高三数学课件：解析几何中的最值问题
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解析几何中的最值问题
l
2 2 2 2
y B C
圆外一点 P（a,b）引两圆切线 PA、PB，切点分别为 A、B， 如图，满足|PA|＝|PB|； （Ⅰ）将两圆方程相减可得一直线方程 l：x＋y－4=0， 该直线叫做这两圆的“根轴” ，试证点 P 落在根轴上； （Ⅱ）求切线长|PA|的最小值； （Ⅲ）给出定点 M（0,2） ，设 P、Q 分别为直线 l 和圆 O 上动点，求|MP|＋|PQ|的最小值及此时点 P 的坐标.
22 2 3 6 ，选 C. 大值 4
答案:C
三次函数求导法
【例 2】 （2011 学年北京海淀区高三年级第一学期期末练习）
M 已知点 M (1, y) 在抛物线 C : y 2 px ( p 0) 上， 点到抛物线 C 的焦点 F 的
2
距离为 2，直线 l : y
1 x b 与抛物线交于 A, B 两点. 2
d
选 B.
| 4 11| 3 4
2 2
3
二、平面几何法
理论阐释
有些最值问题具有相应的几何意义（如求分数最值
联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式，平面 中两点之间线段最短等等），若能恰当地利用其几何意 义，则可数形结合，或者将图形局部进行转化，使最值 问题得以求解。
典例导悟
【典例】 （2011·湖北补习学校联合体大联考） 已知圆 O：x ＋y ＝1，圆 C：(x－4) ＋(y－4) ＝1，由两
4 g (b) 3b2 4b 3b(b ) ， 3
b
4 (2, ) 3
＋
4 3
4 ( , 0) 3
－
g (b)
0 极大
g (b)
4 32 由上表可得 g (b) 最大值为 g ( ) . 3 27
2 2 2 2
y B C
圆外一点 P（a,b）引两圆切线 PA、PB，切点分别为 A、B， 如图，满足|PA|＝|PB|； （Ⅰ）将两圆方程相减可得一直线方程 l：x＋y－4=0， 该直线叫做这两圆的“根轴” ，试证点 P 落在根轴上； （Ⅱ）求切线长|PA|的最小值； （Ⅲ）给出定点 M（0,2） ，设 P、Q 分别为直线 l 和圆 O 上动点，求|MP|＋|PQ|的最小值及此时点 P 的坐标.
22 2 3 6 ，选 C. 大值 4
答案:C
三次函数求导法
【例 2】 （2011 学年北京海淀区高三年级第一学期期末练习）
M 已知点 M (1, y) 在抛物线 C : y 2 px ( p 0) 上， 点到抛物线 C 的焦点 F 的
2
距离为 2，直线 l : y
1 x b 与抛物线交于 A, B 两点. 2
d
选 B.
| 4 11| 3 4
2 2
3
二、平面几何法
理论阐释
有些最值问题具有相应的几何意义（如求分数最值
联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式，平面 中两点之间线段最短等等），若能恰当地利用其几何意 义，则可数形结合，或者将图形局部进行转化，使最值 问题得以求解。
典例导悟
【典例】 （2011·湖北补习学校联合体大联考） 已知圆 O：x ＋y ＝1，圆 C：(x－4) ＋(y－4) ＝1，由两
4 g (b) 3b2 4b 3b(b ) ， 3
b
4 (2, ) 3
＋
4 3
4 ( , 0) 3
－
g (b)
0 极大
g (b)
4 32 由上表可得 g (b) 最大值为 g ( ) . 3 27
2020版高考数学第8章平面解析几何第9节圆锥曲线中的定点定值范围最值问题课件理新人教A版
(2)当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x＝－1， 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S1－S2|＝0； 当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 y＝k(x＋1)(k≠0)，联立方程，得
y1y2＝k2(x1－m)(x2－m)＝k2x1x2－k2m(x1＋x2)＋k2m2＝3k42km2＋2－34，
∴|GA|2＋|GB|2＝(x1－m)2＋y21＋(x2－m)2＋y22＝(x1＋x2)2－2x1x2－2m(x1＋ x2)＋2m2＋(y1＋y2)2－2y1y2＝(k2＋1)[－6m24k24－k23＋＋32243＋4k2]. 要使 ω＝|GA|2＋|GB|2 的值与 m 无关，需使 4k2－3＝0， 解得 k＝± 23，此时 ω＝|GA|2＋|GB|2＝7.
解析答案
[解] (1)由已知 A，B 在椭圆上，可得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a， 又△ABF1 的周长为 8， 所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，即 a＝2. 由椭圆的对称性可得，△AF1F2 为正三角形当且仅当 A 为椭圆短轴顶点， 则 a＝2c，即 c＝1，b2＝a2－c2＝3， 则椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.
[规律方法] 圆锥曲线中定点问题的两种解法 1引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研 究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. 2特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定 点与变量无关.
过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，且|AB|＝8. (1)求 l 的方程； (2)若 A 关于 x 轴的对称点为 D，求证：直线 BD 过定点，并求出该点的 坐标．
解析几何中的最值问题
2 2
的最值。 求： S = x − 2y 的最值。
解：
Y
由 S = x −2y 得
y= 1x− 1S 2 2
O
− 1 s 为直线在 轴上的截距。 为直线在y轴上的截距 轴上的截距。 2 取最小时,S 取最大值。 当 − 1 s 取最小时 取最大值。 2
此时，直线与圆相切。 此时，直线与圆相切。 .
设右准线为 L , 则 L 的方程是 x =
又设 P 到 L 的距离为 PB ，则
4 3
L
B
PF =e PB
P
A
F
PF 2 即 PB = = PF e 3
B1 P1
2 ∴ PA + PF = PA + PB 3 当且仅当 A、P、B共线时， + PB 最小。 共线时， PA 最小。
X=
4 3
4 8 此 小 为 − = 最 值 4 3 3
小 结
代数方法讨论几何问题是解析几何的特点和手段 讨论几何问题是解析几何的特点和手段。 1 用代数方法讨论几何问题是解析几何的特点和手段。 对于解析几何中的极值问题的解决 首先应注意函数方法 参数法）的运用， 函数方法（ 首先应注意函数方法（参数法）的运用， 将所求对象表示成某个变量的函数， 将所求对象表示成某个变量的函数， 利用代数方法来解决。 利用代数方法来解决。
X
圆心（1、-2）到直线的距离等于 5 圆心（ 、 ）
− 1s 2
1 + 2 − S 2 2 = 5 4
5
⇒
S最小值 = 0
S最大值 = 10
例4、已知：实数 x、y 满足 (x − 1) + (y + 2) = 5 。 、已知： 、
的最值。 求： S = x − 2y 的最值。
解：
Y
由 S = x −2y 得
y= 1x− 1S 2 2
O
− 1 s 为直线在 轴上的截距。 为直线在y轴上的截距 轴上的截距。 2 取最小时,S 取最大值。 当 − 1 s 取最小时 取最大值。 2
此时，直线与圆相切。 此时，直线与圆相切。 .
设右准线为 L , 则 L 的方程是 x =
又设 P 到 L 的距离为 PB ，则
4 3
L
B
PF =e PB
P
A
F
PF 2 即 PB = = PF e 3
B1 P1
2 ∴ PA + PF = PA + PB 3 当且仅当 A、P、B共线时， + PB 最小。 共线时， PA 最小。
X=
4 3
4 8 此 小 为 − = 最 值 4 3 3
小 结
代数方法讨论几何问题是解析几何的特点和手段 讨论几何问题是解析几何的特点和手段。 1 用代数方法讨论几何问题是解析几何的特点和手段。 对于解析几何中的极值问题的解决 首先应注意函数方法 参数法）的运用， 函数方法（ 首先应注意函数方法（参数法）的运用， 将所求对象表示成某个变量的函数， 将所求对象表示成某个变量的函数， 利用代数方法来解决。 利用代数方法来解决。
X
圆心（1、-2）到直线的距离等于 5 圆心（ 、 ）
− 1s 2
1 + 2 − S 2 2 = 5 4
5
⇒
S最小值 = 0
S最大值 = 10
例4、已知：实数 x、y 满足 (x − 1) + (y + 2) = 5 。 、已知： 、
高考解析几何中的最值问题
yP Q x
F
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛
物线上的一个动点，又知点Q(2,1),
则∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为____.
分析：考虑几何特征：
利用定义、性质转化，
运用图形性质直接求解。
yP Q x
F
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛
四、本专题总圆结锥:曲线的最值问题
求解析几何中最值问题的基本方法：
1.解析几何是研究“形”的科学，在求圆锥曲线的最值 问题时要善于结合图形，通过数形结合将抽象的问题、 繁杂的问题化归为动态的形的问题，使问题解决.
2.由题中条件通过设参数建立目标函数，再利用函数法、 不等式法、导数法等方法求目标函数的最值.
＝x20＋4－2 x02＋2（4－ x02 x02）＋4＝x220＋x802＋4 (0＜x20≤4). ∵x220＋x802≥4(0＜x20≤4)，当且仅当 x20＝4 时等号成立， ∴|AB|2≥8.
∴线段 AB 长度的最小值为 2 2.
例4.由已知F1、F圆2是锥椭曲圆线2的x2最+y值2=2问的题两个焦点， 过焦点F1的直线交此椭圆于A、B 两点， 求⊿ABF2面积的最大值.
圆锥曲线的最值问题
（2）代数法：
若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首 先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值 常用方法有配方法、判别式法、不等式法及导数法等．
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛 物线上的一个动点，又知点Q(2,1), 则∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为____.
F
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛
物线上的一个动点，又知点Q(2,1),
则∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为____.
分析：考虑几何特征：
利用定义、性质转化，
运用图形性质直接求解。
yP Q x
F
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛
四、本专题总圆结锥:曲线的最值问题
求解析几何中最值问题的基本方法：
1.解析几何是研究“形”的科学，在求圆锥曲线的最值 问题时要善于结合图形，通过数形结合将抽象的问题、 繁杂的问题化归为动态的形的问题，使问题解决.
2.由题中条件通过设参数建立目标函数，再利用函数法、 不等式法、导数法等方法求目标函数的最值.
＝x20＋4－2 x02＋2（4－ x02 x02）＋4＝x220＋x802＋4 (0＜x20≤4). ∵x220＋x802≥4(0＜x20≤4)，当且仅当 x20＝4 时等号成立， ∴|AB|2≥8.
∴线段 AB 长度的最小值为 2 2.
例4.由已知F1、F圆2是锥椭曲圆线2的x2最+y值2=2问的题两个焦点， 过焦点F1的直线交此椭圆于A、B 两点， 求⊿ABF2面积的最大值.
圆锥曲线的最值问题
（2）代数法：
若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首 先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值 常用方法有配方法、判别式法、不等式法及导数法等．
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛 物线上的一个动点，又知点Q(2,1), 则∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为____.
立体几何解析几何最值问题
立体几何解析几何最值问题立体几何和解析几何都是数学中的分支领域，它们在研究物体的形状、位置和运动等方面有着不同的方法和应用。
在解析几何中，最值问题是其中一个重要的问题类型，它涉及到找到函数在特定区域内的最大值或最小值。
在立体几何中，我们研究的是空间中的物体，比如点、线、面、体等。
解析几何则是研究平面几何与坐标系统之间的关系，通常使用坐标点来表示点、线、曲线等。
解析几何中最值问题的解决方法通常是通过求导来进行。
我们可以将问题转化为一个函数，然后求该函数的导数，找到导数为0的点，再通过比较得出最大值或最小值。
这种方法在求解平面最值问题时非常有效。
而在立体几何中，最值问题通常涉及到体积、面积或长度等量的最大化或最小化。
解决这类问题可以利用几何性质和定理来进行推导和求解。
比如，要求一个几何体的体积的最大值，我们可以通过寻找几何体的特定形状的体积公式以及几何性质来得出最优解。
具体地说，在立体几何中，最值问题的解决方法可以归纳如下：1.求解体积最大问题：对于已知形状的几何体，我们可以通过推导体积公式，并利用一些方法来求解体积的最大值。
例如，求解一个长方体在给定表面积约束条件下的最大体积，我们可以设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，然后利用约束条件和体积公式写出等式，最后通过求解方程组可得到最优解。
2.求解表面积最小问题：类似地，我们可以通过推导表面积公式，并利用一些方法来求解表面积的最小值。
例如，求解一个包含给定体积的圆柱体的表面积最小值，我们可以设圆柱体的底面半径为r、高度为h，然后通过体积公式将h表示为r的函数，并利用表面积公式得到表面积的表达式，最后求解表面积的最小值。
3.求解长度最短问题：有时候我们需要找到连接两个点的最短路径，可以利用几何性质和定理求解。
例如，求解从一个点到直线的最短距离，我们可以利用点到直线的距离公式，并通过求导的方法求解最短距离的点。
总而言之，立体几何和解析几何最值问题的求解方法有所不同，但都可以通过推导公式、利用几何性质和定理以及求导等方法来解决。
高三数学精品课件：第二课时 最值、范围、证明问题
[考点分类·深度剖析] 课时作业
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考点三 证明问题 (核心考点——合作探究)
(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 所以 x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22－ ＋21. 则 2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝4k3－4k－2k122＋k31＋8k3＋4k＝0. 从而 kMA＋kMB＝0， 故 MA，MB 的倾斜角互补． 所以∠OMA＝∠OMB. 综上，∠OMA＝∠OMB.
[考点分类·深度剖析] 课时作业
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考点三 证明问题 (核心考点——合作探究)
y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＜ 2，x2＜ 2，直线 MA，MB 的斜率之和为 kMA＋kMB＝x1y－1 2＋x2y－2 2. 由 y1＝kx1－k，y2＝kx2－k 得 kMA＋kMB＝2kx1x2x－1－32kxx1＋2－x22＋4k. 将 y＝k(x－1)代入x22＋y2＝1，得
[考点分类·深度剖析] 课时作业
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考点一 最值问题 (核心考点——合作探究)
解析：(1)由题意知 |－a2＋3a4bb|2＝c，即 3a2b2＝c2(a2＋4b2)＝(a2－
b2)(a2＋4b2)．
Байду номын сангаас
化简得
a2＝2b2，所以
e＝
2 2.
(2)因为△PQF2 的周长为 4 2，所以 4a＝4 2，得 a＝ 2， 由(1)知 b2＝1，所以椭圆 C 的方程为x22＋y2＝1，且焦点为 F1(－ 1,0)，F2(1,0)，
OAB 面积的最大值(O 为坐标原点)．
[考点分类·深度剖析] 课时作业
高三数学第二轮课件解析几何最值归纳
2 2
由判别式 （ 6t ) 2 4 18(t 2 144) 0， 解得 : t 12 2 .
知识迁移
y4 若将3 x 4 y换成 ，如何求其范围呢？ x3 2 2 x y y4 即：设实数x，y满足 1，则 的 16 9 x 3 k , k1 k2 , 取值范围是 ________________________ .
y
y P B O F
P
Q x F1 B
P P1 F
O
x
例2、设实数x，y满足9 x 2 16 y 2 144 0, 求x2 -3x+y2 -1的最值。
知识迁移
设实数x，y满足9 x 2 16 y 2 144 0, 求3 x 4 y的最值。
x2 y 2 翻译：设实数x，y满足 1, 求3x 4 y的最值。 16 9
y D y B O C A x
旁 敲 侧 击
l
P O
x
小试牛刀
求抛物线上一动点 P到 定直线 l的 距 离 的 最 小 值
能力提升
（2007杭州第一次质检）
已知x, y, z满足方程x 2 ( y 2)2 ( z 2)2 2, 则 x y z 的最大值是
2 2 2
课堂小结
y
O
F
x
返回
（2006全国卷1） 抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( ) 4 A. 3 7 B. 5 8 C. 5 D.3
返回
五、课堂练习
1、现有一块长轴长为10分米，短轴长为8分米形状为 椭圆的玻璃镜子，欲从此镜中划一块面积尽可能大的 镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为 40平方分米
由判别式 （ 6t ) 2 4 18(t 2 144) 0， 解得 : t 12 2 .
知识迁移
y4 若将3 x 4 y换成 ，如何求其范围呢？ x3 2 2 x y y4 即：设实数x，y满足 1，则 的 16 9 x 3 k , k1 k2 , 取值范围是 ________________________ .
y
y P B O F
P
Q x F1 B
P P1 F
O
x
例2、设实数x，y满足9 x 2 16 y 2 144 0, 求x2 -3x+y2 -1的最值。
知识迁移
设实数x，y满足9 x 2 16 y 2 144 0, 求3 x 4 y的最值。
x2 y 2 翻译：设实数x，y满足 1, 求3x 4 y的最值。 16 9
y D y B O C A x
旁 敲 侧 击
l
P O
x
小试牛刀
求抛物线上一动点 P到 定直线 l的 距 离 的 最 小 值
能力提升
（2007杭州第一次质检）
已知x, y, z满足方程x 2 ( y 2)2 ( z 2)2 2, 则 x y z 的最大值是
2 2 2
课堂小结
y
O
F
x
返回
（2006全国卷1） 抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( ) 4 A. 3 7 B. 5 8 C. 5 D.3
返回
五、课堂练习
1、现有一块长轴长为10分米，短轴长为8分米形状为 椭圆的玻璃镜子，欲从此镜中划一块面积尽可能大的 镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为 40平方分米
解析几何最值问题
空间图形的体积最值
对于旋转体等特殊图形，可利用相应公式和不等式求解； 对于一般图形，可通过变量替换和不等式等方法转化为更 易处理的问题。
条件面积（体积）最值
在给定条件下求平面图形或空间图形的面积（体积）最值， 常结合不等式和等式约束条件进行求解。
05
典型案例分析
平面曲线最值问题案例
案例一
01
求点到直线的最短距离
案例二
02
求两圆之间的最短距离
案例三
03
求椭圆上一点到直线的最大距离
空间曲线最值问题案例
案例一
求空间一点到直线的最短距离
案例二
求空间一点到平面的最短距离
案例三
求空间两异面直线之间的最短距离
曲面最值问题案例
案例一
求曲面上一点到平面的最短距离
案例二
求曲面上两点之间的最短距离
案例三
求曲面上的最值点坐标
06
总结与展望
研究成果总结
解析几何最值问题的基本理论和 方法的梳理和归纳，包括最值问 题的定义、性质、求解方法等。
针对不同类型的解析几何最值问 题，提出了相应的求解策略和方 法，如线性规划、二次规划、动
态规划等。
通过实例分析和数值计算，验证 了所提方法的有效性和实用性， 为解决实际问题提供了有力支持。
THANKS
感谢观看
04
解析几何在最值问题中的应用
曲线与曲面的最值问题
曲线上的最值点
通过求导找到曲线的极值点，比 较各极值点和端点的函数值来确
定最值。
曲面的最值点
对于二元函数表示的曲面，分别 求偏导数并令其为零，解方程组 得到可能的极值点，进一步判断
最值。
条件极值
在给定条件下求曲线或曲面的最 值，常用拉格朗日乘数法。
对于旋转体等特殊图形，可利用相应公式和不等式求解； 对于一般图形，可通过变量替换和不等式等方法转化为更 易处理的问题。
条件面积（体积）最值
在给定条件下求平面图形或空间图形的面积（体积）最值， 常结合不等式和等式约束条件进行求解。
05
典型案例分析
平面曲线最值问题案例
案例一
01
求点到直线的最短距离
案例二
02
求两圆之间的最短距离
案例三
03
求椭圆上一点到直线的最大距离
空间曲线最值问题案例
案例一
求空间一点到直线的最短距离
案例二
求空间一点到平面的最短距离
案例三
求空间两异面直线之间的最短距离
曲面最值问题案例
案例一
求曲面上一点到平面的最短距离
案例二
求曲面上两点之间的最短距离
案例三
求曲面上的最值点坐标
06
总结与展望
研究成果总结
解析几何最值问题的基本理论和 方法的梳理和归纳，包括最值问 题的定义、性质、求解方法等。
针对不同类型的解析几何最值问 题，提出了相应的求解策略和方 法，如线性规划、二次规划、动
态规划等。
通过实例分析和数值计算，验证 了所提方法的有效性和实用性， 为解决实际问题提供了有力支持。
THANKS
感谢观看
04
解析几何在最值问题中的应用
曲线与曲面的最值问题
曲线上的最值点
通过求导找到曲线的极值点，比 较各极值点和端点的函数值来确
定最值。
曲面的最值点
对于二元函数表示的曲面，分别 求偏导数并令其为零，解方程组 得到可能的极值点，进一步判断
最值。
条件极值
在给定条件下求曲线或曲面的最 值，常用拉格朗日乘数法。
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2
的最大值与最小值。 2、已知方程:
x 2 y
2
2
3
y 求：满足这个方程的实数对（x，y）中， x 的最值。
小结
用代数方法讨论几何问题是解析几何的特点和手段。 对于解析几何中的极值问题的解决首先应 注意函数方法（参数法）的运用，将所求 对象表示成某个变量的函数，利用代数方 法来解决。 注意！ 作为几何中的最值问题，往往利用平面几 何知识或图形意义，采取数形结合或不等 式的方法求解，可以避开代数形式的复杂 运算。 反过来，通过建立坐标系，构造图形也可 使某些不易处理的代数极值问题得到解决。
则： Y
A1( -1，2)
{
A1（-1，2）
P
B( 3，0)
易知：要在直线上找一点 p 到点 A1，B 的距离之和最小，此点应 是直线 A1B 与直线的交点。
X
O A( 1，0)
P
(
x-y+1=0
1 , 4 3 3
)
Y
A( 1，5) P1
B( 8，3) A1( 4，2) P
O
X
x-y+1=0
例6、 S x2 y2
建立几何模型： Y C P O 原来的问题化归为：求到正方形四个顶点距离之和最小的点。
易知：到 A、C两点距离之和最小的点在线段 AC上。
B
到 O、B两点距离之和最小的点在线段 OB上。
∴ 所求的点就是 AC 与 OB 的交点：P 1 , 1 2 2 X
A
练习：
y2 1、求椭圆 x 1 上点到直线 L：y=2x-10 的距离 9 4
O
X
2k 0 3k 3 2 1 k
y max 3 x
y min 3 x
思考：
例、求函数
s x4 5x2 8x 25 x4 3x2 4 的最大值。
s
提示：
s
2
x 4 x
2
2
3 x x 2
2 2 2
解： 设：点斜式方程 y 1 kx 2
Y L B
1 2,
O A X
3 1 2k 3 2 2 k
1 2k k 2 k 2 2 x 2 y 1 2
A 2 1 ,0 B0,1 2k k s 2 1 1 2k k
解析几何中求最值问题的基本方法
函数的思想方法
判别式法
利用基本不等式
数形结合
参数法
建立几何模型
x2 y2 1 上过点 A（0，1）引 例1、椭圆 4
椭圆的任意一条弦 AB。 求：弦长 AB 的最大值。
Y
A（0，1）
O
X
B
x2 y2 1 上过点 A（0，1）引椭圆的任意一条弦 AB。 例1、椭圆 4
x 1 y
2
2
x2 y 1 x 1 y 1
2 2
2
求：使 S 最小的 x 与 y 的值。
分析： 由题设的代数结构，联想到平面上两点间的距离。
可设：四个根号的几何意义分别为点P（x，y）到点O（0，0）、 A（1、0）、C（0，1）、B（1，1）四点的距离。
设圆的参数方程 将之代入
{
x = 1 + 5 cosθ y = -2 + 5 sinθ
得：
S x 2y
s = 5 + 5(cosθ - 2 sinθ )
= 5 + 5 sin( + φ) θ
S最大值 10
∵Θ∈[0，2π）
S最小值 0
例5、在直线 x-y+1=0 上找一点 p ，使 p 点到 点 A（1，0）， B（3，0）的距离之和最小。
.
X
圆心（1、-2）到直线的距离等于 5
1s 2
1 2S 2 2 5 4
5
S最小值 0
S最大值 10
例4、已知：实数 x、y 满足 x 1 y 2 5 。
2 2
求： S x 2y 的最值。
解：
x 1 y 2
2
2
5
Θ∈[0，2π）
使 △ABC 的面积最大。
Y A D O X C B
例2、直线 x+y-3=0 和抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点。 求：在抛物线 AOB 上求一点 C ，使 △ABC 的面积最大。
解：
设L：x+y+m=0与直线AB：x+y-3=0平行且为抛物线的切线。 点 C 为切点。
解方程组
y2 4x x y m 0 y2 4y 4m 0
Y A O
16 16m 0 m 1
当 m=1 时， 直线 L 到直线 AB 的距离为最大， 也是点 C 到直线 AB 的距离最大。 把 m=1 代入得：
D
X C B
C ,2 1
L
例3、直线 L 过点 P（2，1），它在两坐标轴上 的截距均为正值，若截距之和最小，求 L 的方程。
2
设 y=x2 时
（为抛物线）
2 2
x 4 y 3
2
x 0 y 2
M’
建立几何模型： “抛物线 y=x2 上的动点M（x，y） 到两个定点A（4，3）、B（0，2） 的距离之差的最大值。” 易知：
Y
A
M
O
B
X
s MA MB AB 17
Smax 17
Y
A1( -1，2)
P1
P
B( 3，0)
O
A( 1，0)
X
x-y+1=0
例5、在直线 x-y+1=0 上找一点 p ，使 p 点到 点 A（1，0）， B（3，0）的距离之和最小。
y = -1 x -1 x +1 - y +0 +1 = 0 2 2
如图，设 A1（x，y）是点 A 关于直线 x-y+1=0 的对称点。
k0
例4、已知：实数 x、y 满足 求：
x 1 y 2
2
25Βιβλιοθήκη 。S x 2y 的最值。
解：
Y
由 S x 2y 得
y 1x 1S 2 2
O
1 s 为直线在y轴上的截距。 2 当 1 s 取最小时，S 时取最大值。 2
此时，直线与圆相切。
y2 1、求椭圆 x 1 上点到直线 L：y=2x-10 的距离 9 4
2
的最大值与最小值。
Y
L2
L1 L
O
X
2、已知方程:
y 求：满足这个方程的实数对（x，y）中， 的最值。 x
设：
Y
x 2 y
2
2
3
y k y kx x
半径：r
圆心：（2，0）
3
当直线与圆相切时，斜率取到最值。
求：弦长 AB 的最大值。
设 B（x，y），则 AB x 0 y 1 。
2 2 2
解题思路:
把 x2 41 y 代入,得出关于 y 的二次函数，
2
配方后求出的最大值。 设 B（x，y）为椭圆上的一点。
AB x 0 y 1
2 2
2
1 ∵ B（x，y）在椭圆上， x2 4 y2
代入得： AB 41 y2 y 1
2 2
Y
A（0，1）
3 y 1 16 1 y 1 3 3 当y - 1 时， max 4 3 AB 3 3
2
O B
X
例2、直线 x+y-3=0 和抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点。
求：在抛物线 AOB 上求一点 C ，
的最大值与最小值。 2、已知方程:
x 2 y
2
2
3
y 求：满足这个方程的实数对（x，y）中， x 的最值。
小结
用代数方法讨论几何问题是解析几何的特点和手段。 对于解析几何中的极值问题的解决首先应 注意函数方法（参数法）的运用，将所求 对象表示成某个变量的函数，利用代数方 法来解决。 注意！ 作为几何中的最值问题，往往利用平面几 何知识或图形意义，采取数形结合或不等 式的方法求解，可以避开代数形式的复杂 运算。 反过来，通过建立坐标系，构造图形也可 使某些不易处理的代数极值问题得到解决。
则： Y
A1( -1，2)
{
A1（-1，2）
P
B( 3，0)
易知：要在直线上找一点 p 到点 A1，B 的距离之和最小，此点应 是直线 A1B 与直线的交点。
X
O A( 1，0)
P
(
x-y+1=0
1 , 4 3 3
)
Y
A( 1，5) P1
B( 8，3) A1( 4，2) P
O
X
x-y+1=0
例6、 S x2 y2
建立几何模型： Y C P O 原来的问题化归为：求到正方形四个顶点距离之和最小的点。
易知：到 A、C两点距离之和最小的点在线段 AC上。
B
到 O、B两点距离之和最小的点在线段 OB上。
∴ 所求的点就是 AC 与 OB 的交点：P 1 , 1 2 2 X
A
练习：
y2 1、求椭圆 x 1 上点到直线 L：y=2x-10 的距离 9 4
O
X
2k 0 3k 3 2 1 k
y max 3 x
y min 3 x
思考：
例、求函数
s x4 5x2 8x 25 x4 3x2 4 的最大值。
s
提示：
s
2
x 4 x
2
2
3 x x 2
2 2 2
解： 设：点斜式方程 y 1 kx 2
Y L B
1 2,
O A X
3 1 2k 3 2 2 k
1 2k k 2 k 2 2 x 2 y 1 2
A 2 1 ,0 B0,1 2k k s 2 1 1 2k k
解析几何中求最值问题的基本方法
函数的思想方法
判别式法
利用基本不等式
数形结合
参数法
建立几何模型
x2 y2 1 上过点 A（0，1）引 例1、椭圆 4
椭圆的任意一条弦 AB。 求：弦长 AB 的最大值。
Y
A（0，1）
O
X
B
x2 y2 1 上过点 A（0，1）引椭圆的任意一条弦 AB。 例1、椭圆 4
x 1 y
2
2
x2 y 1 x 1 y 1
2 2
2
求：使 S 最小的 x 与 y 的值。
分析： 由题设的代数结构，联想到平面上两点间的距离。
可设：四个根号的几何意义分别为点P（x，y）到点O（0，0）、 A（1、0）、C（0，1）、B（1，1）四点的距离。
设圆的参数方程 将之代入
{
x = 1 + 5 cosθ y = -2 + 5 sinθ
得：
S x 2y
s = 5 + 5(cosθ - 2 sinθ )
= 5 + 5 sin( + φ) θ
S最大值 10
∵Θ∈[0，2π）
S最小值 0
例5、在直线 x-y+1=0 上找一点 p ，使 p 点到 点 A（1，0）， B（3，0）的距离之和最小。
.
X
圆心（1、-2）到直线的距离等于 5
1s 2
1 2S 2 2 5 4
5
S最小值 0
S最大值 10
例4、已知：实数 x、y 满足 x 1 y 2 5 。
2 2
求： S x 2y 的最值。
解：
x 1 y 2
2
2
5
Θ∈[0，2π）
使 △ABC 的面积最大。
Y A D O X C B
例2、直线 x+y-3=0 和抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点。 求：在抛物线 AOB 上求一点 C ，使 △ABC 的面积最大。
解：
设L：x+y+m=0与直线AB：x+y-3=0平行且为抛物线的切线。 点 C 为切点。
解方程组
y2 4x x y m 0 y2 4y 4m 0
Y A O
16 16m 0 m 1
当 m=1 时， 直线 L 到直线 AB 的距离为最大， 也是点 C 到直线 AB 的距离最大。 把 m=1 代入得：
D
X C B
C ,2 1
L
例3、直线 L 过点 P（2，1），它在两坐标轴上 的截距均为正值，若截距之和最小，求 L 的方程。
2
设 y=x2 时
（为抛物线）
2 2
x 4 y 3
2
x 0 y 2
M’
建立几何模型： “抛物线 y=x2 上的动点M（x，y） 到两个定点A（4，3）、B（0，2） 的距离之差的最大值。” 易知：
Y
A
M
O
B
X
s MA MB AB 17
Smax 17
Y
A1( -1，2)
P1
P
B( 3，0)
O
A( 1，0)
X
x-y+1=0
例5、在直线 x-y+1=0 上找一点 p ，使 p 点到 点 A（1，0）， B（3，0）的距离之和最小。
y = -1 x -1 x +1 - y +0 +1 = 0 2 2
如图，设 A1（x，y）是点 A 关于直线 x-y+1=0 的对称点。
k0
例4、已知：实数 x、y 满足 求：
x 1 y 2
2
25Βιβλιοθήκη 。S x 2y 的最值。
解：
Y
由 S x 2y 得
y 1x 1S 2 2
O
1 s 为直线在y轴上的截距。 2 当 1 s 取最小时，S 时取最大值。 2
此时，直线与圆相切。
y2 1、求椭圆 x 1 上点到直线 L：y=2x-10 的距离 9 4
2
的最大值与最小值。
Y
L2
L1 L
O
X
2、已知方程:
y 求：满足这个方程的实数对（x，y）中， 的最值。 x
设：
Y
x 2 y
2
2
3
y k y kx x
半径：r
圆心：（2，0）
3
当直线与圆相切时，斜率取到最值。
求：弦长 AB 的最大值。
设 B（x，y），则 AB x 0 y 1 。
2 2 2
解题思路:
把 x2 41 y 代入,得出关于 y 的二次函数，
2
配方后求出的最大值。 设 B（x，y）为椭圆上的一点。
AB x 0 y 1
2 2
2
1 ∵ B（x，y）在椭圆上， x2 4 y2
代入得： AB 41 y2 y 1
2 2
Y
A（0，1）
3 y 1 16 1 y 1 3 3 当y - 1 时， max 4 3 AB 3 3
2
O B
X
例2、直线 x+y-3=0 和抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点。
求：在抛物线 AOB 上求一点 C ，