋b 2≥－2ab C ．a ＋b ≥2|ab | D ．a 2＋b 2≤－2ab 答案 B解析 显然当a <0，b >0时，不等式a 2＋b 2≤2ab 不成立，故A 错误；∵(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2＋2ab ≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ，故B 正确；显然当a <0，b <0时，不等式a ＋b ≥2|ab |不成立，故C 错误；显然当a >0，b >0时，不等式a 2＋b 2≤－2ab 不成立，故D 错误．故选B.16．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12 B ．2a －b >12 C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D ．a ＋b ≤ 2 答案 ABD解析 对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD.17．(2022·天津高考)若a >0，b >0，则1a ＋ab 2＋b 的最小值为________． 答案 2 2解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b＋b ≥22b ·b ＝22，当且仅当1a ＝a b 2且2b ＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立，∴1a ＋ab2＋b 的最小值为2 2. 三、模拟小题18．(2022·浙江杭州富阳中学高三上第一次二校联考)已知正实数a ，b 满足1a ＋9b ＝6，则(a ＋1)(b ＋9)的最小值是( )A ．8B ．16C ．32D ．36 答案 B解析 因为正实数a ，b 满足1a ＋9b ＝6，所以6＝1a ＋9b ≥29ab ，即ab ≥1，当且仅当1a ＝9b 时，即a ＝13，b ＝3时取等号．因为1a ＋9b ＝6，所以b ＋9a ＝6ab ，所以(a ＋1)(b ＋9)＝9a ＋b ＋ab ＋9＝7ab ＋9≥7＋9＝16.故(a ＋1)(b ＋9)的最小值是16.故选B.19．(2022·湖北新高考联考协作体高三上新起点考试)已知a >0，b >0且a ＋b ＝1，若不等式1a ＋1b >m 恒成立，m ∈N *，则m 的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 A解析 ∵不等式1a ＋1b >m 恒成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b min >m ，又a ＋b ＝1，a >0，b >0∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b min＝4，∴m <4，又m ∈N *，∴m ＝3.故选A.20．(2022·河北省“五个一”名校联盟高三第一次联考)已知x >0，y >0，且x ＋4y －xy ＝0，若不等式a ≤x ＋y 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，6]B ．(－∞，7]C ．(－∞，8]D ．(－∞，9] 答案 D解析 ∵x >0，y >0，x ＋4y －xy ＝0，∴4x ＋1y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝5＋x y ＋4y x .∵x y＋4yx≥2x y ·4y x ＝4(当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y ＝6时取等号)，∴x ＋y ≥5＋4＝9.又不等式a ≤x ＋y 恒成立，∴a ≤9.21．(2022·辽宁六校高三上学期期初联考)已知定义在R 上的偶函数f (x )＝|x －m ＋1|－2，若正实数a ，b 满足f (a )＋f (2b )＝m ，则2a ＋3b 的最小值为( )A ．85B ．8＋435 C ．835D ．2105 答案 B解析 ∵f (x )为R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即|－x －m ＋1|－2＝|x －m ＋1|－2，即(－x －m ＋1)2＝(x －m ＋1)2，整理得2(m －1)x ＝－2(m －1)x ，∴m ＝1，∴f (x )＝|x |－2.∴f (a )＋f (2b )＝a －2＋2b －2＝1，即a ＋2b ＝5.∴2a ＋3b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (a ＋2b )＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋4b a ＋3a b ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋24b a ·3a b ＝8＋435(当且仅当4b a ＝3a b ，即2b ＝3a 时取等号)，∴2a ＋3b 的最小值为8＋435.故选B.22．(多选)(2022·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均速度为v ，则( )A ．a ＜v ＜ abB ．v ＝abC ．ab ＜v <a ＋b 2D ．v ＝2ab a ＋b答案 AD解析 设甲、乙两地之间的距离为s ，则全程所需的时间为s a ＋s b ，∴v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b .∵b ＞a ＞0，∴v ＝2ab a ＋b ＜2ab 2ab ＝ab ；另一方面，v ＝2ab a ＋b ＜2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22a ＋b＝a ＋b 2，v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a ，则a ＜v ＜ab .故选AD. 23．(多选)(2022·河北石家庄第一中学高三上教学质量检测(一))以下结论正确的是( )A ．x 2＋1x 2≥2B ．x 2＋3＋1x 2＋3的最小值为2 C ．若a 2＋2b 2＝1，则1a 2＋1b 2≥3＋2 2 D ．若a ＋b ＝1，则1a ＋1b≥4 答案 AC解析 对于A ，x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2，当且仅当x 2＝1时等号成立，故A 正确；对于B ，x 2＋3＋1x 2＋3≥2x 2＋3·1x 2＋3＝2，当且仅当x 2＋3＝1时等号成立，但x 2＋3≥3≠1，故B 错误；对于C ，1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2·(a 2＋2b 2)＝3＋2b 2a 2＋a 2b 2≥3＋22，当且仅当a 2＝2－1，b 2＝2－22时等号成立，故C 正确；对于D ，当a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1时，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋a b ＋b a ≥4，但当a ＋b ＝1时，不一定有a ＞0，b ＞0，故D 错误．故选AC.24．(多选)(2022·辽宁葫芦岛协作校高三上第一次考试)下列函数中，最小值为9的是( )A ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x B ．y ＝1sin 2x ＋4cos 2xC ．y ＝lg x ＋4lg x －5D ．y ＝（2x 2＋1）（4x 2＋8）（x 2＋1）2答案 AB解析 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＝5＋x 2＋4x 2≥5＋24＝9，当且仅当x 2＝2时，等号成立．y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝5＋cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ≥5＋24＝9，当且仅当tan 2x ＝12时，等号成立．当lg x －5小于0时，y ＝lg x ＋4lg x －5无最小值．y ＝（2x 2＋1）（4x 2＋8）（x 2＋1）2＝4（2x 2＋1）（x 2＋2）（x 2＋1）2≤4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2x 2＋1）＋（x 2＋2）22（x 2＋1）2＝9，当且仅当x 2＝1时，等号成立，则y ＝（2x 2＋1）（4x 2＋8）（x 2＋1）2的最大值为9.故选AB. 25．(2022·福建晋江磁灶中学高三上阶段测试(一))若lg x ＋lg y ＝0，则4x ＋9y 的最小值为________．答案 12解析 因为lg x ＋lg y ＝0，所以xy ＝1(x >0，y >0)，所以4x ＋9y ≥24x ·9y ＝12.等号成立的条件为4x ＝9y ，即x ＝32，y ＝23时取得最小值．26．(2022·河北正定中学高三开学考试)已知x ，y >0，且1x ＋3＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为________．答案 5解析x ＋y ＝2[(x ＋3)＋y ]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3＋1y －3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋3＋x ＋3y －3≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2y x ＋3·x ＋3y －3＝5，当且仅当y x ＋3＝x ＋3y ，即x ＝1，y ＝4时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为5.一、高考大题1．(2022·全国Ⅲ卷)设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1.(1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34.证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2). 由abc ＝1得a ，b ，c 均不为0，则a 2＋b 2＋c 2＞0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0.∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝（b ＋c ）2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc≥2bc ＋2bc bc ＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号，∴a≥34，即max{a，b，c}≥34.2．(2022·全国Ⅰ卷)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋caabc ＝1a＋1b＋1c.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33（a＋b）3（b＋c）3（c＋a）3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ca)＝24.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.二、模拟大题3．(2022·福建龙岩高三检测)已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.(1)求1x ＋1y 的最小值；(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由.解 (1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x＋1y 的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y ).又x ，y ∈(0，＋∞)，所以0<x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋（y ＋1）22≤4，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.4．(2022·广东省珠海市高三模拟)某商场预计全年分批购入电视机3600台，其中每台价值2000元，每批购入的台数相同，且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值(不含运费)成正比，比例系数为k ，若每批购入400台，则全年需要支付运费和保管费共43600元．(1)求k 的值；(2)请问如何安排每批进货的数量，使支付运费与保管费的和最少？并求出相应的最少费用．解 (1)由题意，当每批购入400台时，全年的运费为400×3600400＝3600(元)，每批购入的电视机的总价值为400×2000＝800000(元)，所以保管费为k·800000(元).因为全年需要支付运费和保管费共43600元，所以3600＋k·800000＝43600，解得k＝0.05.(2)设每批进货x台，则运费为400×3600x ＝1440000x，保管费为0.05×2000x＝100x.所以支付运费与保管费的和为1440000x＋100x，因为1440000x ＋100x≥21440000x×100x＝24000，当且仅当1440000x＝100x，即x＝120时取到等号，所以每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元．5.(2022·江苏镇江模拟)某校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且点P在斜边BC上．已知∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|AM|＝x米，x∈[10，20].设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为37kS元，再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为12kS元(k为正常数).(1)试用x 表示S ，并求S 的取值范围；(2)写出总造价T 与面积S 的函数关系式；(3)如何选取|AM |，才能使总造价T 最低(不要求求出最低造价)?解 (1)在Rt △PMC 中，显然|MC |＝30－x ，∠PCM ＝60°，|PM |＝|MC |tan ∠PCM ＝3(30－x )，∴矩形AMPN 的面积S ＝|PM |·|AM |＝3x (30－x )，x ∈[10，20]，由x (30－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋30－x 22＝225， 可知当x ＝15时，S 取得最大值，为2253，当x ＝10或20时，S 取得最小值，为2003，∴2003≤S ≤2253，即S 的取值范围为[2003，2253].(2)矩形AMPN 健身场地造价T 1＝37k S ，又△ABC 的面积为12×30×303＝4503，∴草坪造价T 2＝12k S(4503－S ). ∴总造价T ＝T 1＋T 2＝25k ⎝⎛⎭⎪⎫S ＋2163S ， 2003≤S ≤225 3.(3)∵S ＋2163S≥1263，当且仅当S＝2163，S即S＝2163时等号成立，此时3x(30－x)＝2163，解得x＝12或x＝18.∴选取|AM|为12米或18米时，能使总造价T最低．。
高三数学第一轮复习不等式单元测试四 课标试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学第一轮复习不等式单元测试四一．选择题1．假设0,10a b <-<<，那么以下不等式中正确的选项是〔〕 A ．2a ab ab << B.2ab a ab << C.2a ab ab << D.2ab ab a <<2．集合{}512,,1,1M x x x R P x x Z x ⎧⎫=-≤∈=≥∈⎨⎬+⎩⎭，那么M P 等于〔〕A ．{}10,x x x Z -≤<∈ B.{}10,x x x Z -≤≤∈C.{}03,x x x Z <≤∈ D.{}03,x x x Z ≤≤∈3．设12,x x 是方程140x px ++=的两个不相等的实根，那么〔〕A ．12x >且22x = B.124x x +> C.124x x +< D.14x =且21x =4．对一切正整数n ，不等式112b n b n +<-+恒成立，那么B 的范围是〔〕 A ．2(0,)3 B.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C.2(,)(1,)5-∞+∞ D.2(,1)55．假设不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，那么a b -=〔〕A ．-10B.-14 C.10D.146．〔理〕假设x y 、是正数，那么2211()()22x y y x+++的最小值是〔〕 A ．3B.72C.4D.9〔文〕不等式组2222log (1)1x x -<->的解集为〔〕A．B.C. D.(2,4)7．在R 上定义运算⊗。
(1)x y x y ⊗=-假设不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，那么〔〕A ．11a -<< B.02a << C.3122a -<< D.1322a -<<8．设01a <<，函数2()log (22),x xa f x a a =--那么使()0f x <的X 的取值范围是〔〕A ．3(,log )a -∞ B.5(log ,)a +∞ C.(,0)-∞ D.(0,)+∞9．〔理〕集合1{|0}1x A x x -=<+、{|B x x b a =-<，假设"1"a =是""A B ψ⋂≠的充分条件，那么B 的取值范围可以是〔〕A ．20b -≤< B.02b <≤ C.31b -<<- D.12b -≤<〔文〕集合1{|0}1x A x x -=<+、{|}B x x b a =-<，那么"1"a =是"0"A B ⋂≠的〔〕 A ．充分不必要条件B.必要不充分条件 10．〔理〕设22,,26a b R ab ∈+=，那么a b +的最小值是〔〕A ．72-B.3-C.-3-〔文〕以下结论正确的选项是〔〕A ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x +≥； B ．当0x >2;≥ C ．当2x ≥时，1x x +的最小值是2； D ．当02x <≤时，1x x-无最大值。
2021年高三数学一轮复习 第四讲 不等式检测试题
2021年高三数学一轮复习第四讲不等式检测试题初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识．一、一元二次不等式及其解法1．形如的不等式称为关于的一元二次不等式．【例1】解不等式．分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组．解：原不等式可以化为：，于是：或所以，原不等式的解是．说明：当把一元二次不等式化为的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法．【例2】解下列不等式：(1) (2)分析：要先将不等式化为的形式，通常使二次项系数为正数．解：(1) 原不等式可化为：，即于是：所以原不等式的解是．(2) 原不等式可化为：，即于是：所以原不等式的解是．2．一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)．以二次函数为例：(1) 作出图象；(2) 根据图象容易看到，图象与轴的交点是，即当时，．就是说对应的一元二次方程的两实根是．(3) 当时，，对应图像位于轴的上方．就是说的解是．当时，，对应图像位于轴的下方．就是说的解是．一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1) 将二次项系数先化为正数；(2) 观测相应的二次函数图象．①如果图象与轴有两个交点，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ． 那么(图1)： 2120 (0) ax bx c a x x x x ++>>⇔<>或②如果图象与轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ．那么(图2)：无解③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式那么(图3)： 取一切实数无解如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理：(1) 化二次项系数为正；(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)；(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解．【例3】解下列不等式：(1) (2) (3)解：(1) 不等式可化为 ∴ 不等式的解是(2) 不等式可化为 ∴ 不等式的解是(3) 不等式可化为．【例4】已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围．解：显然不合题意，于是：222000111(2)4010k k k k k k k k >>>⎧⎧⎧⇒⇒⇒>⎨⎨⎨<->--<->⎩⎩⎩或 【例5】已知关于的不等式的解为，求的值．分析：对应的一元二次方程的根是和，且对应的二次函数的图象开口向上．根据一元二次方程根与系数的关系可以求解．解：由题意得：2011313(1)3k k k k k ⎧>⎪⎪+⎪-+=⇒=⎨⎪⎪-⋅=-⎪⎩说明：本例也可以根据方程有两根和，用代入法得：，，且注意，从而．二、简单分式不等式的解法【例6】解下列不等式：(1) (2) 分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．(2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数． 解：(1) 解法(一)原不等式可化为：3323023031221010211x x x x x x x x x ⎧⎧-<-><>⎧⎧⎪⎪⇒⇒-<<⎨⎨⎨⎨+>+<⎩⎩⎪⎪>-<-⎩⎩或或 解法(二)原不等式可化为：．(2) ∵ 原不等式可化为：【例7】解不等式解：原不等式可化为：(35)(2)013535530002202223x x x x x x x x x x ++≥⎧--+-≤⇒≤⇒≥⇒⇒<-≥-⎨+≠+++⎩或 说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．(2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：2220201532553(2)13(2)12333x x x x x x x x x x x >-<-⎧⎧+>+<⎧⎧⎪⎪≤⇒⇒⇒≥-<-⎨⎨⎨⎨+≥+≤+≥-≤-⎩⎩⎪⎪⎩⎩或或或三、含有字母系数的一元二次不等式 一元一次不等式最终可以化为的形式．(1) 当时，不等式的解为：；(2) 当时，不等式的解为：；(3) 当时，不等式化为：；① 若，则不等式的解是全体实数；② 若，则不等式无解．【例8】求关于的不等式的解．解：原不等式可化为：(1) 当时，，不等式的解为；(2) 当时，．① 时，不等式的解为；② 时，不等式的解为；③ 时，不等式的解为全体实数．(3) 当时，不等式无解．综上所述：当或时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为全体实数；当时，不等式无解．【例9】已知关于的不等式的解为，求实数的值．分析：将不等式整理成的形式，可以考虑只有当时，才有形如的解，从而令． 解：原不等式可化为：．所以依题意：2101332121212k k k k k k --><-⎧⎧⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨-+=-=-⎪⎪⎩--⎩或．1．解下列不等式：(1) (2)(3) (4)2．解下列不等式：(1) (2)(3) (4)3．解下列不等式：(1) (2)4．已知不等式的解是，求的值．5．解关于的不等式．6．已知关于的不等式的解是，求的值．7．已知不等式的解是，求不等式的解．B 组1．已知关于的不等式的解是一切实数，求的取值范围．2．若不等式的解是，求的值．3．解关于的不等式．4．取何值时，代数式的值不小于0？5．已知不等式的解是，其中，求不等式的解．1．1(1)0 (2)3 6 (3) 1 (4)32x x x x -<<-≤≤=-≠-2．11 (1)1 1 (2) 3 (3)20 (4)22 x x x x x x x≤-><><->>-或或或3．(1) 无解 (2) 全体实数4．．5．(1)当时，；(2)当时，；(3) 当时，取全体实数．6．7．B 组1．2．3．(1) 时，；(2) 时，无解；(3) 时，．4．．5．．36526 8EAE 躮31446 7AD6 竖24917 6155 慕X 36804 8FC4 迄V39567 9A8F 骏o1。
不等式练习高三数学一轮复习(原卷版)
专题四 《不等式》专项练习一．选择题（共8小题）1．下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d ； ④若a ＞0，b ＞0，则1a +1b≥√ab；⑤y ＝sin x +2sinx ，x ∈（0，π2]的最小值是2√2． A ．1B ．2C ．3D ．42．已知正实数a 、b 满足a +b ＝ab ，则ab 的最小值为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．43．已知x ＞0，y ＞0，且2x +y ＝xy ，则4x +2y 的最小值为（ ） A ．8B ．12C ．16D ．204．若函数f （x ）＝ax 2+ax ﹣1对∀x ∈R 都有f （x ）＜0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．﹣4＜a ≤0B ．a ＜﹣4C ．﹣4＜a ＜0D ．a ≤05．若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则下列结论正确的是（ ） A ．a c ＜b c B ．a log b c ＜b log a c C ．ab c ＜ba c D ．log a c ＜log b c6．在R 上定义运算：|abcd|=ad −bc ，若不等式|x −1a −2a +1x |≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．−12B ．−32C ．12D ．327．已知正数x ，y 满足3xy +y 2﹣4＝0，则3x +5y 的最小值为（ ） A ．1B ．4C ．8D ．168．若正数x ，y ，z 满足x 2+4y 2＝z +3xy ，则当xy z取最大值时，1x +12y−1z 的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．12二．多选题（共4小题）9．已知a，b为正实数，且ab+2a+b＝6，则（）A．ab的最大值为2B．2a+b的最小值为4C．a+b的最小值为3D．1a+1+1b+2的最小值为√2210．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥12B．2a﹣b＞12C．log2a+log2b≥﹣2D．√a+√b≤√211．已知函数f（x）＝x+1x（x＞0），若f（a）＝f（b），且a＜b，则下列不等式成立的有（）A．ab＝1B．a2+b2＞2C．1a +2b≥2√2D．log a b＜log b a12．若实数x，y满足x＞y＞0，则（）A．1y ＞1xB．ln（x﹣y）＞lnyC．x+y＜√2(x2+y2)D．x﹣y＜e x﹣e y 三．填空题（共4小题）13．已知x，y∈R+，x+2y＝1，则1x +x+yy的最小值为．14．若4x+4y＝1，则x+y的取值范围是．15．已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则a2+4b2+14ab的最小值是．16．已知a，b∈R，且a＞b＞0，a+b＝1，则a2+2b2的最小值为，4a−b +1 2b的最小值为．。
高三数学理一轮复习典型题专项训练：不等式.docx
湖北省 2019 届高三数学一轮复习典型题专项训练不等式x 2 y 2 ≤ 01、（ 2018 全国 I 卷高考题）若 x ，y 满足约束条件 x y 1 ≥ 0 ，则 z 3 x 2 y 的最大值为 ________．y ≤ 0x2 y12、（2017 全国 I 卷高考题）设x ， y 满足约束条件 2xy1 ，则 z 3x2 y 的最小值为 _______x y 03、（湖北省 2018 届高三 4 月调研考试）记不等式组 的解集为 ，若, 则实数 的最小值是 ( )A ．0B． 1C． 2D． 44 、（华师一附中、黄冈中学等八校 2018 届高三第二次联考）已知实数x, y 满足约束条件x y 2 0x y k 0 ，且 zx 2 y 的最小值为 3，则常数 k _________x1y x,5、（黄冈、 黄石等八市 2018 届高三 3 月联考） 已知 x, y 满足 xy 2, 若 zx 2 y 有最大值 4，2x y m.则实数 m 的值为（）A ． 4B ． 2C ．1D ． 16 、（黄冈市 2018 届高三 9 月质量检测）设实数 x,y 满足条件 , 若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)最大值为 6，则 的最小值为≤ 3x 3 y7、（黄冈中学 2018 届高三 5 月二模）实数x ，y 满足约束条件x ≥ ，它表示的平面区域为C ，y 1≥ 0y目标函数 z x 2 y 的最小值为p 1 . 由曲线 y 23x y ≥0 ，直线 x 3 及 x 轴围成的平面区域为D ，向区域 D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为 p 2 ，则 2 p 1 4 p 2 的值为 ()A ．1B ．3C ．2D ．425338、（荆州市 2018 届高三第一次质量检查）若a ，b ，c 为实数，下列结论正确的是A ．若 a ＞ b ，c ＞ d ，则 ac ＞ bdB ．若 a ＜ b ＜ 0，则b aa bC ．若 a ＜ b ＜ 0，则1 1D ．若 a ＞ b ＞0，则 a 2＞ab ＞ b 2abx y 2 09、（荆州市 2018 届高三第一次质量检查）已知x 、 y 满足约束条件 x2 y 8 0 ，如果目标函数2 xy 4zy 2的取值范围为 [0， 2)，则实数 a 的取值范围是xaA ．a ≥ 1B ． a ≤ 2C ． a ＜ 2D ． a ＜ 110、（荆州市 2018 届高三第一次质量检查） 已知实数 a ＞ 0，b ＞ 0， 2 是 8a 与 2b的等比中项， 则12a b的最小值是 ________．2 x y 1 0、（荆州中学2018届高三5 月模拟）不等式组x 2 y 2 0 的解集记作 D ，实数 x, y 满足如下11x y 4 0两个条件：① ( x, y) D, y ax ；② (x, y) D , x y a .则实数 a 的取值范围为.x 2 y 2 0, 12、（湖北省七市 （州）教科研协作体 2018 届高三 3 月联考）已知 x, y 满足约束条件x y 2 0,2xy2 0.若 zax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为▲ .y 2 ≥ 013、（天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考）若实数x ，y 满足 2xy ≥ 0，则目标函数8 x y ≥ 0z 3x2 y 1 的最小值为▲．x y 5 014、（武汉市 2018 届高三毕业生二月调研）已知实数x, y 满足约束条件y x 0，若不等式1 yx 2 02(1 a) x 2 2xy (4 2a) y 2 0 ，恒成立，则实数 a 的最大值为（）A．7B ．5C ．5D ．6 3315、（武汉市2018 届高三毕业生四月调研测试）若x ， y 满足x1 2 y1 2 ，则M2x2y22x 的最小值为（）A．2B．2C． 4D．4 11916、（武汉市部分学校2018 届高三起点调研）已知x, y R ，且 x y0 ，若a b 1 ，则一定有（）A．ab B． sin ax sin by C.log a x log b y D． a x b y x y17、（钟祥一中2018 届高三五月适应性考试（一））“绿水青山就是金山银山”，为优化山林，某林场x 、y（单位：百棵），整数x, y满足2x y5计划更新树种，增栽桂花树、香樟树各x y 2，则栽x7种这两种树的总数最多为 ()百棵A. 12B. 13C.14D.15y2x218、（黄冈市2017 届高三上学期期末）设实数x, y 满足x y 20 ，则y 1的取值范围是x2x3A.,1B.1,1C.1,1D.1 ,155533x y20,19、（襄阳市2017 届高三 1 月调研）若x, y满足条件x y40, ，则 z2x y 的最小值为y2,A. -1B. 1C. 2D. -220、（湖北八校2018 届高三第一次联考（ 12 月））已知某工厂每天固定成本是 4 万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为 a 元时，生产 x 件产品的销售收入是R( x) 1 x2500x （元），P(x)为每天生产x 件产品的平均利润（平均利润＝总利润） .销售4总产量商从工厂每件 a 元进货后又以每件 b 元销售， b a( c a) ，其中 c 为最高限价 (a b c) ，为销售乐观系数，据市场调查，是由当 b a 是 c b ， c a 的比例中项时来确定.（1）每天生产量x为多少时，平均利润P( x)取得最大值？并求P( x) 的最大值；（2）求乐观系数的值；（3）若 c600 ，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值 .21、（黄冈市 2018 届高三 9 月质量检测）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x 万元时，销售量 t 万件满足 t=5 － （其中 0≤ x ≤a， 为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品 t 万件还需投入成本（ 10+2t ）万元（不含促销费用） ，产品的销售价格定为（ 5+ ）万元 / 万件．（ I ）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；（ II ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大参考答案：一、选择、填空题1、62、－ 53、 C4、－ 25、 B6、 27、【答案】 C【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点A 3 , 1处取得最小值，且最小值为22z1 ，即 p 1 1．区域 C 的面积为 1 2 11 ，平面区域 D 的面2 2222 133 3积 为3xdx23x 26 ， 故p 22 1 ， 所 以361 22 p 1 4 p 2112 ．338、 D9、 D10、 5 2 611、 [ 2,1]12、－ 2 或 113、514、 A15、 D316、 D 17、 A 18、 B 19、 D20、依题意总利润＝1 x2 500x 100x 400004＝1 x2 400x 4000041 x 2400x400001 40000P( x)4xx4004x200 400200. 1 x40000此x4x 400即，每天生 量400 件 ，平均利 最大，最大 200 元 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（ 2）由 ba(c a) 得 b ac ab a 是c b,c a 的比例中(b a) 2(c b)( c a)两 除以 (ba)2得 1 (c a)(b a) c a (ca 1)cab a b ab aba1 (11) 1解得5 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分2（ 3）厂家平均利 最大，a40000P( x)40000200 400 元x100x 400 100每件 品的毛利b ab a( c a) 100(5 1)b 100( 53) 元a400 （元）， b100( 5 3) 元 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21.解：（ 1）由 意知，利 y =t(5+） ) (10+2t ） x=3t+10－ x由 售量 t 万件 足 t=5－（其中0≤x ≤ a ， a 正常数）．代入化 可得： y=25－（ +x ），（ 0≤ x ≤ a ， a 正常数）⋯⋯ 6 分2 1 ）知 y =28－（ x+3 ，（ ）由（+ ）当且 当= x + 3，即 x =3 ，上式取等号．当 a ≥3 ，促 用投入 3 万元 ，厂家的利 最大；当 0＜ a ＜ 3 ， y 在 0≤ x ≤ a 上 增，x = a，函数有最大．促用投入x = a 万元，厂家的利最大．⋯⋯11 分上述，当a≥ 3 ，促用投入 3 万元，厂家的利最大；当 0＜ a＜ 3 ，促用投入 x = a 万元，厂家的利最大．⋯⋯12 分。
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高三数学单元练习题：不等式（Ⅳ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M=|x|x 2<4|，N=|x|x 2-2x-3<0|，则集合M N=( )A ．{}2x x <- B ．{x|x ＞3} C ．{x|－1＜x ＜2} D ．{x|2＜x ＜3}2．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．||||||c b c a b a -+-≤- B ．aa a a 1122+≥+ C ．21||≥-+-ba b a D ．a a a a -+≤+-+213 3．如果b a >>0且0>+b a ，那么以下不等式正确的个数是（ ）①ba 11< ②b a 11> ③33ab b a < ④23ab a < ⑤32b b a <A ．2B ．3C ．4D ．54．若12()f x log x =，A=2(),()2a b ab f G f H f a b+==+，其中a ,b ,R A +∈则、G 、H 的大小关系是（ ）A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．H ≤G ≤AD ．G ≤H ≤A５．已知R b a ∈、，那么“122<+b a ”是“b a ab +>+1”的（ ） Ａ．充要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分不必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ６． 设,y ∈R,且x 2+y 2=4,则22-+y x xy的最小值为（ ）A ． 2-2B ．2+22C ． -2D ． 34- 7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12）成立，则a 的取值范围是（ ） A ．0 B. –2 C.-52D.-3 8．下列结论正确的是 （ ）A ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥；B ．当0x >2;≥C ．当2x ≥时，1x x+的最小值是2；D ．当02x <≤时，1x x-无最大值。
9．f (x )=3ax —2a ＋1若存在00(1,1)()0x f x ∈-=使那么（ ）A ．－1＜a ＜15B ．a ＜－1C ．a ＜－1或a ＞15D ． a ＜1510． f (x)= 则不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤5 的解集是（ ） A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(],1-∞D ．R11．关于x 的不等式ax —b ＞0的解集是（1,+∞），则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集是（ ） A ．(,1)(2,)-∞-+∞ B ．（—1，2）C ．（1，2）D ．(,1)(2,)-∞+∞12．若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为 ( ) （A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2题号 答案二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
请把答案填在答题卡上。
13．b 克糖水中有a 克糖（b ＞a ＞0），若再加入m 克糖（m ＞0），则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式 。
14．设a,b 是两个实数,给出下列条件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a 2+b 2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a 、b 中至少有一个实数大于1”的条件是___________ 15．不等式（x —20的解集是 。
163(1)a x >-的解集是（—3，0）则a = 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1, x ≥0－1, x ＜017．已知()()21,,,a x b x x x ==+-，解关于x 的不等式221a b m a b ⎛⎫∙+>+⎪∙⎝⎭（其中m 是满足2m ≤-的常数）。
18.．设b a 、为实数，求证：222)2(1411b a b a ++≥+++19．解关于x 的不等式11xa x <--20．已知不等式230{|1,}x x t x x m x R -+<<<∈的解集为 （I ）求t ，m 的值；（2）若函数f(x)=－x 2＋ax ＋4在区间(],1-∞上递增，求关于x 的不等式log a (－mx 2＋3x ＋2—t)<0的解集。
21．设函数3221()23,013f x x ax a x b a =-+-+<< （1）求函数()f x 的单调区间、极值。
（2）若当[]1,2x a a ∈++，恒有'()f x a ≤试确定a 的取值范围。
22．已知函数y ＝x ＋xa有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋x b2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；（2）研究函数y ＝2x ＋2x c （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n x x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．参考答案一、选择题二、填空题 13、m b m a ++ba＞ 14、③ 15、{}13x x =-≥或 16、32 三、解答题 17、解：()()2221,,,,a x b x x x a b x x x x ==+-∴∙=+-=，故原不等式等价于：()()22210x x m x m x x +-⎛⎫+>+⇔> ⎪⎝⎭。
一．2m =-时，不等式的解为：()0,+∞；二．2m <-时，不等式的解为：()(),20,m -⋃+∞ 18．证:要证明原不等式成立,则只要证:4212)1)(1(211222222abb a b a b a +++≥++++++ 只要证: ab b a +≥++1)1)(1(22若01≤+ab ,上式显然成立,从而原不等式成立;若1+ab>0,则只要证: 222222211b a ab b a b a ++≥+++ 只要证: 0)(2≥-b a上式显然成立,从而原不等式成立。
19、解：原不等式化为(1)(1)(1)0)011x a x ax a x x -----⇔--＜＜…………(*)⑴当 a ＞0时，（*）等价于)1)(1(a a x x ---＜0 a ＞0时，1111＜aa a -=- ∴不等式的解为：aa 1-＜x ＜1⑵当a=0时，（*）等价于)1(-x ＜0即x ＜1 ⑶当a ＜0时，（*）等价于)1)(1(a a x x ---＞0 a ＜0时，1111＞a a a -=-∴ 不等式的解为 ： x ＜1或x ＞aa 1- 综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为（a a 1-，1）；当a=0时，不等式的解集为），（1∞-；当a ＜0时，不等式的解集为），（1∞-∪（aa 1-，∞+）20、解：⑴ 不等式t x x +-32＜0的解集为{|1,}x x m x R <<∈∴⎩⎨⎧==+t m m 31得⎩⎨⎧==22t m⑵ f(x)=44222a a x ++--）（在(,1]-∞上递增，∴1,22a a ≥≥又0log log )32()23(22＜x xa t x mxa+--++-= ，由2≥a ，可知0＜x x 322+-＜1由2230x x -<， 得0＜x ＜23 由22310x x -+> 得x ＜21或x ＞1 故原不等式的解集为{x|0＜x ＜21或1＜x ＜23}21.（1）22'()43f x x ax a =-+-，令'()0f x =，得3x a x a ==或由表可知()f x 的单调增区间为(3)a a -，减区间为(,)a -∞(3,);a x a +∞=时，()f x 极小值=343a b -+； 3x a =时，()f x 极小值=b（2）由'()f x a ≤得2243a x ax a a -≤-+-<，而max 01,12,'()'(1)21a a a f x f a a <<∴+>=+=-，min '()'(2)44f x f a a =+=-故 2144a a a a-≤-≥- 解得41,015a a ≤≤<<又所以a 的取值范围是4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭22.解(1) 函数y=x+xb2(x>0)的最小值是2b 2,则2b 2=6, ∴b=log 29.(2)设0<x 1<x 2,y 2－y 1=)1)((2221212221212222x x c x x x c x x c x ⋅--=--+. 当4c <x 1<x 2时, y 2>y 1, 函数y=22x cx +在[4c ,+∞)上是增函数； 当0<x 1<x 2<4c 时y 2<y 1, 函数y=22xc x +在(0,4c ]上是减函数.又y=22xc x +是偶函数,于是,该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数.(3)可以把函数推广为y=nnx ax +(常数a>0),其中n 是正整数. 当n 是奇数时,函数y=n nxax +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－n a 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数. 当n 是偶数时,函数y=n nxax +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－n a 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数. F(x)= n x x )1(2++n x x)1(2+=)1()1()1()1(323232321220nnn n r n r n r n n n n n nn x x C x x C x x C x xC ++++++++---- 因此F(x) 在 [21,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.所以,当x=21或x=2时, F(x)取得最大值(29)n +(49)n；当x=1时F(x)取得最小值2n+1.。