河海大学 传热学 第四章 热传导问题的数值解法
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第四章 热传导问题的数值解法
上的标号m、n来表示。
14
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n △y
步长
m,n
△x
m
2、步长（step length）： 相邻两节点之间的距离称
为步长。记为△x、 △y。
M
15
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
3、均分网格
x方向和y方向是各自均分的， 称为均分网格。根据实际问 题的需要，网格的划分常常
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场 （initial field）
21
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
上节回顾
能量守恒方程
傅里叶导热定律
稳态导热 非稳态导热
导热微分方程 边界条件 初始条件
数值解法
典型一维稳态 肋片导热 有内热源的导热
14
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n △y
步长
m,n
△x
m
2、步长（step length）： 相邻两节点之间的距离称
为步长。记为△x、 △y。
M
15
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
3、均分网格
x方向和y方向是各自均分的， 称为均分网格。根据实际问 题的需要，网格的划分常常
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场 （initial field）
21
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
上节回顾
能量守恒方程
傅里叶导热定律
稳态导热 非稳态导热
导热微分方程 边界条件 初始条件
数值解法
典型一维稳态 肋片导热 有内热源的导热
传热学第4章热传导问题的数值解法重点习题
t1 t5 y t9 t5 x t 6 t5 1 y xy yh t5 t f 0 y 2 x 2 节点 5： y 2 ； t 2 t6 t7 t6 t10 t5 t5 t 6 x y x y xy 0 y x y x 节点、一等截面直肋，高 H,厚 ，肋根温度为 t 0 ，流体温度为 t f ，表 面传热系数为 h,肋片导热系数为 。将它均分成 4 个节点（见附图） ， 并对肋端为绝热及为对流边界条件（h 同侧面）的两种情况列出节点 2 ， 3 ， 4 的 离 散 方 程 式 。 设
节点 2： 节点 3：
t3 t 2
x
2hx t2 t f 0 2hx t3 t f 0
t 2 t3
x
t 4 t3
x x
； ；
t3 t 4
节点 4：肋端绝热 肋端对流
0 0 0 由此解得：肋端绝热 t2 92.2 C ， t3 87.7 C ， t4 86.2 C ；
肋端对流 t2 91.5 C ， t3 86.2 C ， t4 83.8 C 。 肋端对流换热的条件使肋端温度更接近于流体温度。
0 0 0
传热学第4章热传导问题的数值解法重点习题数值传热学传热学课后习题答案数值传热学答案数值传热学第二版答案数值传热学陶文铨数值传热学第二版pdf传热学习题解答数值传热学pdf传热学课后习题
第 4 章热传导问题的数值解法
一般性数值计算
4-4、试对附图所示的等截面直肋的稳态导热问题用数值方法求解节 点 2， 3 的温度。 图中
2 H=45cm, 10mm, h 50W /(m .K ) , =50W/(m.K), t 0 100 ℃， t f 20 ℃， 计算节点 2，3，4 的温度（对于肋端的两种边界条件） 。
第四章热传导热问题的数值解法
数值求解的高斯-赛德尔(Gauss- Seidel)迭代法
4-1 导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 数值求解的基本思想(见P162)： 把原来在时间、空间坐标系中连续的
物理量的场，用有限个离散点上的值的集 合来代替，通过求解按一定方法建立起来 的关于这些值的代数方程（组），来获得 离散点上被求物理量的值（其集合称为该 物理量的数值解）
t2(℃)
t3(℃)
0
0
5.675
3.769
4.545 (-1.13) 4.996 (1.227)
4.029 (-0.516) 5.061 (0.065)
3.979 (-0.05) 5.013 (-0.048)
3.994 (0.015) 5.000 (-0.013)
4.000 (0.006) 5.000 (0.000)
y
t4
t0
•
xy
0
x
△x=△y，且无内热源时，有
t1 t2 t3 t4 4t0 0
即：
t0
1 4
(t1
t2
t3
t4 )
一维问题 推广
三维问题
t0
1 2
(t1
t2
)
t0
1 6
(t1
t2
t3
t4
t5
t6)
一维问题 : t1 t2 2t0 0 二维问题 : t1 t2 t3 t4 4t0 0 三维问题 : t1 t2 t3 t4 t5 t6 6t0 0
流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量 注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
如图, 以元体(m,n)为研究对象
(1) 元体(m,n)的能量守恒方程为：
4-1 导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 数值求解的基本思想(见P162)： 把原来在时间、空间坐标系中连续的
物理量的场，用有限个离散点上的值的集 合来代替，通过求解按一定方法建立起来 的关于这些值的代数方程（组），来获得 离散点上被求物理量的值（其集合称为该 物理量的数值解）
t2(℃)
t3(℃)
0
0
5.675
3.769
4.545 (-1.13) 4.996 (1.227)
4.029 (-0.516) 5.061 (0.065)
3.979 (-0.05) 5.013 (-0.048)
3.994 (0.015) 5.000 (-0.013)
4.000 (0.006) 5.000 (0.000)
y
t4
t0
•
xy
0
x
△x=△y，且无内热源时，有
t1 t2 t3 t4 4t0 0
即：
t0
1 4
(t1
t2
t3
t4 )
一维问题 推广
三维问题
t0
1 2
(t1
t2
)
t0
1 6
(t1
t2
t3
t4
t5
t6)
一维问题 : t1 t2 2t0 0 二维问题 : t1 t2 t3 t4 4t0 0 三维问题 : t1 t2 t3 t4 t5 t6 6t0 0
流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量 注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
如图, 以元体(m,n)为研究对象
(1) 元体(m,n)的能量守恒方程为：
《传热学》第4章-导热问题的数值解法
3
4-2. 节点温度差分方程组的求解方法
导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方程都是线性代 数方程。 n个未知节点温度，n个代数方程式：
a11t1 + a12t2 + L + a1 jt j + L + a1ntn = b1
a21t1 + a22t2 + L + a2 jt j + L + t2ntn = b2
空间步长
4
2) 节点温度差分方程的建立
控制 容积
（1）内部节点温度差分方程
对于常物性、无内热源的无限大平壁 的一维非稳态导热问题
热平衡：在k时刻，单位时间内从相邻控制
容积i-1与i+1分别导入的热流量与之和等于该 控制容积热力学能的增加
Φλ′ + Φλ′′ = dU
节点i 的温度对时间的变化率采用向前差分
≤ε
k及k+1表示迭代次数；
t
(k) max
—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t时，第三个较好
有时还要同时考虑热流密度收敛
4-3. 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热与稳态导热的主要区别：控制方程中多一个非稳 态项；温度随空间和时间变化
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
)
能量平衡关系：网格单元不仅与相邻的网格单元之间有热量的 导入或导出，网格单元本身的热力学能也随时间发生变化
t t 在用第二个方程计算节M点温度
1 2 时，直接将
依a此n1类t1 推+ an2t2 + L + anjt j + L + anntn = bn
传热学—第4章 热传导问题的数值解法
(k ) t max
⎧a11t1 + a12 t2 + a13t3 = b1 ⎪ ⎨a21t1 + a22 t2 + a23t3 = b2 ⎪a t + a t + a t = b 33 3 3 ⎩ 31 1 32 2
假定初场
⎧ (1) ⎪t1 = ⎪ ⎪ Jacobi ⎨t(1) = 2 ⎪ ⎪ (1) ⎪t3 = ⎩
4.1.1 4 1 1 基本思想 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按 定方 建 起来 关 值 代数方程 来获 一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获 得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量 的数值解。
4.1.1 基本思想
λ Δy
Δx = Δy 时： tm −1,n
+ tm+1,n + tm,n+1 + tm,n−1 − 4tm,n = 0
tm ,n
1 = ( tm−1,n + tm+1,n + tm,n+1 + tm ,n−1 ) 4
与Taylor级数法相比，热平衡法物理意义明显。
4.3.1 边界节点离散方程的建立
4-2 内部节点离散方程的建立
4.2.1 4 2 1 Taylor级数展开法
4-2 内部节点离散方程的建立 内部节点离散方程的建
∂ 2t ∂x 2
=
m ,n
tm+1 n − 2tm ,n + tm −1 n 1, 1, Δx 2
控制方程
∂ 2t ∂ 2t + =0 ∂x 2 ∂y 2
∂ 2t ∂y 2
⎧a11t1 + a12 t2 + a13t3 = b1 ⎪ ⎨a21t1 + a22 t2 + a23t3 = b2 ⎪a t + a t + a t = b 33 3 3 ⎩ 31 1 32 2
假定初场
⎧ (1) ⎪t1 = ⎪ ⎪ Jacobi ⎨t(1) = 2 ⎪ ⎪ (1) ⎪t3 = ⎩
4.1.1 4 1 1 基本思想 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按 定方 建 起来 关 值 代数方程 来获 一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获 得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量 的数值解。
4.1.1 基本思想
λ Δy
Δx = Δy 时： tm −1,n
+ tm+1,n + tm,n+1 + tm,n−1 − 4tm,n = 0
tm ,n
1 = ( tm−1,n + tm+1,n + tm,n+1 + tm ,n−1 ) 4
与Taylor级数法相比，热平衡法物理意义明显。
4.3.1 边界节点离散方程的建立
4-2 内部节点离散方程的建立
4.2.1 4 2 1 Taylor级数展开法
4-2 内部节点离散方程的建立 内部节点离散方程的建
∂ 2t ∂x 2
=
m ,n
tm+1 n − 2tm ,n + tm −1 n 1, 1, Δx 2
控制方程
∂ 2t ∂ 2t + =0 ∂x 2 ∂y 2
∂ 2t ∂y 2
第4章_热传导问题的数值解法
式中，Fo＝
a h x 网格傅里叶数， Bi 网格毕渥数 x 2
14
4.4.5 一维平板非稳态导热显式格式离散方程及稳定性分析 以第三类边界条件下厚度为2的大平板的数值计算问题作一归纳。如图4-10.
i＋1 i i i tn ＝Fo (t n 1 t n 1 ) (1 2 Fo t n ) 0 tn t0
i＋1 i i i i tn tn tn 1 t n 1 2t n a x 2 上式可改写为 i＋1 tn ＝
a i a i i ( t t ) ( 1 2 t ) n 1 n 1 2 2 n x x
求解非稳态导热方程就是从已知的初始温度分布出发，根据 边界条件以次求得以后各个时间层上的温度值，由上式可知， 一旦i时层上各节点的温度已知，可立即求得i+1时层上各节点 的温度，而不必联立方程，因而上式所代表的格式称为显式 差分格式。
4.2 内节点离散方程的建立方法 建立内节点离散方程的方法有： 泰勒级数展开法 热平衡法 考察图4-3。
5
4.2.1 泰勒级数展开法 以节点（m，n）处的二阶偏导数为例，对节点（m+1，n)及（m-1， n）分别写出函数t对（m，n）点的泰勒级数展开式：
t m1,n t m,n t m1,n t m,n t x t x 2t x 2 x m,n 2t x 2 x m,n x 2 3t 3 2 x x 2 3t 3 2 x x 3 (a) 6 x 3 (b) 6
9
（2）外部角点 如图4-5所示。节点（m，n）的离散方程为
y t m1,n t m,n y x x t m,n1 t m,n x y qw qw Φm,n 0 2 x 2 2 2 y 2 2
大学传热学第四章 导热问题的数值解法1
对解进行分析
获得物体中的温度分布常常不是工程问题的最终目的，所 得出的温度场可能进一步用于计算热流量或计算设备、零 部件的热应力及热变形等。对于数值计算所获得的温度场 及所需要的一些其他物理量应作仔细的分析，以获得定性 或定量上的一些新的结论。
建立节点方程的泰勒级数展开法
• 函数的泰勒级数展开式为
二维稳态导热内部节点方程式的建立
ydy m,n+1
m-1,n
m,n
x
y
x m,n-1
m+1,n
xdx
y
• 从左面进入微元体的热量
t t
y m1,n
m ,n
x
x
• 从右面进入微元体的热量
t t
y m1,n
m ,n
xdx
x
• 从下面进入微元体的热量
t t
x m,n1
m ,n
y
y
• 从上面进入微元体的热量
t t
x m,n1
m ,n
ydy
y
二维稳态导热内节点方程
• 当物体内没有内热源时，根据能量守恒定律，从各个方向 进入微元体的热量之和为零
0
x
xdx
y
ydy
• 将各热量计算表达式带入，整理后得到
t 1 t t t t
m ,n
4 m1,n
m1,n
m ,n1
y
y
从上面进入微元体的热量
t t
m,n1 m,n x / 2
ydy
y
二维稳态导热平直边界上节点方程
• 当物体内没有内热源时，根据能量守恒定律，从各个方向 进入微元体的热量之和为零
0
m,n
m,n
传热学-第四章-热传导问题的数值解法
23
判断迭代是否收敛的准则：
迭代次数，表示第k次迭代
Monday, March 30, 2020
表示第k次迭代所得计算域内的最大值 当有温度t接近于零的时，选此准则较好
24
例题：
Monday, March 30, 2020
25
Monday, March 30, 20day, March 30, 2020
27
1. 一维非稳态导热的数值求解： 第三类边界条件下，常物性、无内热源无 限大平壁的一维非稳态导热问题为例。
1) 求解域的离散
2) 节点温度差分方程的建立
运用热平衡法可以建立非稳态导热物体内部节点和 边界节点温度差分方程。
Monday, March 30, 2020
29
➢ 两点结论：
(a) 任意一个内部节点n在(i+1)时刻的温度都可以由该节点及 其相邻节点(n-1) 、(n+1)在i 时刻的温度由上式直接求出，不必联 立求解方程组，这是显式差分格式的优点。这样就可以从初始温 度出发依次求出各时刻的节点温度；
(b) 必须满足显式差分格式的稳定性条件，即
物理意义:
15
§4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中， 组成封闭的代数方程组，直接求解。
n=N
封闭
(m,n+1)
第二类边界条件或第三类边界 条件：部分边界温度未知。
不封闭
w (m-1,n)
n e
(m,n) s
(m,n-1)
(m+1,n)
y
n=1
m=1
m
x
m=M
Monday, March 30, 2020
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tm 1,n t x 2 2 t t m , n x x m ,n 2 x 2 x 3 3t 6 x 3 m,n x 4 4t 4 24 x m ,n (a )
用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m－1,n)的
温度tm-1,n
tm 1,n t tm ,n x x x 2 2t 2 x 2 m,n x 3 3t 6 x 3 m,n x 4 4t 4 24 x m ,n (b)
（3-30）
图（3-7）
m a 1 f1 ( , 2 ) f1 ( , Fo) 0 h Bi
x 1 x f2 ( , ) f2 ( , ) m h Bi
Q h 2 a f ( FoBi 2 ) f ( 2 ) Q0
2013年12月18日7时29分 杨祥花
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
2013年12月18日7时29分
杨祥花
以二维稳态导热为例
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 §4-2 内节点离散方程的建立方法
§4-3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解
§4-4 非稳态导热问题的数值解法
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
2013年12月18日7时29分
杨祥花
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 2 2 2 t t t t ( 2 2 2) c x y z c 一、问题提出
1、对于一维稳态导热，可用理论法求解
2、若 H 不满足，二维导热，如图 3、二维稳态无内热源的导热微分方程式 2t 2t 2 0 2 x y （a）
2t tm ,n1 2tm ,n tm ,n1 o(y 2 ) y 2 m ,n y 2
得
t m ,n
tm1,n 2tm,n tm1,n x
2
tm,n 1 2tm,n tm,n 1 y
2
0
（4-2）
1 2 2 2 (x) (y ) 2
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
表示未明确写 出的级数余项 中的Δ X的最低 阶数为2 2013年12月18日7时29分
杨祥花
根据导热问题的控制方程 ( 导热微分方程 )
t t 0 2 2 x y
2 2
2t tm1,n 2tm ,n tm1,n o(x 2 ) x 2 m ,n x 2
控制容积：节点代表的区域
n
y
y x
x
m
2013年12月18日7时29分 杨祥花
M
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其 过程如下： • 首先划分各节点的类型； • 其次，建立节点离散方程； • 最后，代数方程组的形成。 对节点 (m,n) 的代数方程，当 △x=△y 时，有：
杨祥花
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
2013年12月18日7时29分
tm 1,n
tm 1,n
t x 2 2 t t m , n x x m ,n 2 x 2
t x 2 2t tm ,n x x m ,n 2 x 2
x 3 3t 6 x 3 m,n
求解代数方程组
改进初场
是否收敛 是 解的分析
否
y
h3 t f
t0
h2 t f
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
h1t f 2013年12月18日7时29分
x 杨祥花
例题条件
y
二维矩形域内稳态无内热 源，常物性的导热问题
h3 t f
t0
h2 t f
h1t f
（a）
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
2013年12月18日7时29分 杨祥花
1、 Taylor（泰勒）级数展开法：
2、 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
能量守恒
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
2013年12月18日7时29分 杨祥花
一、 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n 来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n
(c )
将上式改写成
2t x 2
m,n
的表达式，有
2t tm1,n 2tm ,n tm1,n o(x 2 ) （4-1a） x 2 m ,n x 2
同样可得：
2
（4-1b） t tm ,n1 2tm ,n tm ,n1 o(y 2 ) y 2 m ,n y 2
布特征，而不是分散点的数值。
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
2013年12月18日7时29分
杨祥花
• 数值解法的实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概 括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量 的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上 的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来 的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物 理量的值。该方法称为数值解法。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物 理量的数值解。
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
h1t f 2013年12月18日7时29分
x 杨祥花
（2）区域离散化（确立节点） 基本概念：网格线、节点、步长、控制容 积（元体）
N
(m,n)
n
二维矩形域 内稳态无内 热源，常物 性的导热问 题
y
y
xx（b）源自mM河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
tm , n 1 (tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n 1 ) 4
（b）
杨祥花
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
2013年12月18日7时29分
（4） 设立迭代初场 代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解 法，传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。 采用迭代法求解时，需对被求的温度场预先设定 一个解，这个解称为初场，并在求解过程中不断 改进。
2013年12月18日7时29分 杨祥花
二、 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：是傅里叶导热定律和能量守恒定律的体
杨祥花
§4-2 内节点离散 方程的建立方法
这是导热问题数值计算的关键一步。 要得出节点的离散方程，首先要了解 该节点是哪种类型。 如图所示共给出了6种不同的节点： （1）具有对流边界条件的外角顶； （2）具有对流边界条件的平直边界节点； （3）具有对流边界条件和对称绝热角顶； （4）具有绝热边界条件的平直边界节点； （5）具有对流边界条件的内角顶； （6）内部节点。
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( x, ) a x a h x x f ( 2 , n , ) f ( 2 , , ) f ( Fo, Bi, ) 0
t ( x, ) t m 0 t0 t m 0
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分析解法与数值解法的异同点：
• 相同点：根本目的是相同的，即确定 ①
t=f(x，y，z) ；②导热量 。 • 不同点：数值解法求解的是区域或时间空 间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温
度场；分析解法求解的是连续的温度场的分
y *1(tm1,n tm,n )
y *1(tm1,n tm,n ) x x x *1(tm,n1 tm,n ) x *1(tm,n1 tm,n ) 0 y y
在稳态下，流向任何节点 的热量总和必定为0
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N
(m,n)
（5） 求解代数方程组
n
y
x 求解时遇到的问题： M m x ① 线性； ② 非线性； ③ 收敛性等。 如图 （ b ），除 m=1 的左边界上各节点的温 度已知外，其余 (M-1)N 个节点均需建立离散 方程，共有 (M-1)N 个方程，则构成一个封闭 的代数方程组。 1 ）线性代数方程组：代数方程一经建立，其 中各项系数在整个求解过程中不再变化；
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杨祥花
用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域 划分成若干个子区域，用网格线的交点作为需要 确定温度值的空间位置，称为节点 ( 结点 ) ， 节点的位置用该节点在两个方向上的标号 m ，n (m,n) N 表示。
相邻两节点间的距离 称步长，△x，△y。 如图 (b) 所示。
1 1 [ (tm1,n tm1,n ) (tm,n1 tm,n1 )] 2 2 (x) (y )
若 △x=△y 则有
tm , n
(tm1,n tm,n ) (tm1,n tm,n ) (tm,n1 tm,n ) (tm ,n1 tm ,n ) 0
•此式求理论解困难，边界复杂时则不可能 •用数值法求解 区域离散化 建立离散方程
求离散点的温度值
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温度场（分布）
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二、导热问题数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件 设立温度场的迭代初值 确定节点（区域离散化） 建立节点物理量的代数方程
y
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2 ）非线性代数方程组：代数方程一经建立， 其中各项系数在整个求解过程中不断更新。
用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m－1,n)的
温度tm-1,n
tm 1,n t tm ,n x x x 2 2t 2 x 2 m,n x 3 3t 6 x 3 m,n x 4 4t 4 24 x m ,n (b)
（3-30）
图（3-7）
m a 1 f1 ( , 2 ) f1 ( , Fo) 0 h Bi
x 1 x f2 ( , ) f2 ( , ) m h Bi
Q h 2 a f ( FoBi 2 ) f ( 2 ) Q0
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以二维稳态导热为例
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 §4-2 内节点离散方程的建立方法
§4-3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解
§4-4 非稳态导热问题的数值解法
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§4-1 导热问题数值求解的基本思想 2 2 2 t t t t ( 2 2 2) c x y z c 一、问题提出
1、对于一维稳态导热，可用理论法求解
2、若 H 不满足，二维导热，如图 3、二维稳态无内热源的导热微分方程式 2t 2t 2 0 2 x y （a）
2t tm ,n1 2tm ,n tm ,n1 o(y 2 ) y 2 m ,n y 2
得
t m ,n
tm1,n 2tm,n tm1,n x
2
tm,n 1 2tm,n tm,n 1 y
2
0
（4-2）
1 2 2 2 (x) (y ) 2
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表示未明确写 出的级数余项 中的Δ X的最低 阶数为2 2013年12月18日7时29分
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根据导热问题的控制方程 ( 导热微分方程 )
t t 0 2 2 x y
2 2
2t tm1,n 2tm ,n tm1,n o(x 2 ) x 2 m ,n x 2
控制容积：节点代表的区域
n
y
y x
x
m
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M
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（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其 过程如下： • 首先划分各节点的类型； • 其次，建立节点离散方程； • 最后，代数方程组的形成。 对节点 (m,n) 的代数方程，当 △x=△y 时，有：
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tm 1,n
tm 1,n
t x 2 2 t t m , n x x m ,n 2 x 2
t x 2 2t tm ,n x x m ,n 2 x 2
x 3 3t 6 x 3 m,n
求解代数方程组
改进初场
是否收敛 是 解的分析
否
y
h3 t f
t0
h2 t f
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h1t f 2013年12月18日7时29分
x 杨祥花
例题条件
y
二维矩形域内稳态无内热 源，常物性的导热问题
h3 t f
t0
h2 t f
h1t f
（a）
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1、 Taylor（泰勒）级数展开法：
2、 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
能量守恒
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一、 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n 来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n
(c )
将上式改写成
2t x 2
m,n
的表达式，有
2t tm1,n 2tm ,n tm1,n o(x 2 ) （4-1a） x 2 m ,n x 2
同样可得：
2
（4-1b） t tm ,n1 2tm ,n tm ,n1 o(y 2 ) y 2 m ,n y 2
布特征，而不是分散点的数值。
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杨祥花
• 数值解法的实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概 括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量 的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上 的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来 的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物 理量的值。该方法称为数值解法。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物 理量的数值解。
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h1t f 2013年12月18日7时29分
x 杨祥花
（2）区域离散化（确立节点） 基本概念：网格线、节点、步长、控制容 积（元体）
N
(m,n)
n
二维矩形域 内稳态无内 热源，常物 性的导热问 题
y
y
xx（b）源自mM河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
tm , n 1 (tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n 1 ) 4
（b）
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（4） 设立迭代初场 代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解 法，传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。 采用迭代法求解时，需对被求的温度场预先设定 一个解，这个解称为初场，并在求解过程中不断 改进。
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二、 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：是傅里叶导热定律和能量守恒定律的体
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§4-2 内节点离散 方程的建立方法
这是导热问题数值计算的关键一步。 要得出节点的离散方程，首先要了解 该节点是哪种类型。 如图所示共给出了6种不同的节点： （1）具有对流边界条件的外角顶； （2）具有对流边界条件的平直边界节点； （3）具有对流边界条件和对称绝热角顶； （4）具有绝热边界条件的平直边界节点； （5）具有对流边界条件的内角顶； （6）内部节点。
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( x, ) a x a h x x f ( 2 , n , ) f ( 2 , , ) f ( Fo, Bi, ) 0
t ( x, ) t m 0 t0 t m 0
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分析解法与数值解法的异同点：
• 相同点：根本目的是相同的，即确定 ①
t=f(x，y，z) ；②导热量 。 • 不同点：数值解法求解的是区域或时间空 间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温
度场；分析解法求解的是连续的温度场的分
y *1(tm1,n tm,n )
y *1(tm1,n tm,n ) x x x *1(tm,n1 tm,n ) x *1(tm,n1 tm,n ) 0 y y
在稳态下，流向任何节点 的热量总和必定为0
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N
(m,n)
（5） 求解代数方程组
n
y
x 求解时遇到的问题： M m x ① 线性； ② 非线性； ③ 收敛性等。 如图 （ b ），除 m=1 的左边界上各节点的温 度已知外，其余 (M-1)N 个节点均需建立离散 方程，共有 (M-1)N 个方程，则构成一个封闭 的代数方程组。 1 ）线性代数方程组：代数方程一经建立，其 中各项系数在整个求解过程中不再变化；
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用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域 划分成若干个子区域，用网格线的交点作为需要 确定温度值的空间位置，称为节点 ( 结点 ) ， 节点的位置用该节点在两个方向上的标号 m ，n (m,n) N 表示。
相邻两节点间的距离 称步长，△x，△y。 如图 (b) 所示。
1 1 [ (tm1,n tm1,n ) (tm,n1 tm,n1 )] 2 2 (x) (y )
若 △x=△y 则有
tm , n
(tm1,n tm,n ) (tm1,n tm,n ) (tm,n1 tm,n ) (tm ,n1 tm ,n ) 0
•此式求理论解困难，边界复杂时则不可能 •用数值法求解 区域离散化 建立离散方程
求离散点的温度值
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温度场（分布）
2013年12月18日7时29分 杨祥花
二、导热问题数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件 设立温度场的迭代初值 确定节点（区域离散化） 建立节点物理量的代数方程
y
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2 ）非线性代数方程组：代数方程一经建立， 其中各项系数在整个求解过程中不断更新。